高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 橢圓學(xué)案（含解析）-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)學(xué)案

橢圓

考向一：橢圓定義及焦點(diǎn)三角形

1、【2019年高考全國(guó)I卷理數(shù)】已知橢圓，的焦點(diǎn)為耳（一1,0）,工（1,0）,

過(guò)人的直線(xiàn)與。交于48兩點(diǎn).^\AF2\=2\F2B\,\AB\=\BFt\,則C

的方程為

222222

廠(chǎng)+?-1

A.—+y2=lB.工+Jc.三+J1D.-------1--------1

232

【解析】如圖，由已知可設(shè)后回二〃

由橢圓的定義有2a=忸制+忸圖=4〃，.[A用=2〃一|4周=2〃.

4/72+9n2-9/?21

在A中’由余弦定理推論得

在△人1居中，由余弦定理得4/+4〃2—2?2〃?2〃2=4,解得〃="

32

2。=4〃=2A/3,a=>/3,b2=a2—c2=3—1=2,/.

所求橢圓方程為工+匕=1,故選B.

32

22

x上y1

2、【2019年高考全國(guó)HI卷理數(shù)】設(shè)與入為橢圓C:3620的兩個(gè)焦點(diǎn)，物為，上

一點(diǎn)且在第一象限.若△”"尸2為等腰三角形，則."的坐標(biāo)為.

【解析】由已知可得/=36,〃=20,0?=a?—〃=16,二。=4,

.?.眼照=忻用=2°=8,.」阻=4.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（毛，為）伍>°，%>°），則Szug用?%=4%,

又5岫和厲，，4%=4后，解得為=而，

.片|（婀=1，解得％=3（9=-3舍去），

"3620

\用的坐標(biāo)為（3,、后）.

/y

鞏固遷移：（2018?安徽皖江模擬）已知握,凡是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓C-.-+72=l（a>6>0）

ab

的左、右焦點(diǎn)，一是橢圓上一點(diǎn)，則△依E面積的最大值為

解析解法一：???△）；￡的面積為:|陽(yáng)||小|?sin/E在題

乙￡l\乙，乙

2a=4,，a2=4,△掰E面積的最大值為2.

解法二：由題意可知2a=4,解得a=2.當(dāng)。點(diǎn)到距離最大時(shí)，△陽(yáng)￡面積最大,

此時(shí)P為短軸端點(diǎn)，

■5A?7，~2.2c?b—be.

又：a?=+1=4,/.8cw"；''

=2,

.,.當(dāng)b=c=/時(shí)，△陽(yáng)為面積最大值為2.

考向二：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

1、［2016?全國(guó)I,20］設(shè)圓f+/+2x—15=0的圓心為4,直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)8（1,0）且與

x軸不重合，/交圓4于C,〃兩點(diǎn)，過(guò)6作/C的平行線(xiàn)交于點(diǎn)笈

證明|創(chuàng)|+|掰|為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)后的軌跡方程；

解⑴因?yàn)?EB〃AC,故ZEBD=4ACD=2ADC.

所以|即=I砌,^\EA\+\EB\=\EA\-\-\ED\=\AD\.

又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為（*+1尸+/=16,

從而I初=4,所以|朗+|陽(yáng)=4.

22

由題設(shè)得力(-1,0),B(l,0),|明=2,由橢圓定義可得點(diǎn)V的軌跡方程為今+1

ido).

變式訓(xùn)練：［2019年高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C;

x2y2

-7+4=1(。>〃>0)的焦點(diǎn)為e(-1、0),人(1,0).過(guò)其作x軸的垂線(xiàn)，在x

a~b

軸的上方，/與圓4:。-1)2+了2=4。2交于點(diǎn)4與橢圓。交于點(diǎn)〃連結(jié)4A并延長(zhǎng)交圓

4于點(diǎn)8,連結(jié)跖交橢圓C于點(diǎn)笈連結(jié)如.已知如=2.

2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求點(diǎn)￡的坐標(biāo).

【解析】(1)設(shè)橢圓。的焦距為2c.

因?yàn)椤?-1,0),￡(1,0),所以￡E=2,c=l.

又因?yàn)棰?=；,力軸，所以DE=dDF；—FF；=Jg)2_22=',

因此2apDF\+DEF3從而a=2.

由爐，君,得廬3.

22

因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+匕=1.

43

22

(2)由(1)知，橢圓G—+^-=1.

43

如圖，連結(jié)班.

因?yàn)殍?2a,EK+Ega,所以ER=EB,

仄而NBF、E=NB.

因?yàn)閮?nèi)所以//=N8,

所以/左/如￡,從而EFJ/AA.

因?yàn)?KJ_x軸，所以必軸.

x=-1

3

因?yàn)椤?T,0),由<x2y2j得了二士亍

—+—=12

43

3

又因?yàn)?是線(xiàn)段仍與橢圓的交點(diǎn)，所以y=-1

因此―二3).

2

鞏固遷移：與圓G：(入+3)2+/=1外切，且與圓G：(x—3>+/=81內(nèi)切的動(dòng)圓圓心

。的軌跡方程為

解析，設(shè)動(dòng)圓的半徑為r,圓心為P(x,y),則有I闿|=r+l,|出|=9一工

所以|必|+|得|=10>|GG|,

所以點(diǎn)？的軌跡是以G(—3,0),C(3,0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓，點(diǎn)。的軌跡方

22

程為京+^j

22巧

2、［2014?大綱卷，4］已知橢圓C：方方=1@垃。)的左、右焦點(diǎn)為F、，孔離心率為當(dāng)

過(guò)E的直線(xiàn)/交C于兒6兩點(diǎn).若的周長(zhǎng)為4鎘，則C的方程為()

X2,V2X,oX,/2XV2

A.-+y=lB.y+/=ic.訪(fǎng)+京=1D.運(yùn)+a=l

,13

解析由題意及橢圓的定義知4a=4/，則@=4，又'=*=￥，???c=l,?,?Z/=2,

22

"的方程為^_+券=1,選A.

考向三：橢圓的幾何性質(zhì)

97

1、【2019年高考北京卷理數(shù)】已知橢圓Ca>b>0）的

離心率為L(zhǎng),則

2

A.才=26%.3a2=4〃C.a=2Z;D.3a=46

c1

【解析】橢圓的離心率6=上=一,，2=/—從，化簡(jiǎn)得3a2=4^,

a2

故選B.

2、［2018?全國(guó)n,12］已知A,K是橢圓CF+R=1（於力＞0）的左，右焦點(diǎn)，力是。

ab

的左頂點(diǎn)，點(diǎn)尸在過(guò)/且斜率為于的直線(xiàn)上，△掰“為等腰三角形，NE氏々120°,則C

6

的離心率為（）

2111

A,3B-2C"3D'4

解析依題意易知l%|=,A&=2c,且尸在第一象限內(nèi)，由NAK-120?？傻檬c(diǎn)

的坐標(biāo)為（2c,小玲.

因?yàn)槿?坐，即惡坐，所以a=4c,e=；,故選D.

62c+a64

22

3、［2017?全國(guó)R,10］已知橢圓C：2+5=l（a＞力0）的左、右頂點(diǎn)分別為4,4,且

ab

以線(xiàn)段44為直徑的圓與直線(xiàn)8x-ay+2a6=0相切，則。的離心率為（）

A亞B亞C必D，

3333

解析由題意知以44為直徑的圓的圓心為（0,0）,半徑為a

又直線(xiàn)bx—ay+2ab=。與圓相切，

22

4、［2013?遼寧卷，15］己知橢圓C：§+5=1（臥力。）的左焦點(diǎn)為RC與過(guò)原點(diǎn)的直

4

線(xiàn)相交于46兩點(diǎn)，連結(jié)"；質(zhì)若|加=1。，|明=6,cos/制，則。的離心率

解析如圖，設(shè)右焦點(diǎn)為S,\BF\=x,

[*+102—g-4/

則CQSAABF=-------------

20x5—r-y

解得x=8,故N/7%=90°.

由橢圓及直線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可知|力川=8,且/用￡=90°,

c5

△用A是直角三角形，IA&=10,故2a=8+6=14,2c=10,e=-=~.

a(

22

5、【2019年高考浙江卷】已知橢圓土+二=1的左焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸在

95

橢圓上且在x軸的上方，若線(xiàn)段PR的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，|。耳為

半徑的圓上，則直線(xiàn)PE的斜率是

【解析】如圖，設(shè)K為橢圓右焦點(diǎn).由題意可知|OF|=|QM|=c=2,

由中位線(xiàn)定理可得|班|=2|31|=4,設(shè)P(x,y),可得(x—2>+y2=]6,

22QQ1

與方程二+二=1聯(lián)立，可解得x=——,x=一(舍)，

9522

又點(diǎn)尸在橢圓上且在工軸的上方，求得

22

V15

所以即「=--=厲

考向四：直線(xiàn)與橢圓的綜合問(wèn)題

1、【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)橢圓［+之=1（。>6>0）的左焦點(diǎn)為

ab"

F,上頂點(diǎn)為8.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4,離心率為正.

5

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)M為直線(xiàn)尸5

與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)N在y軸的負(fù)半軸上.若|ON|=|QF|（。為原點(diǎn)），且。尸

求直線(xiàn)總的斜率.

【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意，2力=4,￡=且，又/=〃+02,可得“=石,

a5

b-2,c=\.

2y2

所以，橢圓的方程為X二+乙=1.

54

（2）由題意，設(shè)力乂％HO）,M（X”,O）.設(shè)直線(xiàn)P8的斜率為

左（左00）,又8（0,2）,則直線(xiàn)尸5的方程為y=H+2,

y=kx+2,

與橢圓方程聯(lián)立（爐y2整理得（4+5公卜2+20日=0,

---1---=1,

I54

—T4B20%小8-10A~

可得知=一4記'代入、="+2z得力=而記,

進(jìn)而直線(xiàn)OP的斜率"=士K.

xp-10k

2

在丁=京+2中，令y=0,得不W=一%.

L

由題意得N（0,—l）,所以直線(xiàn)MN的斜率為-

Ize4-54"（k224.2—30

由。P-LM/V,得——-—=-1,化間得t公=——，從而k=±-------.

T0ZI2J55

所以，直線(xiàn)網(wǎng)的斜率為2叵或-拽e.

55

2、［2017?全國(guó)n,20］設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)材在橢圓C：5+/=1上，過(guò)〃作X軸的

垂線(xiàn)，垂足為M點(diǎn)尸滿(mǎn)足痂=點(diǎn)薪

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)0在直線(xiàn)x=-3上，且蘇?南=1.證明：過(guò)點(diǎn)尸且垂直于。。的直線(xiàn)，過(guò)C的

左焦點(diǎn)五

解(1)設(shè)P(x,y),M*,yo),

則AQo.0),赤=(x—施，y),赤三(0,及).

由痂=鏡前/得Xo=x,%=坐匕

22

因?yàn)楸厥?，㈤在。上，所?+亍=L

因此點(diǎn)〃的軌跡方程為f+/=2.

(2)由題意知以一1,0).設(shè)。(一3,t),P5,n),則

4=(-3,r),雄=(一1一如-n),而?建=3+3加一切,

0P={in,n),PQ=(-3-/77,t—n).

由宓?PQ=\得-3m—必+tn—d=l,

又由⑴知/2+//=2,故3+3加一tn—O.

所以施?格=0,即沏J_而

又過(guò)點(diǎn)〃存在唯一直線(xiàn)垂直于0Q,所以過(guò)點(diǎn)尸且垂直于。0的直線(xiàn)1過(guò)C的左焦點(diǎn)F.

2

3、［2018?全國(guó)I,19］(本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)橢圓C：5+7=1的右焦點(diǎn)為凡過(guò)尸的

直線(xiàn)/與C交于4,8兩點(diǎn)，點(diǎn)"的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，求直線(xiàn)力/的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：NOMA=NOMB.

解(1)由已知得尸(1,0),直線(xiàn)/的方程為＞=1.

由已知可得，點(diǎn)/的坐標(biāo)為(1,當(dāng)或(1，—乎)

所以直線(xiàn)加的方程為尸一半x+啦或尸坐Lm.

(2)證明：當(dāng)/與x軸重合時(shí)，NOMA=/OMB=0°.

當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，0M為AB的垂直平分線(xiàn)，所以NOMA=ZOMB.

當(dāng)/與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)1的方程為尸〃(x—1)(20),/(無(wú)，/),8(如％),

則水的水隹直線(xiàn)皈，跖的斜率之和為后+Q工+力.

由y\=kx\~k,歡=kxz-k,得

2kx\Xt—3kxi+用+4A

k\fA\kwi=on?

XL2XL?

將尸衣(工一1)代入5+/=1,得(242+1)系一4必才+2尸一2=0.

4N2〃一2

所以Xi+x—

22k2+lfx'x2=u+\-

4”一4A—12/+8”+4衣

則24小升——34(小+版)+4衣=--------------------------------=0

2川+1

從而金+%物=0,故直線(xiàn)也，，監(jiān)的傾斜角互補(bǔ)，所以NQ加=N6(如

綜上，NOMA=4OMB.

22

4、[2018?全國(guó)III,20](本小題滿(mǎn)分12分)已知斜率為k的直線(xiàn)1與橢圓C：y+f=l

4o

交于4,8兩點(diǎn).線(xiàn)段4?的中點(diǎn)為M(l,ni)(?>0).

⑴證明：A<—I：

(2)設(shè)尸為。的右焦點(diǎn)，尸為。上一點(diǎn)，且尸了+尸才+/萬(wàn)=0.證明：|麗|,