初升高數(shù)學暑假銜接（人教版）初高銜接第03講：一元二次方程根與系數(shù)的關系（學生版）

第03講：一元二次方程根與系數(shù)的關系【考點梳理】考點一、一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為：(1)當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根：；(2)當時，方程有兩個相等的實數(shù)根：；(3)當時，方程沒有實數(shù)根．由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況．因此，把叫做一元二次方程的根的判別式：.考點二、一元二次方程的根與系數(shù)的關系一元二次方程的兩個根為：.所以：，.定理：如果一元二次方程的兩個根為，那么：.說明：一元二次方程根與系數(shù)的關系由十六世紀的法國數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為韋達定理．上述定理成立的前提是．【題型歸納】題型一：一元二次方程的根的判斷式1．關于x的一元二次方程，根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根2．關于的一元二次方程的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．實數(shù)根的個數(shù)與實數(shù)的取值有關3．在正比例函數(shù)中，的值隨值的增大而減小，則關于的一元二次方程根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．無法確定題型二:判斷式求參數(shù)問題4．若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的值可以是（）A． B． C．0 D．5．一元二次方程有兩個實數(shù)根a，b，那么一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．已知關于x的方程的兩實根為，若，則m的值為（

）A． B． C．或3 D．或1題型三：一元二次方程的根與系數(shù)的關系7．已知m，n是方程的兩根，則代數(shù)式的值等于（

）A．0 B．?11 C．9 D．118．已知m，n是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A． B． C． D．9．設與為一元二次方程的兩根，則的最小值為（）A． B． C． D．題型四：根和系數(shù)與判別式的綜合應用10．已知關于x的一元二次方程(1)求證：無論m為何值，方程總有實數(shù)根；(2)若，是方程的兩個實數(shù)根，且，求m的值．11．已知關于x的一元二次方程．(1)若此方程有兩個不相等的實數(shù)根，，求m的取值范圍；(2)若此方程的兩根互為倒數(shù)，求的值．12．已知關于x的方程，其中p，q都是實數(shù)．(1)若時，方程有兩個不同的實數(shù)根，，且，求實數(shù)p的值．(2)若方程有三個不同的實數(shù)根，，，且，求實數(shù)p和q的值．(3)是否同時存在質數(shù)p和整數(shù)q使得方程有四個不同的實數(shù)根，，，且？若存在，求出所有滿足條件的p，q．若不存在，說明理由．【專題突破】一、單選題13．關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．14．關于的一元二次方程無實數(shù)根，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限15．關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A．且 B．且C．且 D．16．已知是關于x的一元二次方程的一個解，則a的值為（

）A．0 B． C．1 D．217．對于實數(shù)a，b定義運算“※”為，例如．若關于x的方程沒有實數(shù)根，則m的值可以是（

）A．3 B．2 C．1 D．018．已知a，b是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A． B． C． D．19．已知m、n是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A．4 B． C．2 D．20．已知a，b是一元二次方程的兩根，則的值是(

)A． B． C． D．21．已知，是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A．2 B．3 C． D．22．已知關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，，且，，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．且23．若關于的方程的兩個實數(shù)根滿足關系式，則的值為(

)A．11 B． C．11或 D．11或或124．若m，n是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則（

）A． B． C． D．3二、填空題25．已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，則實數(shù)_________．26．已知關于x的一元二次方程有兩個不等實數(shù)根，，若，則k的值為______．27．關于的一元二次方程兩個實數(shù)根、且，則m的取值范圍是________；28．已知是方程的兩個實數(shù)根，且，則的值為___________．29．若，是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為______．三、解答題30．已知關于的方程．(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)的值．31．已知關于的一元二次方程有實數(shù)根．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，設方程的根為，，求代數(shù)式的值．32．已知，是方程的兩根，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．33．閱讀材料，解答問題：【材料1】為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設，則原方程可化為，經(jīng)過運算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．【材料2】已知實數(shù)，滿足，，且，顯然，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，由韋達定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應用：方程的解為；(2)間接應用：已知實數(shù)，滿足：，且，求的值．34．關于的一元二次方程有兩個不相等實數(shù)根和．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，求的值．35．已知關于的一元二次方程．(1)求證：該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若，且該方程的一個根是另一個根的2倍，求的值．36．若是一元二次方程（為常