江蘇省泰州市泰興市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page12024～2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將寫成分段函數(shù)形式求值域，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求值域分別得到集合A、B，再結(jié)合各項推斷正誤即可.【詳解】，故，而，則，所以，，即A、B、C錯誤，D正確.故選：D2.已知，為兩個不同平面，為直線且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】當(dāng)時，若，則推不出；反之可得，依據(jù)充分條件和必要條件推斷方法，推斷即可得到答案．【詳解】當(dāng)時，若且，則推不出，故必要性不成立；當(dāng)時，可過直線作平面與平面交于，依據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，又，所以，又，所以，故充分性成立，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判定，關(guān)鍵是駕馭充分條件和必要條件的定義，推斷是的什么條件，須要從兩方面分析：一是由條件能否推得條件；二是由條件能否推得條件3.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.向量與向量的夾角為D.在的投影向量是【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算求、，結(jié)合向量共線定理、模長的坐標(biāo)運(yùn)算推斷A、B，依據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示、投影向量的定義推斷C、D.【詳解】由，不存在使，即與不共線，A錯誤；由，故，B錯誤；由，又，故，C正確；由在的投影向量，D錯誤.故選：C4.有一個內(nèi)角為的等腰三角形被稱為黃金三角形，它的較短邊與較長邊之比為黃金分割比．由上述信息可求得的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出，其中，，計算出，然后利用誘導(dǎo)公式可求得的值.【詳解】在中，，，取的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：由題意可知，且，所以，，所以，.故選：C.5.已知函數(shù)，，的解析式是由函數(shù)和的解析式組合而成，函數(shù)部分圖象如下圖所示，則解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合圖象的對稱性解除CD，再由特別值及放縮法推斷的正負(fù)解除B.【詳解】定義域都為，關(guān)于原點(diǎn)對稱，而，，所以都是奇函數(shù)，故都是偶函數(shù),因為所給圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，是奇函數(shù)，故可解除CD；當(dāng)時，，故解除選項B.故選：A6.已知函數(shù)（，），直線和點(diǎn)分別是圖象相鄰的對稱軸和對稱中心，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間上有12個零點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】依據(jù)已知條件求得，代入法以及正余弦函數(shù)性質(zhì)推斷奇偶性、對稱中心，由整體法，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性推斷區(qū)間單調(diào)性和區(qū)間零點(diǎn)個數(shù).【詳解】由題設(shè)，，故，所以，故且，所以，，又，故，綜上，，為偶函數(shù)，A錯誤；，圖象不關(guān)于對稱，B錯誤；在上，，依據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)在該區(qū)間上不單調(diào)，C錯誤；在上，在區(qū)間內(nèi)有6個周期長度，每個周期有2個零點(diǎn)，所以該區(qū)間內(nèi)有12個零點(diǎn)，D正確.故選：D7.已知直線與直線相交于點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.過定點(diǎn)B.點(diǎn)的軌跡方程為C.點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)距離之和的最大值為D.點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為【答案】B【解析】【分析】求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，可推斷A選項；求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，分析可知，由可求得點(diǎn)的軌跡方程，可推斷B選項；求出，利用基本不等式可推斷C選項；利用圓的幾何性質(zhì)可推斷D選項.【詳解】對于A選項，直線的方程可化為，由，可得，所以，直線過定點(diǎn)，A錯；對于B選項，直線的方程可化為，由，可得，所以，直線過定點(diǎn)，因為，則，即，設(shè)點(diǎn)，則，，所以，，整理可得，所以，點(diǎn)的軌跡方程為，B對；對于C選項，，由勾股定理可得，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)距離之和的最大值為，C錯；對于D選項，記圓的圓心為，該圓的半徑為，因為，故原點(diǎn)在圓外，又因為，故，D錯.故選：B.8.已知函數(shù)，其中實數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.必有兩個極值點(diǎn)B.有且僅有3個零點(diǎn)時，的范圍是C.當(dāng)時，點(diǎn)是曲線的對稱中心D.當(dāng)時，過點(diǎn)可以作曲線的3條切線【答案】B【解析】【分析】對求導(dǎo)，得到的單調(diào)性，推斷的極值點(diǎn)個數(shù)可推斷A；要使有且僅有3個零點(diǎn)，只需即可推斷；當(dāng)時，計算可推斷C；設(shè)切點(diǎn)為，求出過點(diǎn)的切線方程，令，所以過點(diǎn)可以作曲線的切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為與圖象的交點(diǎn)個數(shù)即可推斷D.【詳解】對于A，，令，解得：或，因為，所以令，得或，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得微小值,所以A正確；對于B，要使有且僅有3個零點(diǎn)，只需即，所以，所以的范圍是，故B不正確；對于C，當(dāng)時，，，，所以點(diǎn)是曲線的對稱中心，所以C正確；對于D，，設(shè)切點(diǎn)為，所以在點(diǎn)處的切線方程為：，又因為切線過點(diǎn)，所以，解得：，令，所以過點(diǎn)可以作曲線的切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為與圖象的交點(diǎn)個數(shù).,令，解得：或，因為，所以令，得或，令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，如下圖所示，當(dāng)時，與圖象有3個交點(diǎn)，即過點(diǎn)可以作曲線的3條切線，故正確，故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分別變量，構(gòu)造新函數(shù)，干脆把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z，i為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）A.若，則z的虛部為－2iB.若|z|＝1，則z＝±1或z＝±iC.若點(diǎn)Z坐標(biāo)為（－1，3），且z是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2＋px＋q＝0的一個根，則p＋q＝12D.若，則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為π【答案】CD【解析】【分析】A選項：依據(jù)虛部的概念推斷即可；B選項：依據(jù)模的公式推斷即可；C選項：依據(jù)的坐標(biāo)得到，然后代入中得到，解方程即可；D選項：設(shè)，依據(jù)得到，然后依據(jù)幾何圖形求面積即可.【詳解】A選項：因為，所以的虛部為-2，故A錯；B選項：設(shè)，則可以得到，即，有好多種狀況，例如，，，此時，故B錯；C選項：若的坐標(biāo)為，則，又是關(guān)于的實系數(shù)方程的一個根，所以，所以，解得，，故C正確；D選項：設(shè)，則，即，所以的集合所構(gòu)成的圖形為環(huán)形，如下所示：所以面積為，故D正確.故選：CD.10.下列不等關(guān)系中成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可推斷A選項；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可推斷BC選項；利用冪函數(shù)的單調(diào)性可推斷D選項.【詳解】對于A選項，，A對；對于B選項，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，因為，則，即，所以，，即，B對；對于C選項，因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，即，即，即，C錯；對于D選項，，D對.故選：ABD.11.在三棱錐中，已知，則（）A.與成角B.平面平面C.平面平面D.與平面所成角小于與平面所成角【答案】CD【解析】【分析】利用反證法可推斷A選項；利用二面角的定義可推斷B選項；利用面面垂直的判定定理可推斷C選項；利用線面角的定義可推斷D選項.【詳解】如下圖所示：對于A選項，若，又因為，且，、平面，所以，平面，平面，則，因為，則為銳角，沖突，故與不成角，A錯；對于B選項，，則為銳角，，，所以，二面角的平面角為，故平面與平面不垂直，B錯；對于C選項，，，，、平面，平面，平面，，又因為，，、平面，平面，平面，所以，平面平面，C對；對于D選項，因為平面，則、與平面所成角分別為、，，則，所以，，又因為、均為銳角，則，D對.故選：CD.12.螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個固定點(diǎn)起先向外逐圈旋繞而形成的曲線，如圖（1）所示．如圖（2）所示陰影部分也是一個漂亮的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正方形的邊長為4，取正方形各邊的四等分點(diǎn)，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的四等分點(diǎn)，作第3個正方形，依此方法一干脆著下去，就可以得到陰影部分的圖案．設(shè)正方形邊長為，后續(xù)各正方形邊長依次為；如圖（2）陰影部分，直角三角形面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為，下列說法正確的是（）A.第個正方形面積為.B..C.使得不等式成立的的最大值為.D.數(shù)列的前項和對隨意恒成立.【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)圖形的改變規(guī)律，結(jié)合已知條件，求得以及，再對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可推斷和選擇.【詳解】依據(jù)題意，，且，故，即，又，故可得，由題可知，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，，即第三個正方形的面積為，故A錯誤，B正確；對C：因為，，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，其為單調(diào)減數(shù)列，，又，故不等式成立的的最大值為，正確；對：因為，對隨意恒成立，正確.故選：.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)同時滿意（1）；（2），其中，則符合條件的一個函數(shù)解析式＝_____．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由已知函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性定義和對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得且，寫出一個符合要求的解析式即可.【詳解】由（2）知：上遞減，由（1），結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知：，則，綜上，且，故滿意要求.故答案為：（答案不唯一）14.已知正方形ABCD的邊長為4，中心為O，圓O的半徑為1，MN為圓O的直徑．若點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上運(yùn)動，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】求出、，利用和的取值范圍計算可得答案.【詳解】如圖，因為正方形ABCD的邊長為4，圓O的半徑為1，所以，即，，，所以，所以，即.故答案為：.15.正四棱臺高為2，上下底邊長分別為和，全部頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積是_____．【答案】【解析】【分析】畫出圖形，設(shè)出未知數(shù)，利用半徑相等列出方程，求出半徑，從而得到球的表面積.【詳解】如圖所示，，，為外接球球心，設(shè)外接球半徑為R，，由勾股定理得：，，設(shè)，則，，故，解得：，故，故球的表面積為.故答案為：16.若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則的最小值為_____．【答案】【解析】【分析】由兩條曲線的公切線斜率分別等于各曲線上切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，以及各曲線上切點(diǎn)分別滿意切線方程來列方程組，得到與滿意的關(guān)系式，將原式中的替換，再利用基本不等式求最小值即可.【詳解】曲線在點(diǎn)A處的切線可寫作設(shè)該切線在曲線上的切點(diǎn)為，則有，消去t得則當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得該最小值.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設(shè)數(shù)列的前項和為，，．（1）求的通項公式；（2）對于隨意的正整數(shù)，，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時，由可得，兩式作差變形可得，利用累乘法可求得數(shù)列的通項公式；（2）求出數(shù)列的通項公式，利用奇偶分組求和法、裂項相消法、等比數(shù)列的求和公式可求得.【小問1詳解】解：當(dāng)時，由可得，上述兩個等式作差可得，所以，，則，所以，，也滿意，故對隨意的，.【小問2詳解】解：對于隨意的正整數(shù)，，所以，.18.若函數(shù)滿意，其中，且．（1）求函數(shù)的解析式；（2）推斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）若，在時恒成立，求的取值范圍．【答案】（1），（2）見解析，（3）【解析】【分析】（1）利用換元法，令，則，代入化簡可求出函數(shù)解析式，（2）分和兩種狀況，利用單調(diào)性定義推斷即可，（3）由（2）可知在上遞減，所將問題轉(zhuǎn)化為，即，從而可求出的取值范圍．【小問1詳解】令，則，所以，所以，【小問2詳解】當(dāng)時，在上遞增，當(dāng)時，在上遞減，理由如下：當(dāng)時，任取，且，則，因為，，所以，，所以，所以，所以，即，所以在上遞增，當(dāng)時，任取，且，則，因為，，所以，，所以，所以，所以，即，所以在上遞減，【小問3詳解】當(dāng)時，由（2）可知在上遞減，因為在時恒成立，所以，所以，即，所以，解得或，因為，所以，即的取值范圍.19.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA＝PB＝AB＝2，平面PAB⊥平面ABCD，N是CD的中點(diǎn)．（1）若點(diǎn)M為線段PD上一點(diǎn)，且平面AMN，求的值；（2）求二面角B－PA－C的正弦值；（3）求點(diǎn)N到面PAC的距離．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）連接，交于，連接，由線面平行的性質(zhì)可得，依據(jù)等比例關(guān)系即可求結(jié)果；（2）依據(jù)已知證明兩兩垂直，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求二面角的余弦值，進(jìn)而求其正弦值；（3）利用等體積法，求點(diǎn)面距離.【小問1詳解】連接，交于，連接，因為面，面，且面面，所以，故.【小問2詳解】若為中點(diǎn)，連接，又N是CD的中點(diǎn)，底面ABCD為正方形，所以，等邊三角形中，因為平面PAB⊥平面ABCD，面面，面，所以面，而面，則，綜上，兩兩垂直，故可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，由，則，，，，所以，，若為面的一個法向量，則，令，則，而為面的一個法向量，所以，故二面角的正弦值為.【小問3詳解】由題設(shè)，，而，又，，，所以，若N到面PAC的距離為，則，可得，故N到面PAC的距離為.20.在①；②兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題．已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，．（1）求角C的大??；（2）若∠ACB的角平分線CD交線段AB于點(diǎn)D，且，求△ABC的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應(yīng)用正余弦邊角關(guān)系、倍角正余弦及協(xié)助角公式化簡條件公式，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)求角C的大小.（2）過作交延長線于，利用角平分線性質(zhì)、相像三角形的等比例關(guān)系求出，再應(yīng)用三角形面積公式求面積.【小問1詳解】選①：由正弦邊角關(guān)系得，再由余弦邊角關(guān)系得，所以，而且，所以.選②：，所以，即，又，則且，所以，可得，所以.【小問2詳解】過作交延長線于，因為為角平分線，且，則，由，則，又，所以，，故，又，故△為等邊三角形，則，，結(jié)合（1）結(jié)論，△ABC的面積為.21.已知圓O：x2＋y2＝16，點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B為圓O上的動點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)T（2，0），過點(diǎn)T作與x軸不重合的直線l交曲線C于E、F兩點(diǎn)．（i）過點(diǎn)T作與直線l垂直的直線m交曲線C于G、H兩點(diǎn)，求四邊形EGFH面積的最大值；（ii）設(shè)曲線C與x軸交于P、Q兩點(diǎn)，直線PE與直線QF相交于點(diǎn)N，試探討點(diǎn)N是否在定直線上，若是，求出該直線方程；若不是，說明理由．【答案】（1）；（2）（i）7；（ii）存在，.【解析】【分析】（1）依據(jù)點(diǎn)在圓上，得到，再依據(jù)為中點(diǎn)，得到，然后代入，整理即可得到曲線的方程；（2）（i）設(shè)直線方程，得到弦長和，然后將面積表示出來，最終分和兩種狀況探討面積的最大值；（ii）聯(lián)立直線和曲線的方程，依據(jù)韋達(dá)定理得到，然后通過聯(lián)立直線和直線的方程得到的坐標(biāo)，再結(jié)合即可得到點(diǎn)在定直線上.【小問1詳解】設(shè)，，因為點(diǎn)在圓上，所以①，因為為中點(diǎn)，所以，整理得，代入①式中得，整理得，所以曲線的方程為.【小問2詳解】（i）因為直線不與軸重合，所以設(shè)直線的方程為，即，則直線為，設(shè)曲線的圓心到直線和直線的距離分別為，，則，，所以，，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，綜上所述，四邊形面積的最大值為7.（ii）設(shè)，，聯(lián)立，得，則，，，因為曲線與軸交于，兩點(diǎn)，所以，，則直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立兩直線方程得，，所以，所以在定直線上.【點(diǎn)睛】（1）求動點(diǎn)軌跡方程的方法：①定