橢圓知識點及相關習題

橢圓知識點知識點一：橢圓的定義

平面內一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù),這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.注意：假設，那么動點的軌跡為線段；

假設，那么動點的軌跡無圖形.知識點二：橢圓的標準方程1．當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中2．當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；注意：1．只有當橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；

2．在橢圓的兩種標準方程中，都有和；

3．橢圓的焦點總在長軸上.當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，知識點三：橢圓的簡單幾何性質

橢圓：的簡單幾何性質

〔1〕對稱性：對于橢圓標準方程：說明：把換成、或把換成、或把、同時換成、、原方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心?！?〕范圍：

橢圓上所有的點都位于直線和所圍成的矩形內，所以橢圓上點的坐標滿足，。

〔3〕頂點：①橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。

②橢圓與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為，，，③線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長?！?〕離心率：①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。

②因為，所以的取值范圍是。越接近1，那么就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓。當且僅當時，，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。注意：橢圓的圖像中線段的幾何特征〔如下列圖〕：〔1〕；；；

〔2〕；；；

〔3〕；；；知識點四：橢圓與的區(qū)別和聯(lián)系標準方程圖形性質焦點，，焦距范圍，，對稱性關于軸、軸和原點對稱頂點，，軸長長軸長=，短軸長=離心率準線方程焦半徑，，注意：橢圓，的相同點：形狀、大小都相同；參數(shù)間的關系都有和，；不同點：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點坐標也不相同。規(guī)律方法：1．如何確定橢圓的標準方程？

任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當且僅當橢圓的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，橢圓的方程才是標準方程形式。此時，橢圓焦點在坐標軸上。確定一個橢圓的標準方程需要三個條件：兩個定形條件；一個定位條件焦點坐標，由焦點坐標的形式確定標準方程的類型。2．橢圓標準方程中的三個量的幾何意義橢圓標準方程中，三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：，，且?？山柚覉D理解記憶：顯然：恰構成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3．如何由橢圓標準方程判斷焦點位置

橢圓的焦點總在長軸上，因此標準方程，判斷焦點位置的方法是：看，的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。4．方程是表示橢圓的條件方程可化為，即，所以只有A、B、C同號，且AB時，方程表示橢圓。當時，橢圓的焦點在軸上；當時，橢圓的焦點在軸上。5．求橢圓標準方程的常用方法：①待定系數(shù)法：由條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；

②定義法：由條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6．判斷曲線關于軸、軸、原點對稱的依據(jù)：①假設把曲線方程中的換成，方程不變，那么曲線關于軸對稱；②假設把曲線方程中的換成，方程不變，那么曲線關于軸對稱；③假設把曲線方程中的、同時換成、，方程不變，那么曲線關于原點對稱。橢圓練習題選擇題：〔本大題共12小題，每題5分，共60分，在每題給出的四個選項中有只有一項為哪一項符合題目要求的．〕1．橢圓的焦距是〔〕 A．2 B． C． D．2．F1、F2是定點，|F1F2|=6，動點M滿足|MF1|+|MF2|=6，那么點M A．橢圓 B．直線 C．線段 D．圓3．假設橢圓的兩焦點為〔－2，0〕和〔2，0〕，且橢圓過點，那么橢圓方程是 〔〕A． B． C． D．4．方程表示焦點在y軸上的橢圓，那么k的取值范圍是〔〕 A． B．〔0，2〕 C．〔1，+∞〕 D．〔0，1〕5．過橢圓的一個焦點的直線與橢圓交于、兩點，那么、與橢圓的另一焦點構成，那么的周長是〔〕A．B．2C．D．16．橢圓的對稱軸是坐標軸，離心率為，長軸長為12，那么橢圓方程為〔〕A．或B．C．或D．或7．＜4，那么曲線和有〔〕A．相同的短軸B．相同的焦點C．相同的離心率D．相同的長軸8．橢圓的焦點、，P為橢圓上的一點，，那么△的面積為〔〕A．9B．12C．10D．89．橢圓內有一點P〔3，2〕過點P的弦恰好以P為中點，那么這弦所在直線的方程為〔〕 A． B． C． D．10．橢圓上的點到直線的最大距離是 〔〕A．3 B． C． D．填空題：〔本大題共4小題，每題4分，共16分，把答案填在題中橫線上．〕11．橢圓的離心率為，那么．12．設是橢圓上的一點，是橢圓的兩個焦點，那么的最大值為；最小值為．13．直線y=x－被橢圓x2+4y2=4截得的弦長為．14．圓為圓上一點，AQ的垂直平分線交CQ于M，那么點M的軌跡方程為．三、解答題：〔本大題共6小題，共74分，解容許寫出文字說明．證明過程或演算步驟．〕15．三角形的兩頂點為〔－2，0〕，〔2，0〕，它的周長為10，求頂點A軌跡方程16．橢圓的一個頂點為A〔2，0〕，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程．17．點P到定點F〔2，0〕的距離和它到定直線x=8的距離的比為1：2，求點P的軌跡方程，并指出軌跡是什么圖形．18．中心在原點，一焦點為F1〔0，5〕的橢圓被直線y=3x－2截得的弦的中點橫坐標是，求此橢圓的方程．19.橢圓的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求橢圓方程橢圓＞＞與直線交于、兩點，且，其中為坐標原點．〔1〕求的值；〔2〕假設橢圓的離心率滿足≤≤，求橢圓長軸的取值范圍．橢圓練習題參考答案題號12345678910答案ACDDACBBBD11、3或12、4，113、14、15、16、解：〔1〕當A(2,0)為長軸端點時，a=2,b=1，橢圓的標準方程為：；〔2〕當為短軸端點時，，，橢圓的標準方程為：；17．解：設P〔x，y〕，根據(jù)題意，|PF|=eq\r((x-2)2-y2),d=|x-8|,因為eq\f(|PF|,d)=eq\f(1,2),所以eq\f(\r((x-2)2-y2),|x-8|)=eq\f(1,2).化簡，得3x2+4y2=48,整理，得eq\f(x2,16)+\f(y2,12)=1,所以，點P的軌跡是橢圓。18.解：解法一：根據(jù)題意，設橢圓的方程為eq\f(y2,a2)+\f(x2,a2-50)=1,設交點坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2)將橢圓方程與直線y=3x-2聯(lián)立，消去y，得：eq\f((3x-2)2,a2)+\f(x2,a2-50)=1,化簡，整理，得：(10a2-450)x2+(600-12a2)x+(-a4+54a2-200)=0,所以，x1,x2為這個方程的兩根，因為相交線段中點橫坐標為eq\f(1,2),所以x1+x2=—eq\f(10a2-450,600-12a2)=-1,解得，a2=75.于是，因為c=5eq\r(2),所以，b2=25，所以橢圓的方程為eq\f(y2,75)+\f(x2,25)=1.解法二：設橢圓：〔a＞b＞0〕，那么a2-b2=50…①又設A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，弦AB中點〔x0，y0〕∵x0=，∴y0=－2=－由…②解①，②得：a2=75，b2=25，橢圓為：=119.解設橢圓方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由得(m+n)x2+2nx+n－1=0,Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－m