2023-2024學(xué)年安徽省六安市皖西當(dāng)代中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年安徽省六安市皖西當(dāng)代中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z與其共軛復(fù)數(shù)z?滿足z?2z?=1+3i，則zA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為(

)A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.73.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=6，c=3，cosA=23，則A.3 B.1 C.1或3 D.無解4.已知兩不同直線m，n與三不同平面α，β，γ，下列條件能推出α//β的是(

)A.α⊥γ且β⊥γ B.m?α，n?β，m//n

C.m⊥α

且m⊥β D.m?α，n?α，m//β，n//β5.若D為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，則CB=(

)A.2CD?CA B.2CA?CD6.已知向量a與b的夾角為120°，|a|=3，|a+bA.1 B.3 C.4 D.57.已知正四棱錐O?ABCD的體積為322，底面邊長為3，則以O(shè)為球心，OAA.6π B.26π 8.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bcosA+acosB=3,2acos2A+BA.C=π3

B.△ABC的外接圓半徑為23

C.△ABC的面積的最大值為9二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知一組樣本數(shù)據(jù)：4，4，5，7，7，7，8，9，9，10.關(guān)于這組樣本數(shù)據(jù)，結(jié)論正確的是(

)A.平均數(shù)為8 B.眾數(shù)為7 C.極差為6 D.中位數(shù)為810.湖光巖瑪珥湖，位于廣東省湛江市麻章區(qū)湖光鎮(zhèn)，是中國乃至世界最大的濕瑪珥湖，是中國瑪珥湖研究的始發(fā)點(diǎn)，也是世界瑪玶湖研究的關(guān)鍵點(diǎn).某小組計(jì)劃測(cè)量如圖所示的湖光巖瑪珥湖的東西方向的總湖長，即測(cè)量湖光巖瑪珥湖湖岸的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)P，Q之間的距離，現(xiàn)在湖光巖瑪珥湖的湖岸取另外兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)M，N，測(cè)得MN=3805米，∠PMQ=3π4，∠QMN=∠PNM=π12A.MQ=38010米 B.PM=3805米

C.PN=38011.已知圓錐SO(O是底面圓的圓心，S是圓錐的頂點(diǎn))的母線長為7，高為3.若P，Q為底面圓周上任意兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A.三角形SPQ面積的最大值為23

B.三棱錐O?SPQ體積的最大值233

C.四面體SOPQ外接球表面積的最小值為11π

D.直線三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.復(fù)數(shù)z=|1+313.若一組數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的方差為1，則數(shù)據(jù)2x1+4，2x14.如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn)O.若AB?AC=6AO?EC，則ABAC四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知a、b、c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a=(1,2)，b=(?2,3)，c=(?2,m)

(1)若a⊥(b+c)，求|c|；16.(本小題15分)

如圖，三棱柱ABC?A1B1C1的底面ABC是邊長為2的正三角形，側(cè)棱CC1⊥底面ABC，CC1=4，E為B1C117.(本小題15分)

某高校承辦了奧運(yùn)會(huì)的志愿者選拔面試工作，現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績并分成五組：第一組[45,55)，第二組[55,65)，第三組[65,75)，第四組[75,85)，第五組[85,95]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．

(1)求圖中a，b的值；

(2)估計(jì)這100名候選者面試成績的第80百分位數(shù)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(3)從成績?cè)诘谒?、五組的志愿者中，按比例分配的分層抽樣方法隨機(jī)抽取5人，再從這5人中選出兩人，求選出的兩人成績來自同一組的概率．18.(本小題17分)

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其面積為34(c2?a2?b2)．

(1)求角C；

(2)若19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD為菱形，PA=PB=2，AD=BD=PD=2．

(1)證明：平面PAB⊥平面ABCD；

(2)求二面角P?AD?B的余弦值．

答案解析1.B

【解析】解：設(shè)z=a+bi，(a,b∈R)，則z?=a?bi，

又因?yàn)閦?2z?=1+3i，即(a+bi)?2(a?bi)=1+3i，

即?a+3bi=1+3i，

可得a=?1，b=1，

可得z=?1+i，

所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．2.B

【解析】解：某群體中的成員只用現(xiàn)金支付，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付，不用現(xiàn)金支付，是互斥事件，

所以不用現(xiàn)金支付的概率為：1?0.45?0.15=0.4．

故選B．3.C

【解析】解：∵a=6，c=3，cosA=23，

由余弦定理得a2=b2+c2?2bccosA，

4.C

【解析】解：因?yàn)棣?，β垂直于同一個(gè)平面γ，故α，β

可能相交，可能平行，故A不正確；

α，β相交時(shí)，m，n都與交線平行，m/?/n，滿足條件，不能推出α/?/β，故B不正確；

利用垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，可知結(jié)論正確，故C正確；

α，β相交時(shí)，m，n都與交線平行，m/?/n，滿足條件，不能推出α/?/β，故D不正確，

故選：C．

α，β垂直于同一個(gè)平面γ，故α，β

可能相交，可能平行；

α，β相交時(shí)，m，n都與交線平行，m/?/n，滿足條件；

利用垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，可知結(jié)論正確；

α，β相交時(shí)，m，n都與交線平行，m/?/n，滿足條件．

5.A

【解析】解：∵D為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，

∴CD=12(CA+CB)6.C

【解析】解：根據(jù)條件，(a+b)2=a2+2a?b+b7.D

【解析】解：如圖，正四棱錐O?ABCD的體積V=13s?=13(3×3)×OH=322，

∴OH=38.D

【解析】解：由題意△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bcosA+acosB=3，

可得b?b2+c2?a22bc+a?a2+c2?b22ac=3，解得c=3，

2acos2A+B2?1=3csinA?1，可得cos(A+B)=3sinC?1，

∴sin(C+π6)=12，

又C∈(0,π)，

∴C=2π3，所以A不正確；2R=csinC=332=23，所以B不正確；

在△ABC中，∵c2=a2+9.BC

【解析】解：平均數(shù)為110(4+4+5+7+7+7+8+9+9+10)=7，眾數(shù)為7，極差為10?4=6，中位數(shù)為7．

故選：BC10.ABD

【解析】解：在△PMN中，∠PMN=3π4+π12=5π6，∠PNM=∠MPN=π12，

則PM=MN=3805米，B選項(xiàng)正確．

在△MNQ中，∠MNQ=2π3+π12=3π4，

又∠QMN=π12，則∠MQN=π6，

由正弦定理可得MQsin∠MNQ=MNsin∠MQN，即MQsin11.BD

【解析】解：對(duì)選項(xiàng)A，由母線長為7，高為3，

可得底面半徑為7?3=2，設(shè)BC是底面圓的一條直徑，

則cos∠BSC=(7)2+(7)2?422×7×7=?17<0，即∠BSC是鈍角，

又S△SPQ=12×SP×SQ×sin∠PSQ=12×7×7×sin∠PSQ=72sin∠PSQ，

則存在點(diǎn)P，Q，當(dāng)∠PSQ=90°時(shí)，

sin∠PSQ=1，三角形SPQ面積的最大值為72，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B，∵S△SOP=12×SO×OP=12×3×2=3，∴當(dāng)OQ⊥面SOP時(shí)，

(VO?SPQ)max=(VQ?SOP)max=13×S△SOP×OQ=13×3×2=233，故B正確；

選項(xiàng)C，設(shè)△OPQ的外接圓半徑為r12.?1

【解析】解：z=|1+3i|1+i=21+i=2(1?i)(1+i)(1?i)=1?i13.2

【解析】解：∵數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的方差為1，

∴數(shù)據(jù)2x1+4，2x2+4，?，2xn+4的方差為22×1=4，

∴數(shù)據(jù)214.3【解析】解：設(shè)AO=λAD=λ2(AB+AC)，

AO=AE+EO=AE+μEC=AE+μ(AC?AE)

=(1?μ)AE+μAC=1?μ3AB+μ15.解：(1)b+c=(?4,3+m)

∵a⊥(b+c)，∴a?(b+c)=?4+2(3+m)=0

∴m=?1，∴c=(?2?,??1)

∴|【解析】(1)根據(jù)向量的坐標(biāo)的運(yùn)算法則和向量垂直的條件，以及模的定義即可求出;

(2)根據(jù)向量共線的條件即可求出．

16.證明：(1)連接AB1交A1B于點(diǎn)O，連接OE，

由于ABC?A1B1C1為直棱柱，所以ABB1A1為矩形，

所以O(shè)為AB1的中點(diǎn)，

由于E為B1C1的中點(diǎn)，所以AC1//OE，

由于AC1伻面A1BE，OE?平面A1BE，所以AC1/?/平面A1BE．

解：(2)取A1B1中點(diǎn)G，連接C1G，

由于CC1⊥底面A1B1C1，所以BB1⊥底面A1B1C1，【解析】(1)直接利用線面平行的判定求出結(jié)果；

(2)利用錐體的體積公式求出結(jié)果．

17.解：(1)∵第三、四、五組的頻率之和為0.7，

∴(0.045+0.020+a)×10=0.7，解得a=0.005，

∴前兩組的頻率之和為1?0.7=0.3，即(a+b)×10=0.3，解得b=0.025．

(2)前三組頻率之和為0.75，∴第80百分位數(shù)位于[75,85)組內(nèi)，

且75+0.8?0.750.2×10=77.5，即估計(jì)第80百分位數(shù)為77.5；

估計(jì)平均數(shù)為50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5．

(3)成績?cè)诘谒?、五兩組志愿者分別有20人、5人，

按比例分層抽樣抽得第四組志愿者人數(shù)為4，分別設(shè)為A，B，C，D，

第五組志愿者人數(shù)為1，設(shè)為E，

這5人選出2人，所有情況有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(B,C)，

(B,D)，(B,E)，(C,D)，(C,E)，(D,E)，共10種，

其中選出的兩人來自同一組的有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(B,C)，(B,D)，(C,D)，共6種，

∴選出的兩人來自同一組的概率為【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的頻率的性質(zhì)即各組頻率為相應(yīng)矩形面積，列式計(jì)算，即可求得答案；

(2)根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可，由頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求解即可；

(3)確定兩組各抽取的人數(shù)，采用列舉法列出選出2人的所有可能情況，再列出這2人來自同一組的情況，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案．

18.解：(1)由于S△ABC=12absinC=34?(?2abcosC)=34(c2?a2?b2)，

所以tanC=?3，

由于C∈(0,π)，

所以C=2π3．

(2)由于∠ACD=∠BCD=π3,BD=3AD【解析】(1)直接利用余弦定理和三角形的面積公式求出C的值；

(2)利用分割法和余弦定理的應(yīng)用求出c的值．

19.(1)證明：取AB的中點(diǎn)E，連接PE，DE，則PE⊥AB，

由已知可得PE=1,DE=3，∴PE2+DE2=PD2，∴PE⊥DE，

∵AB?平面ABCD，DE?平面ABCD，AB?DE=E，

∴PE⊥平面ABCD，

∵PE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD；

(2)解：過點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為F，連接PF，

由(1)知PE⊥平面ABCD，

又AD?平面ABC