2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第七章-第二節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系-課時作業(yè)【含解析】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第七章-第二節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系-課時作業(yè)（原卷版）[A組基礎(chǔ)保分練]1.已知空間中不過同一點的三條直線a，b，l，則“a，b，l兩兩相交”是“a，b，l共面”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.下列敘述錯誤的是（）A.若P∈α∩β，且α∩β＝l，則P∈lB.若直線a∩b＝A，則直線a與b能確定一個平面C.三點A，B，C確定一個平面D.若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，則l?α3.（多選）如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四個點共面的圖形是（）4.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，異面直線A1D與D1C所成的角為（）A.π6B.C.π3D.5.（多選）下列說法正確的是（）A.兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)B.過空間中任意三點有且僅有一個平面C.若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行D.若直線l?平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l6.在底面半徑為1的圓柱OO1中，過旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB＝2，E是BC的中點，F(xiàn)是AB的中點，則（）A.AE＝CF，AC與EF是共面直線B.AE≠CF，AC與EF是共面直線C.AE＝CF，AC與EF是異面直線D.AE≠CF，AC與EF是異面直線7.（多選）設(shè)a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列結(jié)論不正確的是（）A.若a?α，b?β，則a與b是異面直線B.若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C.若a，b不同在平面α內(nèi)，則a與b異面D.若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b異面8.如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的有對.9.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O是底面ABCD的中心，過O點作一條直線l與A1D平行.設(shè)直線l與直線OC1的夾角為θ，則cosθ＝.10.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點，已知∠BAC＝π2，AB＝2，AC＝23，PA＝2.（1）三棱錐P－ABC的體積；（2）異面直線BC與AD所成角的余弦值.11.在四面體A－BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點.若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝1，求EF的長度.[B組能力提升練]12.（2024·山西太原）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，D是CC1的中點，則CA1與BD所成角的大小是（）A.π3B.C.π2D.13.（多選）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，N為底面ABCD的中心，P為線段A1D1上的動點（不包括兩個端點），M為線段AP的中點，則下列說法中正確的是（）A.CM與PN是異面直線B.CM＞PNC.PA與DC所成的角為90°D.過P，A，C三點的正方體的截面一定是等腰梯形14.（多選）正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，已知平面α⊥AC1，則關(guān)于α截此正方體所得截面的判斷正確的是（）A.截面形狀可能為正三角形B.截面形狀可能為正方形C.截面形狀可能為正六邊形D.截面面積最大值為3315.已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為.16.已知三棱錐PABC的四個頂點都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB＝23，AC＝2，BC＝4，則：（1）球O的表面積為；（2）若D是BC的中點，過點D作球O的截面，則截面面積的最小值是.17.在棱長為4的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為棱A1D1，CC1的中點，過P，Q，A作正方體的截面，則截面多邊形的周長是.18.如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點.（1）求四棱錐O－ABCD的體積；（2）求異面直線OC與MD所成角的正切值.2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第七章-第二節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系-課時作業(yè)（解析版）[A組基礎(chǔ)保分練]1.已知空間中不過同一點的三條直線a，b，l，則“a，b，l兩兩相交”是“a，b，l共面”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案：A解析：空間中不過同一點的三條直線a，b，l，若a，b，l在同一平面，則a，b，l兩兩相交或a，b，l中有兩條直線平行，另一直線與之相交，或三條直線兩兩平行，所以a，b，l在同一平面，則a，b，l兩兩相交不一定成立；而若a，b，l兩兩相交，則a，b，l在同一平面成立.故“a，b，l兩兩相交”是“a，b，l共面”的充分不必要條件.2.下列敘述錯誤的是（）A.若P∈α∩β，且α∩β＝l，則P∈lB.若直線a∩b＝A，則直線a與b能確定一個平面C.三點A，B，C確定一個平面D.若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，則l?α答案：C解析：選項A，點P是兩平面的公共點，當(dāng)然在交線上，故正確；選項B，由基本事實的推論可知，兩相交直線確定一個平面，故正確；選項C，只有不共線的三點才能確定一個平面，故錯誤；選項D，由基本事實2，直線上有兩點在一個平面內(nèi)，則這條直線在平面內(nèi).3.（多選）如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四個點共面的圖形是（）答案：ABC解析：在A中分別連接PS，QR（圖略），易證PS∥QR，所以P，Q，R，S四點共面；在B中過點P，Q，R，S可作一正六邊形，所以P，Q，R，S四點共面；在C中分別連接PQ，RS（圖略），易證PQ∥RS，所以P，Q，R，S共面；在D中PS與QR為異面直線，所以四點不共面.4.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，異面直線A1D與D1C所成的角為（）A.π6B.C.π3D.答案：C解析：在正方體中，A1B∥D1C，所以A1D與A1B所成的角即異面直線A1D與D1C所成的角.因為△A1BD為正三角形，所以A1D與A1B所成的角為π3，所以異面直線A1D與D1C所成的角為π5.（多選）下列說法正確的是（）A.兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)B.過空間中任意三點有且僅有一個平面C.若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行D.若直線l?平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l答案：AD解析：對于A，由題意設(shè)直線l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，則A，B，C三點不共線，所以此三點確定一個平面α，則A∈α，B∈α，C∈α，所以AB?α，BC?α，CA?α，即l1?α，l2?α，l3?α，所以A正確.對于B，當(dāng)A，B，C三點不共線時，過A，B，C三點有且僅有一個平面；當(dāng)A，B，C三點共線時，過A，B，C的平面有無數(shù)個，所以B錯誤.對于C，若空間兩條直線不相交，則這兩條直線可能平行，也可能異面，所以C錯誤.對于D，很顯然D正確.6.在底面半徑為1的圓柱OO1中，過旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB＝2，E是BC的中點，F(xiàn)是AB的中點，則（）A.AE＝CF，AC與EF是共面直線B.AE≠CF，AC與EF是共面直線C.AE＝CF，AC與EF是異面直線D.AE≠CF，AC與EF是異面直線答案：D解析：如圖，由題意知，圓柱的軸截面ABCD為邊長為2的正方形，E是BC的中點，F(xiàn)是AB的中點，AC?平面ABC，EF與平面ABC相交，且與AC無交點，所以AC與EF是異面直線，故A，B錯誤；又CF＝12＋22＝5，AE＝22＋（2）27.（多選）設(shè)a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列結(jié)論不正確的是（）A.若a?α，b?β，則a與b是異面直線B.若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C.若a，b不同在平面α內(nèi)，則a與b異面D.若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b異面答案：ABC8.如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的有對.答案：3解析：畫出該正方體的直觀圖如圖所示，易知異面直線有（AB，GH），（AB，CD），（GH，EF）.故共有3對.9.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O是底面ABCD的中心，過O點作一條直線l與A1D平行.設(shè)直線l與直線OC1的夾角為θ，則cosθ＝.答案：3解析：如圖所示，設(shè)正方體的表面ABB1A1的中心為P，容易證明OP∥A1D，所以直線l即為直線OP，角θ即∠POC1.設(shè)正方體的棱長為2，則OP＝12A1D＝2，OC1＝6，PC1＝6則cos∠POC1＝2+6－62×2×10.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點，已知∠BAC＝π2，AB＝2，AC＝23，PA＝2.（1）三棱錐P－ABC的體積；（2）異面直線BC與AD所成角的余弦值.解：（1）S△ABC＝12×2×23＝23，三棱錐P－ABC的體積為V＝13S△ABC·PA＝13×23×2（2）如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE（或其補角）是異面直線BC與AD所成的角.在△ADE中，DE＝2，AE＝2，AD＝2，則cos∠ADE＝22＋2故異面直線BC與AD所成角的余弦值為3411.在四面體A－BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點.若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝1，求EF的長度.解：如圖，取BC的中點O，連接OE，OF.因為OE∥AC，OF∥BD，所以O(shè)E與OF所成的角即為AC與BD所成的角，而AC，BD所成角為60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.當(dāng)∠EOF＝60°時，EF＝OE＝OF＝12.當(dāng)∠EOF＝120°時，取EF的中點M，則OM⊥EF，EF＝2EM＝2×34＝故EF的長度為12或3[B組能力提升練]12.（2024·山西太原）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，D是CC1的中點，則CA1與BD所成角的大小是（）A.π3B.C.π2D.答案：C解析：如圖，取A1C1的中點E，連接BE，DE，則DE∥A1C，所以∠BDE（或其補角）即為CA1與BD所成的角，設(shè)為θ.由幾何體ABC－A1B1C1是正三棱柱且AB＝BB1，可設(shè)其棱長為2.在△BDE中，BD＝5，BE＝7，DE＝2，由余弦定理可得cosθ＝BD2＋DE2－13.（多選）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，N為底面ABCD的中心，P為線段A1D1上的動點（不包括兩個端點），M為線段AP的中點，則下列說法中正確的是（）A.CM與PN是異面直線B.CM＞PNC.PA與DC所成的角為90°D.過P，A，C三點的正方體的截面一定是等腰梯形答案：BCD解析：由題知，點C，N，A共線，即CN，PM交于點A，∴A，N，C，P，M共面，因此CM，PN共面，故A錯誤；記∠PAC＝θ，則PN2＝AP2＋AN2－2AP·ANcosθ＝AP2＋14AC2－AP·ACcosθ，CM2＝AC2＋AM2－2AC·AMcosθ＝AC2＋14AP2－AP·ACcosθ，又AP＜CM2－PN2＝34（AC2－AP2）＞0∴CM2＞PN2，即CM＞PN，故B正確；∵DC⊥平面ADD1A1，∴DC⊥PA，C正確；過P，A，C三點的正方體的截面與C1D1相交于點Q，則AC∥PQ，且PQ＜AC，因此一定是等腰梯形，故D正確.14.（多選）正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，已知平面α⊥AC1，則關(guān)于α截此正方體所得截面的判斷正確的是（）A.截面形狀可能為正三角形B.截面形狀可能為正方形C.截面形狀可能為正六邊形D.截面面積最大值為33答案：ACD解析：易知A，C正確，B不正確，下面說明D正確，如圖，截面為正六邊形，當(dāng)六邊形的頂點均為棱的中點時，其面積最大，MN＝22，GH＝2，OE＝OO'2＋O'所以S＝2×12×（2＋22）×62＝3故D正確.15.已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為.答案：10解析：如圖所示，補成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，則所求角為∠BC1D或其補角.∵BC1＝2，BD＝22+1－2×2×1×cos60°＝3，易得C1D2＝BD2＋BC12，即BC1⊥因此cos∠BC1D＝BC1C1D16.已知三棱錐PABC的四個頂點都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB＝23，AC＝2，BC＝4，則：（1）球O的表面積為；（2）若D是BC的中點，過點D作球O的截面，則截面面積的最小值是.答案：（1）52π（2）4π解析：（1）由題意，根據(jù)勾股定理可得AC⊥AB，則可將三棱錐PABC放入以AP，AC，AB為長、寬、高的長方體中，則體對角線為外接球直徑，設(shè)外接球半徑為r，即2r＝22＋62＋（23）2＝213，則r＝13，所以球O的表面積為4π（2）由題意，得△ABC為直角三角形，所以D為底面ABC的外接圓圓心，當(dāng)DO⊥截面時，截面面積最小，即截面為平面ABC的外接圓，半徑為2，故截面面積的最小值為π×22＝4π.17.在棱長為4的正方體ABCD－A1B1C1D1中