高中數學-雙曲線的簡單幾何性質教學設計學情分析教材分析課后反思

《雙曲線的簡單幾何性質》教學設計

一、教材分析

1.教材中的地位及作用

本節(jié)課是學生在已掌握雙曲線的定義及標準方程之后，在此基礎上，反過來利用雙曲線

的標準方程研究其幾何性質。它是教學大綱要求學生必須掌握的內容，也是高考的一個考點,

是深入研究雙曲線，靈活運用雙曲線的定義、方程、性質解題的基礎，更能使學生理解、體

會解析幾何這門學科的研究方法，培養(yǎng)學生的解析幾何觀念，提高學生的數學素質。

2.教學目標的確定及依據

平面解析幾何研究的主要問題之一就是：通過方程，研究平面曲線的性質。教學參考書

中明確要求：學生要掌握圓錐曲線的性質，初步掌握根據曲線的方程，研究曲線的幾何性質

的方法和步驟。根據這些教學原則和要求，以及學生的學習現狀，我制定了本節(jié)課的教學目

標。

（1）知識目標：①使學生能運用雙曲線的標準方程討論雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離

心率、漸近線等幾何性質；

②掌握雙曲線標準方程中的幾何意義，理解雙曲線的漸近線的概念

及證明；

③能運用雙曲線的幾何性質解決雙曲線的一些基本問題。

（2）能力目標：①在與橢圓的性質的類比中獲得雙曲線的性質，培養(yǎng)學生的觀察能力，想

象能力，數形結合能力，分析、歸納能力和邏輯推理能力，以及類比的

學習方法；

②使學生進一步掌握利用方程研究曲線性質的基本方法，加深對直角坐標

系中曲線與方程的概念的理解。

（3）德育目標：培養(yǎng)學生對待知識的科學態(tài)度和探索精神，而且能夠運用運動的，變化的

觀點分析理解事物。

3.重點、難點的確定及依據

對圓錐曲線來說，漸近線是雙曲線特有的性質，而學生對漸近線的發(fā)現與證明方法接受、

理解和掌握有一定的困難。因此，在教學過程中我把漸近線的發(fā)現作為重點，充分暴露思維

過程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，通過誘導、分析，巧妙地應用極限思想導出了雙曲線的漸近

線方程。這樣處理將數學思想滲透于其中，學生也易接受。因此，我把漸近線的證明作為本

節(jié)課的難點，根據本節(jié)的教學內容和教學大綱以及高考的要求，結合學生現有的實際水平和

認知能力，我把漸近線和離心率這兩個性質作為本節(jié)課的重點。

4.教學方法

這節(jié)課內容是通過雙曲線方程推導、研究雙曲線的性質，本節(jié)內容類似于“橢圓的簡單

的幾何性質”，教學中可以與其類比講解，讓學生自己進行探究，得到類似的結論。在教學

中，學生自己能得到的結論應該讓學生自己得到，凡是難度不大，經過學習學生自己能解決

的問題，應該讓學生自己解決,這樣有利于調動學生學習的積極性，激發(fā)他們的學習積極性，

同時也有利于學習建立信心，使他們的主動性得到充分發(fā)揮，從中提高學生的思維能力和解

決問題的能力。

漸近線是雙曲線特有的性質，我們常利用它作出雙曲線的草圖，而學生對漸近線的發(fā)現

與證明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此，在教學過程中著重培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思

維，通過誘導、分析，從已有知識出發(fā)，層層設（釋）疑，激活已知，啟迪思維，調動學生

自身探索的內驅力，進一步清晰概念（或圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性.

例題的選備，可將此題作一題多變（變條件，變結論），訓練學生一題多解，開拓其解

題思路，使他們在做題中總結規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識的應用能力和發(fā)現問題、解決問題

能力。

二、教學程序

（一）.設計思路

（二）.教學流程

1.復習引入

我們已經學習過橢圓的標準方程和雙曲線的標準方程，以及橢圓的簡單的幾何性質，請

同學們來回顧這些知識點，對學習的舊知識加以復習鞏固，同時為新知識的學習做準備，利

用多媒體工具的先進性，結合圖像來演示。

2.觀察、類比

這節(jié)課內容是通過雙曲線方程推導、研究雙曲線的性質，本節(jié)內容類似于“橢圓的簡單

的幾何性質”，教學中可以與其類比講解，讓學生自己進行探究，首先觀察雙曲線的形狀,

試著按照橢圓的幾何性質，歸納總結出雙曲線的幾何性質。一般學生能用類似于推導橢圓的

幾何性質的方法得出雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率，對知識的理解不能浮于表面只

會看圖，也要會從方程的角度來解釋，抓住方程的本質。用多媒體演示，加強學生對雙曲線

的簡單幾何性質范圍、對稱性、頂點（實軸、虛軸）、離心率（不深入的講解）的鞏固。之

后，比較雙曲線的這四個性質和橢圓的性質有何聯系及區(qū)別，這樣可以加強新舊知識的聯系,

借助于類比方法，引起學生學習的興趣，激發(fā)求知欲。

3.雙曲線的漸近線的發(fā)現、證明

（1）發(fā)現

由橢圓的幾何性質，我們能較準確地畫出橢圓的圖形。那么，由雙曲線的幾何性質，能

否較準確地畫出雙曲線=i的圖形為引例，讓學生動筆實踐，通過列表描點，就能

把雙曲線的頂點及附近的點較準確地畫出來，但雙曲線向遠處如何伸展就不是很清楚。從而

說明想要準確的畫出雙曲線的圖形只有那四個性質是不行的。

從學生曾經學習過的反比例函數入手,而且可以比較精確的畫出反比例函數y=1的圖

X

像，它的圖像是雙曲線，當雙曲線伸向遠處時，它與x、y軸無限接近，此時x、y軸是>

X

的漸近線，為后面引出漸近線的概念埋下伏筆。從而讓學生猜想雙曲線--產=1有何特

征？有沒有漸近線？由于雙曲線的對稱性，我們只須研究它的圖形在第一象限的情況即可。

在研究雙曲線的范圍時，由雙曲線的標準方程=1,可解出y2=--i,

4=&一］,當X無限增大時，y也隨之增大，不容易發(fā)現它們之間的微妙關系。但是如

果將式子變形為上3,我們就會發(fā)現：當X無限增大，1逐漸減小、

XXX

無限接近于o,而上就逐漸增大、無限接近于1（）<i）；若將工變形為上二9,即說明此

xxxx-0

時雙曲線在第一象限，當x無限增大時，其上的點與坐標原點之間連線的斜率比1小，但與

斜率為1的直線無限接近，且此點永遠在直線y=x的下方。其它象限向遠處無限伸展的變

化趨勢就可以利用對稱性得到，從而可知雙曲線/一y2=1的圖形在遠處與直線y=±x無

限接近,此時我們就稱直線y=±x叫做雙曲線/->2=1的漸近線。這樣從己有知識出發(fā),

層層設（釋）疑，激活已知，啟迪思維，調動學生自身探索的內驅力，進一步清晰概念（或

圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性。

利用由特殊到一般的規(guī)律，就可以引導學生探尋雙曲線0—1'=l（a>0,b>0）的漸近

a'b~

線，讓學生同樣利用類比的方法，將其變形為與=「-1,y2=^（x2-a2）,由于雙

baa

曲線的對稱性,我們可以只研究第一象限向遠處的變化趨勢，繼續(xù)變形為y=-ylx2-a2,

a

上=21-1，可發(fā)現當X無限增大時，《逐漸減小、無限接近于o,2逐漸增大、無

xa\xxx

限接近于2,即說明對于雙曲線在第一象限遠處的點與坐標原點之間連線的斜率比2小，

aa

與斜率為一的直線無限接近，且此點永遠在直線y=±-x下方。其它象限向遠處無限伸展

aa

22

的變化趨勢可以利用對稱性得到，從而可知雙曲線二-2=l（a>0,b>0）的圖形在遠處與

a'h

直線y=±b2x無限接近，直線y=±b±x叫做雙曲線x"一vJ=l（a>0,b>0）的漸近線。我

aaab~

就是這樣將漸近線的發(fā)現作為重點，充分暴露思維過程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，通過誘導、

分析，巧妙地應用極限思想導出了雙曲線的漸近線方程。這樣處理將數學思想滲透于其中，

學生也易接受。

（2）證明

如何證明直線y=±是雙曲線二一二=1（a>0,b>0）的漸近線呢？

aa'b~

啟發(fā)思考①：首先，逐步接近，轉換成什么樣的數學語言？（Xf8,dfO）

啟發(fā)思考②：顯然有四處逐步接近，是否每一處都進行證明？

啟發(fā)思考③：鎖定第一象限后，具體地怎樣利用X表示d

(工具是什么：點到宜線的距離公式)

啟發(fā)思考④：讓學生設點，而d的表達式較復雜，能否將問題進行轉化?

b尤？2

分析：要證明直線y=±±x是雙曲線—1(a>0,b>0)的漸近線，即要證明隨著

aa

X的增大，直線和曲線越來越靠攏。也即要證曲線上的點到直線的距離

IMQ|越來越短，因此把問題轉化為計算門歸I。但因IMQ|不好直接求得，因此又可以把

問題轉化為求IMN|o

|MQ\<\MN\^-x--ylx2-a2

aa

=-(x-yjx2-a2)=-----：仍，

ax+>]x2-a2

啟發(fā)思考⑤：這樣證明后，還須交代什么？

(在其他象限，同理可證，或由對稱性可知有相似情況)

引導學生層層深入的進行探究，從而更深刻的理解雙曲線的漸近線的發(fā)現及證明過程。

(3)深化

再來研究實軸在y軸上的雙曲線3=l(a>0,b>0)的漸近線方程就會變得容易很

a~b~

多，此時可利用類比的方法或者利用對稱性得到焦點在y軸上的雙曲線的漸近線方程即為

y=+—x。

-h

這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠處趨向問題，從而可比較精確的畫出雙曲線。但

是如果仔細觀察漸近線實質就是雙曲線過實軸端點、虛軸端點，作平行與坐標軸的直線

x=±a,y=±b所成的矩形的兩條對角線，數形結合，來加強對雙曲線的漸近線的理解。

4.離心率的幾何意義

橢圓的離心率反映橢圓的扁平程度，雙曲線離心率有何幾何意義呢？不難得到:

-：e=-,c>a,:.e>l,這是剛剛學生在類比橢圓的幾何性質時就可以得到的簡單結論。

a

通過對離心率的研究，同樣也可以使學生進一步加深對漸近線的理解。

由等式。2—。2=82,可得：.=鼻_1=&2_],不難發(fā)現：e越小

aavci

（越接近于1）,2就越接近于o,雙曲線開口越小；e越大，2就越大，雙曲線開口越大。

aa

所以，雙曲線的離心率反映的是雙曲線的開口大小。通過對這些性質的探究，就可以更好的

理解雙曲線圖形與這些基本量之間的關系，更加準確的作出雙曲線的圖形。

5.例題分析

為突出本節(jié)內容，使學生盡快掌握剛才所學的知識。我選配了這樣的例題：

例1.求雙曲線9/-16y2=144的實半軸長和虛半軸長、頂點和焦點坐標、漸近線方程、

離心率。選題目的在于拿到一個雙曲線的方程之后若不是標準式，要先將所給的雙曲線方程

化為標準方程，后根據標準方程分別求出有關量。本題求漸近線的方程的方法：（1）直接

根據漸近線方程寫出；（2）利用雙曲線的圖形中的矩形框架的對角線得到。加強對于雙曲

線的漸近線的應用和理解。

變1：求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長和虛半軸長、頂點和焦點坐標、漸近線方程、

離心率。選題目的：和上題相同先將所給的雙曲線方程化為標準方程，后根據標準方程分別

求出有關量；但求漸近線時可直接求出，也可以利用對稱性來求解。

關鍵在于對比：雙曲線的形狀不變，但在坐標系中的位置改變，它的那些性質改變，

那些性質不變？試歸納雙曲線的幾何性質。（小結列表）

415

變2：已知雙曲線的漸近線方程是y=±-x,且經過點I1,3）,求雙曲線的標準方程。

選題目的：在已知雙曲線的漸近線的前提下，如何利用已知信息求解雙曲線的方程。方法1：

分焦點在x軸，焦點在y軸分別求解；方法2：確定點所在的區(qū)域，定方程的形式，然后求

a、bo深化知識，加強應用，使知識系統(tǒng)化。

例題的選備，可將此題作一題多變（變條件，變結論），訓練學生一題多解，開拓其解

題思路，使他們在做題中總結規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識的應用能力和發(fā)現問題、解決問題

能力。

6.課堂練習

課本P113練習1.2,讓學生自己練習，熟悉并運用雙曲線的幾何性質解題，加強應用

性。

7.課堂小結

(1)通過本節(jié)學習，要求學生熟悉并掌握雙曲線的幾何性質，尤其是雙曲線的漸近線

方程及其“漸近”性質的證明，并能簡單應用雙曲線的幾何性質；

(2)雙曲線的幾何性質總結(學生填表歸納)。

8.課后作業(yè)

課本P113習題1.2.3,鞏固并掌握課上所學的知識。

思考：雙曲線與其漸近線的方程之間有何內在的變化規(guī)律？

《雙曲線的簡單幾何性質》學情分析

知識結構：

雙曲線是圓墜曲線中第二學習的曲線，再此之前學生已經學習了橢圓曲線，

對學習曲線方程已經有了一定基礎和方法，運用類比的學習方法得到雙曲線的簡

單幾何性質并不困難，但在求方程的過程中還有許多需要注意的地方，這又提升

了學生分析問題的能力及嚴密認真的態(tài)度。

心理特征：

高二學生思維活躍，具備了一定的類比轉化及分析問題的能力，在心里上也

具備了承受和辨證地接受別人的意見和建議，但對于復雜問題的處理還不夠靈活,

因此在課堂上要注意發(fā)揮學生的主體作用，體現教師的點撥引領效果。

效果分析

一、教學目標具體、可測、針對性強，達成度高，不同層次的學生均有收獲。

二、師生互動、生生互動，師生交流對話充分，教學相長，形成民主和諧、相互尊重、合作

探究的教學氛圍，學生能主動參與研究過程。

三、教學過程中關注了每個學生的個性發(fā)展，尊重了每個學生發(fā)展的特殊需要，使學生思維

開放。

四、在教學過程中，學生的認識和體驗不斷加深，創(chuàng)造性的火花不斷進發(fā)，學生的思維資源

被開發(fā)出來，得到充分利用。

五、注重了學生學習方式的轉變。既注重了研究性學習，又注重了接受性學習，教師不把結

論告訴學生，而是學生自己在教師指導下自主地發(fā)現問題、探究問題獲得結論，從而解

決問題。

《雙曲線的簡單幾何性質》教材分析

1.教材中的地位及作用

本節(jié)課是學生在已掌握雙曲線的定義及標準方程之后，在此基礎上，反過來利用雙曲線的標

準方程研究其幾何性質。它是教學大綱要求學生必須掌握的內容，也是高考的一個考點，是

深入研究雙曲線，靈活運用雙曲線的定義、方程、性質解題的基礎，更能使學生理解、體會

解析幾何這門學科的研究方法，培養(yǎng)學生的解析幾何觀念，提高學生的數學素質。

2.教學目標的確定及依據

平面解析幾何研究的主要問題之一就是：通過方程，研究平面曲線的性質。教學參考書中明

確要求：學生要掌握圓錐曲線的性質，初步掌握根據曲線的方程，研究曲線的幾何性質的方

法和步驟。根據這些教學原則和要求，以及學生的學習現狀，我制定了本節(jié)課的教學目標。

（1）知識目標：①使學生能運用雙曲線的標準方程討論雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離

心率、漸近線等幾何性質；②掌握雙曲線標準方程中的幾何意義，理解雙曲線的漸近線的概

念及證明；

③能運用雙曲線的幾何性質解決雙曲線的一些基本問題.

（2）能力目標：①在與橢圓的性質的類比中獲得雙曲線的性質，培養(yǎng)學生的觀察能力，想

象能力，數形結合能力，分析、歸納能力和邏輯推理能力，以及類比的學習方法；②使學生

進一步掌握利用方程研究曲線性質的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的概念的理

解。

（3）德育目標：培養(yǎng)學生對待知識的科學態(tài)度和探索精神，而且能夠運用運動的，變化的

觀點分析理解事物。

3.重點、難點的確定及依據

對圓錐曲線來說，漸近線是雙曲線特有的性質，而學生對漸近線的發(fā)現與證明方法接受、理

解和掌握有一定的困難。因此，在教學過程中我把漸近線的發(fā)現作為重點，充分暴露思維過

程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，通過誘導、分析，巧妙地應用極限思想導出了雙曲線的漸近線

方程。這樣處理將數學思想滲透于其中，學生也易接受。因此，我把漸近線的證明作為本節(jié)

課的難點，根據本節(jié)的教學內容和教學大綱以及高考的要求，結合學生現有的實際水平和認

知能力，我把漸近線和離心率這兩個性質作為本節(jié)課的重點。

4.教學方法

這節(jié)課內容是通過雙曲線方程推導、研究雙曲線的性質，本節(jié)內容類似于''橢圓的簡單的幾

何性質”，教學中可以與其類比講解，讓學生自己進行探究，得到類似的結論。在教學中，

學生自己能得到的結論應該讓學生自己得到，凡是難度不大，經過學習學生自己能解決的問

題，應該讓學生自己解決，這樣有利于調動學生學習的積極性，激發(fā)他們的學習積極性，同

時也有利于學習建立信心，使他們的主動性得到充分發(fā)揮，從中提高學生的思維能力和解決

問題的能力。

漸近線是雙曲線特有的性質，我們常利用它作出雙曲線的草圖，而學生對漸近線的發(fā)現與證

明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此，在教學過程中著重培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維,

通過誘導、分析，從己有知識出發(fā)，層層設（釋）疑，激活已知，啟迪思維，調動學生自身

探索的內驅力，進一步清晰概念（或圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性。

例題的選備，可將此題作一題多變（變條件，變結論），訓練學生一題多解，開拓其解題思

路，使他們在做題中總結規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識的應用能力和發(fā)現問題、解決問題能力。

《雙曲線簡單幾何性質》評測練習

|基礎達標。30分鐘50分|

一、選擇題（每小題3分，共18分）

1.雙曲線方程為x2-2y2=l,則它的右焦點坐標為（）

A俘0）B停0）C.停,0）D.(V3,0)

【解析】選C.因為雙曲線方程為x-2y2=1,

所以a=1,b=—,

7

得c-Va2+b212+(9)

所以它的右焦點坐標為

2.雙曲線的兩焦點坐標是F,（3,0）,F2（-3,0）,2b=4,則雙曲線的

標準方程是

A.直-匕=1B.上立1

5454

C.t—UlD.--^-1

32916

【解析】選A.因為c=3,b=2,所以a?=5.

且焦點在x軸上，故所求方程為土-亡;1.

54

3.(2014四平高二檢測)雙曲線X?-y2=l右支上一點P(a,b)到直線/：

y=x的距離d=&，則a+b=()

A.-B.--C/或4D.2或-2

7777

【解析】選A.因為點P在直線/:y=x的下方，所以b<a,所以d二里，

V2

得a-b=2.

又因為a2-b2=1,所以a+b二，所以選A.

7

4.(2014?萍鄉(xiāng)高二檢測)已知雙曲線方程為1-1=1,點A,B在雙曲

線右支上，線段AB經過雙曲線的右焦點Fz,|AB|=m,迪為另一個焦

點，則AABFi的周長為

()

A.2a+2mB.4a+2m

C.a+mD.2a+4m

【解析】選B.設AABB的周長為C,則C=|AFj+|BFj+|AB|

=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+|AF2|+|BF2|+|AB|

=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+2|AB|

=2a+2a+2m=4a+2m.

22

5.(2013?唐山高二檢測)雙曲線二-二=1的一個焦點是(0,2),則實

m3m

數m的值是

A.1B.-l

C.--D.—

ss

【解析】選B.由于雙曲線焦點在y軸，

所以a2二-3m,b2=-m,

因為c=2,所以-m+(-3m)=4,即m=-1.

22

【變式訓練】(2013?唐山高二檢測)雙曲線一"-J=l的焦距是

m2+124-m2

()

A.4B.272

C.8D.與m有關

【解析】選C.因為m2+12>0,所以雙曲線焦點在x軸上，且4-m2>0,

所以c2=m2+12+(4-m2)=16,

所以2c=8,即雙曲線的焦距為8.

22

6.雙曲線2-0=1上的點P到點(5,0)的距離為8.5,則點P到點(-5,

169

0)的距離為()

A.16.5或0.5B.16.5

C.0.5D.5

【解析】選B.由題意知雙曲線的兩個焦點分別為日(-5,0),F2(5,

0),由雙曲線定義知||PFj-|PF2||二8,

所以|PF/=16.5或|PF/=0.5.

當|PFj=0.5時，P點在左支上，在△PFR中，又因為|PFz|=8.5,

|FF2|=10,則三邊組不成三角形，不合題意，所以|PF」=16.5.

【誤區(qū)警示】解此類問題時，應靈活運用雙曲線定義，分析P的位置,

否則易出錯.

二、填空題（每小題4分，共12分）

22

7.若雙曲線三-U1過點（-3式,2）,則該雙曲線的焦距為.

a24.

【解析】點（-3魚，2）在雙曲線1-右二1上，

a24

代入解得a?=9,

所以半焦距C=V9T4=V13,

從而焦距為2VT3.

答案：2回

22

8.在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線Ui上一點M的橫坐標

4.17

是3,則點M到此雙曲線的右焦點的距離為.

22

【解析】因為士-U1,

4.12

所以當x=3時，y=±V15.

又因為F2（4,0）,

所以IAF2R,|MA|=V15,

所以|MF2|=、1+15=4.

答案：4

22

9.若方程:-蕓=1表示雙曲線，則k的取值范圍是.

【解析】方程表示雙曲線需滿足(5-k)(k+2)>0,解得-2<k<5,即k的

取值范圍是(-2,5).

答案:(-2,5)

三、解答題(每小題10分，共20分)

10.設雙曲線與橢圓直+亡=1有共同的焦點，且與橢圓相交，在第一象

7736

限的交點A的縱坐標為4,求此雙曲線的方程.

【解題指南】橢圓蘭+匕=1,故有焦點F(0,-3),F2(0,3),由此設

2736

出雙曲線的方程，再由雙曲線與橢圓的一個交點的縱坐標為4,求出

此點的橫坐標，將此點的坐標代入方程，求出參數即得雙曲線方程.

【解析】設雙曲線方程為e-二=1(a>0,b>0),

a2b2

由已知橢圓的兩個焦點Fi(0,-3),F2(0,3),

又雙曲線與橢圓交點A的縱坐標為4,所以A(J正，4),

42(VH)21

-----------=1a2=4,

a2b2

2

a2+b2=9,b=5,

故雙曲線方程為《-￡=1.

45

11.如圖所示，在AABC中，已知|AB|=4或，且三內角A,B,C滿足

2sinA+sinC=2sinB,建立適當的坐標系，求頂點C的軌跡方程.

C

AB

【解析】如圖所示,

以AB邊所在的直線為x軸，

AB的垂直平分線為v軸，

建立直角坐標系,則A(-2位,0),B(2V2,0).

因為2sinA+sinC=2sinB,

所以2|CB|+|AB|=2|CA|,

從而有|CA1|CB|3|AB|

=2V2<|AB|.

由雙曲線的定義知，點C的軌跡為雙曲線的右支(除去和x軸的交點).

JLa=V2,c=2或，所以b?=c2_a2=6.

22

所以頂點C的軌跡方程為上-匕=1(x>&).

26

I能力提升。30分鐘50分I

一、選擇題(每小題4分，共16分)

2

1.已知F”Fz是雙曲線匚y2=l的左、右焦點，P,Q為右支上的兩點，

直線PQ過Fz且傾斜角為a,則|PFJ+|QFIHPQ|的值為()

A.8B.272

C.4或D.隨a的大小而變化

【解析】選C.由雙曲線定義知：

|PF1|+|QF1|-|PQ|=|PF1|+|QF1|-(|PF2|+|QF2|)=(|PF1|-|PF2|)+(|QF1|

-|QF2|)=4a=4x<2.

2.“k>9”是”方程表示雙曲線”的（）

9-kk-4

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

【解析】選B.當k>9時，9-k<0,k-4>0,方程表示雙曲線.當k<4時，

9-k>0,k-4<0,方程也表示雙曲線.所以“k>9”是“方程±+爐=1

9-kk-4

表示雙曲線”的充分不必要條件.

3.（2013?亳州高二檢測）在平面直角坐標系xOy中，已知4ABC的頂

點A（-6,0）和C（6,0）,頂點B在雙曲線￡-金1的左支上，則MB

2511sinA—sinC

等于（）

A..-5?B.-6C?.1—1nD.—11

65256

【解題指南】根據正弦定理先將三角函數的比轉化為長度比，再利用

雙曲線的定義求解.

【解析】選B.根據正弦定理可知，

sinB_|AC|

sinA-sinCIBC|-|ABr

2?2

因為點B在雙曲線v匚的左支上，

2511

所以|BC|-|AB|>0,

所以|BC卜|AB|=2a=10,

因為|AC|=2c=12,

所以sinB一|AC|一二一士

sinA-sinC|BC|-|AB|105*

22

4.雙曲線上-工=1的左焦點為F”點P在雙曲線右支上.如果線段PF.

174

的中點M在y軸上，那么點P的縱坐標是（）

A.士2B.土立C.土匹D.±-

2774.

【解析】選A.易得0M（0為坐標原點）為三角形PFFZ（F2為右焦點）的

中位線，故點P的橫坐標為4,代入得P的縱坐標為土

二、填空題（每小題5分，共10分）

5.E,F2是雙曲線￡-e=1的兩個焦點，P在雙曲線上且滿足

916

iPFj-|PF2|=32,則△FFF2的面積為.

【解題指南】先由余弦定理和雙曲線定義確定NFFF2的大小，然后利

用三角形面積公式求解.

222

[解析】設NFFFz二a,在△FFF2中，由余弦定理得（2C）=|PF1|+|PF2|

-21PF,||PF2|?cosa.

所以cosa二（|PF，HPF爐+2嗎|PF-36+64T00—0.

aiPFJIPF,164

所以a=90°,所以SAFPFmPE||PF2|=16.

ar1rr27

答案：16

6.一動圓M過定點A（-4,0）,且與定圓B：（x-4￥+y2=16相切，則動

圓圓心的軌跡方程為.

【解析】設動圓M的半徑為r,依題意有|MA|二r.因為動圓與定圓相

切，所以|MB|二r±4,即|MB卜|MA|二±4,從而動圓圓心M到兩定點A,

B的距離之差的絕對值等于常數，又4<|AB],因此動點M的軌跡為雙

2

曲線，且c=4,2a=4,所以a=2,a2=4,b2=c2-a2=12,故軌跡方程是士

4.

--1.

12

」V2V2

答案：--^1

412

三、解答題（每小題12分，共24分）

7.求中心在原點，對稱軸為坐標軸，且滿足下列條件的雙曲線方程：

(1)經過兩點(2々，3),(-7,-672).

⑵雙曲線過點(3,972),離心率e=旦.

a

【解題指南】(1)由于不清楚雙曲線的焦點在哪條坐標軸上，可設其

22

方程為七一七1(mn>0),然后把點的坐標分別代入該方程形成方程組,

mn

最后解方程組即可.

⑵分別設出焦點在x軸，y軸上的雙曲線的方程，然后根據其過點

(3,972),離心率e=匚包，且有c2=a?+b2,列方程組，求解即可.

a2

22

【解析】(1)設雙曲線方程為--^-=1(mn>0),

mn

則jS72解得m=25,n=75,

\mn

所以該雙曲線的方程為寸-e=1.

2575

22

⑵若雙曲線焦點在X軸上，設其方程為3-9二1,

a2b2

0=色

a39

則(2_絲=i

a2b2'

vc2=a24-b2,

解得b?=-161(舍去)，

22

若雙曲線焦點在y軸上，設其方程為

fc_vTo

a-3，

則〈募_2=1

a2b2'

<c2=a24-b2,

解得a?=81,b2=9,

所以雙曲線的方程為亡-鼠1,

819

故雙曲線的方程為e一左1.

819

22

8.設命題p：方程」J+二=l表示的曲線是雙曲線；命題q：3xGR,

1—2mm+4

3x2+2mx+m+6<0.若命題p/\q為假命題，pVq為真命題，求實數m的

取值范圍.

【解題指南】先求出命題p與命題q為真命題時m的取值范圍，再根

據p,q的真假確定最終結果.

【解析】對于命題P,因為方程上■+上二1表示的曲線是雙曲線，所

1—2mm+4

以(1-2m)(m+4)<0,解得m<-4或m>-,則命題p：m<-4或m>-.

對于命題q,因為mxGR,3x2+2mx+(m+6)<0,即不等式

3x2+2mx+(m+6)〈。在實數集R上有解，

所以△=(2m)-4X3X(m+6)>0,

解得m<-3或m>6.

則命題q：m<-3或m>6.

因為命題p/\q為假命題，pVq為真命題，所以命題p與命題q有且

只有一個為真命題.

若命題p為真命題且命題q為假命題，

即［m<-4或m>?得々mW6；

、-3<m<6,

若命題p為假命題且命題q為真命題，

1

—4WmM

即2得-4Wm〈-3.

m<—3或m>6,

綜上，實數m的取值范圍為［-4,-3)uQ,6.

《雙曲線的簡單幾何性質》教學反思

我的課題是《雙曲線的簡單幾何性質》，上課的對象是高二年級理科班的學生。

本節(jié)課我按時完成了規(guī)定的教學內容，完成了教學任務，達到了預期的教學效果。上完這節(jié)

課后我認真地進行了反思，具體內容如下：

一、教學過程回顧

1、導入新課：以橢圓的的幾何性質的復習導入，雙曲線的的幾何性質的內容，由兩名

學生分別發(fā)言給出的。預熱用待定系數法求“雙曲線”標準方程。然后在老師引導下，總結

出待定系數法求方程的一般步