人教版八年級上第十四章 一次函數(shù) 導學案集

14.1.1變量

一、教學目標

1.認識變量、常量.

2.學會用含一個變量的代數(shù)式表示另一個變量.

二、重點難點

重點

1?認識變量、常量.2.用式子表示變量間關系.

教學難點

用含有一個變量的式子表示另一個變量.

三、合作探究

I,提出問題，創(chuàng)設情境

情景問題：一輛汽車以60千米/小時的速度勻速行駛，行駛里程為s千米.?行駛時間

為t小時.

四、精講精練

1,每張電影票售價為10元，如果早場售出票150張，日場售出205張，晚場售出

310張.三場電影的票房收入各多少元.設一場電影售票x張，票房收入y元.?怎樣用含x

的式子表示y?

2.在一根彈簧的下端懸掛重物，改變并記錄重物的質量，觀察并記錄彈簧長度的變化,

探索它們的變化規(guī)律.如果彈簧原長10cm?，?每1kg?重物使彈簧伸長0.5cm,怎樣用含有

重物質量m的式子表示受力后的彈簧長度？

結論：

1.早場電影票房收入：150X10=1500(元)

日場電影票房收入：205X10=2050(元)

晚場電影票房收入：310X10=3100(元)

關系式：y=10x

2.掛1kg重物時彈簧長度：1X0.5+10=10.5(cm)

掛2kg重物時彈簧長度：2X0.5+10=11(cm)

掛3kg重物時彈簧長度：3X0.5+10=11.5(cm)

關系式：L=0.5m+10

精練：

1.購買一些鉛筆，單價0.2元/支，總價y元隨鉛筆支數(shù)x變化，?指出其中的常量

與變量，并寫出關系式.

2.一個三角形的底邊長5cm,高h可以任意伸縮.寫出面積S隨h?變化關系式，并指

出其中常量與變量.

五、課堂小結

本節(jié)課從現(xiàn)實問題出發(fā)，找出了尋求事物變化中變量之間變化規(guī)律的一般方法步驟.它

對以后學習函數(shù)及建立函數(shù)關系式有很重要意義.

1,確定事物變化中的變量與常量.

2.嘗試運算尋求變量間存在的規(guī)律.

3.利用學過的有關知識公式確定關系區(qū).

六.作業(yè)

課后思考題、練習題.

VI.瓶子或罐頭盒等物體常如下圖那樣堆放.試確定瓶子總數(shù)y與層數(shù)x之間的關系式.

過程：要求變量間關系式，需首先知道兩個變量間存在的規(guī)律是什么.不妨嘗試堆放,

找出規(guī)律，再尋求確定關系式的辦法.

結論：從題意可知：

堆放1層，總數(shù)y=l

堆放2層，總數(shù)y=l+2

堆放3層，總數(shù)y=l+2+3

堆放x層，總數(shù)y=l+2+3+…x即y=5%(x+l)

14.1.2函數(shù)

一、教學目標

1.經(jīng)過回顧思考認識變量中

的自變量與函數(shù).

2.進一步理解掌握確定函數(shù)

關系式.

3.會確定自變量取值范圍.

二、重點難點

重點：1?進一步掌握確定函數(shù)關系的方法.2.確定自變量的取值范圍.

難點：認識函數(shù)、領會函數(shù)的意義.

三、合作探究

I,提出問題，創(chuàng)設情境

我們來回顧一下上節(jié)課所研究的每個問題中是否各有兩個變量？同一問題中的變量之

間有什么聯(lián)系？也就是說當其中一個變量確定一個值時，另一個變量是否隨之確定一個值

呢？

由以上回顧我們可以歸納這樣的結論：

上面每個問題中的兩個變量互相聯(lián)系，當其中一個變量取定一個值時，另一個變量隨之

就有唯一確定的值與它對應.

其實，在一些用圖或表格表達的問題中，也能看到兩個變量間的關系.我們來看下面兩

個問題，通過觀察、思考、討論后回答：

(1)下圖是體檢時的心電圖.其中橫坐標x表示時間，縱坐標y表示心臟部位的生物

電流，它們是兩個變量.在心電圖中，對于x的每個確定的值，y都有唯一確定的對應值嗎？

(2)在下面的我國人口數(shù)統(tǒng)計表中，年份與人口數(shù)可以記作兩個變量x與y,對于表中每

個確定的年份(X),都對應著個確定的人口數(shù)(y)嗎？年份人口數(shù)/億

當x=a時，y=b,那么b叫做當自變量的值為a時的

198410.34

函數(shù)值.

198911.06

據(jù)此我們可以認為：上節(jié)情景問題中時間t是自變量，

199411.76

里程S是t的函數(shù),t=l時的函數(shù)值s=60,t=2時的函數(shù)值

199912.52

s=120,t=2.5時的函數(shù)值s=150,…，同樣地，在以上心

電圖問題中，時間x是自變量，心臟電流y是x的函數(shù)；人口數(shù)統(tǒng)計表中，年份x是自變

量，人口數(shù)y是x的函數(shù).當x=1999時，函數(shù)值y=12.52億.

四、精講精練

例、一輛汽車油箱現(xiàn)有汽油50L,如果不再加油，那么油箱中的油量y(L)隨行駛里

程x(km)的增加而減少，平均耗油量為0.IL/km.

1.寫出表示y與x的函數(shù)關系式.

2.指出自變量x的取值范圍.

3.汽車行駛200km時，油桶中還有多少汽油？

練習

下列問題中哪些量是自變量？哪些量是自變量的函數(shù)？試寫出用自變量表示函數(shù)的式

子.

1.改變正方形的邊長x,正方形的面積S隨之改變.

2.秀水村的耕地面積是10情，這個村人均占有耕地面積y隨這個村人數(shù)n的變化而

變化.

五、課堂小結

本節(jié)課我們通過回顧思考、觀察討論，認識了自變量、函數(shù)及函數(shù)值的概念，并通過兩

個活動加深了對函數(shù)意義的理解，學會了確立函數(shù)關系式、自變量取值范圍的方法，會求函

數(shù)值，提高了用函數(shù)解決實際問題的能力.

六、作業(yè).P99練習

練習

下列問題中哪些量是自變量？哪些量是自變量的函銃？試寫出用自交費氐示函較

的式子.

(1)改變正方形的邊長人正方形的面包S隨之改變.

(2)秀水村的耕地面枳是10*m：.這個甘人均占有耕地而枳5■隨這個村人散”的

變化而變化.

14.1.3函數(shù)圖象

一、教學目標

1.學會用列表、描點、連線畫函數(shù)圖象.

2.學會觀察、分析函數(shù)圖象信息.

3.體會數(shù)形結合思想，并利用它解決問題，提高解決問題能力.

二、重點難點

重點：1.函數(shù)圖象的畫法.2.觀察分析圖象信息.

難點：分析概括圖象中的信息.

三、合作探究

I,提出問題，創(chuàng)設情境

我們在前面學習了函數(shù)意義，并掌握了函數(shù)關系式的確立.但有些函數(shù)問題很難用函數(shù)

關系式表示出來，然而可以通過圖來直觀反映.例如用心電圖表示心臟生物電流與時間的關

系.

即使對于能列式表示的函數(shù)關系，如果也能畫圖表示則會使函數(shù)關系更清晰.

我們這節(jié)課就來解決如何畫函數(shù)圖象的問題及解讀函數(shù)圖象信息.

II.導入新課

我們先來看這樣一個問題：

正方形的邊長x與面積S的函數(shù)關系是什么？其中自變量x的取值范圍是什么？計算并

填寫下表：——--------------------------------------------

x0.511.522.533.5

_S_________________________________________________

一般地，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標,

那么坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象(graph).上圖中的曲線即為

函數(shù)S=x?(x>0)的圖象.

函數(shù)圖象可以數(shù)形結合地研究函數(shù)，給我們帶來便利.

［活動一］

活動內(nèi)容設計：

下圖是自動測溫儀記錄的圖象，它反映了北京的春季某天氣溫T如何隨時間t的變化

而變化.你從圖象中得到了哪些信息？

教師活動:

引導學生從兩個變量的對應關系上認識函數(shù)，體會函數(shù)意義；可以指導學生找出一天內(nèi)

最高、最低氣溫及時間；在某些時間段的變化趨勢；認識圖象的直觀性及優(yōu)缺點；總結變化

規(guī)律…….

活動結論：

1.一天中每時刻t都有唯一的氣溫T與之對應.可以認為，氣溫T是時間t的函數(shù).

2.這天中凌晨4時氣溫最低為14時氣溫最高為8℃.

3.從0時至4時氣溫呈下降狀態(tài)，即溫度隨時間的增加而下降.從4時至14時氣溫

呈上升狀態(tài)，從14時至24時氣溫又呈下降狀態(tài).

4.我們可以從圖象中直觀看出一天中氣溫變化情況及任一時刻的氣溫大約是多少.

5.如果長期觀察這樣的氣溫圖象，我們就能得到更多信息，掌握更多氣溫變化規(guī)律.

［活動二］

下圖反映的過程是小明從家去菜地澆水，又去玉米地鋤草，然后回家.其中x表示時

間，y表示小明離他家的距離.

根據(jù)圖象回答下列問題：

1.菜地離小明家多遠？小明走到菜地用了多少時間？

2.小明給菜地澆水用了多少時間？

3.菜地離玉米地多遠？小明從菜地到玉米地用了多少時間？

4.小明給玉米地鋤草用了多長時間？

5.玉米地離小明家多遠？小明從玉米地走回

家平均速度是多少？

活動結論：

1.由縱坐標看出，菜地離小明家1.1千米;

由橫坐標看出，小明走到菜地用了15分鐘.

2.由平行線段的橫坐標可看出，小明給菜地

澆水用了10分鐘.

3.由縱坐標看出，菜地離玉米地0.9千米.由橫坐標看出，小明從菜地到玉米地用

了12分鐘.

4.由平行線段的橫坐標可看出，小明給玉米地鋤草用了18分鐘.

5.由縱坐標看出，玉米地離小明家2千米.由橫坐標看出，小明從玉米地走回家用

了25分鐘.所以平均速度為：2+25=0.08（千米/分鐘）.

四、精講精練

例1、：在下列式子中，對于X的每個確定的值，y有唯一的對應值，即y是X的函數(shù).請畫

出這些函數(shù)的圖象.

6

1.y=x+0.52.y=—(x>0)

X

解：1.y=x+O.5

從上式可看出，x取任意實數(shù)式子都有意義，所以x的取值范圍是全體實數(shù).

從x的取值范圍中選取一些數(shù)值，算出y的對應值.列表如下：

X.??-3-2-10123???

y.??-2.5-1.5-0.50.51.52.53.5???

根據(jù)表中數(shù)值描點(x,y),并用光滑曲線連結這些點.

從函數(shù)圖象可以看出，直線從左向右上升，即當x由小變大時，y=x+O.5隨之增大.

6

2.y=-(x>0)

x

自變量的取值為x>0的實數(shù)，即正實數(shù).

按條件選取自變量值，并計算y值列表:

X???0.511.522.533.54???

y???126432.421.71.5???

據(jù)表中數(shù)值描點(x,

9隨之減小.

從函數(shù)圖象可以看出,

x

由以上例題可以知道：描點法畫函數(shù)圖象的一般步驟是

第一步：列表.在自變量取值范圍內(nèi)選定一些值.通過函數(shù)關系式求出對應函數(shù)值列成

表格.

第二步：描點.在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應函數(shù)值為縱坐標，描出

表中對應各點.

第三步：連線.按照坐標由小到大的順序把所有點用平滑曲線連結起來.

練習

(1)下圖是一種古代計時器?“漏壺”的示意圖，在壺內(nèi)盛一定量的水，水從壺下

的小孔漏出，壺壁內(nèi)畫出刻度.人們根據(jù)壺中水面的位置計

算時間.用X表示時間，y表示壺底到水面的高度.下面的

哪個圖象適合表示y與x的函數(shù)關系？

(2)a是自變量x取值范圍內(nèi)的任意一個值，過點(a,

0)畫y軸的平行線，與圖中曲線相交.下列哪個圖

中的曲線表示y是x的函數(shù)？為什么？

五、課堂小結

本節(jié)通過兩個活動，學會了分析圖象信息，解答有關問題.通過例題學會了用描點法畫

出函數(shù)圖象，這樣我們又一次利用了數(shù)形結合的思想.

六、作業(yè)P104練習2、3

2.下圖是北京與上海在桑一天的三0隨時間變化的陽掣.

(1)這一天內(nèi).上海與Jt京何時溫

度相同？

(2)這一天內(nèi).上海也哪般時同比

北京逑度高？在哪段時同比北W.

京溫度低？y/A

工畫出自的8?象.|

(2)從圖配中曳底，§x＜0時,v____..-J-\-

一，I2M)?I/M

隨才的增大而增大.還是了植”

的增大而或?。慨斏希?時呢？＜第2版)

14.1.4函數(shù)的表示方法

一、教學目標

1.總結函數(shù)三種表示方法.

2.了解三種表示方法的優(yōu)缺點.

3.會根據(jù)具體情況選擇適當方法.

4.利用數(shù)形結合思想，據(jù)具體情況選用適當方法解決問題的能力.

二、重點難點：

重點：

1,認清函數(shù)的不同表示方法，知道各自優(yōu)缺點.

2.能按具體情況選用適當方法.

難點

函數(shù)表示方法的應用.

三、合作探究

I.提出問題，創(chuàng)設情境

我們在上節(jié)課里已經(jīng)看到或親自動手用列表格.寫式子和畫圖象的方法表示了一些函

數(shù).這三種表示函數(shù)的方法分別稱為列表法、解析式法和圖象法.

那么，請同學們思考一下，從前面的例子看，你認為三種表示函數(shù)的方法各有什么優(yōu)缺

點？在遇到具體問題時，該如何選擇適當?shù)谋硎痉椒兀?/p>

這就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容.

表示方法全面性準確性直觀性形象性

列表法XVVX

解析式法VVXX

圖象法XXVV

從所填表中可清楚看到三種表示方法各有優(yōu)缺點.在遇到實際問題時，就要根據(jù)具體情

況、具體要求選擇適當?shù)谋硎痉椒ǎ袝r為了全面地認識問題，需要幾種方法同時使用.

四、精講精練

例：一水庫的水位在最近5小時內(nèi)持續(xù)上漲，下表記錄了這5小時的水位高度.

t/時012345???

y/米1010.0510.1010.1510.2010.25???

1.由記錄表推出這5小時中水位高度y（米）隨時間t（時）變化的函數(shù)解析式，并

畫出函數(shù)圖象.

2.據(jù)估計這種上漲的情況還會持續(xù)2小時，預測再過2小時水位高度將達到多少米？

解:1.由表中觀察到開始水位高10米，以后每隔1小時，水位升高0.05米，這

樣的規(guī)律可以表示為：y=0.05t+10(0WtW7)

這個函數(shù)的圖象如下圖所示：

2.再過2小時的水位高度，就是t=5+2=7時，y=0.05t+10的函數(shù)值，從解析式容易

算出：y=0.05X7+10=10.35

從函數(shù)圖象也能得出這個值數(shù).

2小時后，預計水位高10.35米.

就上面的例子中提幾個問題大家思考:

1.函數(shù)自變量t的取值范圍：0WtW7是如

何確定的？

2.2小時后的水位高是通過解析式求出的

呢，還是從函數(shù)圖象估算出的好？

3.函數(shù)的三種表示方法之間是否可以轉化？

1.從題目中可以看出水庫水位在5小時內(nèi)持續(xù)上漲情況，且估計這種上漲情況還會

持續(xù)2小時，所以自變量t的取值范圍取0WtW7,超出了這個范圍，情況將難以預計.

2.2小時后水位高通過解析式求準確，通過圖象估算直接、方便.就這個題目來說,

2小時后水位高本身就是一種估算，但為了準確而言，我認為還是通過解析式求出較好.

3.從這個例子可以看出函數(shù)的三種不同表示法可以轉化，因為題目中只給出了列表法,

而我們通過分析求出解析式并畫出了圖象，所以我認為可以相互轉化.

練習：

1.用列表法與解析式法表示n邊形的內(nèi)角和m是邊數(shù)n的函數(shù).

2.用解析式與圖象法表示等邊三角形周長L是邊長a的函數(shù).

3、甲車速度為20米/秒，乙車速度為25米/秒.現(xiàn)甲車在乙車前面500米，設x

秒后兩車之間的距離為y米.求y隨x(OWxWlOO)變化的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖象.

五、課堂小結

通過本節(jié)課學習，我們認識了函數(shù)的三種不同的表示方法，并歸納總結出三種表示方法

的優(yōu)缺點，學會根據(jù)實際情況和具體要求選擇適當?shù)谋硎痉椒▉斫鉀Q相關問題，進一步知道

了函數(shù)三種不同表示方法之間可以轉化，為下面學習數(shù)形結合的函數(shù)

做好了準備.

六.作業(yè)P1088、9、10

S.某種活胡健蓄的月利率是,存入100元本金，求本息和(本金與利息的和)

丫兀處所存月數(shù)十變化的話數(shù)解析式.并計算存期為I個月時的本息和.

,正方形邊長為3,若邊長增加.，則面枳增加.V.求,丫隨，變化的函數(shù)解析式,指出

自變鼠、函數(shù).并以表格形式衣術節(jié)了等f2.3.I時，的值，

I0.甲車速網(wǎng)為20米秒.乙年速度為25米秒,現(xiàn)甲軍在乙午前面500米.位j?秒

行兩車之間的橐離力F米.求￥隨」《0GFOO)變化的函數(shù)解析式，井酶出

函數(shù)法I里.

14.2.2一次函數(shù)(1)

一、學習目標：

1,掌握一次函數(shù)解析式的特點及意義.

2.理解一次函數(shù)與正比例函數(shù)的關系.

3.會畫一次函數(shù)的圖象

二、重點難點

學習重點：理解和掌握一次函數(shù)解析式特點.

學習難點：一次函數(shù)與正比例函數(shù)關系的正確理解.

三、合作探究(同學交流，教師引導)

1.寫出下列問題的解析式

(1)某登山隊大本營所在地的氣溫為15℃,海拔每升高1km氣溫下降6℃.登山隊員由大

本營向上登高xkm時，他們所處位置的氣溫是y°C.

(2)有人發(fā)現(xiàn)，在20?25℃時蟋蟀每分鐘鳴叫次數(shù)C與溫度t(°C)有關，即C的值約是

t的7倍與35的差.

(3)一種計算成年人標準體重G(kg)的方法是：以厘米為單位量出身高值h減常數(shù)105,

所得差是G的值.

(4)某城市的市內(nèi)電話的月收費額y(元)包括：月租費22元，撥打電話x分的計時費(按

0.1分收取).

(5)把一個長10cm,寬5cm的矩形的長減少xcm,寬不變，矩形面積y(cm2)隨x的值而

變化.

上面這些函數(shù)的形式都是自變量x的k(常數(shù))倍與一個常數(shù)的和.如果我們用b來表示

這個常數(shù)的話.這些函數(shù)形式就可以寫成：y=kx+b(kWO)

精講精練：

一次函數(shù)的概念

1、一般地，形如y=kx+b(k、b是常數(shù)，kWO)的函數(shù)，叫做一次函數(shù).當b=0時，y=kx+b

即丫=1?.所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).

1.對一次函數(shù)概念內(nèi)涵和外延的把握：

⑴自變量系數(shù)(常數(shù))kWO；

⑵自變量x的次數(shù)為1；

2.一次函數(shù)與正比例函數(shù)的辨證關系可以用下圖來表示：

例1、：下列函數(shù)關系式中，哪些是一次函數(shù)，哪些又是正比例函數(shù)？

(1)y=-x-48(2)、=5廠+6

y--

(3)%(4)y=-8x

例2.若函數(shù)y=(m-l)x+m是關于x的一次函數(shù),試求m的值.

分析：一次函數(shù)的條件：

(1)、自變量次數(shù)為1;(2)、自變量系數(shù)kW0

精練

1、下列說法不正確的是()

(A)一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)(B)不是一次函數(shù)就一定不是正比例函數(shù)

(C)正比例函數(shù)是特定的一次函數(shù)(D)不是正比例函數(shù)就不是一次函數(shù)

2、已知函數(shù)y=(2-m)x+2m-3.求當m為何值時，

(1)此函數(shù)為正比例函數(shù)？

(2)此函數(shù)為一次函數(shù)？

3、一個小球由靜止開始在一個斜坡向下滾動，其速度每秒增加2米。(1)求小球速度v隨

時間t變化的函數(shù)關系式，它是一次函數(shù)嗎？(2)求第2.5秒時小球的速度？

4.汽車油箱中原有油50L,如果行駛中每小時用油5L,求油箱中油量y(L)隨行駛時間x

(小時)變化的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍。y是x的一次函數(shù)嗎？

五、課堂小結：一次函數(shù)解析式的特點，與正比例函數(shù)的關系。

六、作業(yè)

1、梯形的上底長x,下底長15,高8；

(1)寫出梯形的面積y與上底x的關系式，是一次函數(shù)嗎？

(2)當x每增加1時，y是如何變化的？

(3)當x=0時，y等于多少？此時y的意義是什么？

2.若函數(shù)y=mx-(4m-4)的圖象過原點，則m=,此時函數(shù)是函數(shù).若函數(shù)

y=mx-(4m-4)的圖象經(jīng)過(1,3)點，則m=,此時函數(shù)是______函數(shù).

14.2.2一次函數(shù)(2)

一、學習目標：1.知道一次函數(shù)圖象的特點。

2.知道一次函數(shù)與正比例函數(shù)圖象之間的關系.

3.會熟練地畫一次函數(shù)的圖象.

二、重點難點

學習重點：一次函數(shù)圖象的特點及畫法.

學習難點：k、b的值與圖象的位置關系。

三、合作交流

1.觀察上一節(jié)學案中函數(shù)y=2x+3與y=—2x+3的圖象，猜測一次函數(shù)y=kx+b(kWO)的圖

象是什么形狀？

小結：①一次函數(shù)y=kx+b(kWO)的圖象是一條□通常也稱為直線y=kx+b(b

#0),特別地，正比例函數(shù)y=kx(kWO)的圖象是經(jīng)過的一條直線.

②一個點可以確定一條直線。因此今后再畫一次函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象時，只需要

取一個點即可。(取哪兩個點呢？)

2.比較函數(shù)式y(tǒng)=2x+3與y=-2x+3及圖象的特點:

函數(shù)式k值圖象從左到右的趨勢增減性

y=2x+3

y=-2x+3

小結：一次函數(shù)尸履+6有下列性質：

⑴當A>0時，y隨x的增大而,這時函數(shù)的圖象從左到右；

(2)當A<0時，y隨x的增大而,這時函數(shù)的圖象從左到右.

四、精講精練

例.觀察比較課本y=-6x與y=-6x+5的圖象，找出它們的相同點和不同點，完成115頁思

考。

小結：直線y=kx+b可以看作由直線y=kx平移個單位而得到，當b>0時，向

平移，當b<0時，向平移。即k值相同時，直線一定平行。

練習

1、在不同坐標系中作出下列函數(shù)的圖象：

(1)y=3x+2(2)y=-3x+2(3)y=3x-2(4)y=-3x-2

歸納：一次函數(shù)中“與6的正、負與它的圖象經(jīng)過的象限歸納列表為(理解掌握):

2、⑴將直線尸3x向下平移2個單位，得到直線；

(2)將直線y=-x-5向上平移5個單位，得到直線；

(3)將直線y=-2x+3向下平移5個單位，得到直線.

3.函數(shù)y="x-4的圖象平行于直線尸-2x,求函數(shù)的表達式.

4.一次函數(shù)y=Ax+6的圖象與y軸交于點(0,-2),且與直線y=3x-g平行，求它的函數(shù)

表達式.

5.已知一次函數(shù)y=(2療1)X+R+5,當勿是什么數(shù)時，函數(shù)值y隨x的增大而減小？

五、課堂小結：

1、一次函數(shù)圖象的特點及畫法.2、k、b的值與圖象的位置關系。

六、作業(yè)：

1.已知一次函數(shù)y=(1-24了+獷1,若函數(shù)y隨x的增大而減小，并且函數(shù)的圖象經(jīng)過二、

三、四象限，求心的取值范圍.

2.說出直線y=3x+2與y=gx+2；y=5xT與y=5x-4的相同之處.

3、在直線y=-3x+2上有兩點A(xl,yl)和(x2,y2)，若xl<x2,則yly2.

14.2.2一次函數(shù)（3）

一、學習目標：

1.了解兩個條件確定一個一次函數(shù)；一個條件確定一個正比例函數(shù).

2.能由兩個條件求出一次函數(shù)的表達式，一個條件求出正比例函數(shù)的表達式.

3能根據(jù)函數(shù)的圖象確定一次函數(shù)的表達式，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合能力.

二、重點難點

學習重點：能根據(jù)兩個條件確定一個一次函數(shù)。

學習難點：從各種問題情境中尋找條件，確定一次函數(shù)的表達式。

三、合作探究

一次函數(shù)關系式/=履+6（右砥），如果知道了孑與6的值，函數(shù)解析式就確定了，那

么有怎樣的條件才能求出4和6呢？

1.已知一個一次函數(shù)當自變量x=-2時，函數(shù)值尸T,當x=3時，y=-3.能否寫

出這個一次函數(shù)的解析式呢？

根據(jù)一次函數(shù)的定義，可以設這個一次函數(shù)為:y=Ax+灰20）,問題就歸結為如何求出

k與6的值.

由已知條件x=-2時，y=T,得-\—~2k-Yb.

由已知條件x=3時，y=~3,得-3=34+6.

兩個條件都要滿足，即解關于x的二元一次方程組

2若一次函數(shù)y=〃x-（療2）過點（0,3）,求力的值.

分析考慮到直線y=〃x-（獷2）過點（0,3）,說明點（0,3）在直線上，這里雖然已知條件中沒有

直接給出x和y的對應值，但由于圖象上每一點的坐標（工力代表了函數(shù)的一對對應值，它

的橫坐標x表示自變量的某一個值，縱坐標y表示與它對應的函數(shù)值.所以此題轉化為已知

矛=0時，y=3,求勿.即求關于〃的一元一次方程.

這種先設待求函數(shù)關系式（其中含有未知的常數(shù)系數(shù)），再根據(jù)條件列出方程或方程組,

求出未知系數(shù)，從而得到所求結果的方法，叫做待定系數(shù)法

四、精講精練

例1、已知一次函數(shù)尸"x+6的圖象經(jīng)過點（T,1）和點（1,-5）,求當x=5時，函數(shù)

y的值.

例2.雖然題意并沒有要求寫出函數(shù)的關系式，但因為要求x=5時，函數(shù)y的值，仍

需從求函數(shù)解析式著手.

練習:

1、某物體沿一個斜坡下滑，它的速度■（米/秒）與其下滑時間大（秒）的關系如圖所示.

（1）寫出〃與《之間的關系式;

（2）下滑3秒時物體的速度是多少？

分析：要求「與t之間的關系式，首先應觀察圖

象，確定它是正比例函數(shù)的圖象，還是一次函數(shù)的圖

象，然后設函數(shù)解析式，再把已知的坐標代入解析式

求出待定系數(shù)即可.

2.已知彈簧的長度y（厘米）在一定的限度內(nèi)是所掛

物質量x（千克）的一次函數(shù).現(xiàn)已測得不掛重物時

彈簧的長度是6厘米，掛4千克質量的重物時，彈簧的長度是7.2厘米，求這個一次函數(shù)的

關系式.

五、小結：1、了解兩個條件確定一個一次函數(shù)；一個條件確定一個正比例函數(shù).

2.能由兩個條件求出一次函數(shù)的表達式，一個條件求出正比例函數(shù)的表達式

六、作業(yè)：P1207

7,已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（4?9）和點（6,3），求這個函數(shù)的解析式.

14.2.2(4)一次函數(shù)的應用

一、學習目標：1.熟練地作出一次函數(shù)的圖象,會求一

v

次函數(shù)與坐標軸的交點坐標；2|

2.會作出實際問題中的一次函數(shù)的圖象.1

二、重點難點-4-3-2-10-1234^

-1■

學習重點：學會識圖，利用一次函數(shù)知識解決相關實際G

-2

問題J(0,-3)

學習難點：利用一次函數(shù)知識解決相關實際問題一不

三、合作探究

1.求直線尸-2x-3與x軸和y軸的交點，并畫出這條直線.

解：因為x軸上點的坐標是0,y軸上點的坐標是0,所以當y=0時，x=,點

A就是直線與x軸的交點；當x=0時，y=_，點B就是直線與y軸的交點.

過點和所作的直線就是直線尸-2k3.(自己畫圖)

線段0A=線段0B=,AAOB的面積為：

四、精講精練

3

例1、求函數(shù)y=3與x軸、y軸的交點坐標，并求這條直線與兩坐標軸圍成的三角形

的面積.

例2、今年入夏以來，我市用水量大增.自來水公司為了鼓勵市民節(jié)約用水，采取分段收費

標準，若某戶居民每月應交水費y(元)是用水量x(噸)的函數(shù)，當0WxW5時，尸0.72x,

當x>5時，y=0.9矛-0.9.

(1)畫出函數(shù)的圖象；

(2)觀察圖象，利用函數(shù)解析式，回答自來水公司采取的收費標準.

練習：

(1)一箱汽油可供摩托車行駛多少千米？

(2)摩托車每行駛100千米消耗多少升汽油？

(3)油箱中的剩余油量小于1升時，摩托車將自動報警。行駛多少千米后，摩托車將自動

報警

五、小結：學會識圖，利用一次函數(shù)知識解決相關實際問題、利用一次函數(shù)知識解決相關實

際問題

六、作業(yè)：pl208、9

札一個函數(shù)的圖象拈”及京點的仃線,井（1這條仃紋過第四象眼及點（2.一初》5

點（d.R）.求這個函數(shù)的解析式.

"點P（廣，y｝住第一象限.11rr-8,點八的坐標為（6,，”.設的血

積為S.

（1）用含丁的解析式我示S，寫出』的取值翹圍，畫出函數(shù).S的圖象.

（2）當點P的橫唱標為5IM.△（）PA的曲枳為多少？

（S）.（）PA的面枳能火1-21嗎？為〃么？

14.3.1一次函數(shù)與一元一次方程

-、教學目標

1,用函數(shù)觀點認識一元一次方程.

2.用函數(shù)的方法求解一元一次方程.

3.加深理解數(shù)形結合思想.

二、重點難點

教學重點

1.函數(shù)觀點認識一元一次方程.

2.應用函數(shù)求解一元一次方程.

教學難點

用函數(shù)觀點認識一元一次方程.

三、合作探究

I.提出問題，創(chuàng)設情境

我們來看下面兩個問題：

1.解方程2x+20=0

2.當自變量x為何值時，函數(shù)y=2x+20的值為0?

這兩個問題之間有什么聯(lián)系嗎？

我們這節(jié)課就來研究這個問題，并學習利用這種關系解決相關問題的方法.

II.導入新課

我們首先來思考上面提出的兩個問題.在問題1中，解方程2x+20=0,得x=T0.解

決問題2就是要考慮當函數(shù)y=2x+20的值為0時，所對

應的自變量x為何值.這可以通過解方程2x+20=0,得/y=2x+20

出x=T0.因此這兩個問題實際上是一個問題./

/20

從函數(shù)圖象上看，直線y=2x+20與x軸交點的坐標/

(T0,0),這也說明函數(shù)y=2x+20值為0對應的自變/

量x為-10,即方程2x+20=0的解是x=-10.________/

[活動—]口礦~Ox

活動內(nèi)容設計：/

由上面兩個問題的關系，大家來討論思考，歸納概括出解一元一次方程與求自變量x

為何值時，一次函數(shù)y=kx+b的值為0有什么關系？

教師活動：

引導學生從特殊事例中尋求一般規(guī)律.進而總結出一次函數(shù)與一元一次方程的內(nèi)在聯(lián)

系，從思想上真正理解函數(shù)與方程的關系.

學生活動：

在教師引導下，通過自主合作，分析思考，找出這兩個具體問題中的一般規(guī)律，從而經(jīng)

過討論，歸納概括出較完整的關系，還要從思想上正確理解函數(shù)與方程關系的目的.

活動過程與結論：

規(guī)律：

任何一個一元一次方程都可轉化為：kx+b=O（k、b為常數(shù)，kWO）的形式.

而一次函數(shù)解析式形式正是y=kx+b（k、b為常數(shù)，kWO）.當函數(shù)值為0時，即kx+b=O

就與一元一次方程完全相同.

結論：

由于任何一元一次方程都可轉化為kx+b=O（k、b為常數(shù)，kWO）的形式.所以解一元

一次方程可以轉化為：當一次函數(shù)值為。時，求相應的自變量的值.

從圖象上看，這相當于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點的橫坐標值.

四、精講精練

精講

例：一個物體現(xiàn)在的速度是5m/s,其速度每秒增加2m/s,再過幾秒它的速度為17m/s?

解：方法一：設再過x秒物體速度為17m/s.由題意可知：2x+5=17

解之得：x=6.

方法二：速度y（m/s）是時間x（s）的函數(shù)，關系式為：y=2x+5.

當函數(shù)值為17時，對應的自變量x值可通過解方程2x+5=17得到x=6.

方法三：由2x+5=17可變形得到：2x-12=0.

從圖象上看，直線y=2x-12與x軸的交點為（6,0）.得x=6.

總結：這個題我們通過三種方法，從方程、函數(shù)解

析式及圖象三個不同方面進行解答.它是數(shù)與形的完美

結合，結果是相同的，這就是特途同歸.

［活動二］

活動內(nèi)容設計：

利用圖象求方程6x-3=x+2的解.

活動設計意圖：

通過這一活動讓學生進一步熟悉用函數(shù)觀點認識

一元一次方程的問題，進而加深對數(shù)形結合思想的認識與理解.

教師活動：

引導學生通過解決問題掌握方法，提高認識，從思想上真正理解數(shù)形結合的重要性.

學生活動：

在教師引導下用不同的思維方法來解決這一問題，從思想上理清數(shù)與形的有機結合.

活動過程與結論：

y

方法一：

我們首先將方程6x-3=x+2整理變形為5x-5=0.

然后畫出函數(shù)y=5x-5的圖象，看直線y=5x-5與x軸

的交點在哪兒，坐標是什么，由交點橫坐標即可知方程的

解.

由圖可知直線y=5x-5與x軸交點為（1,0）,故

可得x=l.

方法二：

我們可以把方程6x-3=x+2看作函數(shù)y=6x-3與

y=x+2在何時兩函數(shù)值相等，即可從兩個函數(shù)圖象上

看出，直線y=6x-3與y=x+2的交點，交點的橫坐標

即是方程的解.

由圖象可以看出直線y=6x-3與y=x+2交于點（1,

3）,所以x=l.

練習

1.2x-3=x-2.2.x+3=2x+l.

解1.把2x-3=x-2整理變形為x-l=0.從函數(shù)

y=x-l的圖象與x軸交點坐標上即可看出方程的解.

由圖象上可以看出直線y=x-l與x軸交點為（1,

0）.

2.我們可以把x+3=2x+l看作函數(shù)y=x+3與

y=2x+l在自變量x取何值時函數(shù)值相等，反映在圖象

上即直線y=x+3與y=2x+l的交點橫坐標.由下圖可知

交點為（2,5）.

x=2.

五、課堂小結：一次函數(shù)與一元一次方程之間的聯(lián)系

六、作業(yè)：P1292

利用函數(shù)圖象解出工?并隹算除檢?

14.3.2一次函數(shù)與一元一次不等式

一、教學目標

1,認識一元一次不等式與一次函數(shù)問題的轉化關系.

2.學會用圖象法求解不等式.

3.進一步理解數(shù)形結合思想.

二、重點難點

教學重點

1.理解一元一次不等式與一次函數(shù)的轉化關系及本質聯(lián)系.

2.掌握用圖象求解不等式的方法.

教學難點y|

圖象法求解不等式中自變量取值范圍的確定./

三、合作探究/=2x-4

I,提出問題，創(chuàng)設情境才%―我

我們來看下面兩個問題有什么關系？y

1.解不等式5x+6>3x+10.A

2.當自變量x為何值時函數(shù)y=2x-4的值大于0?

在問題1中，不等式5x+6>3x+10可以轉化為2x-4〉0,解這個不等式得x>2.

解問題2就是要解不等式2x-4>0,得出x>2時函數(shù)y=2x-4的值大于0.因此這兩個問

題實際上是同一個問題.

那么，是不是所有的一元一次不等式都可轉化為一次函數(shù)的相關問題呢？它在函數(shù)圖象

上的表現(xiàn)是什么？如何通過函數(shù)圖象來求解一元一次不等式？

以上這些問題，我們本節(jié)將要學到.

II.導入新課

［師］我們先觀察函數(shù)y=2x-4的圖象.可以看出：當x>2時，

直線y=2x-4上的點全在x軸上方，即這時y=2x-4>0./

由此可知，通過函數(shù)圖象也可求得不等式的解為x〉2.1/

由上面兩個問題的關系，我們能得到“解不等式ax+b>0”與-64

（方法1）

“求自變量X在什么范圍內(nèi)，一次函數(shù)丫=2乂+5的值大于0”之間

的關系，實質上是同一個問題.

由于任何一元一次不等式都可以轉化的ax+b〉0或ax+b<0（a、b為常數(shù)，aWO）的形式,

所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數(shù)值大于（或小于）0時，求自變量相應的取

值范圍.

四、精講精練

例：用畫函數(shù)圖象的方法解不等式5x+4〈2x+10.

方法一：原不等式可以化為3x-6<0,畫出直線y=3x-6

的圖象，可以看出，當x<2時這條直線上的點在x軸的下

方.即這時y=3x-6〈0,所以不等式的解集為x<2.

方法二：將原不等式的兩邊分別看作兩個一次函數(shù)，畫出直線y=5x+4與直線y=2x+10

可以看出，它們交點的橫坐標為2.當x〉2時，對于同一個x,直線y=5x+4上的點在直線

y=2x+10上的相應點的下方，這時5x+4〈2x+10,所以不等式的解集為：x<2.

以上兩種方法其實都是把解不等式轉化為比較直線上點的位置的高低.

從上面兩種解法可以看出，雖然像上面那樣用一次函數(shù)圖象來解不等式未必簡單，但是從

函數(shù)角度看問題，能發(fā)現(xiàn)一次函數(shù).一元一次不等式之間的聯(lián)系，能直觀地看出怎樣用圖形

來表示不等式的解.這種函數(shù)觀點認識問題的方法，對于繼續(xù)學習數(shù)學很重要.

鞏固練習

1.當自變量x的取值滿足什么條件時，函數(shù)y=3x+8的值滿足下列條件？

①y=-7.②y<2.

2.利用圖象解出X：

6x-4<3x+2.

五、課堂小結：認識一元一次不等式與一次函數(shù)問題的轉化關系.學會用圖象法求解不等

式.進一步理解數(shù)形結合思想

六、作業(yè)：pl262pl294

2.利用函數(shù)圖象彈出

(1)5x-】=2Lr+5;(2)6_r—4V3才+2.

，利用函數(shù)圖象解不等式:

(1)5x—l>2x+5；(2)J—

14.3.3一次函數(shù)與二元一次方程(組)

一、教學目標

1.學會利用函數(shù)圖象解二元一次方程組.

2.通過學習了解變量問題利用函數(shù)方法的優(yōu)越性

3.經(jīng)歷觀察、思考等數(shù)學活動，發(fā)展合情推理能力，能有條理地、清晰地闡述觀點.

二、重點難點

教學重點

1.歸納圖象法解二元一次方程組的具體方法.

2.靈活運用函數(shù)知識解決實際問題.

教學難點

靈活運用函數(shù)知識解決相關實際問題.

三、合作探究

提出問題，創(chuàng)設情境

我們知道，方程3x+5y=8可以轉化為y=-gx+=,并且直線y=-gx+g上每個點的坐標

(x,y)都是方程3x+5y=8的解.

由于任何一個二元一次方程都可以轉化為y=kx+b的形式.所以每個二元一次方程都對

應一個一次函數(shù)，也就是對應一條直線.

3x+5y=8

那么解二元一次方程組

2x-y=l

38

可否看作求兩個一次函數(shù)y=-=x+g與y=2x-l圖象的交點坐標呢？如果可以，我們是

否可以用畫圖象的方法來解二元一次方程組呢？

四、精講精練

例、一家電信公司給顧客提供兩種上網(wǎng)收費方式：方式A以每分鐘0.1元的價格按上

網(wǎng)時間計費；方式B除收月基費20元外再以每分鐘0.05元的價格按上網(wǎng)時間計算.如何

選擇收費方式能使上網(wǎng)者更合算？

教師活動：

引導學生從實際問題中抽象出具體的數(shù)學問題，并應用所學方法求解.

學生活動：

在教師引導下建立兩種計費方式的函數(shù)模型，然后比較求解.

活動過程及結論：

過程一：

設上網(wǎng)時間為x分鐘，若按方式A收費，y=0.lx元；若按B方式收費，y=0.05x+20

元.

在同一直角坐標系中分別畫出這兩個函數(shù)圖象.

解方程組:

<^5r>'=0.05x+20

y=0.1尤，x=400,

y=0.05%+20.y=40.

400x

所以兩圖象交于點（400,40）,從圖象上可以看出：

當0〈x<400時，0.lx<0.05x+20,

當x=400時，0.lx=0.05x+20,

當x>400時，0.lx>0.05x+20.

因此，當一個月內(nèi)上網(wǎng)時間少于400分鐘時，選擇方式A省錢；當上網(wǎng)時間等于400

分鐘時，選擇方式A、B沒有區(qū)別；當上網(wǎng)時間多于400分鐘時，選擇方式B省錢.

方法二：科