高中數(shù)學(xué)選修第一冊：第2課時 直線與橢圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用

第2課時直線與橢圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一直線與橢圓的位置關(guān)系

1.直線y=x+l與橢圓］W=1的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切

C.相離D.無法判斷

2.（2020江西南昌二中高二上第一次月考）直線y=kx-k+l與橢圓g+==l的位置關(guān)

94

系為（）

A.相交B.相切

C.相離D.不確定

22

3.若直線y=kx+2與橢圓尹?1有且只有一個交點,則斜率k的值是（）

人點B.-^C.±^D.±^

3333

4.已知直線y=kx+l和橢圓x2+2y2=l有公共點，則k的取值范圍是（）

我

V2-B-<一

A.k<2V2-2

2

或<k

V2-k>V2-DV2wkWV2

\-一-

2222

題組二直線與橢圓的相交弦問題

5.過橢圓x2+2y2M的左焦點作傾斜角為三的弦AB,則弦AB的長為（）

Ag>B.—7C—UD6-

22

6.直線y=x+l被橢圓：+三=1所截得線段的中點的坐標(biāo)是（）

A?能）B.能）

C（IW）M-”）

丫2

7.經(jīng)過橢圓3+y2=l的一個焦點作傾斜角為45。的直線1,交橢圓于A,B兩點.設(shè)0為

坐標(biāo)原點，則瓦5,麗等于()

A.-3B.-|C.［或-3D.±g

22

8.(2019廣東深圳中學(xué)高二上期中)若橢圓才+1的弦被點(4,2)平分，則此弦所在直

線的斜率為.

9.過橢圓9+9=1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點Q為坐標(biāo)原

點，則aOAB的面積為.

10.(2020河北唐山一中高二上期中)已知橢圓C:左。1(a>b>0)的離心率e為景短

軸長為4.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過P(2,l)作弦且弦被P平分，求此弦所在的直線方程及弦長.

題組三直線與橢圓位置關(guān)系的綜合運用

22

11.設(shè)橢圓C：3+號=1的左,右焦點分別為Fl,F2,以F1F2為直徑的圓與C在第一象限

74

的交點為P,則直線PR的斜率為()

11百

a一

-B-CV3-

A.3232

22

12.若點0和點F分別為橢圓—+5=1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則

4a

OP?司的最大值為

22

13.已知P(m,n)(m>0,n>0)為橢圓3+—=1上一點,Q,R,S分別為P關(guān)于y軸,原點,x軸

oZ

的對稱點.

⑴求四邊形PQRS面積的最大值；

(2)當(dāng)四邊形PQRS面積最大時,在線段PQ上任取一點M(不與端點重合)，若過M

的直線與橢圓相交于A,B兩點，且AB中點恰為M,求直線AB斜率k的取值范圍.

能力提升練

題組一直線與橢圓的相交弦問題

1.(*7)已知橢圓x2+^=l和點AG，J,BC，1),若橢圓的某弦的中點在線段AB上,

且此弦所在直線的斜率為k,則k的取值范圍為()

A.[-4,-2]B.[-2,-l]

C.[-4,-l]

2.(多選)(*)已知直線l:y=2x+3被橢圓C:，》=l(a>b>0)截得的弦長為7,則下列直

線中被橢圓C截得的弦長一定為7的有()

A.y=2x-3B.y=2x+1

C.y=-2x-3D.y=-2x+3

3.(2020吉林長春實驗中學(xué)高二上期中,聚：)已知中心在原點，焦點坐標(biāo)為(0,±5或)的

橢圓截直線3x-y-2=0所得的弦的中點的橫坐標(biāo)為今則該橢圓的方程

為

4.(2020山東師大附中高二上第五次學(xué)分認(rèn)定*)設(shè)橢圓親。l(a>b>0)的短軸長

為4,離心率為當(dāng)

⑴當(dāng)直線y=x+m與橢圓有公共點時,求實數(shù)m的取值范圍；

(2)設(shè)點M(2,l)是直線1被橢圓所截得的線段AB的中點，求直線1的方程.

5.（2020遼寧大連高二上期中,*）如圖，設(shè)P是圓x2+y-25上的動點，點D是P在x

軸上的射影,M為PD上一點，且|MD|W|PD|.

（1）當(dāng)P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程;

（2）求過點（3,0）且斜率為（的直線被C所截線段的長度.

題組二直線與橢圓位置關(guān)系的綜合運用

6.（2019黑龍江牡丹江一中高二上期中,站?）若直線mx+ny=4和圓x?+y2=4沒有交點,

22

則過點（m,n）的直線與橢圓高+3=1的交點的個數(shù)為（）

A.0或1B.2

C.lD.0

22

7.（2018吉林省實驗中學(xué)期末*）已知橢圓q+9=l（a>b>0）的左,右焦點分別為FI,F2,

過Fi且與x軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點，直線AF2與橢圓的另一個交點為C,

若SMBC=3SABCF2,則橢圓的離心率為（）

710^3V3

C-D..

22

8.(多選)(")已知橢圓C:??l的左，右兩個焦點分別為BE,直線y=kx(kWO)與

C交于A,B兩點,AE_Lx軸,垂足為E,直線BE與C的另一個交點為P,則下列結(jié)論

正確的是()

A.四邊形ABBF2為平行四邊形

B.ZFIPF2<90°

C.直線BE的斜率為夫

D.ZPAB>90°

9.(2020海南?？诤Ｄ现袑W(xué)高二上期中,站?)已知點P是橢圓，+9=1上任意一點，則

當(dāng)點P到直線4x-5y+40=()的距離達(dá)到最小值時，點P的坐標(biāo)為.

10.(2020山東煙臺高二上期末,")過橢圓C:*5=l(a>b>0)的左焦點B作斜率為g

的直線1與C交于A,B兩點，若|OB|=|OA|,則橢圓C的離心率為.

22

11.(2020遼寧省實驗中學(xué)高二上期中,")已知橢圓今+%=1(a>b>0)的左、右焦點分

別為Fi、F2,且過點(1,日)和停,日).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)如圖，點A為橢圓上一位于x軸上方的動點,AF2的延長線與橢圓交于點B,AO的

延長線與橢圓交于點C,求4ABC面積的最大值，并寫出取到最大值時直線BC的

方程.

12.(2020北京通州高二上期末,")已知橢圓*5=l(a>b>0)的焦點是FiE,且

|FIF2|=2,離心率為今

(1)求橢圓的方程；

(2)過橢圓右焦點F2的直線1交橢圓于A(xi,yi),B(X2,y2)(xGx2)兩點.

⑴求|AF2|?|BF2|的最小值；

(ii)點Q是直線1上異于F2的一點，且滿足的=督，求證:點Q在一條定直線上.

2、,2、萬

13.(")已知橢圓C：av+/=l(a>b>())的離心率e號，過橢圓的左焦點F且傾斜角為30°

的直線m與圓x2+y2=b2相交所得弦長為國.

(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在過點P(0,3)的直線1與橢圓C交于A、B兩點，且|PA|=2|AB|?若存在，求

直線1的方程;若不存在，說明理由.

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.A解法一:直線y=x+l過點(0,1),將(0,1)代入士+}=1得,0+%,即點(0,1)在橢圓內(nèi)

544

部，所以直線與橢圓相交.

(y=x+1,

解法二:聯(lián)立直線與橢圓的方程，得1消去y得,9x2+l0x-l5=0,

A=100-4x9x(-l5)=640>0,所以直線與橢圓相交.

2.A直線y=kx-k+l=k(x-l)+l恒過定點(1,1),因為：+卜1,所以點(1,1)在橢圓內(nèi)部，故

直線與橢圓相交.

ry=kx+2,

3.C由*2

消去y并整理，

W(2+3k2)x2+12kx+6=0,

由題意知A=(12k)2-4x6x(2+3k2)=0,

解得k=±漁，故選C.

3

4.C由一￥[1]得(2k2+l)x2+4kx+l=0.

+2yz=1,

?.?直線與橢圓有公共點，

.,.A=16k2-4(2k2+l)^0,

解得kW-正或k?正.

22

5.B設(shè)直線AB的方程為y=kx+b(kWO),易求直線AB的方程為y=V^(x+&).由

牝=8?)式)'消去y并整理，得7x2+12V2x+8=0.

設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2)則xi+x2=-^,xix2=^.

由弦長公式，得|AB|=V1+A.|X|-

X2|=V1+k2?，(久1+%2)2-4比1比2=J1+(遮)2*J-4義

(y=x+1,

6.C聯(lián)立方程，得了一2消去y并整理，得3x2+4x-2=0.設(shè)直線與橢圓的交點

匕+]=1d，

A(xi,y)B(X2,y2),中點M(xo,yo).

xI+x2=-g,xo=，^=-：,yo=xo+1；?中點坐標(biāo)為.

7.B由彳+y2=l,得a?=2,b2=l,c2=a2-b2=l,則焦點坐標(biāo)為(±1,0).

不妨設(shè)直線1過右焦點，又傾斜角為45。,則直線1的方程為y=x-l.

代入尹y2=l得x2+2(x-l)2-2=0,EP3x?-4x=().設(shè)交點A(xi,yi),B(X2,y2),

貝IJX1X2=0,Xl+X2=-,yiy2=(xl-1)(X2-1)=X1X2-(X1+X2)+1=1---

所以0/?OB=x\X2+yiy2=0_~=-3,

8.答案4

解析設(shè)弦兩端點分別為人區(qū),丫|)》儀2,丫2).因為(4,2)是線段AB的中點，所以

xi+x2=8,yi+y2=4,將A,B兩點代入橢圓方程，

但+S=12222

1

得代''兩式相減得”3=0,整理得①=-上工，即kAB=^=-.

[以+絲=]369交』4(72+打)交』2

1369'

9.答案-

3

解析由題意知，右焦點的坐標(biāo)為(1,0),直線的斜率k=2,所以直線的方程為y=2(x-l),

將其與：+：=1聯(lián)立，消去y,得3x2-5x=0.設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),則xi+x2=：,xiX2=(),所以

|AB|=V1+k2,|xi-X2|=Vl+卜2又1(x、+%2)2-4%1%2=，1+22XJG)-4X0=乎.設(shè)原

點到直線的距離為d,則€1=7^=^.

V(-l)2+225

所以SAOAB=^|AB|?d=；x苧、半二；.

10.解析⑴由e―二造可設(shè),a=2t,c=gt(t>0),貝ijb=t=2,因止匕a=4,

a2

22

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土以=1.

164

(2)設(shè)以點P(2,l)為中點的弦與橢圓交于A(xi,yi),B(x2,y2),

_e+4=1,

則xi+x2=4,yi+y2=2,將A,B兩點坐標(biāo)分別代入橢圓的方程得《t兩式相減

-+^=1,

\164

可得，

(xi+x2)(xi-X2)+4(yi+y2)(yi-y2)=0,

4(xi-X2)+8(yi-y2)=0,

二弦所在直線的斜率k=d=」，

"12

二以點P(2,l)為中點的弦所在直線的方程為x+2y-4=0,

聯(lián)立橢圓的方程得xZ4x=0,解得x=0或x=4,

因此弦長|AB|=，1+H?|XI-X2|=2，^.

11.B依題意得,a2=9,b2=4,；.c2=5,

因此以BF2為直徑的圓的方程為x2+y2=5.

又點P在第一象限,.丁(9,卓)，

又Fi(-V5,0),

運0,

；?斜率kpFiTvl廠二?故選B.

—+V5乙

12.答案6

解析由甘亡=1,可得F(-1,O).

43

設(shè)P(x,y),-2WxW2,則而=(x,y),而=(x+l,y),

所以O(shè)P?FP=x2+x+y2=x2+x+3,(1—y^=^x2+x+3=^(x+2)2+2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2時，赤?而取得最大值，最大值為6.

22

13.解析⑴由p在橢圓上得巴u=i,

82

???m>0,n>0,...利用基本不等式得1=吧+眩22X少弓=%，當(dāng)且僅當(dāng)貯上二，即m=2,n=l

82V8V22822

時，等號成立，

易知S四邊形pQRs=2mx2n=4mnW8,當(dāng)m=2,n=l時取等號，

故當(dāng)m=2,n=l時,四邊形PQRS的面積取最大值，最大值為8.

(2)由⑴得P(2,l),則Q(-2,l),設(shè)M的坐標(biāo)為其中-2<t<2,A(xi,yD,B(X2,y2),

件+9=1，

則有V8

雪

\82

兩式相減得為+丫2)(*)

82

???M為線段AB的中點，

.?.勺+氣二1%+乞二］

2'2，

...(*)化為吟匚-(y「y2),

能力提升練

1.A設(shè)橢圓x2R=l的某弦的兩個端點分別為P(xi,yi),Q(X2,y2),中點為M(xo,yo),則

4

+：=1,①

[據(jù)+?=1,②

①-②，得(*-xl)+；(光-yl)=(),

即k=9=_4(A+、2)=_%.

可寺yt+y2y0

,：點M在線段AB上，

二xog衿yo〈i，

.?永=-%=:2W三忘4,故-44一忘-2,則kW[-4,-2],故選A.

y0y0y。％

2.ACD直線y=2x-3與直線1關(guān)于原點對稱，直線y=-2x-3與直線1關(guān)于x軸對稱,

直線y=-2x+3與直線1關(guān)于y軸對稱，因此A、C、D中的直線被橢圓C截得的弦

長一定為7,而直線y=2x+l被橢圓C截得的弦長大于7.故選ACD.

3?答案》S=1

解析設(shè)橢圓方程為f2=l(a>b>0),則a2=b2+c2=t>2+5().①

設(shè)直線3x-y-2=O與橢圓相交的弦的端點為A(xi,yD,B(X2,y2),則

(b2yl+a2xl=a2b2,

\b2yj+a2%2=a2b2,

:.b2(yi-y2)(yi+y2)+a2(xi-x2)(xi+x2)=O.

/.b2x3x(-1)+a2x1=(),BPa2=3b2.@

聯(lián)立①②得,a2=75,b2=25.

故該橢圓的方程為片1=1.

7525

4.解析(1)因為離心率e-=￡所以c2=%2,又因為橢圓的短半軸長b=2,aZb2=c2,所

a24

以a2=16,b2=4,

即橢圓方程為乙乙=1,

164

m1

因此，卜6+4'=5x2+8mx+4m2-16=0,因為直線y=x+m與橢圓有公共點，所以

{,y=x+m

A=64m2-4x5x(4m2-16)^0,@Pm2^2(),解得-2遙Wm<2遍.

⑵設(shè)A(xi,yD,B(X2,y2).

解法一:當(dāng)斜率不存在時,不符合題意;當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線方程為y-l=k(x-2),

聯(lián)立方程y2=>(4k2+l)x2+8k?(l-2k)x+16k2-16k-12=0,

I--1--=1

k164

所以手=甯=2,解得k=T，所以直線1的方程為x+2y-4=0.

解法二:蔣+匕=1=x2+4y2=16,

2+42

X1y1

2+4216=(x』)(x52)+4(yLy2)?(%+丫2)=0=詈=就產(chǎn)；,

X2y2

所以斜率k=g所以直線1的方程為x+2y-4=().

5.解析⑴設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),P的坐標(biāo)為(xp,yp),

由已知得｛1=:因為P在圓上，所以x2+gy)2=25,即點M的軌跡C的方程為

2516

⑵過點(3,0)且斜率為:的直線方程為y=gx-3),

設(shè)直線與C的交點為A(xi,yD,B(X2,y2),將直線方程y=g(x-3)代入C的方程，得

二”』，

2525

2

整理得x2-3x-8=0,所以XI+X2=3,XIX2=-8,所以|AB|=J1+(g)?y/(xx+x2)-4x1x2=p

6.B因為直線mx+ny=4和圓x2+y2=4沒有交點，所以點三>2,所以m2+n2<4,而

已1,因此點(m,n)在橢圓內(nèi)部，從而過點(m,n)的直線與橢圓二^=1必有兩

944494

個交點，故選B.

7.A設(shè)F(的坐標(biāo)為(-c,()),F2的坐標(biāo)為(c,0),故過Fi且與x軸垂直的直線方程為x=-

c,代入橢圓方程可得丫二土三可設(shè)A(-Gf),C(x,y),由題意可得4ABF2的面積是

，2c—2c

△BCF2的面積的2倍，故福=2或，即有&c,-f)=2(x-c,y),即2y'

b2則

廣-，代入橢圓方程可得［g=l,即竽彎=1,

(y=------,a24a2a24a2

?2a

.,.4e2+Ue2=l,解得e=4負(fù)值舍去).故選A.

445

8.ABC由橢圓的對稱性知,四邊形ABBF2是平行四邊形，故A正確;

a2=4,b2=2,:.c2=2,

二ZFIAF2<90°,

又NFIPF2<NFIAF2<90°,

故B正確；

結(jié)合圖形，不妨設(shè)k>°，則A(募,高)，

B(-高，-品)田(高，。)，

2k

，kBE=—=*,故C正確；

取k=2,則AG3，B(-*),EG，0)

二直線BE的方程為y=x-j,與橢圓方程聯(lián)立得,PG，?,.,.刀=(-油,而=($勺,

...萬?方吟合0,二4AB>90。錯誤.故選ABC.

9.答案(4,；)

解析設(shè)平行于4x-5y+4()=0,且與橢圓相切的直線方程為4x-5y+c=()(cW40).

由償5；獴；225,得25x2+8cx+c2一225=0,

令A(yù)=(8C)2-4X25X(C<225)=0得,

c?=625,解得c=±25.

結(jié)合圖形(圖略)取c=25,此時,x2+8x+16=0=>x=-4.

代入4x-5y+25=()得,y=g，

.?.P㈤).

10.答案?

解析如圖所示，設(shè)右焦點為F2,

又tanZAFiFz=-,

2

.-.|AFI|=^C,|AF2|=^C.

因此,2a=|AFi|+|AF2|=鳴:=e=-=—.

5a3

=1,解得償：I

11.解析(1)將兩點代入橢圓方程，得K9+塌

“2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:+y2=l.

⑵設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2).由A在x軸上方，可知直線AF?的斜率不為0,所以設(shè)直線

AF2的方程為x=ty+l,

+y2=

聯(lián)立71)=>(t2+2)y2+2ty-l=0,

.x=ty+1

得，1+及二刀'所以|AB|="T^?卜~2|=粵氈

1yly2="產(chǎn)+2

設(shè)原點到直線AF2的距離為d,%=意,

2/2(1+產(chǎn))_2yli

所以SAABC=2SZ\OAB=2x；x|AB|xd二:—^V2,

產(chǎn)+2Vl+t2+-

Vi+t2

當(dāng)且僅當(dāng)=*，即t=0時，等號成立，此時直線AB的方程為x=l,所以

Vi+t2

所以此時直線BC的方程為y=1.

12.解析⑴因為橢圓的焦點是FiE,且|FE|=2,所以半焦距c=L

因為離心率為近，所以a=VI所以b=l.所以橢圓的方程是Oy2=l.

22

(2)(i)由⑴知F2(l,0),

當(dāng)直線1的斜率不存在時,不妨設(shè)A(1，9),B(1,-9),所以|AF2|?|BF2|三.

當(dāng)直線1的斜率存在時，直線1的方程可設(shè)為y=k(x-l).

聯(lián)立方程[亍+必=1'消去y,整理得(l+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.

ly=fc(x-l),

r-r4k22k2.2

月「以Xl+X2=--—,X1X2=---

l+2k21+2/

所以|AF2|=J(久1-1)2+y/=，l+12