高中數(shù)學(xué)習(xí)題2：高中數(shù)學(xué)人教A版2019 選擇性必修 第三冊 正態(tài)分布

7.5正態(tài)分步同步練習(xí)

一.選擇題(共8小題)

1.2016年1月某校高三年級1600名學(xué)生參加了教育局組織的期末統(tǒng)考，已知

數(shù)學(xué)考試成績X~N(K)O,〃)(試卷滿分為150分).統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成

績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的』，則此次統(tǒng)考中成績不低于120

4

分的學(xué)生人數(shù)約為()

A.80B.100C.120D.200

2.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,b?),且P((掇氏2)=0.3,則P(X>4)=(

)

A.0.6B.0.2C.0.4D.0.35

3.某學(xué)校的兩個班共有100名學(xué)生，一次考試后數(shù)學(xué)成績JCeN)服從正態(tài)分布

N(1OO,102),已知P(9噴聽100)=0.4,估計該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在110分以上的人

數(shù)為()

A.20B.10C.7D.5

4.設(shè)隨機變量J服從正態(tài)分布M2,9),若PC<2m+l)=P4>m-1),則實數(shù)小的

值是()

A.-B.-C.-D.2

333

5.已知隨機變量$服從正態(tài)分布,若P?<4)=0.9,則P(-2<J<1)=(

)

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

6.隨機變量4~2(〃,/),若尸(,1)=0.3,P(l<&<5)=0.4,則〃=()

A.1B.2C.3D.4

7.某單位有800名員工，工作之余，工會積極組織員工參與“日行萬步”健身

活動.經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計，得到全體員工近段時間日均健步走步數(shù)(單位：千步)的頻

率分布直方圖如圖所示.據(jù)直方圖可以認(rèn)為，該單位員工日均健步走步數(shù)近似服

從正態(tài)分布，計算得其方差為6.25.由此估計，在這段時間內(nèi)，該單位員工中

日均健步走步數(shù)在2千步至4.5千步的人數(shù)約為()

附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(〃,cr2),則P(〃-b<Z<〃+cr)=0.6826,

-2cr<Z<//+2cr)=0.9544,-3<r<Z<fj+3cr)=0.9974.

A.103B.105C.107D.109

8.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(5,l),若P(4<X?6)=0.6826,則尸(X..6)=(

)

A.0.3413B.0.3174C.0.1587D.0.1586

二.多選題(共2小題)

9.某地區(qū)機械廠為倡導(dǎo)“大國工匠精神”，提高對機器零件質(zhì)量的品質(zhì)要求，對

現(xiàn)有產(chǎn)品進行抽檢，由抽檢結(jié)果可知，該廠機器零件的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分

布N(200,224),則()

(附:5/224?14.97,若Z~N(〃,(T2),則-er<Z</z+er)=0.6826,

P(〃-2。<Z<〃+2a)=0.9544)

A.尸(185.03<Z<200)=0.6826

B.P(200,,Z<229.94)=0.4772

C.P(185.03<Z<229.94)=0.9544

D.任取10000件機器零件，其質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(185.03,229.94)內(nèi)的件數(shù)約

為8185件

(*可2

10.已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)爾幻I.......-C(XG/?,1=\,2,3)的圖象如

\j27ra

圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

三.填空題(共4小題)

11.某年級有1000名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)測試成績J~N(1O5,IO2),P(95礎(chǔ)105)=0.34,

則該年級學(xué)生數(shù)學(xué)成績在115分以上的人數(shù)大約為—.

12.若隨機變量X~N(〃,cr2),P(X>4)=P(X<—2)=01，則P(啜k4)=.

13.一批電池(一節(jié))用于無線麥克風(fēng)的壽命服從均值為34.3小時，標(biāo)準(zhǔn)差為

4.3小時的正態(tài)分布，隨機從這批電池中任意抽取一節(jié)，則這節(jié)電池可持續(xù)使用

不少于30個小時的概率—.

(參考數(shù)據(jù)：P(/J-a<X?ju+<7)=0.6826>P(/J-2<T<X?/./+2a)=0.9544)

14.隨機變量X~N(2,/)，且尸(0<X<2)=0.3,P(X>4)=.

四.解答題(共4小題)

15.若X~N(〃,〃)，則X位于區(qū)域(〃，〃+司內(nèi)的概率是多少？

16.若隨機變量Z~N(O,1),且尸(一a<Z"a)=0.6,a>0,求a.

17.若隨機變量X~N(0,l),查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，計算:

(1)尸(X<2.2);

(2)P(X>1.76);

(3)P(X<-0.78)；

(4)P(|X|<1.55)；

(5)P(|X|>2.5)；

(6)P(-1.8<X<2).

18.近幾年，中國進入一個鮮花消費的增長期，某農(nóng)戶利用精準(zhǔn)扶貧政策，貸款

承包了一個新型溫室鮮花大棚，種植和銷售紅玫瑰和白玫瑰.該農(nóng)戶從去年的銷

售數(shù)據(jù)中隨機抽取了紅玫瑰10天的銷量數(shù)據(jù)如下(單位：枝)：

615,575,625,590,600,600,570,615,580,630.

(I)求這10天紅玫瑰銷量的平均數(shù)元和方差一；

(II)若這個大棚紅玫瑰的日銷量X服從正態(tài)分布其中〃，人可分別

用(1)中的彳和『代替，白玫瑰的日銷量丫服從正態(tài)分布M280,40),又已

知紅玫瑰的售價為2元/枝，白玫瑰的售價為4元/枝，預(yù)計今年哪種玫瑰的日

銷售額超過1280元的天數(shù)更多.

參考答案與試題解析

選擇題(共8小題)

1.【解答】解：?.?成績g~N(ioo,02),

其正態(tài)曲線關(guān)于直線x=100對稱，

又?.?成績在80分到120分之間的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的3,

4

由對稱性知：成績不低于120分的學(xué)生約為總?cè)藬?shù)的，x(i_3)=l,

248

此次考試成績不低于120分的學(xué)生約有：,xl600=200人.

8

故選：D.

2.【解答】解：由隨機變量X服從正態(tài)分布N(2l),

所以正態(tài)曲線的對稱軸是x=2,

又尸(騏卜2)=0.3,

所以P(X>4)=P(X<0)=0.5-0.3=0.2.

故選：B.

3.【解答】解：依題意，考試后數(shù)學(xué)成績JCeN)服從正態(tài)分布N(1(X),IO?),

所以

2(握10)=gu-P(90<^<110)]=-[l-P(100-10g<100+10)J=--P(9偏9100)=0.1,

因為兩個班共有100名學(xué)生，所以該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在110分以上的人數(shù)為

100x0.1=10人.

故選：B.

4.【解答】解：由隨機變量J服從正態(tài)分布N(2,9),得正態(tài)分布曲線的對稱軸為

x=2，

又P(J<2m+D=P(J>m-D，,2"7+1；〃L1=2,BPm=~.

故選：B.

5.【解答】解：?.?隨機變量J服從正態(tài)分布

.?.正態(tài)分布曲線的對稱軸方程為X=1，

由P?<4)=0.9,得P(g>4)=P(g<-2)=0.1，

貝P(-2<<<l)=-P(-2<^<4)=^x0.8=0.4.

故選：C.

6.【解答】解：?.?隨機變量g~N("Q2),由P(J,,l)=0.3,尸?<5)=0.4,

得P4.5)=0.3,由正態(tài)分布的對稱性得〃=*=3.

故選：C.

7.【解答】解：由頻率分布直方圖估計其均值

/z=lxO.O4+3xO.O8+5xO.16+7xO.44+9xO.16+llxO.l+13xO.O2=6.96?7.

設(shè)日均健步數(shù)為X,則X~N(7,6.25),

,.1a=2.5,貝U〃-er=4.5,〃-2cr=2,

P(2頸k4.5)=；(0.9544-0.6826)=0.1359,

?.?800x0.1359?109.

.??日均健步走步數(shù)在2千步至4.5千步的人數(shù)約為109人.

故選：D.

8?【解答】解：隨機變量X服從正態(tài)分布N(5,l),

所以該正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x=5對稱，

所以尸(X?)=-xLl-P(4<X6))]=-x(l-0.6826)=0.1587.

22

故選：C.

二.多選題(共2小題)

9.【解答】解：因為N(200,224),所以〃=200,cr=V224?14.97,

故〃+。=214.97,〃+2cr=229.94,/z-cr=185.03,〃-2cr=170.06,

故P(170.06<Z<229.94)=0.9544,P(185.03<Z<214.97)=0.6826,

由正態(tài)分布函數(shù)的對稱性可知A選項應(yīng)為P(185.03<Z<200)=0.3413，故A錯；

P(2(X)?Z<229.94)=0.4772，故8正確;

P(185.03<Z<229.94)=尸(185.03<Z<200)+P(200<Z<229.94)=0.3413+0.4772=0.8185

,故C錯；

由C可知任取10000件機器零件，其質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(185.03,229.94)內(nèi)的件數(shù)

約為10000x0.8185=8185件，故。正確.

故選：BD.

10.【解答]解：根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于對稱，且〃越大圖象越靠近右邊，

所以〃I<=〃3，BC錯誤；

又b越小數(shù)據(jù)越集中，圖象越瘦長，

所以5=%<%,AD正確.

故選：AD.

三.填空題(共4小題)

11?【解答】解：?.?數(shù)學(xué)測試成績J~N(105,IO?),.?.正態(tài)分布曲線的對稱軸方程

為x=105,

又P(95轟聽105)=0.34,P(105^115)=0.34,

尸(。>115)=0.5-0.34=0.16,

則該年級學(xué)生數(shù)學(xué)成績在115分以上的人數(shù)大約為1000x0.16=160.

故答案為：160.

12.【解答】解:因為X~N(〃,解),P(X>4)=P(X<-2)=0.1,

所以〃=±土2=1.

2

所以「(掇W4)=1~2P(y-4-=0.4.

2

故答案為：04.

13?【解答】解：設(shè)電池(一節(jié))用于無線麥克風(fēng)的壽命為隨機變量X,

由題意知X~N(34.3,4.32).

所以P(X..30)=l-〃+b)=]_1-0-6826=0用413.

22

故答案為：0.8413.

14.【解答】解：因為X~N(2,4)，故對稱軸為X=2,

故PQ<X?4)=P(0<X<2)=0.3,

尸(X>4)=P(X厘)-P(2<X4)=0.5-0.3=0.2.

故答案為：0.2.

四.解答題(共4小題)

15.【解答】解：P(〃-cr<X,,〃+b)=0.6826,

<X勃k+CT)=gP(〃一0<X〃+cr)=gX0.6826=0.3413.

16.【解答】解：；P(-a<Z,,a)=0.6,

P(0<Z?a)=0.3,

.-.P(z??)=0.8.查表得aa0.84.

17.【解答】解：(1)P(X<2.2)=0.9861;