2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)4.4解三角形習(xí)題

.4解三角形基礎(chǔ)篇固本夯基考點(diǎn)一正弦定理和余弦定理1.(2024課標(biāo)Ⅲ,7,5分)在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,則cosB=(A.19B.13C.12答案A2.(2024課標(biāo)Ⅱ,6,5分)在△ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,則AB=(A.42B.30C.29D.25答案A3.(2017山東,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC為銳角三角形,且滿意sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A4.(2024云南玉溪一中模擬,10)在△ABC中,三內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b2+c2-3bc=a2,bc=3a2,則角C的大小是()A.π6或2π3B.π3C.2π答案A5.(2024全國乙,15,5分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為3,B=60°,a2+c2=3ac,則b=.

答案226.(2024屆蘭州西北師大附中期中,14)在△ABC中,AB=3,AC=1,且∠C=2π3,則BC=答案17.(2024屆銀川一中月考,17)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿意(2a-b)·sinA+(2b-a)sinB=2csinC.(1)求角C的大小;(2)若cosA=277,求sin(2A-C)解析(1)由已知條件及正弦定理可得(2a-b)a+(2b-a)b=2c2,即a2+b2-c2=ab,∴cosC=a2+b∵0<C<π,∴C=π3(2)由cosA=277,可得sinA=217,∴sin2A=2sinAcosA=437,cos2A=2cos2A-1=17,∴sin(2A-C)=sin2AcosC-cos2AsinC=437×8.(2024屆山西長治其次中學(xué)月考,17)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sinAsinB=cos2C2,(c-3b)sinC=(a+b)·(1)求角A和角B的大小;(2)若△ABC的面積為3,求BC邊上中線AM的長.解析(1)由已知條件及正弦定理可得(c-3b)c=(a+b)(a-b),即a2=b2+c2-3bc,所以cosA=32,所以A=30°.因?yàn)閟inAsinB=cos2C2=1+cosC2,即sinB=1+cosC,又B+C=180°-A=150°,所以sinB=1+cos(150°-B)=1+cos150°cosB+sin150°sinB,整理得12sinB+32(2)由(1)知∠CAB=B=30°,則a=b,C=120°,∵S△ABC=12absinC=34a2=3,∴a=b=2,因?yàn)镸為BC中點(diǎn),所以CM=a2=1,在△ACM中,由余弦定理得AM2=b2+CM2-2b·CM·cosC=7,所以9.(2024天津,16,14分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a=22,b=5,c=13.(1)求角C的大小;(2)求sinA的值;(3)求sin2A+解析(1)在△ABC中,由余弦定理的推論及a=22,b=5,c=13,得cosC=a2+b2-c22ab=2(2)在△ABC中,由正弦定理及C=π4,a=22,c=13,可得sinA=asinC(3)由a<c及sinA=21313,可得cosA=1-sin2A=31313,進(jìn)而sin2A=2sinAcosA=1213,cos2A=2cos2A-1=513.所以,sin2A+π4=sin2Acosπ410.(2024課標(biāo)Ⅰ,17,12分)在平面四邊形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=22,求BC.解析(1)在△ABD中,由正弦定理得BDsin∠A=ABsin∠ADB.由題設(shè)知,所以sin∠ADB=25.由題設(shè)知,∠所以cos∠ADB=1-225=(2)由題設(shè)及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=25.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×22×25=25.11.(2024課標(biāo)Ⅰ,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sinC.解析(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理的推論得cosA=b2+c2-a2(2)由(1)知B=120°-C,由題設(shè)及正弦定理得2sinA+sin(120°-C)=2sinC,即62+32cosC+12sinC=2sinC,可得cos(C+60°)=-22.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=22考點(diǎn)二解三角形及其應(yīng)用1.(2024屆安徽淮南一中月考三,6)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若b=c,a2=2b2(1-3sinA),則A=()A.π6B.π4C.π3答案A2.(2024屆湘豫名校聯(lián)盟11月聯(lián)考,8)已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若2ccosB=2a-b,且c=13,b=3,則△ABC的面積為()A.23B.33C.43D.63答案B3.(2024課標(biāo)Ⅲ,9,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC的面積為a2+b2-A.π2B.π3C.π4答案C4.(2024全國名校聯(lián)盟4月聯(lián)考,9)已知△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若B=60°,(b+c)·sin(A+CA.30°B.45°C.60°D.120°答案A5.(2024山西康杰中學(xué)等四校4月聯(lián)考,8)我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”,即在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則△ABC的面積S=12(ab)2-a2+b2-c222.依據(jù)此公式,若acosB+(b-2c)·A.6B.23C.3D.32答案C6.(2024屆河南段考三,16)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若sinA=13,cosB=45,a=5,則△ABC的面積為,其內(nèi)切圓的半徑為答案6+92;27.(2024屆銀川一中月考四,16)設(shè)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)且為△ABC的外心,∠BAC=30°,如圖,若△PBC,△PCA,△PAB的面積分別為12,x,y,則xy的最大值為答案18.(2017課標(biāo)Ⅰ,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知△ABC的面積為a2(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長.解析(1)由題設(shè)得12acsinB=a23sinA,即12csinB=a3sinA.由正弦定理得1(2)由題設(shè)及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-12,即cos(B+C)=-12.所以B+C=2π3,故A=π3.由題設(shè)得12bcsinA=a23sinA,又a=3,所以bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=339.(2017課標(biāo)Ⅱ,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2B2(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b.解析(1)由題設(shè)及A+B+C=π得sinB=8sin2B2,故sinB=4(1-cosB).上式兩邊平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去)或cosB=15(2)由cosB=1517得sinB=817,故S△ABC=12acsinB=417ac.又S△ABC=2,則ac=172.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×1710.(2024新高考Ⅱ,18)在△ABC中,角A,B,C所對的邊為a,b,c,且滿意b=a+1,c=a+2.(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面積;(2)是否存在正整數(shù)a,使得△ABC為鈍角三角形?若存在,求a;若不存在,說明理由.解析(1)2sinC=3sinA?2c=3a,∵c=a+2,∴2(a+2)=3a,∴a=4,∴b=a+1=5,c=a+2=6,∴cosA=b2+c2-a22bc=52+62-422×5×6=(2)由于c>b>a,故要使△ABC為鈍角三角形,只能是C為鈍角.cosC=a2+b2-c22ab<0?a2+b2<c2?a2+(a+1)2<(a+2)2?a2-2a-3<0?-1<a<3,又a>0,∴a∈(0,3).考慮構(gòu)成△ABC的條件,可得a+b>c?a+(a+1)>a+2?a>1.綜上,a∈(1,3).又a11.(2024北京,17,13分)在△ABC中,a+b=11,再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知,求:(1)a的值;(2)sinC和△ABC的面積.條件①:c=7,cosA=-17條件②:cosA=18,cosB=9注:假如選擇條件①和條件②分別解答,按第一個解答計(jì)分.解析若選條件①:(1)∵a+b=11,∴b=11-a,已知c=7,cosA=-17,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=(11-a)2+72-2×(11-a)×7×-17,解得a=8.(2)∵cosA=-17,∴sinA=1-cos2A=437.∵asinA=csinC,∴sinC=csinAa若選條件②:(1)∵cosA=18,∴sinA=1-cos2A=378.∵cosB=916,∴sinB=1-cos2B=5716.(2)由(1)可得b=11-a=5.sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=378×916+18×5716=74,∴S△ABC=1綜合篇知能轉(zhuǎn)換考法一利用正弦、余弦定理解三角形1.(2024長春二模,8)在△ABC中,C=30°,cosA=-23,AC=15-2,則AC邊上的高為(A.52B.2C.5D.答案C2.(2024長春其次次質(zhì)量檢測,9)現(xiàn)有如下信息:(1)黃金分割比(簡稱:黃金比)是指把一條線段分割為兩部分,較短部分與較長部分的長度之比等于較長部分與整體長度之比,其比值為5-1(2)黃金三角形被譽(yù)為最美三角形,是較短邊與較長邊之比為黃金比的等腰三角形.(3)有一個內(nèi)角為36°的等腰三角形為黃金三角形.由上述信息可求得sin126°=()A.5-12B.5+12C.答案D3.(2024課標(biāo)Ⅰ,16,5分)如圖,在三棱錐P-ABC的平面綻開圖中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,則cos∠FCB=.

答案-14.(2024新高考Ⅰ,17,10分)在①ac=3,②csinA=3,③c=3b這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面問題中,若問題中的三角形存在,求c的值;若問題中的三角形不存在,說明理由.問題:是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sinA=3sinB,C=π6,注:假如選擇多個條件分別解答,按第一個解答計(jì)分.解析方案一:選條件①.由C=π6和余弦定理的推論得a2+b2-c22ab=32.由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c223方案二:選條件②.由C=π6和余弦定理的推論得a2+b2-c22ab=32.由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=3方案三:選條件③.由C=π6和余弦定理的推論得a2+b2-c22ab=32.由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c25.(2024新高考Ⅰ,19,12分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點(diǎn)D在邊AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)證明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.解析(1)證明:在△ABC中,由BDsin∠ABC=asinC及正弦定理可得BD·b=a·c,又b2=ac,所以BD·b=b2,故BD=b.(2)由AD=2DC得AD=23b,DC=b3,在△ABD中,cosA=AD2+AB2-BD22AD·AB=49b2+c2-b22×23bc=c2-59b243bc,在△ABC中,cosA=AC2+AB2-BC22AC·AB=b2+c2-a22bc.故c2-59b243bc=b2+c2-a22bc,化簡得3c2-11b2+6a6.(2024黑龍江八校期中,18)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c=3,且sinC-π6(1)求角C的大小;(2)若向量m=(1,sinA)與n=(2,sinB)共線,求△ABC的面積.解析(1)∵sinC-π6cosC=14,∴32sinC-12cosCcosC=14,即34sin2C-14-14cos2C=14,化簡得sin2C-π6=1,所以2C-π6=π2+2kπ,k∈Z,(2)由向量m與n共線得sinB-2sinA=0,即b-2a=0,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC及已知得9=a2+4a2-4a2·12,∴a=3,b=23,∴△ABC的面積為12absinC=7.(2024屆黑龍江龍東四校聯(lián)考,19)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=2b,cosC=13(1)求tanB;(2)若M為邊AB上一點(diǎn),AM=2MB,CM=59,求△ABC的面積.解析(1)由a=2b和正弦定理可得sinA=2sinB,因?yàn)閟inA=sin(B+C),所以2sinB=sinBcosC+cosBsinC.因?yàn)閟inC>0,cosC=13,所以sinC=1-cos2所以2sinB=13sinB+223cosB,又cosB≠0,所以tanB=sin(2)由tanB=在△ABC中,由正弦定理與a=2b得c=bsinCsinB=333b=336a,在△CMB中,MB=c3,CM=59,由余弦定理MB2+BC2-2MB·BC·cosB=CM2,得c32+a2-2·c3·a·cosB=59,所以3318a2+a2-2·3318a·a·533=59,所以59108a2=59,可得a=63,b=33,所以8.(2024屆河南重點(diǎn)中學(xué)調(diào)研一,20)已知△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,cosB=25a(1)若點(diǎn)A,B是函數(shù)f(x)=2sinπ3x+π3-1的圖象在某個周期內(nèi)的最高點(diǎn)與最低點(diǎn),求(2)若角C的平分線與AB交于點(diǎn)D,且CD=5,求證:1a+1b=解析(1)由cosB=25a-7b25c及余弦定理的推論得a2+c2-b22ac=25a-7b25c,整理得a2+b2-c2=1425ab,則cosC=a2+b2-c22ab=725.易知f(x)=2sinπ3x+π3-1的最大值與最小值之差為4,最小正周期T=2ππ3=6,則c=AB=42+T22=5,于是得52=c2=a2+b2-1425ab≥2ab-1425ab=36(2)證明:因?yàn)閏os∠ACB=725,CD為△ABC的角平分線,所以sin∠ACD=sin∠BCD=1-cosC2=35,所以由S△ACD+S△BCD=S△ABC得12b·CD·sin∠ACD+12a·CD·sin∠BCD=12absinC,即12b·5×35+12a·5×35=1考法二三角形形態(tài)的推斷1.(2024湖北襄陽四中5月適應(yīng)性模擬,4)小明要作一個三角形,使它的三條高的長度分別為113,111,15,則小明所作的三角形是A.不存在的B.銳角三角形C.直角三角形D.鈍角三角形答案D2.(2024屆蘭州西北師大附中期中,5)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形態(tài)為()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定答案B3.(2024黑龍江省試驗(yàn)中學(xué)1月聯(lián)考,10)已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若sinA2cosA2=sinC,且a2=b2(1-2cosA)+c2(1+4cosA),則△ABC的形態(tài)是(A.等邊三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D4.(2024河南名校聯(lián)盟聯(lián)考,14)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若b2+c2=a2+bc,且cosBcosC+cosA=sin2A,則△ABC的形態(tài)是.

答案等邊三角形5.(2024屆山西長治其次中學(xué)月考,21)如圖,A是兩條平行直線l1、l2之間的一個定點(diǎn),且點(diǎn)A到直線l1、l2的距離分別為AN=3,AM=1.設(shè)△ABC的另兩個頂點(diǎn)C、B分別在l1、l2上運(yùn)動,且滿意AB<AC,ABcos∠ABC=(1)試推斷△ABC的形態(tài),并證明;(2)求1AB+3AC解析(1)直角三角形.證明如下:由ABcos∠ABC=ACcos∠ACB及正弦定理得sin∠ACBcos∠ABC=因?yàn)锳B<AC,所以∠ACB<∠ABC,于是2∠ABC+2∠ACB=π,即∠ABC+∠ACB=π2,所以∠CAB=π2,故△ABC(2)設(shè)∠BAM=θ0<θ<π2,則在Rt△AMB中,AB=AMcos∠MAB=1cosθ,在Rt△ANC中,AC=ANcos∠NAC=3sinθ,故1AB+3AC=cosθ+sinθ=2sinθ+π考法三與三角形的面積、范圍有關(guān)的問題1.(2024河南部分重點(diǎn)中學(xué)3月聯(lián)考,10)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且ccosA=(3b-a)cosC.若△ABC的面積為32,則c的最小值是()A.2B.23C.4D.12答案B2.(2024皖北教研聯(lián)合體4月聯(lián)考,10)設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若B=2A,則b+ca的取值范圍為A.(2+1,3+2)B.(2+1,3)C.(3,3+2)D.(3,+∞)答案A3.(2024屆山西長治其次中學(xué)月考,12)在△ABC中,D、E分別是邊AC、AB的中點(diǎn),若BD⊥CE,則cosA的最小值為()A.45B.3C.23D.答案A4.(2024屆黑龍江八校期中,16)已知在△ABC中,D、E分別是線段BC、AC的中點(diǎn),AD與BE交于點(diǎn)O,且∠BOC=90°,若BC=2,則△ABC周長的最大值為

答案2+2105.(2024屆江西十七校期中,16)在四邊形ABCD中,AC2=AB·BC,B=π3,D為△ABC外一點(diǎn),AD=3,CD=2,則四邊形ABCD面積最大時角D=答案5π6.(2024云南4月統(tǒng)一檢測,16)在銳角三角形ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a2+b(b-3a)=1,c=1,則3a-b的取值范圍為.

答案(1,3)7.(2024課標(biāo)Ⅱ,17,12分)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周長的最大值.解析(1)由正弦定理和已知條件得BC2-AC2-AB2=AC·AB①.由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA②.由①②得cosA=-12.因?yàn)?<A<π,所以A=2π(2)由正弦定理及(1)得ACsinB=ABsinC=BCsinA=23,從而AC=23sinB,AB=23sin(π-A-B)=3cosB-3sinB.故BC+AC+AB=3+3sinB+3cosB=3+23sinB+π3.又0<B<π3,所以當(dāng)8.(2024課標(biāo)Ⅲ理,18,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asinA+(1)求B;(2)若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍.解析(1)由題設(shè)及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA.因?yàn)閟inA≠0,所以由A+B+C=180°,可得sinA+C2故cosB2=2sinB2cos因?yàn)閏osB2≠0,故sinB2=12(2)由題設(shè)及(1)知△ABC的面積S△ABC=34由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120°-C由于△ABC為銳角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°.由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°,故12從而38<S△ABC<3因此,△ABC面積的取值范圍是389.(2024屆四川遂寧模擬,20)在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若2-sin2C=sinAsinB+cos2A+cos2B.(1)求C;(2)若△ABC為銳角三角形,且b=4,求△ABC面積的取值范圍.解析(1)∵2-sin2C=sinAsinB+cos2A+cos2B,∴2-sin2C=sinAsinB+(1-sin2A)+(1-sin2B),∴sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB,由正弦定理得a2+b2-c2=ab,又由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC,∴cosC=12,∵C∈(0,π),∴C=π(2)∵△ABC是銳角三角形,又A=π-B-C=2π3∴0<B<π2,0<2π3-B<π2,∴π6<B<π2.由正弦定理可得a=bsinAsinB=4sin2π3-BsinB=23tanB+2,由三角形面積公式有S△ABC=12absinC=應(yīng)用篇知行合一應(yīng)用解三角形的實(shí)際應(yīng)用1.(2024屆山西懷仁一中期中,8生活實(shí)踐情境)5G是中國的一張名片,據(jù)報(bào)道,中國在5G時代領(lǐng)先德國的時間至少在兩年以上.某地為加強(qiáng)5G網(wǎng)絡(luò)建設(shè)擬修建一信號塔.如圖,線段AB表示信號塔,DE表示斜坡,DC⊥CE,且B,C,E三點(diǎn)在同一水平線上,點(diǎn)A,B,C,D,E在同一平面內(nèi),斜坡DE的坡比為3∶7,CE=63米.某人站在坡頂D處測得塔頂A點(diǎn)的仰角為37°,站在坡底C處測得塔頂A點(diǎn)的仰角為48°(人的身高忽視不計(jì)),則信號塔的高度AB約為()結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù):sin37°≈35,tan37°≈34,sin48°≈710,tan48°≈A.54米B.58米C.76米D.85米答案D2.(2024東北三省四市3月聯(lián)考,10生活實(shí)踐情境)圣·索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省,是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂,距今已有114年的歷史,為哈爾濱的標(biāo)記性建筑.1996年經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn),被列為第四批全國重點(diǎn)文物愛護(hù)單位,是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點(diǎn),其中心主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體,極具對稱之美,可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)會它的美.小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度,在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB,高為(153-15)m,在它們之間的地面上的點(diǎn)M(B,M,D三點(diǎn)共線)處測得樓頂A,教堂頂C的仰角分別是15°和60°,在樓頂A處測得教堂頂C的仰角為30°,則小明估算索菲亞教堂的高度為()A.20mB.30mC.203mD.303m答案D(2024山東濰坊一模,16優(yōu)化設(shè)計(jì)方案)某市為表彰在脫貧攻堅(jiān)工作中做出突出貢獻(xiàn)的先進(jìn)單位,制作了一批獎杯,獎杯的剖面圖形如圖所示,其中扇形OAB的半徑為10,∠