統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學全程一輪復習選修4-4坐標系與參數(shù)方程第一節(jié)坐標系學生用書

第一節(jié)坐標系·最新考綱·1．了解坐標系的作用．2．了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的改變狀況．3．了解極坐標的基本概念，會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化．4．能在極坐標系中給出簡潔圖形表示的極坐標方程．·考向預(yù)料·考情分析：極坐標與直角坐標、極坐標方程與直角坐標方程的互化，極坐標方程的應(yīng)用．將是高考考查的熱點，題型仍將是解答題．學科素養(yǎng)：通過極坐標方程的求解及應(yīng)用考查數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．積累必備學問——基礎(chǔ)落實贏得良好開端一、必記2個學問點1．極坐標的概念(1)極坐標系：如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點O，叫做________，從O點引一條射線Ox，叫做________，選定一個單位長度和角及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就確定了一個平面極坐標系，簡稱為________．(2)極坐標：對于平面內(nèi)隨意一點M，用ρ表示線段OM的長，θ表示以O(shè)x為始邊、OM為終邊的角度，ρ叫做點M的________，θ叫做點M的________，有序?qū)崝?shù)對(ρ，θ)叫做點M的極坐標，記作M(ρ，θ)．當點M在極點時，它的極徑________，極角θ可以取________．(3)點與極坐標的關(guān)系：平面內(nèi)一點的極坐標可以有多數(shù)對，當k∈Z時，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)表示________，而用平面直角坐標表示點時，每一個點的坐標是唯一的．假如規(guī)定ρ＞0，0≤θ＜2π，或者－π＜θ≤π，那么，除極點外，平面內(nèi)的點和極坐標就一一對應(yīng)了．2．極坐標和直角坐標的互化(1)互化背景：把平面直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，建立極坐標系，并在兩種坐標系中取相同的單位長度，如圖所示．(2)互化公式：設(shè)M是坐標平面內(nèi)隨意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈[0，2π))，于是極坐標與直角坐標的互化公式如表：點M直角坐標(x，y)極坐標(ρ，θ)互化公式x=_______________ρ2＝________tanθ＝________在一般狀況下，由tanθ確定角時，可依據(jù)點M所在的象限取最小正角．二、必明2個常用結(jié)論1．極坐標的四個要素：①極點；②極軸；③長度單位；④角度單位和它的正方向，四者缺一不行．2．常見曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點，半徑為r的圓____________________圓心為(r，0)，半徑為r的圓____________________圓心為r，π半徑為r的圓____________________過極點，傾斜角為α的直線(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)過點(a，0)，與極軸垂直的直線____________________過點a，π極軸平行的直線____________________過點(a，0)，傾斜角為α的直線____________________提升關(guān)鍵實力——考點突破駕馭類題通法考點一直角坐標系中的伸縮變換[基礎(chǔ)性]1．求雙曲線C：x2－y264＝1經(jīng)過φ：x'2．若函數(shù)y＝f(x)的圖象在伸縮變換φ：x'=2x，y'=3y的作用下得到曲線的方程為y′＝3sinx'+反思感悟伸縮變換公式應(yīng)用時的兩個留意點(1)曲線的伸縮變換是通過曲線上隨意一點的坐標的伸縮變換實現(xiàn)的，解題時肯定要區(qū)分變換前的點P的坐標x，y與變換后的點(2)已知變換后的曲線方程f(x，y)=0，一般都要改寫為方程f(x'，y')=0，再利用換元法確定伸縮變換公式．考點二極坐標與直角坐標的互化[綜合性][例1]在極坐標系下，已知圓O：ρ＝cosθ＋sinθ和直線l：ρsin(θ－π4)＝22(ρ≥0，0≤(1)求圓O和直線l的直角坐標方程；(2)當θ∈(0，π)時，求直線l與圓O的公共點的極坐標．聽課筆記：反思感悟極坐標方程與直角坐標方程的互化(1)直角坐標方程化為極坐標方程：將公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ干脆代入直角坐標方程并化簡即可．(2)極坐標方程化為直角坐標方程：通過變形，構(gòu)造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再應(yīng)用公式進行代換，其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形技巧．【對點訓練】以直角坐標系中的原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，已知曲線C的極坐標方程為ρ＝21-(1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)過極點O作直線l交曲線C于點P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直線l的極坐標方程．考點三曲線的極坐標方程及應(yīng)用[綜合性]角度1曲線的極坐標方程[例2][2024·全國乙卷]在直角坐標系xOy中，⊙C的圓心為C(2，1)，半徑為1.(1)寫出⊙C的一個參數(shù)方程；(2)過點F(4，1)作⊙C的兩條切線．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程．聽課筆記：反思感悟求曲線的極坐標方程的步驟(1)建立適當?shù)臉O坐標系，設(shè)P(ρ，θ)是曲線上隨意一點；(2)由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上隨意一點的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式；(3)將列出的關(guān)系式進行整理、化簡，得出曲線的極坐標方程．角度2極坐標方程的應(yīng)用[例3][2024·陜西省部分學校檢測]在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=3+sinφ-2cosφy=cosφ+2sinφ(φ為參數(shù))，以坐標原點O(1)求曲線C1的極坐標方程并推斷C1，C2的位置關(guān)系；(2)設(shè)直線θ＝α-π2<α<π2，ρ∈R分別與曲線C1交于A，B兩點，與曲線C2交于聽課筆記：反思感悟極坐標方程及其應(yīng)用的解題策略(1)求點到直線的距離．先將極坐標系下點的坐標、直線方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系下點的坐標、直線方程，然后利用直角坐標系中點到直線的距離公式求解．(2)求線段的長度．先將極坐標系下的點的坐標、曲線方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系下的點的坐標、曲線方程，然后再求線段的長度．【對點訓練】1．在極坐標系中，O為極點，點M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲線C：ρ＝4sinθ上，直線l過點A(4，0)且與OM垂直，垂足為P.(1)當θ0＝π3時，求ρ0及l(fā)(2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程．2．[2024·昆明市質(zhì)量檢測]在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=2+ty=1+t(t為參數(shù))．以坐標原點O為極點，x軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝4cosθ(1)求C1的極坐標方程和C2的直角坐標方程；(2)若C1，C2交于A，B兩點，求|OA|·|OB|.選修4－4坐標系與參數(shù)方程第一節(jié)坐標系積累必備學問一、1．(1)極點極軸極坐標系(2)極徑極角ρ＝0隨意值(3)同一個點2．(1)ρcosθρsinθx2＋y2yx(x二、2．ρ＝r(0≤θ＜2π)ρ＝2rcosθ(－π2≤θ＜π2)ρ＝2rsinθ(0≤θ＜π)ρcosθ＝a-π2＜θ＜π2ρsinθ＝a(0＜θ＜π)ρsin(提升關(guān)鍵實力考點一1．解析：設(shè)曲線C′上隨意一點P′(x′，y′)，由上述可知，將x=代入x2－y264＝1，得化簡得x'2即x29-則焦點F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)為所求．2．解析：由題意，把變換公式代入曲線y′＝3sinx得3y＝3sin2x+π整理得y＝sin2x+π故f(x)＝sin2x+π所以y＝f(x)的最小正周期為2π2考點二例1解析：(1)圓O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ.故圓O的直角坐標方程為x2＋y2－x－y＝0，直線l：ρsinθ-π4＝22，即ρsinθ－ρ則直線l的直角坐標方程為x－y＋1＝0.(2)由(1)知圓O與直線l的直角坐標方程，將兩方程聯(lián)立得x2+即圓O與直線l在直角坐標系下的公共點為(0，1)，轉(zhuǎn)化為極坐標為1，π2，故直線l與圓O的公共點的極坐標為對點訓練解析：(1)因為ρ＝x2+y2，ρsinθ＝y(tǒng)，ρ＝21-sinθ可化為ρ－ρsin(2)設(shè)直線l的極坐標方程為θ＝θ0(ρ∈R)，依據(jù)題意21-sinθ0＝3·21-sinθ0+π，解得θ0＝π6或θ0＝5π6，所以直線l的極坐標方程為θ＝π6(考點三例2解析：(1)由題意知⊙C的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1，則⊙C的參數(shù)方程為x=2+cosαy=1+(2)由題意可知，切線的斜率存在，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0，所以2k-1+1-4kk2+12則這兩條切線方程分別為y＝33x－433＋1，y＝－33故這兩條切線的極坐標方程分別為ρsinθ＝33ρcosθ－433＋1，ρsinθ＝－33ρcos例3解析：(1)曲線C1：x-3=sinφ-2①2＋②2得(x－3)2＋y2＝5，即x2＋y2－6x＋4＝0，將x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入上式，得曲線C1的極坐標方程為ρ2－6ρcosθ＋4＝0.由ρ2-6ρcosθ所以C1，C2相離．解析：(2)由ρ得ρ2－6ρcosα＋4＝0，因為直線θ＝α與曲線C1有兩個交點A，B，所以Δ＝36cos2α－16>0，得cosα>23設(shè)方程ρ2－6ρcosα＋4＝0的兩根分別為ρ1，ρ2，則ρ因為|AB|＝3|OA|，所以|OB|＝4|OA|，即ρ2＝4ρ1⑤，由③④⑤解得ρ1＝1，ρ2＝4，cosα＝56，滿意Δ由ρcosθ+2=0θ=α得ρ＝-2cosα＝－125對點訓練1．解析：(1)因為M(ρ0，θ0)在C上，當θ0＝π3時，ρ0＝4sinπ3＝2由已知得|OP|＝|OA|cosπ3設(shè)Q(ρ，θ)為l上除P的隨意一點．連接OQ，在Rt△OPQ中，ρcosθ-π3＝|經(jīng)檢驗，點P2，π3在曲線ρcos(θ－所以，l的極坐標方程為ρcosθ-π(2)設(shè)P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因為P在線段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范圍是π4所以，P點軌跡的極坐標方程為ρ＝4cosθ，θ∈π42．解析：(1)消去參數(shù)t，得C1的一般方程為x－y＝1，又x＝ρcosθ，y＝ρsin