高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.1.1歸納推理課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)（含解析）北師大版選修22

課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)一歸納推理(20分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1.用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為 () C.6n+2 D.8n+2【解析】選C.設(shè)第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為an，則a1=8，a2=14，a3=20，猜想an=6n+2.2.已知整數(shù)對(duì)的序列為(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，則第57個(gè)數(shù)對(duì)是()A.(2，10) B.(10，2) C.(3，5) D.(5，3)【解析】選A.由題意，發(fā)現(xiàn)所給整數(shù)對(duì)有如下規(guī)律：(1，1)的和為2，共1個(gè)；(1，2)，(2，1)的和為3，共2個(gè)；(1，3)，(2，2)，(3，1)的和為4，共3個(gè)；(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和為5，共4個(gè)；(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和為6，共5個(gè).由此可知，當(dāng)數(shù)對(duì)中兩個(gè)數(shù)字之和為n時(shí)，有n-1個(gè)數(shù)對(duì).易知第57個(gè)數(shù)對(duì)中兩數(shù)之和為12，且是兩數(shù)之和為12的數(shù)對(duì)中的第2個(gè)數(shù)對(duì)，故為(2，10).3.觀察下列各式：32-1=8，72-1=48，112-1=120，152-1=224，…據(jù)此規(guī)律，所得的結(jié)果都是8的倍數(shù).由此推測(cè)可得 ()A.其中包含等式：1032-1=10608B.其中包含等式：852-1=7224C.其中包含等式：532-1=2808D.其中包含等式：332-1=1088【解析】選A.數(shù)列3，7，11，15，…的通項(xiàng)為an=3+(n-1)×4=4n-1，當(dāng)n=26時(shí)，a26=103，但是85，53，33都不是數(shù)列{an}中的項(xiàng).4.(2019·全國(guó)卷Ⅱ)在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè).甲：我的成績(jī)比乙高.乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高.丙：我的成績(jī)比乙高.成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)?()A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙【解析】選A.若甲正確，則乙，丙都不正確，即由此判斷乙>丙，即甲>乙>丙成立.二、填空題(每小題5分，共10分)5.根據(jù)圖中線段的排列規(guī)則，試猜想第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)為_________.

【解析】分別求出前4個(gè)圖形中線段的數(shù)目，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出猜想，圖形①到④中線段的條數(shù)分別為1，5，13，29，因?yàn)?=22-3，5=23-3，13=24-3，29=25-3，因此可猜想第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)應(yīng)為28+1-3=509.答案：5096.觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610正方體6812猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是__________________.

【解析】由表格可知：三棱柱：5+6=9+2；五棱錐，6+6=10+2，正方體，6+8=12+2，猜想一般凸多面體中，面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)F，V，E所滿足的等式是：F+V-E=2.答案：F+V-E=2三、解答題(每小題10分，共20分)7.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)：若集合A，B滿足：A∪B={1，2}，則A，B共有9組；若集合A，B，C滿足：A∪B∪C={1，2}，則A，B，C共有49組；若集合A，B，C，D滿足：A∪B∪C∪D={1，2}，則A，B，C，D共有225組.根據(jù)上述結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為A，B，C，D，E五個(gè)集合，可以得出的正確結(jié)論是：若集合A，B，C，D，E滿足：A∪B∪C∪D∪E={1，2}，則A，B，C，D，E共有多少組？【解析】由A∪B={1，2}時(shí)，A，B共有9組，即32=9；A∪B∪C={1，2}時(shí)，A，B，C共有49組，即72=49；A∪B∪C∪D={1，2}時(shí)，A，B，C，D共有225組，即152=225；根據(jù)上述結(jié)果，推廣為：A∪B∪C∪D∪E={1，2}時(shí)，A，B，C，D，E共有312=961即961組.所以A，B，C，D，E共有961組.8.如圖，在圓內(nèi)畫一條線段，將圓分成兩部分；畫兩條線段，彼此最多分割成4條線段，同時(shí)將圓分割成4部分；畫三條線段，彼此最多分割成9條線段，將圓最多分割成7部分；畫四條線段，彼此最多分割成16條線段，將圓最多分割成11部分.那么：(1)在圓內(nèi)畫5條線段，它們彼此最多分割成多少條線段？將圓最多分割成多少部分？(2)猜想：圓內(nèi)兩兩相交的n(n≥2)條線段，彼此最多分割成多少條線段？將圓最多分割成多少部分？【解析】設(shè)圓內(nèi)兩兩相交的n條線段彼此最多分割成的線段為f(n)條，將圓最多分割為g(n)部分.(1)f(1)=1=12，g(1)=2=QUOTE；f(2)=4=22，g(2)=4=QUOTE；f(3)=9=32，g(3)=7=QUOTE；f(4)=16=42，g(4)=11=QUOTE；所以n=5時(shí)，f(5)=25，g(5)=QUOTE=16.(2)根據(jù)題意猜想：圓內(nèi)兩兩相交的n(n≥2)條線段，彼此最多分割為f(n)=n2條線段，將圓最多分割為g(n)=QUOTE部分.(15分鐘·30分)1.(5分)根據(jù)給出的數(shù)塔，猜測(cè)123456×9+7等于()1×9+2=11；12×9+3=111；123×9+4=1111；1234×9+5=11111；12345×9+6=111111；111110 111111111112 111113【解析】選B.由前5個(gè)等式知，右邊各位數(shù)字均為1，位數(shù)比前一個(gè)等式依次多1位，所以123456×9+7=1111111.2.(5分)已知an=logn+1(n+2)(n∈N+)，觀察下列算式：a1·a2=log23·log34=QUOTE·QUOTE=2；a1·a2·a3·a4·a5·a6=log23·log34·…·log78=QUOTE·QUOTE·…·QUOTE=3，…；若a1·a2·a3·…·am=2018(m∈N+)，則m的值為 ()2018201820182018-4【解析】選C.由已知得a1·a2·a3·…·am=QUOTE=2018，lg(m+2)=lg22018，解得m=22018-2.3.(5分)將正整數(shù)按如圖規(guī)律排列：第i行第j列的數(shù)字記為aij，若aij=2018，則i+j=_________.

【解析】由排列的規(guī)律可得，第n行結(jié)束的時(shí)候共排了1+2+3+…+n=QUOTEn(n+1)個(gè)數(shù)，所以前63行共有QUOTE×63×64=2016個(gè)數(shù)，故若aij=2018，則i=64，j=2，故i+j=66.答案：664.(5分)則上起第n行，左起第n+1列的數(shù)是_________.

【解析】第1行第2個(gè)數(shù)為2=1×2，第2行第3個(gè)數(shù)為6=2×3，第3行第4個(gè)數(shù)為12=3×4，第4行第5個(gè)數(shù)為20=4×5.故歸納出第n行第n+1個(gè)數(shù)為n(n+1)=n2+n.答案：n2+n5.(10分)某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖(1)，(2)，(3)，(4)為最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形.(1)求出f(5)的值.(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n+1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式.(3)求QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE的值.【解析】(1)f(5)=41.(2)因?yàn)閒(2)-f(1)=4=4×1，f(3)-f(2)=8=4×2，f(4)-f(3)=12=4×3，f(5)-f(4)=16=4×4，…由上式規(guī)律，得出f(n+1)-f(n)=4n.因?yàn)閒(n+1)-f(n)=4n?f(n+1)=f(n)+4n?f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)=…=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4=2n2-2n+1.(3)當(dāng)n≥2時(shí)，QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=1+QUOTE×1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=1+QUOTE=QUOTE-QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)f(x)=QUOTE，x1=1，xn=f(xn-1)(n≥2)，則x2，x3，x4分別為_________，猜想xn=_________.

【解析】x2=f(x1)=QUOTE=QUOTE，x3=f(x2)=QUOTE=QUOTE，x4=f(x3)=QUOTE=QUOTE，所以xn=QUOTE.答案：QUOTE，QUOTE，QUOTEQUOTE1.將正整數(shù)1，2，3，4，…按如圖所示的方式排成三角形數(shù)組，則第20行從右往左數(shù)第1個(gè)數(shù)是 ()【解析】選D.由三角形數(shù)組可推斷出，第n行共有2n-1項(xiàng)，且最后一項(xiàng)為n2，所以第20行，最后一項(xiàng)為400.2.設(shè)f(n)=n2+n+41(n∈N*)，計(jì)算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同時(shí)作出歸納推理，并用n=40驗(yàn)證猜測(cè)是否正確.【解析】f(1)=12+1+41=43，f(2)=22+2+41=47，f(3)=32+3+41=53，f(4)=42+4