第13章《軸對(duì)稱》知識(shí)講練（教師版）

2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)章節(jié)知識(shí)講練知識(shí)點(diǎn)01：軸對(duì)稱1.軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱（1）軸對(duì)稱圖形

如果一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.（2）軸對(duì)稱定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，則對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；③兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長線相交，那么它們的交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.（3）軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別:軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形；軸對(duì)稱涉及兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱圖形是對(duì)一個(gè)圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱；如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．2.線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.知識(shí)點(diǎn)02：作軸對(duì)稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，我們只要分別作出這些點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連接這些點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形；（2）對(duì)于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）的對(duì)稱點(diǎn)，連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形.點(diǎn)（,）關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（,－）；點(diǎn)（,）關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（－,）；點(diǎn)（,）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（－,－）.知識(shí)點(diǎn)03：等腰三角形1.等腰三角形

（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（即“等角對(duì)等邊”）.2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.3.直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023春?文山市期中）如圖，△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交BC、AB于點(diǎn)D、E，AE＝3cm，△ADC的周長為8cm，則△ABC的周長是（）?A．14cm B．17cm C．19cm D．20cm【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，AB＝2AE＝6，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵DE是邊AB的垂直平分線，∴DA＝DB，AB＝2AE＝6，∵△ADC的周長為8，∴AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝8，∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝6+8＝14，故選：A．2．（2分）（2023春?福田區(qū)校級(jí)期末）如圖，三座商場(chǎng)分別坐落在A、B、C所在位置，現(xiàn)要規(guī)劃一個(gè)地鐵站，使得該地鐵站到三座商場(chǎng)的距離相等，該地鐵站應(yīng)建在（）A．三角形三條中線的交點(diǎn) B．三角形三條高所在直線的交點(diǎn) C．三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) D．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵該地鐵站到三座商場(chǎng)的距離相等，∴該地鐵站應(yīng)建在三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處．故選：D．3．（2分）（2022秋?晉州市期末）等腰三角形的頂角為40°，則底角的度數(shù)為（）A．25° B．60° C．70° D．140°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得出答案．【解答】解：∵等腰三角形的頂角為40°，∴底角的度數(shù)為：，故選：C．4．（2分）（2022秋?西寧期末）如圖，MN是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)C在MN外，且與A點(diǎn)在MN的同一側(cè)，連接BC交MN于點(diǎn)P，連接AP，則（）A．BC＞PC+AP B．BC＝PC+AP C．BC＜PC+AP D．BC≤PC+AP【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得PA＝PB，結(jié)合圖形知BC＝PB+PC，通過等量代換得到答案．【解答】解：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，∴PA＝PB，∵BC＝PC+BP，∴BC＝PC+AP，故選：B．5．（2分）（2022秋?西寧期末）如圖，直線l，m相交于點(diǎn)O．P為這兩直線外一點(diǎn)，且OP＝3.6．若點(diǎn)P關(guān)于直線l，m的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P1，P2，則P1，P2之間的距離不可能是（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】如圖（見詳解），連接OP1，PP1，OP2，PP2，P1P2，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系可得結(jié)論．【解答】解：如圖，連接OP1，PP1，OP2，PP2，P1P2，∵P1是P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，∴直線l是PP1的垂直平分線，∴OP1＝OP＝2.8，∵P2是P關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)，∴直線m是PP2的垂直平分線，∴OP2＝OP＝3.6．當(dāng)P1，O，P2不在同一條直線上時(shí)，OP1﹣OP2＜P1P2＜OP1+OP2，即0＜P1P2＜7.2．當(dāng)P1，O，P2在同一條直線上時(shí)，P1P2＝OP1+OP2＝7.2，∴P1，P2之間的距離不可能是8，故選：A．6．（2分）（2023春?永春縣期末）如圖為一張銳角三角形紙片ABC，小明想要通過折紙的方式折出如下線段：①BC邊上的中線AD；②∠A的平分線AE；③BC邊上的高AF．根據(jù)所學(xué)知識(shí)與相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)可知：上述三條線中，能夠通過折紙折出的有（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【分析】根據(jù)三角形的中線，角平分線以及高的定義作答．【解答】解：①BC邊上的中線AD：如圖1，使點(diǎn)B、C重合，中點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AD，此時(shí)AD即為BC邊上的中線；②∠A的平分線AE：如圖2，沿直線AE折疊，使AB與AC重疊，此時(shí)AE即為BC邊上的角平分線；③BC邊上的高AF：如圖3，沿直線AF折疊，使BF與CF重合，此時(shí)AF即為BC邊上的高．綜上所述，所有能夠通過折紙折出的有①②③．故選：A．7．（2分）（2022秋?岳麓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∠BCD＞∠CBD，BC＝24，P，Q分別是BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CP+PQ取得最小值時(shí)，BQ的長是（）A．8 B．10 C．12 D．16【分析】作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)H，則PQ＝PH，CP+PQ＝CP+PH，當(dāng)C、H、P三點(diǎn)在同一直線上，且CH⊥AB時(shí)，CP+PQ＝CH為最短．【解答】解：如圖，作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)H，則PQ＝PH，BH＝BQ．∴CP+PQ＝CP+PH，∴當(dāng)C、H、P三點(diǎn)在同一直線上，且CH⊥AB時(shí)，CP+PQ＝CH為最短．∵∠ABC＝60°，∴∠BCH＝30°，∴BH＝BC＝24＝12，∴BQ＝12．故選：C．8．（2分）（2023?洪澤區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，則∠ACB的度數(shù)為（）A．45° B．α﹣45° C．α D．90°﹣α【分析】連接AB'，BB'，過A作AE⊥CD于E，依據(jù)∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD＝，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣．【解答】解：如圖，連接AB'，BB'，過A作AE⊥CD于E，∵點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE＝∠BAD＝，又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，∴四邊形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣，∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣﹣90°＝90°﹣，∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣，故選：D．9．（2分）（2022秋?龍江縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)M且AE＝CE，以點(diǎn)C為圓心，CA長為半徑作弧，交DE于點(diǎn)F，連接CF交AB于點(diǎn)G．若CG＝FG，則∠B的度數(shù)為（）A．75° B．70° C．65° D．60°【分析】連接AF，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AF＝CF結(jié)合題意易證△AFC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形“三線合一”可得∠CAB＝30°，最后在△ABC中利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可求解．【解答】解：連接AF，∵DE⊥AC，AE＝CE，∴AF＝CF，由題意可知CF＝CA，∴AF＝CF＝CA，∴△AFC是等邊三角形，∵CG＝FG，∴∠CAB＝∠CAF＝30°，∵AB＝AC，∴，故選：A．10．（2分）（2022秋?武昌區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，點(diǎn)E在AD上，連接BD，CE相交于點(diǎn)F，CE∥AB．若CE＝9，則CF的長為（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】連接AC，先證明△ABC≌△ADC（SSS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝∠CAD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAC＝∠ACE，進(jìn)一步可得∠CAD＝∠ACE，可得EA＝EC＝9，根據(jù)AB＝AD，∠A＝60°，可知△ABD是等邊三角形，從而可知△EFD是等邊三角形，可知EF＝DE＝3，根據(jù)CF＝CE﹣EF求解即可．【解答】解：連接AC，∵AB＝AD＝12，BC＝DC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠CAD，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠CAD＝∠ACE，∴EA＝EC，∵CE＝9，∴AE＝9，∴ED＝12﹣9＝3，∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∵CE∥AB，∴∠EFD＝∠ABD＝60°，∠FED＝∠A＝60°，∴△EFD是等邊三角形，∴EF＝ED＝3，∴CF＝CE﹣EF＝9﹣3＝6，故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?袁州區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，圖中線段上一動(dòng)點(diǎn)E，若滿足AE＝CE，AB＝6，∠BAC＝30°，則以AE為邊長的正方形面積是9或．【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)在線段AC的垂直平分線上，設(shè)AC的中點(diǎn)為M，根據(jù)點(diǎn)E在AC，AD，AB上，根據(jù)勾股定理解三角形，即可求解．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，∴，∵AE＝CE，∴E在線段AC的垂直平分線上，設(shè)AC的中點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)E在AC上時(shí)，則E，M重合，∵AE＝CE，AB＝AC＝6，∴，∴以AE為邊長的正方形面積是9，當(dāng)E在AD上時(shí)，如圖所示，∵AE＝CE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，∴∠DEC＝2∠DAC＝∠BAC＝30°，∴CE＝2CD，設(shè)AE＝EC＝a，則，，∴，在Rt△ADC中，AC2＝AD2+DC2，即，解得：，∴AE為邊長的正方形面積是，當(dāng)E點(diǎn)在AB上時(shí)，如圖所示，則∠EAM＝∠ECM＝30°，∴，∴2EM＝EC，在Rt△CEM中，CE2＝CM2+EM2，即，解得：CE2＝12，∴以AE為邊長的正方形面積是12．故答案為：9或或12．12．（2分）（2023春?達(dá)州期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝44°，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為B′，當(dāng)B′D∥AC時(shí)，則∠BCD的度數(shù)為27°．【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠B＝44°，再利用平行線的性質(zhì)得∠ADB′＝∠A＝44°，接著根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到∠CDB′＝∠CDB，則可出∠CDB的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠BCD的度數(shù)．【解答】解：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝44°，∵B′D∥AC，∴∠ADB′＝∠A＝44°，∵點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為B′，∴∠CDB′＝∠CDB＝（44°+180°）＝112°，∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣44°﹣112°＝24°．故答案為：24°．13．（2分）（2022秋?晉州市期末）如圖所示，圖中所有的三角形都是等邊三角形．若其中最小的等邊三角形的邊長為1cm，則圖中涂有陰影的等邊三角形的邊長為4cm，周長為12cm，面積為4cm2．【分析】因?yàn)槊總€(gè)三角形都是等邊的，從其中一個(gè)三角形入手，設(shè)△EFG與△EAD、△EDG的邊長為acm，則△BND的邊長為（a﹣1）cm，△GNH與△NIH的邊長為（a﹣1）+a＝（2a﹣1）cm，△BKI的邊長為（a﹣1）+（2a﹣1）＝（3a﹣2）cm，△CLK與△CLM的邊長為（3a﹣2）﹣1＝（3a﹣3）cm，△AMF的邊長為＝（3a﹣3）﹣1＝（3a﹣4）cm，根據(jù)題意得：AF＝AE+EF＝2EF＝2a，即2a＝3a﹣4，求出邊長再計(jì)算周長、面積即可．【解答】解：如圖所示：設(shè)△EFG與△EAD、△EDG的邊長為acm，則△BND的邊長為（a﹣1）cm，△GNH與△NIH的邊長為（a﹣1）+a＝（2a﹣1）cm，△BKI的邊長為（a﹣1）+（2a﹣1）＝（3a﹣2）cm，△CLK與△CLM的邊長為（3a﹣2）﹣1＝（3a﹣3）cm，△AMF的邊長為＝（3a﹣3）﹣1＝（3a﹣4）cm，根據(jù)題意得：AF＝AE+EF＝2EF＝2a，即2a＝3a﹣4，解得：a＝4，即陰影等邊三角形的邊長為4cm，∴周長為4×3＝12cm，作GX⊥EF，∵∠F＝∠FEG＝∠FGE＝60°，∴∠FGX＝30°，∴，∴，∴陰影等邊三角形的面積為：．故答案為：4，12，．14．（2分）（2023春?渝中區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，AE平分∠BAC，∠D＝∠DBC＝60°，若BD＝10cm，DE＝6cm，則BC的長是16cm．【分析】延長AE，交BC于G，延長DE交BC于G，可得△BDG是等邊三角形，得DG＝BD＝BG＝10cm，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AH⊥BC，BC＝2BH，則GH＝GE＝2cm，從而解決問題．【解答】解：延長AE，交BC于H，延長DE交BC于G，∵∠D＝∠DBC＝60°，∴△BDG是等邊三角形，∴DG＝BD＝BG＝10cm，∵DE＝6cm，∴EG＝4cm，∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AH⊥BC，BC＝2BH，∴GH＝GE＝2cm，∴BH＝BG﹣GH＝8cm，∴BC＝2BH＝16cm，故答案為：16．15．（2分）（2022秋?湖里區(qū)校級(jí)期末）如圖，所示，點(diǎn)O在一塊直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥Ab于點(diǎn)M，0M⊥BC于點(diǎn)N；若OM＝ON，則∠ABO＝15度．【分析】方法一：根據(jù)OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，從而可證Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠OBM＝∠OBN，即可求出∠ABO的度數(shù)．方法二：根據(jù)角平分線的判定定理求解即可．【解答】解：方法一：∵OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠OMB＝∠ONB＝90°，在Rt△OMB和Rt△ONB中，，∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°．方法二：∵OM⊥AB，ON⊥BC，又∵OM＝ON，∴OB平分∠ABC，∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°．故答案為：15．16．（2分）（2022秋?龍?zhí)秴^(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AD⊥AB交BC于點(diǎn)D，BC＝30，則AD＝10．【分析】由三角形的內(nèi)角和定理可求∠BAC＝120°，結(jié)合垂直的定義可求得∠CAD＝30°，BD＝2AD，進(jìn)而可求得AD＝BC＝10，即可求解．【解答】解：∵∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，∴∠CAD＝∠C＝30°，BD＝2AD，∴AD＝CD，∴AD＝BC＝10．故答案為：10．17．（2分）（2023?桐柏縣一模）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，OP＝m，∠AOB＝α，點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)T，連接QT，分別交OA，OB于點(diǎn)M，N，連接PM，PN，下列結(jié)論：①∠OTQ＝90°﹣α；②當(dāng)α＝30°時(shí)，△PMN的周長為m；③0＜QT＜2m；④∠MPN＝180°﹣2α，其中正確的有①②③④（填序號(hào)）．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出OQ＝OP，OT＝OP，∠QOM＝∠POM，∠PON＝∠TON，PM＝QM，PN＝TN，求出OQ＝OT＝OP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠OTQ＝∠OQT，求出∠QOT＝2α，再求出∠OTQ＝∠OQT＝（180°﹣∠QOT），即可判斷①；根據(jù)PM＝QM，PN＝TN求出△PMN的周長＝MN+PN+PM＝QT，根據(jù)等邊三角形的判定得出△QOT是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出OQ＝QT＝OP＝m，即可判斷②；根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理即可判斷③；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠MPO＝∠OQM，∠NPO＝∠OTN，求出∠MPN＝∠MPO+∠NPO＝∠OQM+∠OTN＝180°﹣∠QOT，即可判斷④．【解答】解：∵點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)T，∴OQ＝OP，OT＝OP，∠QOM＝∠POM，∠PON＝∠TON，PM＝QM，PN＝TN，∴OQ＝OT，∴∠OTQ＝∠OQT，∵∠AOB＝α，∴∠QOM+∠TON＝∠POM+∠PON＝∠AOB＝α，即∠QOT＝2α，∴∠OTQ＝∠OQT＝（180°﹣∠QOT）＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，故①正確；∵PM＝QM，PN＝TN，∴△PMN的周長＝MN+PN+PM＝TN+MN+QM＝QT，∵α＝30°，∴∠QOT＝2α＝60°，∵OQ＝OT，∴△QOT是等邊三角形，∴OQ＝QT，∴OQ＝OP＝m，∴QT＝m，∴△PMN的周長是m，故②正確；在△OQT中，0＜QT＜OQ+OT，∵OQ＝OT＝OP＝m，∴0＜QT＜2m，故③正確；在△QOM和△POM中，，∴△QOM≌△POM（SAS），∴∠MPO＝∠OQM，同理∠NPO＝∠OTN，∵∠QOT＝2α，∠OQM＝∠OTN，∴∠MPN＝∠MPO+∠NPO＝∠OQM+∠OTN＝180°﹣∠QOT＝180°﹣2α，故④正確．故答案為：①②③④．18．（2分）（2023?東莞市三模）如圖，等腰△ABC的底邊BC長為6，面積是30，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長的最小值為13．【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×6×AD＝30，解得AD＝10，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝3+10＝13．故答案為：13．19．（2分）（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D在AB上，E在CB上，A，C關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)分別是G，F(xiàn)，若F在AB上，DG⊥AB，DG＝+1，則DE的長是．【分析】連接CD，取AC的中點(diǎn)T，連接DT，過點(diǎn)E作EH⊥CD于H，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A＝60°，根據(jù)翻折的性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，利用等邊三角形的判定和性質(zhì)得出DT＝AT＝TC，再由等腰三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理求解即可．【解答】解：連接CD，取AC的中點(diǎn)T，連接DT，過點(diǎn)E作EH⊥CD于H，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，由翻折的性質(zhì)可知，，AC＝FG，∠ADE＝∠GDE，∠A＝∠G＝60°，∵DG⊥AB，∴∠GDF＝90°，∠DFG＝30°，∴FG＝AC＝2DG＝，，∵，∠A＝60°，∴△ADT是等邊三角形，∴DT＝AT＝TC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，∴∠DCE＝∠DFE＝60°，∵∠DFE＝∠B+∠FEB，∴∠FEB＝∠B＝30°，∴，∴，∵，∴，∵∠CDE＝∠EDF＝45°，∴．故答案為：．20．（2分）（2022秋?道縣期末）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下五個(gè)結(jié)論：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ為等邊三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正確的有①②④⑤．（注：把你認(rèn)為正確的答案序號(hào)都寫上）【分析】①根據(jù)全等三角形的判定方法，證出△ACD≌△BCE，即可得出AD＝BE，①正確．④先證明△ACP≌△BCQ，即可判斷出CP＝CQ，即可得④正確；②根據(jù)∠PCQ＝60°，可得△PCQ為等邊三角形，證出∠PQC＝∠DCE＝60°，得出PQ∥AE，②正確．③沒有條件證出OP＝OQ，得出③錯(cuò)誤；⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，⑤正確；即可得出結(jié)論．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，結(jié)論①正確．∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，在△ACP和△BCQ中，∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC，∴△ACP≌△BCQ（AAS），∴AP＝BQ，CP＝CQ，又∵∠PCQ＝60°，∴△PCQ為等邊三角形，結(jié)論④正確；∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，結(jié)論②正確．∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠AEO，∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，∴結(jié)論⑤正確．沒有條件證出OP＝OQ，③錯(cuò)誤；綜上，可得正確的結(jié)論有4個(gè)：①②④⑤．故答案為：①②④⑤．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023春?福田區(qū)校級(jí)期末）如圖，在所給正方形網(wǎng)格圖中完成下列各題：（用直尺畫圖，保留痕跡）（1）畫出格點(diǎn)△ABC（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）關(guān)于直線DE對(duì)稱的△A1B1C1；（2）在DE上畫出點(diǎn)Q，使QA+QC最??；（3）求△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可畫出格點(diǎn)△ABC關(guān)于直線DE對(duì)稱的△A1B1C1；（2）連接CA1交DE于點(diǎn)Q，即可使QA+QC最?。唬?）根據(jù)割補(bǔ)法利用網(wǎng)格即可求△ABC的面積．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，點(diǎn)Q即為所求；（3）△ABC的面積＝（1+3）×3﹣1×3﹣1×2＝6﹣1.5﹣1＝3.5．22．（6分）（2023春?漢陽區(qū)期末）如圖1，D為BA延長線上一點(diǎn)，∠CAD的角平分線交BC垂直平分線于點(diǎn)E，交BC延長線上一點(diǎn)F．（1）作△AEC關(guān)于直線EF的軸對(duì)稱圖形△AEG；（2）求證：∠BEC＝∠BAC；（3）如圖2，P為線段EF（不與E、F點(diǎn)重合）上異于A點(diǎn)的任一點(diǎn)，試比較PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)AF平分∠CAD，在AD上截取AG＝AC，連接EG，即可得出△AEG；（2）根據(jù)△CAE≌△GAE，得出EG＝EC，∠EGA＝∠ECA，證明EB＝EC，得出∠EBG＝∠EGA，證明∠ECA＝∠EBA，根據(jù)∠AHB＝∠AHC，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可證明結(jié)論；（3）在AD上截取AM＝AC，連接PM，證明△PAC≌△PAM，得出PM＝PC，根據(jù)PM+PB＞BM，BM＝AB+AM，即可證明PB+PC＞AB+AC．【解答】（1）解：在AD上截取AG＝AC，連接EG，則△AEG即為所求，如圖所示：∵AF平分∠CAD，∴∠CAF＝∠GAF，∴180°﹣∠CAF＝180°﹣∠GAF，即∠EAC＝∠EAG，∵AC＝AG，AE＝AE，∴△CAE≌△GAE（SAS），∴△AEG與△AEC關(guān)于直線EF對(duì)稱；（2）證明：根據(jù)解析（1）可知△CAE≌△GAE，∴EG＝EC，∠EGA＝∠ECA，∵點(diǎn)E在BC的垂直平分線上，∴EB＝EC，∴EB＝EG，∴∠EBG＝∠EGA，∴∠ECA＝∠EBA，∵∠AHB＝∠AHC，∴180°﹣∠EBG﹣∠EHB＝180°﹣∠AHC﹣∠BAC，即∠BEC＝∠BAC；（3）解：PB+PC＞AB+AC；理由如下：在AD上截取AM＝AC，連接PM，如圖所示：根據(jù)解析（1）可知，∠PAC＝∠PAM，∵AM＝AC，AP＝AP，∴△PAC≌△PAM，∴PM＝PC，∵PM+PB＞BM，BM＝AB+AM，∴PB+PC＞AB+AC．23．（8分）（2022秋??？悼h期末）如圖，在9×9的正方形網(wǎng)格中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，每個(gè)小正方形的邊長為1．（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系后，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，2），畫出平面直角坐標(biāo)系并寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）直線l經(jīng)過點(diǎn)A且與y軸平行，寫出點(diǎn)B、C關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)B1、C1的坐標(biāo)；（3）直接寫出BC上一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)．【分析】（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），可得點(diǎn)A向左平移2個(gè)單位長度，向下平移一個(gè)單位長度，即是坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，再寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到點(diǎn)B1、C1的坐標(biāo)；（3）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖所示，B（4，4）；（2）如圖所示，B1（0，4），C1（﹣1，2）；（3）解：∵點(diǎn)P1為BC上一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，∴P1（4﹣a，b）．24．（8分）（2023春?揭東區(qū)期末）已知，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長線上，且ED＝EC．（1）【特殊情況，探索結(jié)論】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為AB邊上任意一點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論，AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．（請(qǐng)你完成以下解答過程）．（3）【拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題】在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在線段CB的延長線上，且ED＝EC，若△ABC的邊長為1，AE＝2，求CD的長（請(qǐng)你畫出相應(yīng)圖形，并直接寫出結(jié)果）．【分析】（1）由E為等邊三角形AB邊的中點(diǎn)，利用三線合一得到CE垂直于AB，且CE為角平分線，由ED＝EC，利用等邊對(duì)等角及等腰三角形的性質(zhì)得到一對(duì)角相等，利用等角對(duì)等邊即可得證；（2）AE＝DB，理由如下，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，由三角形ABC為等邊三角形，得到三角形AEF為等邊三角形，進(jìn)而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形BDE與三角形EFC全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到DB＝EF，等量代換即可得證；（3）點(diǎn)E在AB延長線上時(shí)，如圖所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的長即可．【解答】解：（1）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，AE＝DB；（2）AE＝DB，理由如下，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，證明：∵△ABC為等邊三角形，∴△AEF為等邊三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，則AE＝DB；（3）點(diǎn)E在AB延長線上時(shí)，作EF∥AC，則△EFB為等邊三角形，如圖所示，同理可得△DBE≌△CFE，∵AB＝1，AE＝2，∴BE＝1，∵DB＝FC＝FB+BC＝2，則CD＝BC+DB＝3．故答案為：（1）＝；（2）＝25．（8分）（2022秋?襄州區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）作出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A'B'C'；（2）寫出點(diǎn)A'，B'，C'的坐標(biāo)．（3）在y軸上找一點(diǎn)P，使PA+PC的長最短．【分析】（1）分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，再收尾順次連接即可得；（2）根據(jù)△A'B'C'各頂點(diǎn)的位置，寫出其坐標(biāo)即可；（3）連接PC，則PC＝PC′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得PA+PC的值最?。窘獯稹拷猓海?）如圖所示，△A′B′C′為所求作；（2）由圖可得，A′（1，5），B′（1，0），C′（4，3），故答案為：（1，5），（1，0），（4，3）；（3）如圖所示，連接AC′，交y軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求作．26．（8分）（2022秋?潛江期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝60cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等邊三角形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為直角三角形？【分析】用含t的代數(shù)式表示出BP、BQ．（1）由于∠B＝60°，當(dāng)BP＝BQ時(shí)，可得到關(guān)于t的一次方程，求解即得結(jié)論；（2）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)．利用直角三角形中，含30°角的邊間關(guān)系，得到關(guān)于t的一次方程，求解得結(jié)論．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∵60÷2＝30，∴0≤t≤3，BP＝（6﹣2t）cm，BQ＝tcm．當(dāng)BP＝BQ時(shí)，△PBQ為等邊三角形即60﹣2t＝t，∴t＝20；當(dāng)t＝20時(shí)，△PBQ為等邊三角形；（2）若△PBQ為直角三角形，①當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，BP＝2BQ，即60﹣2t＝2t，∴t＝15，②當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，BQ＝2BP，即t