方程組的解題5種常見(jiàn)考法歸類

方程組的解集5種常見(jiàn)考法歸類1、方程組的解集一般地，將多個(gè)方程聯(lián)立，就能得到方程組．方程組中，由每個(gè)方程的解集得到的交集稱為這個(gè)方程組的解集．注意：（1）解方程組常用的方法：消元法．（2）當(dāng)方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組的解集可能有無(wú)窮多個(gè)元素，此時(shí)，如果將其中一些未知數(shù)看成常數(shù)，那么其他未知數(shù)往往能用這些未知數(shù)表示出來(lái)．2、二元一次方程組方程組含有兩個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組．例如，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝0，,3x－y＝6，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（x－3y）＋3＝0，,\f(3x－1,2)－5y＝2))都是二元一次方程組．3、三元一次方程組方程組含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組．例如，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,y＋z＝5，,x＋z＝4，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＋z＝4，,2x＋3y－z＝12，,x＋y＋z＝6))都是三元一次方程組．4、二元二次方程組二元二次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為2，像這樣的方程叫做二元二次方程．二元二次方程組：方程組中含有兩個(gè)未知數(shù)，含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為2，并且一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫做二元二次方程組．注：(1)二元二次方程組有兩種類型：一是由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成；二是由兩個(gè)二元二次方程組成，我們主要學(xué)習(xí)第一種類型．(2)解二元二次方程組的思路是消元和降次．5、用代入消元法解二元一次方程組的步驟(1)變形選取一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的二元一次方程進(jìn)行變形，變形為y＝ax＋b(或x＝ay＋b)(a，b是常數(shù)，a≠0)的形式．(2)代入把y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一個(gè)沒(méi)有變形的方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程．(3)求解解消元后的一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值．(4)回代把求得的未知數(shù)的值代入步驟(1)中變形后的方程，求出另一個(gè)未知數(shù)．(5)寫(xiě)解集用集合表示為{(x，y)|(…，…)}的形式．6、用加減消元法解二元一次方程組的步驟(1)變形根據(jù)同一個(gè)未知數(shù)系數(shù)的絕對(duì)值的最小公倍數(shù)，將方程的兩邊都乘適當(dāng)?shù)臄?shù)，使兩個(gè)方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)．(2)加減兩個(gè)方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，將兩個(gè)方程相加；同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等時(shí)，將兩個(gè)方程相減．(3)求解解消元后的一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值．(4)回代把求得的未知數(shù)的值代入方程組中較簡(jiǎn)單的方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值．(5)寫(xiě)解集用集合表示為{(x，y)|(…，…)}的形式．注意：(1)在確定消去哪個(gè)未知數(shù)時(shí)，要從整體考慮，一般選擇消去后可以使計(jì)算量相對(duì)較小的未知數(shù)．(2)消去的未知數(shù)一定是同一未知數(shù)，否則就達(dá)不到消元的目的．(3)當(dāng)兩個(gè)方程中，同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)，用加減消元法較簡(jiǎn)單．(4)當(dāng)兩個(gè)方程通過(guò)變形用含有一個(gè)未知數(shù)的式子來(lái)表示另一個(gè)未知數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，往往選用加減消元法．7、解三元一次方程組的基本思路8、消元法解三元一次方程組的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)在確定消去哪個(gè)未知數(shù)時(shí)，要從整體考慮，一般選擇消去后可以使計(jì)算量相對(duì)較小的未知數(shù)．(2)消去的未知數(shù)一定是同一未知數(shù)，否則就達(dá)不到消元的目的．注；解三元一次方程組時(shí)，先觀察三個(gè)方程中各未知數(shù)系數(shù)的特點(diǎn)及整個(gè)式子的特點(diǎn)，然后確定先要消去的未知數(shù)，再靈活選擇代入消元法或加減消元法將三元化為二元，達(dá)到消元的目的．9、“二·一”型的二元二次方程組的基本思想“二·一”型的二元二次方程組的實(shí)數(shù)解有三種情況：有一解、兩解和沒(méi)有解．把二元一次方程代入二元二次方程，消去一個(gè)未知數(shù)之后，得到一個(gè)一元二次方程．由根的判別式可知，解的情況可能是有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解或無(wú)實(shí)數(shù)解，這樣的二元二次方程組的解也就相應(yīng)地有三種情況．簡(jiǎn)言之，有一個(gè)二元一次方程的二元二次方程組的實(shí)數(shù)解的情況，一般可通過(guò)一元二次方程的根的判別式來(lái)判斷．10、解由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的步驟：解“二·二”型方程組的基本思想解“二·二”型方程組的基本思想仍是“轉(zhuǎn)化”，轉(zhuǎn)化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是：(1)當(dāng)方程組中只有一個(gè)可分解為兩個(gè)二元一次方程的方程時(shí)，可將分解得到的兩個(gè)二元一次方程分別與原方程組中的另一個(gè)二元二次方程組成兩個(gè)“二·一”型方程組．解這兩個(gè)“二·一”型方程組，所得的解都是原方程組的解．(2)當(dāng)方程組中兩個(gè)二元二次方程都可分解為兩個(gè)二元一次方程時(shí)，將第一個(gè)二元二次方程分解所得到的每一個(gè)二元一次方程分別與第二個(gè)二元二次方程分解所得的每一個(gè)二元一次方程組成方程組，可得到四個(gè)二元一次方程組，解這四個(gè)二元一次方程組，所得的解都是原方程組的解．考點(diǎn)一求二元一次方程組的解集考點(diǎn)二求三元一次方程組的解集考點(diǎn)三求二元二次方程組的解集（一）“二·一”型的二元二次方程組（二）“二·二”型的二元二次方程組考點(diǎn)四方程組在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用考點(diǎn)五已知解集求參數(shù)考點(diǎn)一求二元一次方程組的解集1．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）方程組的解集是【答案】【分析】通過(guò)解方程組和集合的概念即可求解.【詳解】方程組可知，，從而方程組的解集為.故答案為：.2．（2023秋·上海普陀·高一?？茧A段練習(xí)）用列舉法表示方程組的解集為．【答案】【分析】解方程組，并用列舉法表示解集.【詳解】，則，兩式相減得，解得，故，∴方程組的解集為.故答案為：.3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于x，y的方程組與的解集相等，則a、b的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由解得，再把代入，求解即可.【詳解】由題意聯(lián)立方程為：，解得，把代入得，解得.故選：B4．（2023秋·上海黃浦·高二格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解關(guān)于，的方程組：．【答案】見(jiàn)解析【分析】分別討論、、時(shí)的解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，方程組解為；（2）當(dāng)時(shí)，，方程組無(wú)解；（3）當(dāng)時(shí)，兩式相加得，兩式相減得，方程組解為.考點(diǎn)二求三元一次方程組的解集5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知非零實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由方程組即可求解的關(guān)系，進(jìn)而可求解.【詳解】由兩式子相加可得，所以，所以，故選：C6．（2023春·北京海淀·高一?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知方程組，則．【答案】【分析】根據(jù)題目中等量關(guān)系代入即可求解【詳解】令，解得，所以.故答案為：.7．（2023秋·全國(guó)·高一專題練習(xí)）方程組的解集的是（

）A．{(1，－2，3)} B．{(1，0，1)} C．{(0，－1，0)} D．{(0，1，－2)}【答案】A【分析】將第一個(gè)式子分別與第二、第三個(gè)式子相加消去，可得，求解可得，再代入第一個(gè)式子，即得解【詳解】由題意將第一個(gè)式子分別與第二、第三個(gè)式子相加得：代入第一個(gè)式子，可得故方程組的解集為：{(1，－2，3)}故選：A8．（2023秋·遼寧大連·高一大連市第二十高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）求方程組的解集；（2）求三元一次方程組的解集.【答案】（1），（2）【分析】（1）將第2個(gè)方程化簡(jiǎn)變形后，利用代入法求解，（2）給第2個(gè)方程兩邊同乘以3，再第3個(gè)方程相加，消去，得到關(guān)于的方程，再與第1個(gè)方程聯(lián)立求解即可【詳解】（1）由，得，得，代入中得，，得，所以，所以方程組的解集為（2）給兩邊同乘以3，得，再與相加，得，由，得，把代入中，解得，所以原方程組的解集為9．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知是非負(fù)整數(shù)，且，則的范圍是【答案】【分析】由①×3﹣②得到2x+y＝0，結(jié)合x(chóng)、y是非負(fù)整數(shù)，得到x＝y(tǒng)＝0，z＝10，進(jìn)而計(jì)算結(jié)果.【詳解】∵①×3﹣②得：2x+y＝0，∵x、y是非負(fù)整數(shù)，∴x＝y(tǒng)＝0，z＝10，∴x+5y+3z＝30，故答案為：．考點(diǎn)三求二元二次方程組的解集（一）“二·一”型的二元二次方程組10．（2023秋·全國(guó)·高一專題練習(xí)）方程組的解集是（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】解方程組，再將方程組的解用集合表示.【詳解】由，解得，所以方程組的解集是，故選：D11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）方程組的解集為.【答案】【分析】利用代入消元法，求解方程組的解集即可．【詳解】由②得代入①，得，整理得，因?yàn)椋源朔匠虩o(wú)實(shí)數(shù)解，故方程組的解集為．故答案為：．12．（2023秋·山東日照·高一山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）求方程的解集；（2）求方程組的解集.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）原方程可化為，即可求解集；（2）由方程組可得，即可求y值，再代入求x值，即可得解集.【詳解】（1）由題設(shè)，，解得或，∴原方程的解集為.（2）由題設(shè)，，整理有，可得，代入，可得，∴方程組的解集為.13．（2023秋·北京·高一校考期中）求下列方程組的解集：(1)

；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用加減消元法求得正確結(jié)果.（2）利用代入消元法求得正確結(jié)果.(1)，①得：③，③②得：，代入①，，所以方程組的解集為.(2)由①得代入②，，，或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以方程組的解集為.14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）求方程組的解集.【答案】【分析】利用消元法即可解出方程組.【詳解】由得，代入得：，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以方程組的解為或，其解集為.15．（2023秋·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求下列方程組的解集：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）中由第一個(gè)式子可得代入第二個(gè)、第三個(gè)式子，再作差求解即可；（2）中由第一個(gè)式子可得代入第二個(gè)式子求解即可；（3）由第一個(gè)式子可得代入第二個(gè)式子求解即可.【詳解】（1）由第一個(gè)式子可得代入第二個(gè)、第三個(gè)式子可得：，兩個(gè)式子作差可得代入可得故方程組的解集為（2）由第一個(gè)式子可得代入第二個(gè)式子可得解得代入，可得故方程組的解集為（3）由第一個(gè)式子可得代入第二個(gè)式子可得即解得代入可得故方程組的解集為（二）“二·二”型的二元二次方程組16．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知矩形的面積為，對(duì)角線長(zhǎng)，則該矩形的周長(zhǎng)為.【答案】34【分析】設(shè)出矩形的長(zhǎng)與寬，由題意列出等量關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)矩形的長(zhǎng)為，寬為.由題意可得：，則，所以，所以該矩形的周長(zhǎng)為.故答案為：34.17．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）解方程組【答案】{(－1，－6)，(6，1)，(，－)，(－，)}.【分析】化簡(jiǎn)可得x＋y＝0或x－y－5＝0，然后分別與聯(lián)立解方程即可.【詳解】由x2－y2－5(x＋y)＝0?(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0?(x＋y)(x－y－5)＝0，所以x＋y＝0或x－y－5＝0，所以原方程組可化為兩個(gè)方程組：或用代入法解這兩個(gè)方程組，得原方程組的解是：或或或，所以原方程組的解集為{(－1，－6)，(6，1)，(，－)，(－，)}.【點(diǎn)睛】本題主要考查解方程組，重在考查計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.18．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則．【答案】或2或【分析】對(duì)分，兩種情況討論得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，由題得所以或，所以或2；當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，綜合得或2或.故答案為：或2或19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若相異兩實(shí)數(shù)x，y滿足，則之值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求得，由此求得所求表達(dá)式的值.【詳解】?jī)墒阶鞑钕茫海创厝サ茫?，同理可得：，由同?gòu)及韋達(dá)定理有：繼而有：.故選：D考點(diǎn)四方程組在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用20．（2023秋·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某商店有方形、圓形兩種巧克力，小明如果購(gòu)買(mǎi)3塊方形和5塊圓形巧克力，他帶的錢(qián)會(huì)差8元，如果購(gòu)買(mǎi)5塊方形和3塊圓形巧克力，他帶的錢(qián)會(huì)剩下8元．若他只購(gòu)買(mǎi)8塊方形巧克力，則他會(huì)剩下多少錢(qián)（

）A．8元 B．16元 C．24元 D．32元【答案】D【解析】設(shè)方形巧克力每塊x元，圓形巧克力每塊y元，小明帶了a元錢(qián)，根據(jù)題意得，解得8x＝a－32，由此得解.【詳解】設(shè)方形巧克力每塊x元，圓形巧克力每塊y元，小明帶了a元錢(qián)，則，兩式相加得8x＋8y＝2a，∴x＋y＝a，∵5x＋3y＝a－8，∴2x＋(3x＋3y)＝a－8，∴2x＋3×a＝a－8，∴2x＝a－8，∴8x＝a－32，即他只購(gòu)買(mǎi)8塊方形巧克力，則他會(huì)剩下32元，故選：D.21．（2023秋·遼寧朝陽(yáng)·高一建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國(guó)古代書(shū)籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”專講盈虧問(wèn)題及其解法，其中有一題為：“今有（人）共買(mǎi)物，（每）人出八（錢(qián)），盈（余）三（錢(qián)），人出七（錢(qián)），不足四（錢(qián)），問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何”，請(qǐng)你回答本題中的人數(shù)是，物價(jià)是（錢(qián)）．【答案】【分析】設(shè)人數(shù)為，物價(jià)是（錢(qián)），根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，即可得解.【詳解】設(shè)人數(shù)為，物價(jià)是（錢(qián)），則，解得.故答案為：；.22．（2023秋·全國(guó)·高一專題練習(xí)）x人，組數(shù)為y組，則列方程組為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，若每組7人，余3人；若每組8人，則缺5人，即可列出兩個(gè)方程，即可得答案.【詳解】根據(jù)組數(shù)×每組7人＝總?cè)藬?shù)－3人，得方程；根據(jù)組數(shù)×每組8人＝總?cè)藬?shù)＋5人，得方程，列方程組為故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用.找出本題中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.考點(diǎn)五已知解集求參數(shù)23．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于的方程組的解集為，則.【答案】4【分析】根據(jù)