一元二次方程（知識點串講）（原卷版）

專題12一元二次方程考點總結(jié)【思維導(dǎo)圖】【知識要點】知識點一一元二次方程定義及一般形式概念：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。一般形式：。其中a為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項?！咀⒁狻?）只含有一個未知數(shù)；2）所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2；3）整式方程。1．（2019·四川中考模擬）下列方程，是一元二次方程的是（）①3x2+x=20，②2x2-3xy+4=0，③x2-=4，④x2=0，⑤x2-+3=0A．①② B．①④⑤ C．①③④ D．①②④⑤2．（2019·廣西柳州二十五中中考模擬）根據(jù)下列表格的對應(yīng)值，判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c為常數(shù)）一個解的范圍是（）xax2+bx+c﹣﹣A．3＜x＜ B．＜x＜ C．＜x＜ D．＜x＜3．（2019·廣東中考模擬）方程2x2﹣3x﹣5=0的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為（）A．3、2、5B．2、3、5C．2、﹣3、﹣5D．﹣2、3、54．（2018·湖南中考模擬）下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．5．（2018·湖北中考模擬）下列關(guān)于x的方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x﹣1=0 B．x2+3x﹣5=0 C．x3+x=3 D．a(chǎn)x2+bx+c=0考查題型一應(yīng)用一元二次方程的定義求字母參數(shù)的方法1．（2019·吉林中考模擬）若關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m的取值范圍是（）A．. B．. C． D．.2．（2019·四川中考模擬）若是關(guān)于x的一元二次方程，則a的值是（）A．0 B．2 C．-2 D．±23．（2017·重慶中考模擬）若方程是一元二次方程，則m的值為（）A．0 B．±1 C．1 D．–14．（2019·汕頭市潮南區(qū)陽光實驗學(xué)校中考模擬）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常數(shù)項為0，則m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．0考查題型二一元二次方程的根的應(yīng)用方法1．（2019·四川中考模擬）若n（）是關(guān)于x的方程的根，則m+n的值為（）A．1 B．2 C．-1 D．-22．（2019·中山市楊仙逸中學(xué)中考模擬）已知y＝0是關(guān)于y的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0的一個根，那么m的值是（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣13．（2018·河北中考模擬）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一個根為x=﹣2，則代數(shù)式6a﹣3b+6的值為（）A．9 B．3 C．0 D．﹣3知識點2：解一元二次方程（重點）方法一：配方法（最基礎(chǔ)的解法）配方的過程需注意：若方程二次項系數(shù)為1時，“方程兩邊加一次項系數(shù)一半的平方”用配方法解一元二次方程的一般步驟移項：使方程左邊為二次項與一次項，右邊為常數(shù)項；二次項系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項系數(shù)；配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一般的平方，把方程化為的形式；【注意】：1）當(dāng)時，方程無解2）若方程二次項系數(shù)為1時，“方程兩邊加一次項系數(shù)一半的平方”求解：判斷右邊等式符號，開平方并求解。1．（2019·江蘇中考真題）用配方法解方程，變形后的結(jié)果正確的是()A． B． C． D．2.．（2018·浙江中考模擬）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1=0時，下列變形正確的是（）A．（x﹣3）2=1B．（x﹣3）2=10C．（x+3）2=1D．（x+3）2=103.．（2015·湖北中考真題）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列變形正確的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36 B．（x﹣6）2=4+36 C．（x﹣3）2=﹣4+9 D．（x﹣3）2=4+9方法二：直接開平方法（最基礎(chǔ)的解法）概念：形如的方程可以用直接開平方法解，兩邊直接開平方得或者，最后通過解兩個一元一次方程得到原方程的解?！咀⒁狻?)若b≥0，方程有兩個實數(shù)根。（若b>0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；若b=0，方程有兩個相等的實數(shù)根）2)若b<0，方程無解。1．（2019·江蘇中考模擬）一元二次方程根的情況是（）A．無實數(shù)根 B．有一個正根，一個負(fù)根C．有兩個正根，且都小于3 D．有兩個正根，且有一根大于32．（2019·四川中考模擬）對于兩個實數(shù)，，用表示其中較大的數(shù)，則方程的解是（）A．， B．， C．， D．，3．（2018·福建中考模擬）設(shè)一元二次方程（）（）=m（m＞0）的兩實數(shù)根分別為α、β且α＜β，則α、β滿足（）A．-1＜α＜β＜3 B．α＜-1且β＞3C．α＜-1＜β＜3 D．-1＜α＜3＜β方法三：公式法（常用解法）一元二次方程根的判別式：方程有兩個不相等的實根:（）的圖像與軸有兩個交點方程有兩個相等的實根的圖像與軸有一個交點方程無實根的圖像與軸沒有交點用公式法解一元二次方程的一般步驟：把方程化為一般形式，確定a、b、c的值(若系數(shù)是分?jǐn)?shù)通常將其化為整數(shù)，方便計算);求出b2-4ac的值，根據(jù)其值的情況確定一元二次方程是否有解;如果b2-4ac≥0,將a、b、c的值代入求根公式：最后求出x1，x21．（2019·廣西中考模擬）關(guān)于的方程有實數(shù)根，則滿足（）A． B．且 C．且 D．2．（2019·福建中考模擬）不解方程，判別方程2x2﹣3x＝3的根的情況()A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．有一個實數(shù)根 D．無實數(shù)根3．（2019·新疆中考模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實根，則k的值為（）A． B． C．2或3 D．或考查題型三一元二次方程根的判別式的應(yīng)用方法1．（2019·河南中考模擬）關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k≤且k≠1 B．k≤ C．k＜且k≠1 D．k＜2．（2015·四川中考真題）方程(m-2)x2-3-mx+A．m>52 B．m≤52且m≠2 C．m≥3 D3．（2019·安徽中考模擬）若關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤14．（2018·廣東中考模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-（m-1）=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．且 B． C．且 D．5．（2019·湖北中考模擬）關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．方法四：因式分解法（仔細(xì)觀察方程，靈活使用）用因式分解一元二次方程的一般步驟：將方程右邊得各項移到方程左邊，使方程右邊為0；將方程左邊分解為兩個一次因式相乘的形式；令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；求解歸納：右化零，左分解，兩因式，各求解1．（2019·湖州市南潯區(qū)南潯錦繡實驗學(xué)校中考模擬）若x＝－2是關(guān)于x的一元二次方程x2＋ax－a2＝0的一個根，則a的值為（）A．－1或4 B．－1或－4C．1或－4 D．1或42．（2019·長沙市南雅中學(xué)中考模擬）三角形兩邊長分別為4和6，第三邊是方程x2﹣13x+36＝0的根，則三角形的周長為（）A．14 B．18 C．19 D．14或193．（2013·寧夏中考真題）一元二次方程的根是A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和24．（2018·四川中考模擬）已知一元二次方程x2-8x+15=0的兩個解恰好分別是等腰△ABC的底邊長和腰長，則△ABC的周長為（）A．13 B．11或13 C．11 D．12方法五：韋達(dá)定理（根與系數(shù)關(guān)系）我們將一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0（a≠0，Δ≥0）之后，設(shè)它的兩個根是和，則和+＝；＝考查題型四一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用1．（2017·湖北中考模擬）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，則的值為（）A．﹣402 B． C． D．2．（2019·貴州中考真題）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個根為x1，x2，則x12+3x2+x1x2﹣2的值是（）A．10 B．9 C．8 D．73．（2017·廣東中考模擬）關(guān)于的方程的兩根的平方和是5，則的值是(

)A．-1或5 B．1 C．5 D．-14.（2019·湖北中考真題）關(guān)于x的一元二次方程的兩實數(shù)根分別為、，且，則m的值為（）A． B． C． D．05．（2019·廣州市第六十五中學(xué)中考模擬）已知a、b為一元二次方程的兩個根，那么的值為（）A．-7 B．0 C．7 D．11知識點4：一元二次方程的應(yīng)用列一元二次方程解應(yīng)用題，其步驟和二元一次方程組解應(yīng)用題類似：“審”，弄清楚已知量，未知量以及他們之間的等量關(guān)系；“設(shè)”指設(shè)元，即設(shè)未知數(shù)，可分為直接設(shè)元和間接設(shè)元；“列”指列方程，找出題目中的等量關(guān)系，再根據(jù)這個關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式，即方程?！敖狻本褪乔蟪稣f列方程的解；“答”就是書寫答案，檢驗得出的方程解，舍去不符合實際意義的方程。注意：一元二次方程考點：定義的考察；解方程及一元二次方程的應(yīng)用?？疾轭}型五用一元二次方程解決平均增長率問題1．（2018·河南中考模擬）某種品牌運動服經(jīng)過兩次降價，每件零售價由560元降為315元，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率．設(shè)每次降價的百分率為x，下面所列的方程中正確的是（）A．560（1＋x）2＝315 B．560（1－x）2＝315C．560（1－2x）2＝315 D．560（1－x2）＝3152．（2013·甘肅中考真題）某超市一月份的營業(yè)額為36萬元，三月份的營業(yè)額為48萬元，設(shè)每月的平均增長率為x，則可列方程為（）A．48（1﹣x）2=36 B．48（1+x）2=36 C．36（1﹣x）2=48 D．36（1+x）2=483．（2018·安徽中考模擬）某企業(yè)因春節(jié)放假，二月份產(chǎn)值比一月份下降，春節(jié)后生產(chǎn)呈現(xiàn)良好上升勢頭，四月份比一月份增長，設(shè)三、四月份的月平均增長率為x，則下列方程正確的是A． B．C． D．考查題型六用一元二次方程解決“每每型”問題1．（2018·海南中考模擬）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為擴大銷售，盡快減少庫存，商場決定釆取降價措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫，每降價1元，平均每天可多銷售2件，若商場每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價（）A．5元B．10元C．20元D．10元或20元2．（2019·忻城縣民族中學(xué)中考模擬）賓館有50間房供游客居住，當(dāng)每間房每天定價為180元時，賓館會住滿；當(dāng)每間房每天的定價每增加10元時，就會空閑一間房.如果有游客居住，賓館需對居住的每間房每天支出20元的費用.當(dāng)房價定為元時，賓館當(dāng)天的利潤為10890元.則有()A． B．C． D．3.（2019·山東中考模擬）一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴大銷售、增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降價3元，則平均每天銷售數(shù)量為________件；（2）當(dāng)每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1200元？考查題型七用一元二次方程解決幾何圖形問題1．（2019·廣西中考模擬）如圖，有一張矩形紙片，長10cm，寬6cm，在它的四角各減去一個同樣的小正方形，然后折疊成一個無蓋的長方體紙盒．若紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是32cm2，求剪去的小正方形的邊長．設(shè)剪去的小正方形邊長是xcm，根據(jù)題意可列方程為（）A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=322（2019·廣西中考真題）揚帆中學(xué)有一塊長，寬的矩形空地，計劃在這塊空地上劃出四分之一的區(qū)域種花，小禹同學(xué)設(shè)計方案如圖所示，求花帶的寬度．設(shè)花帶的寬度為，則可列方程為（）A． B．C． D．3．（2012·廣東中考模擬）在一幅長，寬的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整幅掛圖的面積是，設(shè)金色紙邊的寬為，那么滿足的方程是（）A． B．C． D．4．（2019·安徽中考模擬）如圖，某小區(qū)計劃在一塊長為32m，寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪．若草坪的面積為570m2，道路的寬為xm，則可列方程為（）A．32×20﹣2x2＝570 B．32×20﹣3x2＝570C．（32﹣x）（20﹣2x）＝570 D．（32﹣2x）（20﹣x）＝570考查題型八用一元二次方程解決傳播問題1．（2019·黑龍江中考真題）某?！把袑W(xué)”活動小組在一次野外實踐時，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目