高等應(yīng)用數(shù)學(xué) 課件 11.8 線性方程組（m≠n）的解法

在11.3節(jié)里我們已經(jīng)研究過線性方程組的一種特殊情形，即線性方程組所含方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)，且方程組的系數(shù)行列式不等于零的情形.求解線性方程組是線性代數(shù)的主要內(nèi)容之一，此類問題在科學(xué)技術(shù)與經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，因而有必要從更普遍的角度來(lái)討論線性方程組的解法．

本節(jié)主要討論一般線性方程組的解法和線性方程組解的存在性．§11.8線性方程組（）的解法

一、線性方程組的矩陣表示

二、線性方程組解的討論

三、線性方程組解的判定與求解內(nèi)容提要設(shè)含有個(gè)未知量、有個(gè)方程組成的線性方程組(11-11)

其中系數(shù)

，常數(shù)

都是已知數(shù)，

是未知量(也稱為未知數(shù))．當(dāng)右端常數(shù)項(xiàng)，…，不全為0時(shí)，稱方程組（11-11）為非齊次線性方程組；當(dāng)時(shí)，即(11-12)稱為齊次線性方程組．非齊次線性方程組的矩陣表示形式為其中．

矩陣稱為方程組的系數(shù)矩陣，稱為未知數(shù)矩陣，稱為常數(shù)項(xiàng)矩陣．將系數(shù)矩陣和常數(shù)矩陣放在一起構(gòu)成的矩陣稱為方程組(11-11)的增廣矩陣（也可簡(jiǎn)記作顯然，方程組與增廣矩陣是一一對(duì)應(yīng)的．齊次線性方程的矩陣表示形式為：其中二、

高斯消元法用消元法解方程組的每一步變換相當(dāng)于對(duì)方程組的增廣矩陣施以同樣的行變換．因此，由方程組的同解變換就有下面的事實(shí)：定理11-10如果用初等行變換將增廣矩陣化成矩陣，則方程組與是同解方程組．消元法(高斯消元法)：用初等行變換將方程組(11-11)的增廣矩陣化成階梯形矩陣，再寫出該階梯形矩陣所代表的方程組，逐步回代，求出方程組的解．因?yàn)樗鼈優(yōu)橥夥匠探M，所以也就得到了原方程組的解．例1解線性方程組用消元法解線性方程組的過程中，當(dāng)增廣矩陣經(jīng)過初等行變換化成階梯形矩陣后，要寫出相應(yīng)的方程組，然后再用回代的方法求出解．如果用矩陣將回代的過程表示出來(lái)，我們可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)過程實(shí)際上就是對(duì)階梯形矩陣進(jìn)一步簡(jiǎn)化，使其最終化成一個(gè)特殊的矩陣，從這個(gè)特殊矩陣中，就可以直接解出或“讀出”方程組的解．例如，對(duì)例1中的階梯形矩陣進(jìn)一步化簡(jiǎn)，即：最后一個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)的線性方程組為將此方程組中含的項(xiàng)移到等號(hào)的右端，就得到原方程組的全部解，即其中是自由未知量．將一個(gè)方程組化為行階梯形方程組的步驟并不是唯一的,所以，同一個(gè)方程組的行階梯形方程組也不是唯一的.特別地，我們還可以將一個(gè)一般的行階梯形方程組化為行最簡(jiǎn)形方程組,從而使我們能直接“讀”出該線性方程組的解.三、

線性方程組解的情況判定應(yīng)用消元法解線性方程組，線性方程組解的情況有三種：無(wú)窮多解、唯一解和無(wú)解．歸納求解過程，實(shí)際上就是對(duì)方程組(11-11)的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，將其化成如下形式的階梯形矩陣：，(11-13)

其中，或．(11-14)由定理11-9可知，階梯形矩陣(11-13)和(11-14)所表示的方程組與方程組(11-11)是同解方程組，于是由矩陣(11-13)和(11-14)可得方程組(11-11)的解的結(jié)論:1.當(dāng)時(shí)，階梯形矩陣(11-13)和(11-14)所表示的方程組中的第個(gè)方程“”是一個(gè)矛盾方程，因此，方程組(11-11)無(wú)解．，則階梯形矩陣(11-13)表示的方程組為2.當(dāng)

時(shí)，方程組(11-11)有解．并且解有兩種情況：（1）如果用回代的方法，自下而上依次求出…，的值．因此，方程組(11-11)有唯一解.（2）如果，則階梯形矩陣(11-13)表示的方程組為將