教師公開招聘考試中學(xué)數(shù)學(xué)（證明題）模擬試卷1（共117題）

教師公開招聘考試中學(xué)數(shù)學(xué)（證明題）模擬試卷1（共4套）（共117題）教師公開招聘考試中學(xué)數(shù)學(xué)（證明題）模擬試卷第1套一、證明題(本題共31題，每題1.0分，共31分。)設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a+b=c+d，證明：1、若ab＞cd，則；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、｜a—b｜＜｜c(diǎn)—d｜的充要條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：(i)若｜a—b｜＜｜c(diǎn)—d｜，則(a—b)2＜(c－d)2，即(a+b)2一4ab＜(c+d)2一4cd．因?yàn)閍+b=c+d，所以ab＞cd，得．(ii)若，因?yàn)閍+b=c+d，所以ab＞cd，于是(a—b)2=(a+b)2一4ab＜(c+d)2一4cd=(c—d)2，因此｜a—b｜＜｜c(diǎn)—d｜，綜上．是｜a—b｜＜｜c(diǎn)—d｜的充要條件．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析3、已知an=4n+5，bn=3n，求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)p，使得ap=bn2成立．標(biāo)準(zhǔn)答案：an=4n+5=4(n+1)+1，表示的是被4除余1的數(shù)，而bn2=9n=(8+1)n=Cn08n+Cn18n－1+…+Cnn－1．8+1，展開式除最后一項(xiàng)之外均為8也為4的倍數(shù)，因此，對(duì)任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)p，使得ap=bn2成立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、求證：函數(shù)f(x)=＋1在區(qū)間(0，+∞)上是單調(diào)增函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：x1，x2，且0＜x1＜x2，∵f(x1)一f(x2)=，∵0＜x1＜x2，∴x1一x2＜0，x1x2＞0，∴＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(0，+∞)上為單調(diào)增函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、已知a＞0，b＞0，求證a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc．標(biāo)準(zhǔn)答案：∵b2+c2≥2bc，a＞0，∴a(b2+c2)≥2abc，又∵c2+a2≥2ac，b＞0，∴b(c2+a2)≥2abc，∴a(b2＋c2)+b(c2+a2)≥4abc．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、求證：定義在實(shí)數(shù)集上的單調(diào)減函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸至多只有一個(gè)公共點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：假設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，且x1＜x2，因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在實(shí)數(shù)集上單調(diào)遞減．所以f(x1)＞f(x2)，這與f(x1)=f(x2)=0矛盾．所以假設(shè)不成立，故原命題成立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、證明：上帝不是萬能的．標(biāo)準(zhǔn)答案：證明：假設(shè)上帝是萬能的，那么上帝能否造出一塊他自己都舉不起來的石頭?如果不能，那么上帝就不是萬能的；如果能，因?yàn)樯系叟e不起這塊石頭，因此上帝不是萬能的，這與假設(shè)矛盾．所以原假設(shè)不成立，即上帝不是萬能的．這就是上帝悖論．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+4+7+…+(3n一2)=n(3n一1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，∴當(dāng)n=1時(shí)命題成立．(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即1+4+7+…+(3k一2)=k(3k一1)，則當(dāng)n=k+1時(shí)，需證1＋4＋7+…+(3k一2)+[3(k+1)一2]=(k+1)(3k+2)(*)，由于左端等式是一個(gè)以1為首項(xiàng)，公差為3，項(xiàng)數(shù)為k+1的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，其和為(k+1)(3k+2)，∴(*)式成立，即n=k+1時(shí)，命題成立，根據(jù)(1)(2)可知，對(duì)一切n∈N*，命題成立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、已知a，b是正數(shù)，并且a≠b，求證：a5+b5＞a2b3+a3b2．標(biāo)準(zhǔn)答案：(a5+b5)一(a2b3+a3b2)=(a5一a3b2)+(b5一a2b3)=a3(a2一b2)一b3(a2一b2)=(a2一b2)(a3一b3)=(a+b)(a一b)2(a2+ab+b2)，∵a，b都是正數(shù)，∴a+b＞0，a2+ab+b2＞0．又∵a≠b，∴(a一b)2＞0．∴(a+b)(a一b)2(a2+ab+b2)＞0，即：a5+b5＞a2b3+a3b2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1．證明：11、ab+bc+ca≤．標(biāo)準(zhǔn)答案：由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：a2+b2+c2≥ab+bc+ca．由題設(shè)得：(a+b+c)2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1．所以3(ab+bc+ca)≤1，即ab+bc+ca≤．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、≥1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)a＞1，函數(shù)f(x)=(1+x2)ex一a．13、求f(x)的單調(diào)區(qū)間；標(biāo)準(zhǔn)答案：∵f(x)=(1+x2)ex一a，∴f’(x)=2xex+(1+x2)ex=(1+x)2ex．∵x∈R，f’(x)≥0，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為R．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、證明：f(x)在(一∞，+∞)上僅有一個(gè)零點(diǎn)；標(biāo)準(zhǔn)答案：已知f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)．f(0)=1一a，∵a＞1，∴1一a＜0∴f(0)＜0，當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)＞0成立，∴f(x)在(一∞，+∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、若曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線與x軸平行，且在點(diǎn)M(m，n)的切線與直線OP平行(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，證明：m≤一1．標(biāo)準(zhǔn)答案：令點(diǎn)P為(x0，y0)，∵y=f(x)在點(diǎn)P處的切線與x軸平行，∴f’(x0)=(x0+1)2ex0=0，∴x0=一1，p(一1，－a)，∴直線OP的斜率kop=，∵在點(diǎn)M(m，n)處的切線與直線OP平行，∴f’(m)=(m+1)2em=a－，需證明(m+1)2≤(m+1)2em，需證明m+1≤em，設(shè)g(m)=em－m一1，∴g’(m)=em一1，令g’(m)=0，m=0，∴g(m)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，∴g(m)≥g(0)=0，∴em一m一1≥0，∴em≥m一1，命題得證．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，f(x)+g(x)=ex，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．16、求f(x)，g(x)的解析式，并證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0，g(x)＞1；標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)，g(x)的奇偶性及f(x)+g(x)=ex①，得：一f(x)+g(x)=e－x②．聯(lián)立①②解得f(x)=(ex－e－x)，g(x)=(ex+e－x)．當(dāng)x＞0時(shí)，ex＞1，0＜e－x＜1，故f(x)＞0③，又由基本不等式得g(x)==1④所以g(x)＞1；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)a≤0，b≥1，證明：當(dāng)x＞0時(shí)，ag(x)+(1一a)＜＜bg(x)+(1－b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)=(ex+e－x)=g(x)⑤，g’(x)=(ex一e－x)=f(x)⑥，當(dāng)x＞0時(shí)，＞ag(x)+(1－a)等價(jià)于f(x)＞axg(x)+(1－a)x⑦，＜bg(x)+(1—b)等價(jià)于f(x)＜bxg(x)+(1－b)x⑧．設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)－cxg(x)一(1－c)x，由⑤⑥，有h’(x)=g(x)一cg(x)一cxf(x)一(1一c)=(1－c)[g(x)一1]－cxf(x)．當(dāng)x＞0時(shí)，(1)若c≤0，由③④，得h’(x)＞0，故h(x)在[0，+∞)上為增函數(shù)，從而h(x)＞h(0)=0．即f(x)＞cxg(x)+(1一c)x，故⑦成立．(2)若c≥1，由③④，得h’(x)＜0，故h(x)在[0，+∞)上為減函數(shù)，從而h(x)＜h(0)=0，即f(x)＜cxg(x)+(1－c)x，故⑧成立．綜合⑦⑧，得ag(x)+(1一a)＜＜bg(x)+(1—b)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，A，B，C，D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角．18、證明：；標(biāo)準(zhǔn)答案：．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A+C=180°可知B+D=180°，所以有sinA=sinC，sin(A+C)=0，同理sinB=sinD，sin(B+D))=0，進(jìn)一步上式化簡(jiǎn)可得：連接BD，設(shè)BD=x，在△ABD和△CBD中分別利用余弦定理及A+C=180°可得cosA=一cosC，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2一mx．20、證明：f(x)在(一∞，0)單調(diào)遞減，在(0，+∞)單調(diào)遞增；標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)=m(emx一1)+2x．若m≥0，則當(dāng)x∈(一∞，0)時(shí)，emx一1≤0，f’(x)＜0；當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，emx一1≥0，f’(x)＞0．若m＜0，則當(dāng)x∈(一∞，0)時(shí)，emx一1＞0，f’(x)＜0，當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，emx一1＜0，f’(x)＞0．所以，f(x)在(一∞，0)單調(diào)遞減，在(0，+∞)單調(diào)遞增．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、若對(duì)于任意x1，x2∈[一1，1]，都有｜f(x1)－f(x2)｜≤e一1，求m的取值范圍．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知，對(duì)任意的m，f(x)在[一1，0]單調(diào)遞減，在[0，1]單調(diào)遞增，故f(x)在x=0處取得最小值．所以對(duì)于任意x1，x2∈[一1，1]，｜f(x1)一f(x2)｜≤e一1的充要條件是：即，設(shè)函數(shù)g(t)=et一e+1，則g’(t)=et一1．當(dāng)t＜0，g’(t)＜0，當(dāng)t＞0時(shí)，g’(t)＞0，故g(t)在(一∞，0)單調(diào)遞減，在(0，+∞)單調(diào)遞增，又∵g(1)=0，g(一1)=e－1+2一e＜0，故當(dāng)t∈[一1，1]時(shí)，g(t)≤0，當(dāng)m∈[一1，1]時(shí)，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立．當(dāng)m＞1時(shí)，由g(t)的單調(diào)性，g(m)＞0，即em一m＞e一1；當(dāng)m＜一1時(shí)，g(一m)＞0，即e－m+m＞e一1．綜上，m的取值范圍是[一1，1]．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點(diǎn)．22、求證：平面PAC⊥平面PBC；標(biāo)準(zhǔn)答案：由AB是圓的直徑，得AC⊥BC．由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC．又∵PA∩AC=A，，所以BC⊥平面PAC．因?yàn)锽C平面PBC．所以平面PBC⊥平面PAC．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、若AB=2，AC=1，PA=1，求二面角C—PB—A的余弦值．標(biāo)準(zhǔn)答案：過C作CM／／AP，則CM⊥平面ABC．如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線CB，CA，CM為X軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)锳B=2，AC=1，所以BC=，因?yàn)镻A=1，所以A(0，1，0)，．設(shè)平面BCP的法向量為，不妨令y=1，則，設(shè)平面ABP的法向量為．所以由題意可知二面角C—PB—A的余弦值為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)，g(x)=kx，(k∈R)，24、證明：當(dāng)x＞0，f(x)＜x；標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)一x=ln(1+x)一x，x∈[0，+∞)，則有F’(x)=．當(dāng)x∈[0，+∞)，F(xiàn)’(x)＜0，所以F(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，故當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)(x)＜F(0)=0，即當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、證明：當(dāng)k＜1時(shí)，存在x0＞0，使得對(duì)x∈(0，x0)，f(x)＞g(x)；標(biāo)準(zhǔn)答案：令G(x)=f(x)－g(x)=ln(1+x)－kx，x∈[0，+∞)，則有G’(x)=．當(dāng)k≤0時(shí)，G’(x)＞0，所以G(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，G(x)＞G(0)=0，故對(duì)任意正實(shí)數(shù)x0均滿足題意．當(dāng)0＜k＜1時(shí)，令G’(x)=0，得x=－1＞0．取x0=－1，對(duì)任意x∈(0，x0)，G’(x)＞0，所以G(x)在[0，x0)上單調(diào)遞增，G(x)＞G(0)=0，即f(x)＞g(x)．綜上，當(dāng)k＜1時(shí)，總存在x0＞0，使得對(duì)任意的x∈(0，x0)，f(x)＞g(x)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、確定k的所有可能取值，使得存在t＞0，對(duì)任意的x∈(0，t)，恒有｜f(x)－g(x)｜＜x2．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)k＞1時(shí)，對(duì)于x∈(0，+∞)，g(x)＞x＞f(x)，故g(x)＞f(x)，｜f(x)一g(x)｜=g(x)一f(x)=kx—ln(1+x)，令M(x)=kx—ln(1+x)一x2，x∈[0，+∞)，則有M’(x)=k一時(shí)，M’(x)＞0，M(x)在[0，]上單調(diào)遞增，故M(x)＞M(0)=0，即｜f(x)一g(x)｜＞x2，所以滿足題意的t不存在．當(dāng)k＜1時(shí)，由已知存在x0＞0，使得對(duì)任意的x∈(0，x0)，f(x)＞g(x)．此時(shí)｜一f(x)一g(x)｜=f(x)－g(x)=ln(1+x)－kx，令N(x)=ln(1+x)－kx－x2，x∈[0，+∞)，則有N’(x)=時(shí)，N’(x)＞0，N(x)在[0，)上單調(diào)遞增，故N(x)＞N(0)=0，即f(x)一g(x)＞x2，記x0與中較小的為x1，則當(dāng)x∈(0，x1)時(shí)，恒有｜f(x)一g(x)｜＞x2，故滿足題意的t不存在．當(dāng)k=1，由已知，當(dāng)x∈(0，+∞)，｜f(x)－g(x)｜=g(x)－f(x)=x—ln(1+x)，令H(x)=x—ln(1+x)－x2，x∈[0，+∞)，則有H’(x)=1一，當(dāng)x＞0時(shí)，H’(x)＜0，所以H(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，故H(x)＜H(0)=0，故當(dāng)x＞0時(shí)，恒有｜f(x)－g(x)｜＜x2，此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t滿足題意．綜上，k=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=一2(x+a)lnx+x2一2ax一2a2+a，其中a＞0．27、設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性；標(biāo)準(zhǔn)答案：∴f(x)=－2(x+a)lnx+x2－2ax－2a2+a，∴g(x)=f’(x)=－2lnx一2—+2x一2a(a＞0，x＞0)．∴g’(x)=(a＞0，x＞0)．令g’(x)≥0，即x2一x+a≥0(x＞0)，討論此不等式的解，可得：①當(dāng)△=1－4a≤0時(shí)，即a≥時(shí)，不等式恒成立．即g’(x)≥0恒成立，所以g(x)恒單調(diào)遞增．②知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、證明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0在區(qū)間(1，+∞)內(nèi)恒成立，且f(x)=0在區(qū)間(1，+∞)內(nèi)有唯一解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知得f’(x)=g(x)在(1，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增．且f’(1)=－2－2a+2－2a=一4a＜0，f’(+∞)＞0．由零點(diǎn)存在性定理得存在唯一x0∈(1，+∞)，使得f’(x0)=一2lnx0－2一+2x0－2a=0①．所以f(x)在(1，x0)上單調(diào)遞減，(x0，+∞)上單調(diào)遞增．所以滿足f(x)=0在區(qū)間(1，+∞)內(nèi)有唯一解只需滿足f(x)min=f(x0)=0即可．f(x0)=2(x0+a)lnx02+x02－2ax0一2a2+a=0，將①代入化簡(jiǎn)得：2a2+(5x0一2x02)a一(x03一2x02)=0，(2a一x0)(a+x02—2x0)=0，a=，a=2x0－x02．當(dāng)a=(x0＞1)時(shí)，此時(shí)①變形為2a一2ln2a一3=0，在(，1)上有解．令h(a)=2a一2ln2a一3，h’(a)=2—，所以h(a)在(0，1)上單調(diào)遞減．=1—3＜0不滿足．當(dāng)a=2x0一x02時(shí)，此時(shí)①變形為2x02—2lnx0一6=0在(1，2)上有解．不妨設(shè)=1—3＜0，所以h(x0)在(1，2)上單調(diào)遞增．h(1)=一4，h(2)=2—2ln2＞0．所以2x02一2lnx0一6=0在(1，2)上有解．所以結(jié)論得證．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，已知曲線C1：－y2=1，曲線C2：｜y｜=｜x｜+1，P是平面上一點(diǎn)，若存在過點(diǎn)P的直線與C1，C2都有公共點(diǎn)，則稱P為“C1一C2型點(diǎn)”．29、證明C1的左焦點(diǎn)是“C1一C2型點(diǎn)”時(shí)，要使用一條過該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗(yàn)證)；標(biāo)準(zhǔn)答案：C1的左焦點(diǎn)為，與C2交于，故C1的左焦點(diǎn)為“C1一C2型點(diǎn)”，且直線可以為x=；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)直線y=kx與C2有公共點(diǎn)，求證｜k｜＞1，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1一C2型點(diǎn)”；標(biāo)準(zhǔn)答案：直線y=kx與C2有交點(diǎn)，則(｜k｜一1)｜x｜=1，若方程組有解，則必須｜k｜＞1；直線y=kx與C1有交點(diǎn)，則(1—2k2)x2=2，若方程組有解，則必須k2＜，故直線y=kx至多與曲線C1和C2中的一條有交點(diǎn)，即原點(diǎn)不是“C1－C2型點(diǎn)”．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、求證：圓x2+y2=內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1一C2型點(diǎn)”．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然過圓x2+y2=內(nèi)一點(diǎn)的直線l若與曲線C1有交點(diǎn)，則斜率必存在；根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)直線l斜率存在且與曲線C2交于點(diǎn)(t，t+1)(t≥0)，則l：y=(t+1)=k(x一t)kx—y+(1+t－kt)=0，直線l與圓x2+y2=內(nèi)部有交點(diǎn)，故，化簡(jiǎn)得：(1+t一tk)2＜(k2+1)①若直線l與曲線C1有交點(diǎn)，則x2+2k(1+t一kt)x+(1+t一kt)2+1=0，△=4k2(1+t一kt)2一4(k2一)[(1+t一kt)2+1]≥0(1+t一kt)2≥2(k2一1)，化簡(jiǎn)得：(1+t一kt)2≥2(k2一1)②由①②得：2(k2一1)≤(1+t一tk)2＜k2＜1，但此時(shí)，因?yàn)閠≥0，[1+t(1一k)]2≥1，(k2+1)＜1，即①式不成立；當(dāng)k2=時(shí)，①式也不成立，綜上，直線l若與圓x2+y2=內(nèi)有交點(diǎn)，則不可能同時(shí)與曲線C1和C2有交點(diǎn)，即圓x2+y2=內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1一C2型點(diǎn)”．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析教師公開招聘考試中學(xué)數(shù)學(xué)（證明題）模擬試卷第2套一、證明題(本題共28題，每題1.0分，共28分。)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓=1(a＞b＞0)上，x0=acosβ，y0=bsinβ，0＜β＜，直線l2與直線l1：=1垂直，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP的傾斜角為α，直線l2的傾斜角為γ．1、證明：點(diǎn)P是橢圓=1與直線l1的唯一交點(diǎn)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由(a2一x0x)，代入橢圓方程=1，得代入，得x2－2acosβx＋a2cos2β=0，從而x=cosβ因此，方程組，即l1與橢圓有唯一交點(diǎn)P．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、證明：tanα，tanβ，tanγ構(gòu)成等比數(shù)列．標(biāo)準(zhǔn)答案：x0=acosβ，y0=bsinβ，，直線OP的傾斜角為α，tanα=，設(shè)直線l1的斜率為k1，l2的斜率為k2，k1=，由l1⊥l2得k1．k2=一1，k2=，tanγ==tan2β即證得tanα，tanβ，tanγ構(gòu)成等比數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=(x3+3x2+ax+b)e－x．3、若a=b=一3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a=b=一3時(shí)，f(x)=(x3+3x2一3x一3)e－x，故f’(x)=一(x3+3x2一3x一3)e－x+(3x2+6x－3)e－x=一e－c(x3一9x)=－x(x－3)(x+3)e－x．當(dāng)x＜一3或0＜x＜3時(shí)，f’(x)＞0；當(dāng)一3＜x＜0或x＞3時(shí)，f’(x)＜0．從而f(x)在(一∞，一3)，(0，3)單調(diào)遞增，在(一3，0)，(3，+∞)單調(diào)遞減．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、若f(x)在(一∞，α)，(2，β)單調(diào)增加，在(α，2)，(β，+∞)單調(diào)減少，證明β－α＞6．標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)=一(x3+3x2+ax+b)e－x+(3x2+6x+a)e－x=一e－x[x3+(a－6)x+b一a]．由條件得：f’(2)=0，即23+2(a－6)+b－a=0，故b=4－a，從而f’(x)=一e－x[x3+(a一6)x+4—2a]．因?yàn)閒’(α)=f’(β)=0，所以x3+(a－6)x+4—2a=(x一2)(x一α)(x—β)=(x一2)[x2一(α+β)x+αβ]．將右邊展開，與左邊比較系數(shù)得，α+β=一2，αβ=a一2．故β—α=．又因?yàn)?β一2)(α－2)＜0，即αβ一2(α+β)+4＜0，由此可得a＜一6．于是β一α＞6．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知雙曲線C：一y2=1，設(shè)過點(diǎn)A(，0)的直線l的方向向量e=(1，k)．5、當(dāng)直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時(shí)，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；標(biāo)準(zhǔn)答案：雙曲線C的漸近線m：=0．∴直線l的方程=0，∴直線l與m的距離d=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、證明：當(dāng)k＞時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為．標(biāo)準(zhǔn)答案：假設(shè)雙曲線C的右支上存在點(diǎn)Q(x0，y0)到直線l的距離為，由①得y0=kx0＋．＞0，將y0=kx0+t代入②得(1—2k2)x02一4ktx一2(t2+1)=0(*)∵k＞，t＞0，∴1—2k2＜0，一4kt＜0，一2(t2+1)＜0，∴方程(*)不存在正根，即假設(shè)不成立，故在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長(zhǎng)都是4，E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上，且不與點(diǎn)C重合．7、當(dāng)CF=1時(shí)，求證：EF⊥A1C；標(biāo)準(zhǔn)答案：證明：過E作EN⊥AC于N，連接EF．如圖1，連接NF、AC1，由直棱柱的性質(zhì)知，底面ABC⊥側(cè)面A1C，又因?yàn)榈酌鍭BC∩側(cè)面A1C=AC，且EN底面ABC，所以EN⊥側(cè)面A1C，NF為EF在側(cè)面A1C內(nèi)的射影，在Rt△CNE中，CN=CEcos60°=1．則由，得NF／／AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C．由三垂線定理知EF⊥A1C．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)二面角C—AF—E的大小為θ，求tanθ的最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖2，連接AF，過N作NM⊥AF于M，連接ME．由知EN⊥側(cè)面A1C，根據(jù)三垂線定理得EM⊥AF，所以∠EMN是二面角C—AF—E的平面角，即∠EMN=θ．設(shè)∠FAG=α，則0°＜α≤45°．在Rt△CNE中，NE=EC．sin60°=，在Rt△AMN中，MN=AN．sinα=3sinα，故tanθ=，又∵0°＜α≤45°，∴0＜sinα≤，即當(dāng)α=45°時(shí)，tanθ達(dá)到最小值，tanθ=，此時(shí)F與C1重合．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖所示，在錐體P—ABCD中，ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．9、證明：AD⊥平面DEF；標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接PO、BO，∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，連接BD，∴△ABD為等邊三角形，∴BO⊥AD，又∵PA=PD=，∴PO⊥AD，又∵PO∩BO=O．∴AD⊥平面POB，又∵E、F分別為BC、PC的中點(diǎn)，∴EF／／BP，而O為AD的中點(diǎn)，得DE／／OB，EF∩ED=E，∴平面POB／／平面DEF，∴AD⊥平面DEF．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、求二面角P—AD—B的余弦值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知PO⊥AD，BO⊥AD，則∠POB為所求二面角的平面角，在等邊三角形ABD中，可得OB=，在△PAD中，可得PO=．又∵PB=2，在△POB中，由余弦定理得cos∠POB=，∴二面角P—AD—B的余弦值為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知ABCD—A1B1C1D1是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，O1為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．11、設(shè)AB1與底面A1B1C1D1所成角的大小為α，二面角A—B1D1一A1的大小為β，求證：tanβ=tanα；標(biāo)準(zhǔn)答案：證明：設(shè)正四棱枉的高為h．連結(jié)AO1，∵AA1⊥底面A1B1C1D1，∴∠AB1A1是AB1與底面A1B1C1D1所成角，∴∠AB1A1=α，∵在等腰△AB1D1中，AO1⊥B1D1．又∵A1C1⊥B1D1，∴∠AO1A1是二面角A—B1D1一A1的一個(gè)平面角，∴∠AO1A1=β，在Rt△AB1A1中，tanα==h；在Rt△AO1A1中，tanβ=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為，求正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，有A(0，0，h)，B1(1，0，0)，D1(0，1，0)，C(1，1，h)，令ω=1，得n=(h，h，1)．由點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為d=．解得高h(yuǎn)=2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF／／AC，AB=，CE=EF=1．13、求證：AF／／平面BDE；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)AC與BD交干點(diǎn)G．因?yàn)镋F／／AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四邊形AGEF為平行四邊形，所以AF／／EG．因?yàn)镋G平面BDE，AF平面BDE，所以AF／／平面BDE．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、求證：CF⊥平面BDE；標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD．如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C—xyz．則C(0，0，0)，所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、求二面角A—BE—D的大?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：已知，是平面BDE的一個(gè)法向量．設(shè)平面ABE的法向量n=(x，y，z)，則，所以x=0，且z=，所以．因?yàn)槎娼茿—BE—D為銳角，所以二面角A—BE—D的大小為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，AB⊥AC，D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，DE⊥平面BCC1．16、證明：AB=AC；標(biāo)準(zhǔn)答案：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的正半軸，AC為y軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz．設(shè)B(1，0，0)，C(0，b，0)，D(0，0，c)，則B1(1，0，2c)，．由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC，=0，求得b=1，所以AB=AC．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)二面角A—BD—C為60°，求B1C與平面BCD所成的角的大小．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以B1C與平面BCD所成的角為30°．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，MN分別為AB、DF的中點(diǎn)．18、若平面ABCD⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值；標(biāo)準(zhǔn)答案：取CD的中點(diǎn)G，連結(jié)MG，NG，設(shè)正方形ABCD，DCEF的邊長(zhǎng)為2a．則MG⊥CD，MG=2a，NG=，∵平面ABCD⊥平面DCEF．∴MG⊥平面DCEF，∠MNG是MN與平面DCEF所成的角．∵M(jìn)N=，為MN與平面DCEF所成角的正弦值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．標(biāo)準(zhǔn)答案：假設(shè)直線ME與BN共面，則AB平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN．由已知，兩正方形不共面，故AB平面DCEF．又因?yàn)锳B／／CD，所以AB／／平面DCEF．而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，所以AB／／EN．又因?yàn)锳B／／CD／／EF，所以EN／／EF，這與EN∩EF=E矛盾，故假設(shè)不成立．所以ME與BN不共面，它們是異面直線．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E、F、O分別為PA、PB、AC的中點(diǎn)，AC=16，PA=PC=10．20、設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG／／平面BOE；標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖，取PE的中點(diǎn)為H，連結(jié)HG，HF．因?yàn)辄c(diǎn)E，O，G，H分別是PA，AC，OC，PE的中點(diǎn)，所以HG／／OE，HF／／EB．因此平面FGH／／平面BOE．因?yàn)镕G在平面FGH內(nèi)，所以FG／／平面BOE．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、證明：在△ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM⊥平面BOE，并求點(diǎn)M到OA，OB的距離．標(biāo)準(zhǔn)答案：在平面OAP內(nèi)，過點(diǎn)P作PN⊥OE，交OA于點(diǎn)N，交OE于點(diǎn)Q．連結(jié)BN，過點(diǎn)F作FM／／PN，交BN于點(diǎn)M．下證FM⊥平面BOE．由題意得OB⊥平面PAC，所以O(shè)B⊥PN，又因?yàn)镻N⊥OE，所以PN⊥平面BOE，因此FM⊥平面BOE．在Rt△OAP中，，＜OA，所以點(diǎn)N在線段OA上．因?yàn)镕點(diǎn)是PB的中點(diǎn)，所以M是BN的中點(diǎn)．因此點(diǎn)M在△AOB內(nèi)，點(diǎn)M到OA，0B的距離分別為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分別為AC、DC的中點(diǎn)．22、求證：EF⊥BC；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，易得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求二面角E—BF—C的正弦值．標(biāo)準(zhǔn)答案：在圖中，設(shè)平面BFC的一個(gè)法向量=(0，0，1)，平面BEF的法向量設(shè)二面角E—BF—C的大小為θ，由題意知θ為銳角，則cosθ=．即所求二面角正弦值為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于點(diǎn)F，F(xiàn)E／／CD，交PD于點(diǎn)E．24、證明：CF⊥平面ADF；標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PD⊥AD．因?yàn)樵谡叫蜛BCD中CD⊥AD，又因?yàn)镃D∩PD=D，所以AD⊥平面PCD．因?yàn)镃F平面PCD，所以AD⊥CF．因?yàn)锳F⊥CF，AF∩AD=A，所以CF⊥平面ADF．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、求二面角D—AF—E的余弦值．標(biāo)準(zhǔn)答案：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DP、DC、DA分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則D(0，0，0)，A(0，0，1)，C(0，1，0)，是平面ADF的一個(gè)法向量．設(shè)平面AEF的法向量為．令x=4，則y=0，是平面AEF的一個(gè)法向量．設(shè)二面角D—AF—E的平面角為θ，且θ∈(0，)，所以cosθ=，所以二面角D—AF—E的平面角的余弦值為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB／／DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．26、證明：BE⊥DC；標(biāo)準(zhǔn)答案：∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．∴B(1，0，O)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(1，1，1)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；標(biāo)準(zhǔn)答案：則直線BE與平面PBD所成角θ滿足：sinθ=，故直線BE與平面PBD所成角的正弦值為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足BF⊥AC，求二面角F—AB—P的余弦值．標(biāo)準(zhǔn)答案：∵，由于F點(diǎn)在棱PC上，設(shè)=(－2λ，一2λ，2λ)(0≤λ≤1)，故=(1—2λ，2—2λ，2λ)(0≤λ≤1)，由BF⊥AC，得：=2(1—2λ)+2(2—2λ)=0，解得：，設(shè)平面FBA的法向量=(a，b，c)，由令c=1，則=(0，1，0)，則二面角F—AB—P的平面角α滿足：，故二面角F—AB—P的余弦值為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析教師公開招聘考試中學(xué)數(shù)學(xué)（證明題）模擬試卷第3套一、證明題(本題共29題，每題1.0分，共29分。)設(shè)L為曲線C：y=在點(diǎn)(1，0)處的切線．1、求L的方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x)=，則f’(x)=．所以f’(1)=1．所以L的方程為y=x一1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、證明：除切點(diǎn)(1，0)之外，曲線C在直線L的下方．標(biāo)準(zhǔn)答案：令g(x)=x－1－f(x)，則除切點(diǎn)之外，曲線C在直線L的下方等價(jià)于g(x)＞0(＞0，x≠1)．g(x)滿足g(1)=0，且g’(x)=1一f’(x)=．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，x2－1＜0，lnx＜0，所以g’(x)＜0，故g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，x2一1＞0，lnx＞0，所以g’(x)＞0，故g(x)單調(diào)遞增．所以，g(x)＞g(1)=0(＞0，x≠1)．所以除切點(diǎn)之外，曲線C在直線L的下方．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知｛an｝是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)an＋1，an＋2，…的最小值記為Bn，dn=An一Bn．3、若｛an｝為2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對(duì)任意n∈N*，an＋4=an)，寫出d1，d2，d3，d4的值；標(biāo)準(zhǔn)答案：d1=d2=1，d3=d4=3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，證明：dn=－d(n=1，2，3，…)的充分必要條件為{an}是公差為d的等差數(shù)列；標(biāo)準(zhǔn)答案：(充分性)因?yàn)椋鸻n｝是公差為d的等差數(shù)列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤an≤…．因此An=an，Bn=an＋1，dn=an一an＋1=一d(n=1，2，3，…)．(必要性)因?yàn)閐n=一d≤0(n=1，2，3，…)，所以An=Bn+dn≤Bn．又因?yàn)閍n≤An，an＋1≥Bn，所以an≤an＋1．于是，An=an，Bn=an＋1，因此an＋1一an=Bn一An=－dn=d，即{an}是公差為d的等差數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、證明：若a1=2，dn=1(n=1，2，3，…)，則｛an｝的項(xiàng)只能是1或2，且有無窮多項(xiàng)為1．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閍1=2，d1=1，所以A1=a1=2，B1=A1一d1=1．故對(duì)任意n≥1，an≥B1=1．假設(shè)數(shù)列｛an｝(n≥2)中存在大于2的項(xiàng)．設(shè)m為滿足am＞2的最小正整數(shù)，則m≥2，并且對(duì)任意1≤k＜m，ak≤2．又因?yàn)閍1=2，所以Am－1=2，且Am=am＞2．于是，Bm=Am一dm＞2—1=1，Bm－1=min{am，Bm}≥2．故dm－1=Am－1一Bm－1≤2—2=0，與dm－1=1矛盾．所以對(duì)于任意n≥1，有an≤2，即非負(fù)整數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)只能為1或2．因?yàn)閷?duì)任意n≥1，an≤2=a1，所以An=2．故Bn=An一dn=2—1=1．因此對(duì)于任意正整數(shù)n，存在m滿足m＞n，且am=1，即數(shù)列｛an｝有無窮多項(xiàng)為1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．6、求證：AA1⊥平面ABC；標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳A1C1C為正方形，所以AA1⊥AC．因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC，所以AA1⊥平面ABC．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、求二面角A1一BC1一B1的余弦值；標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知AA1⊥AC，AA1⊥AB．由題知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC．如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4)．設(shè)平面A1BC1的法向量為令z=3，則x=0，y=4，所以=(0，4，3)．同理可得：平面B1BC1，的法向量為=(3，4，0)．所以．由題知二面角A1一BC1一B1為銳角，所以二面角A1一BC1一B1的余弦值為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、證明：在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，并求的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)D(x，y，z)是直線BC1上一點(diǎn)，且，所以(x，y一3，z)=λ(4，一3，4)．解得：x=4λ，y=3－3λ，z=4λ．所以=(4λ，3－3λ，4λ)．由=0，即9—25λ=0，解得：∈[0，1]，所以在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B．此時(shí)，．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn2一(n2+n一1)Sn一(n2+n)=0．9、求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an；標(biāo)準(zhǔn)答案：由Sn2一(n2+n一1)Sn一(n2+n)=0，得：[Sn一(n2+n)](Sn+1)=0．由于｛an｝是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn＞0，Sn=n2+n．于是a1=S1=2，n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=n2+n－(n一1)2一(n一1)=2n．綜上，數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an=2n．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、令bn=，數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為Tn．證明：對(duì)于任意的n∈N*，都有Tn＜．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)｛an｝是公比為q的等比數(shù)列．11、推導(dǎo)｛an｝的前n項(xiàng)和公式；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q=1時(shí)，Sn=a1+a1+…+a1=na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn－1，①qSn=a1q+a1q2+…+a1qn，②①一②得，(1－q)Sn=a1－a1qn，∴．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)q≠1，證明數(shù)列｛an+1｝不是等比數(shù)列．標(biāo)準(zhǔn)答案：假設(shè)｛an+1｝是等比數(shù)列，則對(duì)任意的k∈N＋，(ak＋1+1)2=(ak+1)(ak＋2+1)，ak＋12+2ak＋1+1=akak＋2+ak+ak＋2+1，a12q2k+2a1qk=a1qk－1．a(chǎn)1qk＋1+a1qk－1+a1qk＋1，∵a1≠0，∴2qk=qk－1+qk＋1．∵q≠0，∴q2一2q+1=0，∴q=1，這與已知矛盾，∴假設(shè)不成立，故{an+1}不是等比數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，點(diǎn)A、B、C分別是⊙O上的點(diǎn)，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直徑，P是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AP=AC．13、求證：AP是⊙O的切線；標(biāo)準(zhǔn)答案：連接OA．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°，∴∠AOP=60°，∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP，∴AP是⊙O的切線．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、求PD的長(zhǎng)．標(biāo)準(zhǔn)答案：連接AD．∵CD是⊙O的直徑，∴∠CAD=90°，∴AD=AC．tan30°=，∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC一∠P=60°一30°，∴∠P=∠PAD，∴PD=AD=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，在三棱錐S—ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，過A作AF⊥SB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn)．求證：15、平面EFG／／平面ABC；標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)镾A=AB且AF⊥SB，所以F為SB的中點(diǎn)．又因?yàn)镋，G分別為SA，SC的中點(diǎn)，所以，EF／／AB，EG／／AC．又因?yàn)锳B∩AC=A，AB面SBC，AC面BABC，所以，平面EFG／／平面ABC．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、BC⊥SA．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)槠矫鍿AB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF平面ASB，AF⊥SB．所以，AF⊥平面SBC．又因?yàn)锽C平面SBC，所以，AF⊥BC．又因?yàn)锳B⊥BC，AF∩AB=A，所以，BC⊥平面SAB．又因?yàn)镾A平面SAB，所以，BC⊥SA．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=lnx一ax2+(2一a)x．17、討論f(x)的單調(diào)性；標(biāo)準(zhǔn)答案：F(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，f’(x)=．(i)若a≤0，則f’(x)＞0，所以f(x)在(0，+∞)單調(diào)遞增．(ii)若a＞0，則由f’(x)=0得x=時(shí)，f’(x)＜0，所以f(x)在單調(diào)遞減．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)a＞0，證明：當(dāng)0＜x＜時(shí)，；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)函數(shù)g(x)=，則g(x)=ln(1+ax)一ln(1－ax)一2ax，g’(x)=，g’(x)＞0，而g(0)=0，所以g(x)＞0．故當(dāng)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、若函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明：f’(x0)＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知可得，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，故a＞0，從而f(x)的最大值為＞0．不妨設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)，0＜x1＜x2，則0＜x1＜＜x2．得＞f(x1)=0．從而x2＞．由已知，f’(x0)＜0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、敘述并證明余弦定理．標(biāo)準(zhǔn)答案：證明：余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍．或：在△ABC中，a，b，c為角A，B，C的對(duì)邊，有a2=b2+c2—2bccosA，b2=c2＋a2一2cacosB，c2=a2+b2一2abcosC．如圖，a2==b2一2bccosA+c2，即a2=b2+c2一2bccosA．同理可證b2=c2+a2一2cacosB，c2=a2+b2一2abcosC．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=，g(x)=alnx，a∈R．21、若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)相交，且在交點(diǎn)處有共同的切線，求a的值和該切線方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)=，x=e2．∴兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(e2，e)．切線的斜率為k=f’(e)=．∴切線的方程為y—e=(x—e2)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)－g(x)，當(dāng)h(x)存在最小值時(shí)，求其最小值φ(a)的解析式；標(biāo)準(zhǔn)答案：由條件知h(x)=．(i)當(dāng)a＞0時(shí)，令h’(x)=0，解得x=4a2．∴當(dāng)0＜x＜4a2時(shí)，h’(x)＜0，h(x)在(0，4a2)上遞減；當(dāng)x＞4a2時(shí)，h’(x)＞0，h(x)在(4a2，+∞)上遞增．∴x=4a2是h(x)在(0，+∞)上的唯一極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，從而也是h(x)的最小值點(diǎn)．∴最小值φ(a)=h(4a2)=2a－aln4a2=2a(1一ln2a)．(ii)當(dāng)a≤0時(shí)，h’(x)=＞0，h(x)在(0，+∞)上遞增，無最小值．綜上故h(x)的最小值φ(a)的解析式為φ(a)=2(1一ln2a)(a＞0)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、對(duì)φ(a)和任意的a＞0，b＞0，證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(1，+∞)上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)．如果存在實(shí)數(shù)a和函數(shù)h(x)，其中h(x)對(duì)任意的x∈(1，+∞)都有h(x)＞0，使得f'(x)=h(x)(x2一ax+1)，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a)．24、設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x)＋(x＞1)，其中b為實(shí)數(shù)(i)求證：函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b)；(ii)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：(i)由f(x)=＞0，所以函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b)．(ii)當(dāng)b≤2時(shí)，由x＞1得x2一bx+1≥x2一2x+1=(x－1)2＞0，所以f’(x)＞0，從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增．當(dāng)b＞2時(shí)，解方程x2一bx+1=0得，因?yàn)?，所以?dāng)x∈(1，x2)時(shí)，f’(x)＜0；當(dāng)x∈(x2，+∞)時(shí)，f’(x)＞0；當(dāng)x=x2時(shí)，f’(x)=0．從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，x2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x2，+∞)上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)b≤2時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，+∞)；當(dāng)b＞2時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(1，)，單調(diào)增區(qū)間為(，＋∞)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2)，給定x1，x2∈(1，+∞)，x1＜x2，設(shè)m為實(shí)數(shù)，α=mx1+(1－m)x2，β=(1－m)x1+mx2，且α＞1，β＞1，若｜g(α)－g(β)｜＜｜g(x1)－g(x2)｜，求m的取值范圍．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知，g(x)的導(dǎo)函數(shù)g’(x)=h(x)(x2一2x+1)，其中函數(shù)h(x)＞0對(duì)于任意的x∈(1，+∞)都成立，所以，當(dāng)x＞1時(shí)，g’(x)=h(x)(x一1)2＞0，從而g(x)在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增．①當(dāng)m∈(0，1)時(shí)，由α=mx1+(1一m)x2＞mx1+(1一m)x1=x1，α＜mx2+(1一m)x2=x2，得α∈(x1，x2)，同理可得β∈(x1，x2)，所以由g(x)的單調(diào)性知g(α)，g(β)∈(g(x1)，g(x2))，從而有｜g(α)一g(β)｜＜｜g(x1)一g(x2)｜，符合題設(shè)．②當(dāng)m≤0時(shí)，α=mx1+(1一m)x2≥mx2+(1－m)x2=x2，β=(1一m)x1+mx2≤(1一m)x1+mx1=x1，于是由α＞1，β＞1及g(x)的單調(diào)性知g(β)≤g(x1)＜g(x2)≤g(α)，所以｜g(α)一g(β)｜≥｜g(x1)g(x2)｜，與題設(shè)不符．③當(dāng)m≥1時(shí)，同理可得α≤x1，β≥x2，進(jìn)而得｜g(α)一g(β)｜≥｜g(x1)－g(x2)｜，與題設(shè)不符．因此，綜合①、②、③得所求的m的取值范圍為(0，1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，已知△ABC中的兩條角平分線AD和CE相交于H，∠B=60°，F(xiàn)在AC上，且AE=AF．26、證明：B，D，H，E四點(diǎn)共圓；標(biāo)準(zhǔn)答案：在△ABC中，因?yàn)椤螧=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°．因?yàn)锳D，CE是角平分線，所以∠HAC+∠HCA=60°，故∠AHC=120°．于是∠EHD=∠AHC=120°．因?yàn)椤螮BD+∠EHD=180°，所以B，D，H，E四點(diǎn)共圓．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、證明：CE平分∠DEF．標(biāo)準(zhǔn)答案：連結(jié)BH，則BH為∠ABC的平分線，得∠HBD=30°．由已知B，D，H，E四點(diǎn)共圓，所以∠CED=∠HBD=30°．又因?yàn)椤螦HE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF=30°，所以CE平分∠DEF．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE．證明：28、∠FEB=∠CEB；標(biāo)準(zhǔn)答案：由直線CD與⊙O相切，得∠CEB=∠EAB．由AB為⊙O的直徑，得AE⊥EB，從而∠EAB+∠EBF=；又因?yàn)镋F⊥AB，得∠FEB+∠EBF=．從而∠FEB=∠EAB．故∠FEB=∠CEB．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、EF2=AD．BC．標(biāo)準(zhǔn)答案：由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB=∠CEB，BE是公共邊，得Rt△BCERt△BFE．所以BC=BF．類似可證：Rt△ADERt△AFE，得AD=AF．又因?yàn)樵赗t△AEB中，EF⊥AB，故EF2=AF．BF，所以EF2=AD．BC．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析教師公開招聘考試中學(xué)數(shù)學(xué)（證明題）模擬試卷第4套一、證明題(本題共29題，每題1.0分，共29分。)如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，CD=BE=，O為BC的中點(diǎn)．將△ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱錐A'－BCDE，其中A'O=．1、證明：A’O⊥平面BCDE；標(biāo)準(zhǔn)答案：在圖1中，易得：OC=3，連結(jié)OD，OE，在△OCD中，由余弦定理可得：OD=，由翻折不變性可知A’D=，所以A’O2+OD2=A’D2，所以A’O⊥OD，同理可證A’O⊥OE，又因?yàn)镺D∩OE=O，所以A’O⊥平面BCDE．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、求二面角A’一CD—B的平面角的余弦值．標(biāo)準(zhǔn)答案：以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O一xyz如圖所示，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖所示，在三棱錐P—ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，AQ=2BD，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，連接GH．3、求證：AB／／GH；標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知得：EF、DC分別為△PAB和△QAB的中位線，∴EF／／AB，DC／／AB，于是EF／／DC，又因?yàn)镋F不在平面PDC內(nèi)，DC在平面PDC內(nèi)，∴EF／／平面PDC；又因?yàn)镋F在平面QEF內(nèi)且平面QEF∩平面PDC=GH，∴EF／／GH；而EF／／AB，所以AB／／GH．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、求二面角D—GH—E的余弦值．標(biāo)準(zhǔn)答案：∵AQ=2BD，且D為AQ的中點(diǎn)，∴△ABQ為直角三角形，AB⊥BQ，又因?yàn)镻B⊥平面ABC，則PB⊥AB，PB∩BQ=B，PB在平面PBQ內(nèi)，BQ在平面PBQ內(nèi)，所以AB⊥平面PBQ；知AB／／GH，所以GH⊥平面PBQ；于是GH⊥FH，GH⊥HC，∠FHC即為二面角D—GH—E的平面角；由已知得：∠BFH=∠BCH，且tan∠BCH=2，∠FHC=2π-－Z∠BCH．∴cos∠FHC=cos(一2∠BCH)=一sin2∠BCH=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，E為BD的中點(diǎn)，G為PD的中點(diǎn)，，EA=EB=AB=I，PA=，連接CE并延長(zhǎng)交AD于F．5、求證：AD⊥平面CFG；標(biāo)準(zhǔn)答案：在△ABD中，因?yàn)镋是BD中點(diǎn)，所以EA=EB=ED=AB=1，故，從而有∠FED=∠BEC=∠AEB=，所以∠FED=∠FEA，故EF⊥AD，AF=FD，又因?yàn)镻G=GD，所以FG／／PA．又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值．標(biāo)準(zhǔn)答案：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，，即．從而平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值為cosθ=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=．7、證明：A1C⊥平面BB1D1D；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)易知OA，OB，OA1兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖．∵AB=AA1=，∴OA=OB=OA1=1，∴A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(一1，0，0)，D(0，一1，0)，A1(0，0，1)．由，易得：B1(一1，1，1)．∵=(－1，0，1)，∴=0，∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角θ的大?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)平面OCB1的法向量=(－1，1，1)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，在直棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AD／／BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．9、證明：AC⊥B1D；標(biāo)準(zhǔn)答案：易知，AB，AD，AA1兩兩垂直．如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB=t，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為：A(0，0，0)，B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值．標(biāo)準(zhǔn)答案：可知，．設(shè)是平面ACD1的一個(gè)法向量，則，設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為θ，則，即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DE／／AC，CE／／BD．11、求證：四邊形OCED為菱形；標(biāo)準(zhǔn)答案：∵DE／／AC，CE／／BD，∴四邊形DOCE是平行四邊形，∵矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∴AO=CO=DO=BO，∵四邊形OCED為菱形．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、連接AE、BE，AE與BE相等嗎?請(qǐng)說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：AE=BE．理由：∵四邊形OCED為菱形，∴ED=CE，∴∠EDC=∠ECD，∴∠ADE=∠BCE，在△ADE和△BCE中，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知A，B，C，D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)．13、如圖1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求證：AC⊥BD；標(biāo)準(zhǔn)答案：∵∠ADC=∠BCD=90°，∴AC、BD是⊙O的直徑，∴∠DAB=∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∵AD=CD，∴四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、如圖2，若AC⊥BD，垂足為F，AB=2，DC=4，求⊙O的半徑．標(biāo)準(zhǔn)答案：作直徑DE，連接CE、BE．∵DE是直徑，∴∠DCE=∠DBE=90°，∴EB⊥DB，又∵AC⊥BD，∴BE／／AC，∴弧CE=弧AB，∴CE=AB．根據(jù)勾股定理，得：CE2＋DC2=AB2+DC2=DE2=20，∴．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=a(1—2｜x—｜)，a為常數(shù)且a＞0．15、證明：函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱：標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?a(1—2｜x｜)，有，所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、若x0滿足f(f(x0))=x0，但f(x0)≠x0，則稱x0為函數(shù)f(x)的二階周期點(diǎn)．如果f(x)有兩個(gè)二階周期點(diǎn)x1，x2，試確定a的取值范圍；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)0＜a＜時(shí)，有f(f(x))=．所以f(f(x))=x只有一個(gè)解x=0，又因?yàn)閒(0)=0，故0不是二階周期點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、對(duì)于上問中的x1，x2和a，設(shè)x3為函數(shù)f(f(x))的最大值點(diǎn)，A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(x3，0)．記△ABC的面積為S(a)，討論S(a)的單調(diào)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析給出定義，若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形．18、在你學(xué)過的特殊四邊形中，寫出兩種勾股四邊形的名稱；標(biāo)準(zhǔn)答案：正方形、矩形、直角梯形均可；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、如圖，將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，連接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求證：△BCE是等邊三角形；②求證：DC2+BC2=AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．標(biāo)準(zhǔn)答案：證明：①∵△ABC△DBE，∴BC=BE，∵∠CBE=60°，∴△BCE是等邊三角形；②∵△ABC△DBE，∴BE=BC，AC=ED；∴△BCE為等邊三角形．BC=CE，∠BCE=60°，∴∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，∴DC2+BC2=AC2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x3一x，其圖象記為曲線C．(i)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(ii)證明：若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x1，曲線C與其在點(diǎn)P1(x1，f(x1))處的切線交于另一點(diǎn)P2(x2，f(x2))．曲線C與其在點(diǎn)P2處的切線交于另一點(diǎn)P3(x3，f(x3))，線段P1P2，P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1，S2，則為定值；(Ⅱ)對(duì)于一般的三次函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，請(qǐng)給出類似于(Ⅰ)(ii)的正確命題，并予以證明．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)(i)由f(x)=x3一x得f’(x)=3x2一1=時(shí)，f’(x)＜0．因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為．(ii)曲線C在點(diǎn)P1處的切線方程y=(3x12一1)(x—x1)+x13—x1．即y=(3x12一1)x一2x12．由得x3—x=(3x12一1)x一2x13，即(x－x1)2(x+2x1)=0，解得x=x1或x=一