第10講 軸對(duì)稱(chēng)圖形及線段的垂直平分線（原卷版）-初中數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義（8年級(jí)人教版）

第10講軸對(duì)稱(chēng)圖形及線段的垂直平分線【人教版】·模塊一軸對(duì)稱(chēng)·模塊二線段的垂直平分線的性質(zhì)·模塊三尺規(guī)作線段的垂直平分線·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一軸對(duì)稱(chēng)1.軸對(duì)稱(chēng)圖形

定義：如果一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線就是它的對(duì)稱(chēng)軸.2.軸對(duì)稱(chēng)定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸.軸對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別:軸對(duì)稱(chēng)是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱(chēng)圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形；軸對(duì)稱(chēng)涉及兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱(chēng)圖形是對(duì)一個(gè)圖形來(lái)說(shuō)的.聯(lián)系：如果把一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形沿對(duì)稱(chēng)軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱(chēng)；如果把成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形．【考點(diǎn)1軸對(duì)稱(chēng)圖形】【例1.1】《國(guó)語(yǔ)?楚語(yǔ)》記載：“夫美也者，上下、內(nèi)外、大小、遠(yuǎn)近皆無(wú)害焉，故曰美．”這一記載充分表明傳統(tǒng)美的本質(zhì)特征在于對(duì)稱(chēng)和諧．下列四個(gè)圖案中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【例1.2】下面各時(shí)刻是軸對(duì)稱(chēng)圖形的為（）A．13:08 B．12:51 C．12:50 D．10:50【例1.3】圍棋，起源于中國(guó)，古時(shí)稱(chēng)“弈”，是一種策略型兩人棋類(lèi)游戲．下列黑、白棋子擺成的圖案中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式1.1】在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱(chēng)圖形．下面4個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）A． B． C． D．【變式1.2】下面4個(gè)圖案中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）

阿基米德螺旋線 B．

笛卡爾心形線C．

趙爽弦圖D．

太極圖【考點(diǎn)2成軸對(duì)稱(chēng)】【例2.1】如圖，某英語(yǔ)單詞由四個(gè)字母組成，且四個(gè)字母都關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，請(qǐng)把這個(gè)單詞填完整，并說(shuō)出這個(gè)英語(yǔ)單詞的漢語(yǔ)意思．【例2.2】如圖，△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng)．BC與DE的交點(diǎn)F在直線MN上．①指出兩個(gè)三角形中的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；②指出圖中相等的線段和角；③圖中還有對(duì)稱(chēng)的三角形嗎？【例2.3】在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小穎將一個(gè)四邊形紙片依次按下圖①、②的方式對(duì)折，然后沿按圖③中的虛線裁剪成圖④樣式，將紙片展開(kāi)鋪平，所得到的圖形是（）A． B． C． D．【變式2.1】如圖，直線l是對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是_______點(diǎn)．【變式2.2】如圖，AB左邊是計(jì)算器上的數(shù)字“5”，若以直線AB為對(duì)稱(chēng)軸，那么與它成軸對(duì)稱(chēng)的圖形是數(shù)字_____．【考點(diǎn)3軸對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)】【例3.1】如圖，△ABD和△ACD關(guān)于直線AD對(duì)稱(chēng)，若S△ABC＝10，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)__．【例3.2】如圖的三角形紙片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿過(guò)點(diǎn)C的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為CD，則△BED的周長(zhǎng)為_(kāi)________．【例3.3】如圖，△ABC和△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng)，BC與DE的交點(diǎn)F在直線MN上．若∠BAC=108°，∠BAE=30°，求∠EAF的度數(shù)．【變式3.1】數(shù)學(xué)在我們的生活中無(wú)處不在，就連小小的臺(tái)球桌上都有數(shù)學(xué)問(wèn)題．如圖，∠1=∠2，若∠3=30°，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時(shí)，必須保證∠1=______【變式3.2】如圖，△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng)，BC與DE的交點(diǎn)F在直線MN上．若ED=4cm，F(xiàn)C=1cm，∠BAC=76°，（1）求出BF的長(zhǎng)度；（2）求∠CAD的度數(shù)．【變式3.3】如圖所示的圖案是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形（不考慮顏色），直線l是它的一條對(duì)稱(chēng)軸．已知圓的半徑為r，求綠色部分的面積．模塊二模塊二線段的垂直平分線的性質(zhì)線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反過(guò)來(lái)，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.【考點(diǎn)1線段的垂直平分線的性質(zhì)及應(yīng)用】【例1.1】如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分線AD交BC于點(diǎn)D，若DE垂直平分AB，求【例1.2】北京、石家莊、唐山三地所在的位置如圖所示，若想建立一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)倉(cāng)，使其到這三地的距離相等，則中轉(zhuǎn)倉(cāng)的位置應(yīng)選在（

）

A．三邊垂直平分線的交點(diǎn)處 B．三邊中線的交點(diǎn)處C．三條角平分線的交點(diǎn)處 D．三邊上高的交點(diǎn)處【例1.3】如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F，若AB=3，AC=5，BC=7，則△AEF的周長(zhǎng)為（）A．5 B．7 C．10 D．3【變式1.2】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，EF垂直平分BC，點(diǎn)P【考點(diǎn)2線段的垂直平分線的判定】【例2.1】如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC上，且AD=DC，則點(diǎn)D在（

）A．AC的垂直平分線上 B．∠BAC的平分線上C．BC的中點(diǎn) D．AB的垂直平分線上【例2.2】下列條件中，不能判定直線CD是線段AB(C，D不在線段AB上)的垂直平分線的是（

）A．CA=CB，DA=DB B．CA=CB，CD⊥ABC．CA=DA，CB=DB D．CA=CB，CD平分AB【例2.3】如圖，已知AB=AC，DB=DC，P是AD上一點(diǎn).求證：∠ABP=∠ACP.【答案】證明見(jiàn)解析.【變式2.1】如圖，D是△ABC的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD＝BC＋AC，則C點(diǎn)在線段_________的垂直平分線上．【變式2.2】如圖，已知：AC和BD相交于O，∠1＝∠2，∠3＝∠4．則AC和BD的關(guān)系_____．【變式2.3】如圖，在△ABC中作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到AB，AC兩邊的距離相等，且PA＝PB．下列確定點(diǎn)P的方法正確的是（）A．P為∠ABC、∠BAC的平分線的交點(diǎn) B．P為AB的垂直平分線與∠ABC的平分線的交點(diǎn)C．P為AB、BC兩邊的垂直平分線的交點(diǎn) D．P為AB的垂直平分線與∠BAC的平分線的交點(diǎn)模塊三模塊三尺規(guī)作線段的垂直平分線線段的垂直平分線的作法如圖，已知線段AB，用尺規(guī)作它的垂直平分線．步驟如下：第一步：分別以A和B為圓心，以a的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C和點(diǎn)D；第二步：作直線CD．點(diǎn)P是直線CD上一點(diǎn)，則線段PA=PB．

【考點(diǎn)1線段的垂直平分線的作法】【例1.1】如圖，在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則A．40° B．50° C．60° D．70°【例1.2】如圖，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計(jì)算∠α的度數(shù)為（）A．56° B．68° C．28°【例1.3】尺規(guī)作圖：如圖，現(xiàn)在甲、乙、丙三家公司共建一個(gè)污水處理站P，使得該站到甲、乙、丙三家公司的距離相等．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）【變式1.1】如圖，已知下列尺規(guī)作圖：①作一個(gè)角的平分線；②作一條線段的垂直平分線；③過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線．其中作法正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【變式1.2】如圖，在△AEF中，尺規(guī)作圖如下：分別以點(diǎn)E，點(diǎn)F為圓心，大于12EF的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于G，H兩點(diǎn)，作直線GH，交EF于點(diǎn)O，連接AOA．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EF C．GH垂直平分EF D．GH平分AF【變式1.3】如圖，已知在△ABC中，∠C>90°，CA<AB．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在AB上確定一點(diǎn)D，使得∠CDB=2∠A．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法．）

【考點(diǎn)2畫(huà)對(duì)稱(chēng)軸】【例2.1】下列軸對(duì)稱(chēng)圖形中有且只有一條對(duì)稱(chēng)軸的圖形有（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【例2.2】下列軸對(duì)稱(chēng)圖形中，對(duì)稱(chēng)軸最多的是（

）A．

B．

C．

D．

【例2.3】圖中兩個(gè)五邊形成軸對(duì)稱(chēng)嗎？如果是，請(qǐng)你標(biāo)出A，B，C三點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，并想辦法畫(huà)出對(duì)稱(chēng)軸．【變式2.1】圖中的圖形為軸對(duì)稱(chēng)圖形，該圖形的對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【變式2.2】作出下列各圖形的一條對(duì)稱(chēng)軸模塊四模塊四課后作業(yè)1．如圖，該圖案是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有（

）條對(duì)稱(chēng)軸．A．1 B．3 C．4 D．62．下列圖形中，對(duì)稱(chēng)軸條數(shù)最少的圖形是（

）．A．等邊三角形 B．正方形 C．圓 D．角3．下列圖形中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．

B．

C．

D．

4．如圖所示，哪一個(gè)選項(xiàng)中的左邊圖形與右邊圖形成軸對(duì)稱(chēng)(

)A． B． C． D．5．將一張矩形紙片對(duì)折，用筆尖在上面扎個(gè)“R”,再鋪平，可以看到（）A． B． C． D．6．如圖，△ABC與△A1B1C1，關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng)，P為MN上任一點(diǎn)（P不與A．AP=A1P B．△ABCC．MN垂直平分線段AA1 D．直線AB,A7．如圖，兩個(gè)平面鏡的夾角∠BOC=30°，一束光線從點(diǎn)A出發(fā)，照射到平面鏡上，經(jīng)過(guò)多次反射后回到了點(diǎn)A．關(guān)于這條入射光線，甲說(shuō)：可以是以入射角為30°照射在OB邊上的光線，經(jīng)過(guò)3次反射后回到點(diǎn)A；乙說(shuō)：可以是平行于OC的光線，經(jīng)過(guò)4次反射后回到點(diǎn)A；丙說(shuō)：可以是平行于OB的光線，經(jīng)過(guò)5次反射后回到點(diǎn)A．下列判斷正確的是（

）

A．甲對(duì)，乙錯(cuò)，丙對(duì) B．甲錯(cuò)，乙對(duì)，丙錯(cuò)C．甲對(duì)，乙錯(cuò)，丙錯(cuò) D．甲錯(cuò)，乙對(duì)，丙對(duì)8．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△ABO≌△ADO．下列結(jié)論：①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④∠ABO=∠CBO；⑤四邊形ABCD是軸對(duì)稱(chēng)圖形．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是9．如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接AD．