新教材人教A版高中數(shù)學(xué) 選擇性必修第二冊(cè) 同步試題 521基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）

521基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）

【夯實(shí)基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022?廣東?石門高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是（）

A.（2、）=x-2x~'B.（cos］）=-^-siny

C.=InxD.卜in"）=2sinx

【答案】B

【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則逐一計(jì)算驗(yàn)證選項(xiàng)即可.

【詳解】A選項(xiàng)：（2'）'=272,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：（cos—=--sin—?故B選項(xiàng)正確；

（3J33

C選項(xiàng)：故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

yxjx

D選項(xiàng)：（sin。）=2sinxcosx>故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B

2.（2022?福建莆田?高二期末）函數(shù)y=的導(dǎo)函數(shù)是（）

A./=-%-'B.y'=-x'2C.y'=x'2D./=x-1

【答案】B

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算可得.

【詳解】由（/）'=-/I=-X-2得y，=_%-2

故選：B.

3.（2022?吉林白山?高二期末）已知函數(shù)/（x）=2sinx+3獷'（0）,貝1」/'（0）=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】先求析（力,再求析（0）的值.

【詳解】解：因?yàn)?'（x）=2cosx+3/'（0）,

所以:（0）=2+3尸（0）,解得/'（0）=7.

故選：A.

4.（2022?湖南?株洲市深口區(qū)第三中學(xué)高二期中）已知函數(shù)P=log2X+l,則y'L=（）

A.-——B.---C.In2D.—In2

In2In2

【答案】A

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解即可

【詳解】因?yàn)橄?bg2X+l,故>/=；,故/J尸丁!

xln2In2

故選：A

5.（2022?新疆和靜高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)/（同=；1-/'（2）/+、-3,則〃3）=（）

7

A.-1B.0C.-D.1

3

【答案】B

【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，然后賦值求出/（2）,進(jìn)而求出/（3）的值.

【詳解】/（X）=X2-2/,（2）X+1,.-./（2）=22-2/'（2）X2+1,.-./（2）=1,

/（3）=1X35-1X32+3-3=0.

故選：B

6.（2022?上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高二期末）函數(shù)特性P：“函數(shù)的圖像上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖像在這兩

點(diǎn)處的切線互相垂直”，則下列函數(shù)中滿足特性P的函數(shù)為（）

A.y=x3B.y=sinxC.y=e,D.y=\nx

【答案】B

【分析】若滿足特性P,即在兩點(diǎn)處切線斜率乘積為-1,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷選項(xiàng).

【詳解】設(shè)函數(shù)y=/（x）的圖像上存在兩點(diǎn)（“無(wú)），（為外），若％=則圖像在這

兩點(diǎn)處的切線互相垂直，

對(duì)A,=3x2>0,則%?左2=3%」.342W-1,故A不正確；

對(duì)B,y=cosx,則占?左2=COSX|,COSX2，因?yàn)镃OSX￡[-1,1],所以存在斗，才2滿足COSX|,COSX2=-1,故B

正確;

對(duì)C,y'=e、>0,則尢?右=e』?"-l,故C不正確;

f

對(duì)D,y=—>0,則匕，左2,故D不正確，

xX|x2

【答案】D

【分析】求導(dǎo)函數(shù)代入可求得答案.

【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=3x+xsinx+cosx,所以/'(x)=3+xcosr,

又cos'=0,所以=

故選：D.

8.(2022?北京師大附中高二期中)若函數(shù)/(x)=sinx+cosx,則/'(?)=()

A.-V2B.y/2C.1D.0

【答案】D

【分析】求導(dǎo)后代入X=f求解即可

4

【詳解】由題意，/"(x)=cosx-sinx,故/"用=cos卜sin}0

故選：D

二、多選題

9.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A.(3'y=3'logje(bg2X)'=*

【答案】BCD

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式判斷各項(xiàng)的正誤.

【詳解】A：(3')'=3xln3,錯(cuò)誤;

B：(Iog2x/=—,正確;

xIn2

正確;

D：田子正確，

故選：BCD

三、填空題

10.(2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)高二期中)已知函數(shù)/(x)=2*,則/、'(2)=.

【答案】41n2

【分析】利用基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，代入即得解.

【詳解】由題意，/'(x)=2Un2,故/'(2)=4ln2.

故答案為：4In2

11.(2022?山東棗莊?高二期末)已知函數(shù),f(x)=則曲線N=/(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線的方程為

【答案】y=3x-2

【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出答案.

【詳解】解：f'(x)=3x2,

則/'(1)=3,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線的方程為y-i=3(x-i),

即y=3x-2.

故答案為：y=3x-2.

12.(2022?江蘇連云港?高二期末)設(shè)方為實(shí)數(shù)，若直線y=-x+b為函數(shù)，=1圖象的切線，則6的值是

X

【答案】2或-2

【分析】設(shè)切點(diǎn)為(X。,4),求導(dǎo)得到y(tǒng)'=-」，得到-」r=T,解得切點(diǎn)，代入得到答案.

Xxo

【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(%,%)),由函數(shù)y=1的導(dǎo)數(shù)為y'=--V，

XX

由直線y=-x+b得到斜率為,得到-±=-i,解得七=±1,

把X。=-1代入尸:中解得義=-1,把%=1代入%/中解得%=1,

所以切點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,-1)或(1,1),

當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)是(T，T),代入直線的方程y=-x+b,得:b=-2；

當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)是。,1),代入直線的方程y=-x+b,得：b=2.

綜上所述：6=2或-2.

故答案為：2或-2

13.(2022?福建三明?高二期末)已知曲線/(x)=Inx+x在點(diǎn)(1,1)處的切線為/,則直線/的方程為

【答案】y=2x-i

【分析】先求導(dǎo)，則左=/'(1)=2,再由點(diǎn)斜式求解即可

【詳解】因?yàn)?(x)=lnx+x,

所以=：+A;=.r(l)=j+1=2,

所以切線方程為：y-l=2(x-l),即夕=2x-l,

故答案為：y=2x-l

四、解答題

14.(2022?湖南?株洲市溪口區(qū)第三中學(xué)高二期中)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

d)y=x'2；

⑵，=X1；

(3)…；

(4)^=lnx；

O)y=cosx.

【答案】⑴八⑵“

4

(2)”-乒

(3)y=3'ln3

(4)y=-

X

(5)j/=-sinx

【分析】根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)公式即可得出答案.

【詳解】(I)y=(x,2y=i2xn

⑵”儀)=(y)'=T

(3)y=(3x)'=3xln3

(4)/=(lnx/=-

(5)y=(cosx)=-sinx

15.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

(Df(x)=^；

(2)/(x)=lgx；

(3"(x)=5、：

(4)/(x)=-2sin|^H-2cos2;

4J.

【答案】(l)r(x)=(x5

1

(2)/'(x)=

xlnlO

(3)/'(x)=51n5

(4)/'(x)=cosx

【分析】(1)根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，即可求得答案;

(2)根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，即可求得答案；

(3)根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，即可求得答案；

(4)先利用三角函數(shù)二倍角公式化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)，可得答案.

(1)

,_44—

由〃幻=病=/，可得/'(x)=1x4；

(2)

由/(x)=lgx，可得/'(x)=-^;

xlnlO

(3)

由/(x)=5，，可得尸(x)=51n5；

(4)

由/(x)=-2sinyfl-2cos2今卜2sin|-^2cos2l^j=2sin|-eos^-=sinx,

可得/'(x)=cosx.

【能力提升】

一、單選題

1.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))設(shè)4(x)=Sinx,￡(x)=/'(x),人(x)"'(x).....工+G)=￡⑺，?eN,

則人022(x)=()

A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx

【答案】B

【分析】根據(jù)正余弦函數(shù)的求導(dǎo)公式，依次求出工(x)=4'(x),f2(x)=f；(x),./；(x)-f；(x),,f4(x)-f；(x),

即發(fā)現(xiàn)￡(x)的值的周期性，由此可求得答案.

【詳解】由題意得Z)(x)=sinx,4(x)=>(x)=(sinx)'=cosX,=(cosx)'=-sinx,

?4(x)=人'(x)=(-sinx)=-cosx，/4(x)=^(x)=(-cosx)=sinx>%(x)=￡'(x)=(sinx)=cosx>....>

又因?yàn)?022=5x404+2,

故篇2(x)=力(x)=-sinx,

故選：B.

2.(2022?云南昭通?高二期末)定義滿足方程/”(x)+/(x)=l的實(shí)數(shù)解%叫做/(力函數(shù)的“自足點(diǎn)”，則下

列函數(shù)存在“自足點(diǎn)'’的是()

A.f(x)=x2+3B./(x)=ev+l

C./(x)=InxD./(x)=eJ-sinx+3

【答案】C

[分析】根據(jù)/''(X)+/(X)=1逐個(gè)答案進(jìn)行分析求解即可.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，/(x)=，+3,則以x)=2x,由〃x)+W+2x+3=l,

BPx2+2x+2=0>A=4-8<0,因此，/(x)=x2-3x不存在“自足點(diǎn)”，故A不滿足易于題意；

對(duì)于B選項(xiàng)，/(x)=e'+l,則/(x)=e，，由〃x)+r(x)=e、+l+e*=1,

得2e"=0,又e、>0,所以2e、=0無(wú)解，所以/(x)=e'+1不存在“自足點(diǎn)”，故B不滿足題意；

對(duì)于C選項(xiàng)，/(x)=lnx,則r(x)=—其中x>0,所以/(x)+/(x)=lnx+E=l,

又/'(1)+/。)=1，故函數(shù)/(x)=lnx存在“自足點(diǎn)”，C選項(xiàng)滿足題意；

對(duì)于D選項(xiàng)，/(x)=e、-sinx+3,則，(x)=e、-cosx,

由+=2er-sinx-cosx+3=1,得2e*-sinx-cosx+2=0，

所以sinx+cosx=2(e'+1),即&sin(x+?)=2(e'+1),

因?yàn)閬唖in(x+?)e[_5/I,VT],2(ex+l)>2,

所以亞sin(x+7)=2(e'+l)無(wú)解，D選項(xiàng)不滿足題意.

故選：C.

3.(2022?廣西?高二階段練習(xí)(理)〉/'(X)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)VxeR都有/V(x)-3*)=4,則函數(shù)

〃(x)=/'(x)-9零點(diǎn)所在區(qū)間是()

x

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

【答案】C

【分析】根據(jù)題設(shè)得"x)=3'+C,對(duì)其求導(dǎo)可得例x)=3'ln3-°,根據(jù)指數(shù)、塞函數(shù)的單調(diào)性判斷〃(x)在

X

(0,+8)上的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求零點(diǎn)所在區(qū)間.

【詳解】對(duì)VxeR都有/(/*)-3、)=4,

若/(x)為常數(shù)函數(shù)，即對(duì)VxeR有〃x)=4,則/'(x)=0,故〃(x)=)在(0,+?>)上無(wú)零點(diǎn)；

X

若/(X)在XeR上不單調(diào)(不為常數(shù)函數(shù))，即meeR使/(C)=4,

對(duì)VxwR有/(x)—3*=C,則/(x)=3、+C為單調(diào)函數(shù)，不合假設(shè);

若/(X)在xeR上單調(diào)，即mCeR使/(C)=4,

對(duì)VxeRWf(x)-y=C,則/(x)=y+C為單調(diào)函數(shù)，滿足假設(shè)；

綜上，/(x)=3'+C.

所以f'(x)=3'ln3,故例x)=3*In3-9在(0,+8)上遞增且連續(xù),

x

而力⑵=91n3-3>0,Ml)=3(ln3-2)<0,

所以零點(diǎn)所在區(qū)間是(1,2).

故選：C

4.(2022?山東荷澤?高二期中)定義：如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［。向上存在王,々(。<演<》2<6),滿足

八匹)="2/'(%)=〃2二/⑺,則稱函數(shù)N=/(x)是在區(qū)間上的一個(gè)雙中值函數(shù).已知

b一-a/"b-a

Q

函數(shù)/(X)=x3-1x2是區(qū)間［0,切上的雙中值函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

【答案】B

3_821Z

【分析】由/(m)一/(0)"加川28機(jī),r(x)=3x2-yx,

zw-0m5

Q

g(-)<0

即3/-3-/+幼=0在［0,〃力有兩解，解不等式，即可得解.

55g(〃?)>0

8

m>一

15

【詳解】求導(dǎo)可得八刈=3--*,

3_82

由/(加)-/(0)"一丁38

--------------=------------=m-m

m—0m5

所以加2一1加=3/一華工有兩解，

即3x2--y-X-W2+|?加=0在［0,〃?］有兩解，

令g(x)=3x2--x-nr+—m

Q

g(-)<0

g(0)>0

所以

g(w)>0

8

m>——

15

48

解得：

故選：B

二、多選題

5.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)=竺+lnx.,若/(x)的圖象存在兩條相互垂直的切線.

則。的值可以是()

A.-6B.-5C.-4D.-3

【答案】AB

【分析】由題可得7''(x)=x+W+：,利用基本不等式可知/'@)=》+1+：2]+2,由條件可知

/'(陽(yáng))/'8)=-1,即可判斷.

【詳解】???函數(shù)/(x)=m?+lnx,定義域?yàn)?0,+8),

f'(x}=%+—+—，

\)2X

：.f'(x)=x+^+->^+2,當(dāng)且僅當(dāng)x」時(shí)，取等號(hào),

v72x2x

要使/(x)的圖象存在兩條相互垂直的切線，則叫，迎門。,”)，/'(不)/'伉)=-1,

所以/'(x)=x+g+g的值必有一正一負(fù)，

當(dāng)°=-3時(shí)，r(x)=x+-+->-,不合題意，

''2x2

當(dāng)々=-4口寸，/,(x)=x+y+—>0,不合題意，

當(dāng)"一5時(shí)，/'(x)=x+J—|,則力,工2￡(。，+°°)，/'(%)/'(工2)=-1，例如明，X2￡(0，+°°)，

/'(x)=X+----=-1，f\工2)=工2-~~~=4,故Q的值可以是一5,

X]，?入2Z

當(dāng)“=一6時(shí)，/，(X)=X+}-3,貝1」%,與€(0,+00),/(%).，(々)=-1,例如也戶2€(0,+8),

/"(X|)=芭+,-3工2)=々」-3=4,故。的值可以是-6.

x,4x2

所以。的值可以是-5或-6.

故選：AB.

6.(2022?河北?英才國(guó)際學(xué)校高二期中)已知曲線〃x)=J則過(guò)點(diǎn)(T3),且與曲線y=/(x)相切的直

線方程可能為()

A.y=-x+2B.y=-9x-6C.y=-Sx-5D.y=-7x-4

【答案】AB

(1、

【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)X。,一，求出函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)，利用點(diǎn)斜式寫出方程，再代入計(jì)算作答.

kxo>

【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)(T3)的直線與曲線y=/(x)相切的切點(diǎn)為(%,'),由〃x)=，求導(dǎo)得/口)=-二，

/XX

1112cl21

于是得切線方程為夕---="T(zx-Xo),即夕=—r、+—,則3=7+1，解得%=1或X。=-：,

因此得切線方程為y=-x+2或y=-9x-6,

所以所求切線的方程是y=-x+2或y=-9x-6.

故選：AB

三、填空題

7.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))對(duì)半徑為1的氣球以恒定的速度充氣，可視為球體在不斷膨脹，當(dāng)半徑增

加至2時(shí)，其體積相對(duì)于半徑的瞬時(shí)變化率為.

【答案】16萬(wàn)

【分析】球的體積公式為修=34萬(wàn)對(duì)其求導(dǎo)并代入尺=2計(jì)算即可

4

【詳解】解：由球的體積公式可得M=］乃川,得仁=4萬(wàn)斤，

所以R=2時(shí)，體積關(guān)于半徑的瞬時(shí)變化率為『=4"x22=16萬(wàn)，

故答案為：16萬(wàn)

8.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))設(shè)曲線/(x)=x"+'(neN,?>1)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x”,

則玉?天?七?幾…“x2021=.

1

【答案】

2022

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率和方程，進(jìn)而求出/=/；，再由累乘法可得答案.

77+1

【詳解】解：由/(x)=x”"eN,〃21)得/(x)'=(〃+l)/，所以切線的斜率為〃+1,

所以在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y-1=(〃+i)(x-l),

令y=0,解得x=』7,即\,

H+1n+1

一12320211

XX

所以演?X2?.%4............X202l=234Xx_____—_____

2022—2022

1

故答案為:

2022

9.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))若函數(shù)/'(X)是函數(shù)/(制的導(dǎo)函數(shù)，且滿足/(0)=l,3/G)=/'(x)-3,則不

等式”(x)>f(x)的解集為.

【答案】(；ln2,+8)

【分析】由題意可設(shè)/(x)=a/+c,由/(0)=l,3/(x)=/'(x)—3,可得6=3,c=-l,“=2,由此求出/⑶的

解析式，不等式可解.

【詳解】???3/(x)=f\x)-3,；.f\x)=3/洋)+3

可設(shè)f(x)=a/+c

由/(0)=1,得a+c=l

又3/(x)=((X)-3,即3aehx+3c=abehx-3

[3a=ab

i，解得6=3,c=-l,a=2

3c=-3

f{x)-2*-LX€火

又"(x)>r(x)

.?.8e3*-4>6e3*即e3*>2

解得x>；ln2

故答案為：(|ln2,+co)

【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)中構(gòu)造函數(shù)解決問(wèn)題的題型，由題眼3/(x)=/'(x)-3可知，原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)形式

相同，由此可聯(lián)想構(gòu)造，型函數(shù)，屬于難題.

10.(2022?全國(guó),高二專題練習(xí))已知/(x)=tanx,數(shù)列｛““｝滿足：對(duì)任意“eN*,且

/(。向)="'(6)’貝!1使得sin%應(yīng)叫…sin%成立的最小正整數(shù)后為

【答案】298

【分析】先求出/'(x)=S”確定但/%｝是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求出tan%=J標(biāo)從而

sin%=，sinq?sin的…sina1t最后解不等式得出％的最小值.

［詳解】尸(加￡由/(a,+J=J/'(%)知:

1_sin2%4-COS2^

tanW=1+tan2atan2<71=3.

cos?42n

cosatl

.?.｛tan?%｝是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，，tan2a“=3+(〃-l)=w+2,

又AeN*,

故k的最小值為298.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的求導(dǎo)，等差數(shù)列的定義，同角三角關(guān)系式，以及根式不等式的求解.

四、解答題

11.(2022?廣東?高二期末)已知函數(shù)/(x)=sinx-x+ax2,aeR.

(1)若曲線歹=/(*)在》=兀處的切線過(guò)原點(diǎn)，求”的值；

⑵當(dāng)X45時(shí)，/(x)>0,求。的取值范圍.

【答案】⑴-丁

3兀

1

(2)a>-

71

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義列出關(guān)于。的方程，解之即可。的值；

(2)先構(gòu)造函數(shù)g(x)=sinx-x+L2,再利用導(dǎo)數(shù)證明g(x"0,進(jìn)而求得“的取值范圍.

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(1)

/(x)=sinx-x+6rx2,則/'(X)=cosx-l+2ax

則k=/'(兀戶COSTT-1-2aTt=-2-2a兀

又曲線夕=/(》)在》=兀處的切線過(guò)原點(diǎn)，

則/(兀)0=k,即_1+。兀=一2-2。兀，解之得。=---

71-03n

(2)

①當(dāng)4=0時(shí)，/(x)=sinx-x,x<5

/r(x)=cosx-l<0,則/(x)在(-00,5］上單調(diào)遞減

又/(0)=sin0=0,則x40時(shí)，/(x)>0；工>0時(shí)，/(x)<0

故。=0時(shí)，不滿足當(dāng)xK5時(shí)/(x)NO,不符合題意；

②由/(兀)=sin兀一兀+〃冗220,可得

貝！J/(x)=sinx-x+ax2>sinx-x+—^

g(x)=sinx-x+—x2,(x<5)

要證/(力之0,只需證g(x)N0

㈠當(dāng)工￡(-8,0］時(shí)，g(x)=sinx-x+—JC>sinx-A:

由①知，g(x)>sinx-x>0

2

㈡當(dāng)X€(0㈤時(shí),g〈X)=COSX-14-—X

令/7(X)=COSX-1+—X,XG(0,7l)

貝”(x)=-sinx+jXG(0,7i),P'(x)在(o,。單調(diào)遞減，在(,兀］單調(diào)遞增

/9f(0)=—>0,P|—|=--1<0,pr(7t)=—>0

n\2Jitn

貝1］叫?(。4)，x2,使得p'(xj=p，(x2)=0

則當(dāng)X￡(0,X1)或XW(X2,兀)時(shí)p'(x)>o,當(dāng)X€(X"X2)時(shí)p'(x)<o

則0("在(0,西)和(工2，兀)單調(diào)遞增,在(西,々)單調(diào)遞減

又由2⑼==P⑺=0,

可得當(dāng)X€(O,5)時(shí),p(x)>0；當(dāng)xe(',兀)時(shí)，p(x)<0

則g(x)在(0卷)上單調(diào)遞增；在生)上單調(diào)遞減

又由g(o)=g(兀)=0,