高中數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊 第三章函數(shù)的概念與性質單元測試4

第三章函數(shù)的概念與性質單元測試4

(時間：120分鐘滿分：150分)

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的)

X

1.若函數(shù)Xx)=Qx+l)(x-a)為奇函數(shù)，貝ij“=()

A.；B.|C.D.1

2.若o>0,則函數(shù)y=|x|(x—a)的圖象的大致形狀是()

3.已知函數(shù))，=/U+l)定義域是[-2,3],則y=/(x—2)的定義域是()

A.[1,6]B.[-1,4]C.[-3,2]D.[-2,3]

x1+2x,x<0,

9

4.已知函數(shù)<x)=I*-2x，x”().若八一“)+犬”)或，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.[-1,1]B.[-2,0]C.[-2,2]D.[0,2]

5.若?r)和g(x)都是奇函數(shù)，且尸(x)=/(x)+g(x)+2

在(0,+8)上有最大值8,則在(一8,0)上，

產(chǎn)(%)有()A.最小值一8B,最大值一8C,最小值一6D,最小值一4

—X，4,X<0,

<廠

hx^H——,x>0.

6.已知函數(shù)於）為奇函數(shù)，且危）=[廠（〃，b￡R）,則八—2）=（）

A.-7B.7C.0D.2

7.設函數(shù)yu尸—,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

l+x

A./(x-l)-lB./(x-l)+lC./(x+l)-lD./(x+l)+l

(不)一工(工)

M2/2《u8----

8.定義在(0,+8)上的函數(shù)7(x)滿足為一電，且12)=4,則不等式y(tǒng)wx>0

的解集為()A.(4,+oo)B.(0,4)C.(0,2)D.(2,+a>)

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0

分)

9.定義新運算③：當〃沙時，a?b=a-,當時，.則函數(shù)“r）=（l③尤）x—（2?x）,

%e［-2,2］的值可以等于（）A.6B.1C.-4D.-6

10.下列說法正確的是（）

A.函數(shù)?x）的值域是［-2,2］,則函數(shù)式x+1）的值域為［-3,1］

B.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)有無數(shù)個

C.若AU2=B,則4nB=4

D.函數(shù)次x）的定義域是［-2,2J,則函數(shù)?r+l）的定義域為［-3,11

m

11.（多選）已知幕函數(shù)危）=%〃（“，〃￡N+,m,拉互質），下列關于?x）的結論正確的是（）

A.m,〃是奇數(shù)時，y（x）是奇函數(shù)

B.m是偶數(shù)，〃是奇數(shù)時，人冷是偶函數(shù)

c.加是奇數(shù)，〃是偶數(shù)時，是偶函數(shù)

m

D.o<—<1時，人工）在（0,+oo）上是減函數(shù)

/（-）

12.具有性質：*=-/（x）的函數(shù)，我們稱為滿足"倒負”變換的函數(shù)，下列函數(shù)中滿足“倒

負''變換的函數(shù)是（)

尤,0<x<1,x,0<x<1,

<0,x=1,<0,x=l,

]---,X>I.一，無>1.

A.J(x)=x~^B.fix)=x+-C.J[x)=xD.X%)=I%

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上）

13.若函數(shù)1x）=f—2（〃-l）x+2在區(qū)間（1,4）上不是單調函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是

14.當0白02時，恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.（-00,1］B.（-co,0］C.（-co,3）D.（0,+oo）

15.已知函數(shù)4x）=x2—4x+a+3,aGR.

（1）若函數(shù)人x）的圖象與x軸無交點，則實數(shù)a的取值范圍為;

（2）若函數(shù)外）在［-1,1］上與x軸有交點，則實數(shù)a的取值范圍為.

（7,一馬

16.設大幻=/+1,g（x）=m（x））,F（x）=g（x）一祖x）.若存在實數(shù)人使F（x）在區(qū)間2上

單調遞減且在區(qū)間（一萬'°）上單調遞增，則2=.

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟）

17.(本小題滿分10分)已知函數(shù)<x)=|_r-2|(x+l).

(1)作出函數(shù)/(x)的圖象；

(2)判斷直線y=a與y=|x—'2|(x+l)的交點的個數(shù).

18.(本小題滿分12分)設J(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意a,Z>SR,當a+厚0時，都

f(a)+f?:0

有a+b

(1)若34試比較7(a)與忌>)的大小關系;

⑵若八1+附+/(3-2加)20,求實數(shù)機的取值范圍.

19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)危)=兇+嚏-1(/0).

(1)當機=2時，判斷4x)在(-00,0)的單調性，并用定義證明；

2

(2)若對任意xGR,不等式八二)>0恒成立，求機的取值范圍.

20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)｛x)和g(x)的圖象關于原點對稱，且人。=/+乂

(1)求函數(shù)g(x)的解析式；

⑵已知義4-1,若6(x)=g(x)—；l_/(x)+l在上是增函數(shù)，求實數(shù)；I的取值范圍.

21.(本小題滿分12分)某化學試劑廠以x千克/小時的速度勺速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求

3

(5x+l--)

1人10),每小時可獲得的利潤是x萬元.

(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于30萬元，求x的取值范圍：

(2)要使生產(chǎn)120千克該產(chǎn)品獲得的利澗最大，則該工廠應該選何種生產(chǎn)速度？并求出最

大利潤.

22.(本小題滿分12分)

設0,bwR,若函數(shù)/(x)定義域內的任意一個x都滿足/(x)+/(2a-x)=2/?,則函數(shù)/(x)的

圖象關于點3力)對稱;反之,若函數(shù)/(x)的圖象關于點(。,毋對稱，則函數(shù)/(x)定義域內的

5x+3

任意一個X都滿足Z(x)+f(2a-x)=2/7.已知函數(shù)g(x)=-------.

x+1

(1)證明:函數(shù)g(x)的圖象關于點(-1,5)對稱；

(2)已知函數(shù)//(X)的圖象關于點(1,2)對稱，當XS[0,n時,/?(x)=，-mx+〃?+l(m<0)若對

2

任意的X]e[0,2],總存在*2e使得h(x])=)成立，求實數(shù)機的取值范圍.

第三章函數(shù)的概念與性質單元測試4參考答案

（時間：120分鐘滿分：150分）

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.若函數(shù)外）=（2x+l）（x-a）為奇函數(shù)，則“=（）

123

A.2B.]C?WD.1

【答案】：選A

因為貝彳）為奇函數(shù)，

所以火

所以用=-3（iLq）'

所以1+〃=3（1—。），解得。=；.

x（x—a）JC>0

函數(shù)y=|x|（x—4）=《'、'當xK）時，函數(shù)y=x（x—a）的圖象為開口向上的拋

—X（,x-a）,x<0,

物線的一部分，與x軸的交點坐標為（0,0）,（a,0）.當x<0時，函數(shù)y=-x（x—幻的圖象為

開口向下的拋物線的一部分.故選B.

3.已知函數(shù)），=於+1）定義域是[-2,3],則>=加-2）的定義域是（）

A.[1,6]B.[-1,4]C.[-3,2]D.[-2,3]

【答案】：選A

由題意知，一2人3,.*.-l<x+l<4.

：.-l<x~2<4,得1W爛6,即），=%一1）的定義域為“，6].

x2+2x,x<0,

9

4.已知函數(shù)於）=[尸一之無，x*（）?若人一切+人〃20,則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.[-1,1]B.[-2,0]C.[-2,2]D.[0,2]

【答案】：選C

]々>0,|”0,[67=0,

依題意可得+2（—a）+a~—2""。.或+2（—。）+。~+2""0.或[2（0~-2x0）<0.

解得一2%二2.

6.若7U)和g(x)都是奇函數(shù)，且F(x)=7(x)+g(x)+2

在(0,+◎上有最大值8,則在(一8,0)上，

尸(無)有()A,最小值一8B,最大值一8C.最小值一6D.最小值一4

【答案】：選D

和以力都是奇函數(shù)，，./u)+ga)也是奇函數(shù)?又Fa)=/a)+ga)+2在(0,+切)上有最

大值8,?\/(x)+ga)在(0,+8)上有最大值6,?\/(x)+g(x)在(一8,0)上有最小值-6,.??F(x)

在(一oo,0)上有最小值一4.

—X，H----,X<0,

,a4

bx-\——,x>0.

6.已知函數(shù)段)為奇函數(shù)，且危)=〔尸3,b￡R),則/—2)=()

A.-7B.7C.0D.2

【答案】：選B

當心>0時，一x<o,#一x)=R+S,又y(x)是奇函數(shù)，

所以〃=—4,b=—\,

a4八

-x-,x<0,

<不

34八

—XH....-,X>0.

所以兀c)=廠

所以人-2)=7.故選B.

7.設函數(shù)=~d，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

1+x

A./(X-l)-lB./(X-D+1c./(X+D-1D./(X+l)+l

【答案】ACD

對于A,將的圖象向右平移1個單位長度得到函數(shù)式x—i)的圖象，若兀v)為奇函數(shù),則其圖

象關于點(0,0)對稱,則函數(shù)f(xT)的圖象關于點(1,0)對稱,A正確；

對于B,若對xWR,有<x+l)=/(xT),即式x—2)/x),函數(shù)1x)的圖象不一定關于直線x=l對

稱,B錯誤；

對于C,將y(x+l)的圖象向右平移1個單位長度得到函數(shù)?r)的圖象，若函數(shù)?r+l)的圖象關于

直線％=-1對稱，則Xx)的圖象關于直線m0對稱，即4x)為偶函數(shù),C正確；

對于D,若./U+xH/U—x)=2,即川+外一1=一[/(1一X)-1],則人》)的圖象關于點(1,1)對稱,口正確.

故選ACD.

xif（x］）-x2f（x2）_8

8.定義在（0,+oo）上的函數(shù)?r）滿足為一工2,且式2）=4,則不等式火x）x>0

的解集為（）A.（4,+oo）B.（0,4）C.（0,2）D.（2,+oo）

【答案】C

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0

分）

9.定義新運算?當a泌時，a?b=a-,當4cb時，層則函數(shù)加0=（1?）x）x-（2?x）,

xG［-2,2］的值可以等于（）A.6B.1C.-4D.-6

【答案】：選ABC

x—2,—2VJVV,

由題意知?r）=（l位x）x—（2&x）={a''易知函數(shù)式x）在［-2,2］上單調遞增，所

,jr—2,l<x<2,

以4x）d［—4,6］,所以函數(shù)?r）的值可以為一4,1,6.故選ABC.

10.下列說法正確的是（）

A.函數(shù)加0的值域是［-2,2］,則函數(shù)y（x+l）的值域為［-3,1］

B.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)有無數(shù)個

C.若AUB=B,則AA8=A

D.函數(shù)人x）的定義域是［-2,2］,則函數(shù)式x+1）的定義域為［-3,1］

【答案案】：選BCD

由_/U）與應r+1）的值域相同知，A錯誤；設段）=0,且xeo,。是關于原點對稱的區(qū)間，

則y（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，由于。有無數(shù)個，故7U）有無數(shù)個，B正確；由AUB=8得，

AQB,從而AD8=A,C正確；由一29+1夕得一3SE1,D正確.故選B、C、D.

Ill

11.（多選）已知賽函數(shù)貝x）=x"（也"6N+,m,〃互質），下列關于段）的結論正確的是（）

A.m,〃是奇數(shù)時，是奇函數(shù)

B.m是偶數(shù)，〃是奇數(shù)時，是偶函數(shù)

c.加是奇數(shù)，〃是偶數(shù)時，式工）是偶函數(shù)

D.0<-<1時，?r）在（0,+a））上是減函數(shù)

m

解析：選ABKx）=x"='網(wǎng),當加，”是奇數(shù)時，火x）是奇函數(shù)，故A中的結論正確；當

機是偶數(shù)，〃是奇數(shù)時，外）是偶函數(shù)，故B中的結論正確；當機是奇數(shù)，"是偶數(shù)時，丸的

在x<0時無意義，故C中的結論錯誤；當0.<1時，於）在（0,+oo）上是增函數(shù)，故D中的

結論錯誤.選A、B.

/(-)

12.具有性質：x=一40的函數(shù)，我們稱為滿足"倒負”變換的函數(shù),下列函數(shù)中滿足“倒

負”變換的函數(shù)是()

尤,0<x<1,XyO<X<1,

<0,x=l,,0,x=1,

]]—，尢>1.一>1.

A.y(x)=x--B.fi,x)=x+-C./)=〔XD.

【答案】：選AC

/㈠?(x—)

對于A,X=-—x=—x=-y(x),滿足“倒負”變換.

/(-)]]

x

對于B,=-+x=x+-=j(x)^—j(x)9不滿足“倒負”變換.

1/(-)11

對于C,當0a<1時，一>1,x=—T=—x=—fix);當x=\時，-=i,x=0=-/%)；

人i人

X

1/(~)1(」)

當￡>1時，O/Vl，x=(=—X=—/w，滿足"倒負”變換.

1/(-)1

對于D,當0<r<l時，->1,x=1=#—兀。不滿足"倒負”變換.

x

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上)

13.若函數(shù)7U)=N-2(a—l)x+2在區(qū)間(1,4)上不是單調函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是

【答案】：(2,5)

因為函數(shù)兀r)=l2—2(〃-l)x+2在區(qū)間(1,4)上不是單調函數(shù)，函數(shù)圖象的對稱軸為直線

x=a—1,所以1<4,所以2<〃<5.

14.當OS區(qū)2時，〃<一12+2%+3恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍是()

A.(—co,1]B.(—oo,0]C.(—co,3)D.(0,+co)

【答案】：選C

〃<—/+2x+3恒成立，則n小于函數(shù)y(x)=—N+2x+3,[0,2]的最小值，

而火x)=—/+2x+3,%e[0,2]的最小值為3,故“<3.

15.已知函數(shù)人外二^2—4x+〃+3,a￡R.

(1)若函數(shù)兀0的圖象與x軸無交點，則實數(shù)。的取值范圍為;

(2)若函數(shù)外)在[-1,”上與x軸有交點，則實數(shù)〃的取值范圍為.

【答案】：(1)：危)的圖象與X軸無交點，

.../=16—4(〃+3)<0,：.a>\,即實數(shù)a的取值范圍為(1,+oo).

(2)V函數(shù)於)的圖象的對稱軸為直線x=2,且開口向上，

.?.危)在［-1,1］上單調遞減，

要使人用在［-1,1］上與x軸有交點，

f/⑴MO,

需滿足.?.一8%a,

即實數(shù)a的取值范圍為［-8,01.

答案：(1)(1,+oo)(2)[-8,0J

16.設40=/+1,g(x)=；(/a)),F(x)=g(x)一以x).若存在實數(shù)人使尸(x)在區(qū)間上

單調遞減且在區(qū)間(一三")上單調遞增，則.

解：假設存在滿足條件的實數(shù)2,則由次x)=/+l,g(X)=/(/a)),得g(x)=(/+l)2+l,

F(x)=g(x)—加x)=x4+(2—A)X2+2—A.

(-00,--)1(--,0)

令1=/,則1=/在(一8,0)上單調遞減，且當天￡2時，r>-；當2時,

故若F(x)在上單調遞減，在上單調遞增，則函數(shù)*)=~+Q—。+2一2

(小用)(0,—)

在2上單調遞增，在2上單調遞減，.??函數(shù)儀。=產(chǎn)+(2_#f+2—4的圖象的對稱

2—21—2I

軸/=一^-為直線/=/,即-yu]，貝2=3.

故存在滿足條件的實數(shù)2(2=3),使F(x)在區(qū)間上單調遞減且在區(qū)間上單

調遞增.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟)

17.(本小題滿分10分)已知函數(shù)./U)=pr-2|(x+l).

(1)作出函數(shù)y(x)的圖象；

(2)判斷直線y=a與y=|x—2|(x+1)的交點的個數(shù).

解：(1)函數(shù)%)=以一2|(%+1),

2

去絕對值符號得於戶1（x/—+x—葉2,2x二>2,<2.

可得7U）的圖象如圖所示.

由圖象可知：當4<0時，有一個交點；當。=0時，有兩個交點;

9

當0<“q時，有三個交點;

9

-9

4有兩個交點；當疝時，有一個交點.

9

綜上，當。<0或〃五時，有一個交點：

9

當。=0或。=W時，有兩個交點；

9

當0<aq時，有三個交點.

18.（本小題滿分12分）設人工）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意a,bGR,當a+屏0時，都

f0+fS）二.

有^

（1）若公也試比較五0與犬力的大小關系；

（2）若川+“）+八3-2加）20,求實數(shù)〃?的取值范圍.

解：（1）因為所以〃一6>0,

/（〃）+/（由:0

由題意得"b,

所以犬4）+大一份>0.

又y（x）是定義在R上的奇函數(shù)，

所以4一份=-A〃），

所以y（a）-A/0>0,即式

（2）由（1）知人x）為R上的單調遞增函數(shù)，

因為川+川）+.*3—2〃?巨0,

所以犬1+/n）>一代3—2m）,

即欠1+"?）次2加-3）,

所以1+m>2m—3,所以m<4.

所以實數(shù)，"的取值范圍為(-8,4］.

JT1

19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)負x)=|x|+1—1(/0).

(1)當機=2時，判斷凡r)在(一oo,0)的單調性，并用定義證明；

2

(2)若對任意xGR,不等式大X)>0恒成立，求機的取值范圍.

2

【答案】：⑴當〃?=2,且x<0時，式x)=—x+(-1是單調遞減的.

證明：設Xi<T2<0,則

/2,、

2(F+---1)

/X|)-/(X2)=-X1+--1-西

2（X2~~xi）

=（X2-Xl）4

XiX2

=（X2—Xl）,

又X\<X2<Q,所以X2—X|>0,XlX2>0,

所以(尤2—Xl)再3>0,

所以/(如)一兀冷)〉0,即/UD/X2),

2

故當機=2時，兀r)=—x+:—1在(-8,0)上單調遞減.

m

?22F

(2)由)>o得|工|+大一i>o,

2222

變形為(")2—工+m>0,即—(1)2,

而產(chǎn)2一(廣2)2=一24,

21X=+^-22cl1

當”=，時，即2時，("一(">)max=4，所以加>加

20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)兀r)和g(x)的圖象關于原點對稱，且人工)=/十大.

(1)求函數(shù)g(x)的解析式；

(2)已知;1?-1,若/z(x)=g(x)—2段:)+1在［—1,1］上是增函數(shù),求實數(shù)2的取值范圍.

解：(1)設函數(shù)產(chǎn)7U)的圖象上任一點。(的,州)關于原點的對稱點為P(x,y),

?.,點Q(xo,yo)在產(chǎn)/3)的圖象上，故g(x)=-x2+x.

⑵由(1)知/?(%)=-(1+)^+(1-2)x+1,

當A=-1時,〃(x)=2x+l滿足條件；當4<一1時,〃(x)的圖象開口向上，且對稱軸方程為

1-A

X=,

2(1+2)

則2(17A)47,解得-3424-1?綜上，實數(shù)2的取值范圍為-34；lWT.

21.(本小題滿分12分)某化學試劑廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求

(5x+1—)

l<x<10),每小時可獲得的利潤是x萬元.

(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于30萬元，求x的取值范圍；

(2)要使生產(chǎn)120千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，則該工廠應該選何種生產(chǎn)速度？并求出最

大利潤.

3

(5x+1—)

解：(1)由題意可知，2x>30.

所以5X2-14x-3=(5x+l)(x-3)>0,

所以后一§或x>3.

又1SE10,所以把爛10.

所以x的取值范圍是[3,10].

120(5x+l-3)

(2)易知獲得的利潤>=寧