高中數(shù)學(xué)-圓教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

教學(xué)設(shè)計(jì)

1.問(wèn)題情境

問(wèn)題1.一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)：臺(tái)風(fēng)中心位于輪

船正西70km處,受影響的范圍是半徑長(zhǎng)為50km的圓形區(qū)域.己知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北70km

處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感受臺(tái)風(fēng)這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中所蘊(yùn)含的直線與圓的位置關(guān)系，思考解決問(wèn)

題的方案.通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引入，讓學(xué)生體會(huì)生活中的數(shù)學(xué)，突出研究直線與圓的位置關(guān)系

的重要意義.

師生活動(dòng)：讓學(xué)生進(jìn)行討論、交流，啟發(fā)學(xué)生由圖形獲取判斷直線與圓的位置關(guān)系的直

觀認(rèn)知，引入新課.B

師：你怎么判斷輪船受不受影響？

生：臺(tái)風(fēng)所在的圓與輪船航線所在直線是否相交./\

師：（板書(shū)標(biāo)題）這個(gè)問(wèn)題，其實(shí)可以歸結(jié)為直線與圓的位置關(guān)系.IO一TA

學(xué)生解決方法一：設(shè)0為臺(tái)風(fēng)中心，A為輪船開(kāi)始位置，B為港口

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位置，在RTAOAB中，0至UAB的距離d?2<5（），因此受影響.

2.揭示課題一一直線與圓的位置關(guān)系

問(wèn)題2.前面問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為直線圓的位置關(guān)系問(wèn)題.請(qǐng)問(wèn)，直線與圓的位置關(guān)系有幾

種？在平面幾何中，我們?cè)鯓优袛嘀本€與圓的位置關(guān)系呢？

設(shè)計(jì)意圖：從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，構(gòu)建學(xué)生學(xué)習(xí)的最近發(fā)

展區(qū)，不斷加深對(duì)問(wèn)題的理解.

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生回憶義務(wù)教育階段判斷直線與圓的位置關(guān)系的思想過(guò)程.可以展示

下面的表格，使問(wèn)題直觀形象.

直線與圓的位置

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)與r的關(guān)系圖形

關(guān)系d

相交兩個(gè)d<rQ

相切一個(gè)d-ro

相離沒(méi)有d>ra

3.直線與圓位置關(guān)系的判斷

問(wèn)題3：方法一是用平面幾何知識(shí)判斷直線與圓的位置關(guān)系，你能根據(jù)直線與圓的方程

判斷它們之間的位置關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生用直線與圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系，體驗(yàn)坐標(biāo)法的思想方

法.

師生活動(dòng)：通過(guò)教師追問(wèn)，引起學(xué)生思考.

師：要求圓與直線的方程，首先要建立坐標(biāo)？那如何建立

坐標(biāo)？

生：以臺(tái)風(fēng)中心為原點(diǎn)°,以東西方向?yàn)閄軸，建立直角坐標(biāo)系.

師：(追問(wèn))坐標(biāo)系還可以有其他建法嗎？

生：以港口所在位置為原點(diǎn)，……以輪船所在位置為原點(diǎn).(選擇一種，師生共同完成)

方法二：如圖，以臺(tái)風(fēng)中心為原點(diǎn)°,以東西方向?yàn)閄軸，建立直角坐標(biāo)系，其中，

取10km為單位長(zhǎng)度.

則臺(tái)風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓的方程為,+丁2=25,

圓心0(0,0),半徑5,

輪船航線所在的直線’的方程為\+丁一7=°,直線與圓相交.

問(wèn)題4：這是利用圓心到直線的距離d與半徑y(tǒng)的大小關(guān)系判別直線與圓的位置關(guān)系(稱

此法為“辦法”).請(qǐng)問(wèn)用“dr法”的一般步驟如何？

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)判斷直線與圓的位置關(guān)系步驟進(jìn)行小結(jié)，對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理，使學(xué)生有“操

作規(guī)范”，培養(yǎng)歸納能力，同時(shí)也滲透了算法思想.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析歸納：

(1)建立平面直角坐標(biāo)系；

(2)求出直線方程，圓心坐標(biāo)與圓的半徑廠；

(3)求出圓心到直線的距離d

(4)比較d與廠的大小，確定直線與圓的位置關(guān)系.

①當(dāng)時(shí)，直線？與圓°相離；

②當(dāng)d=，時(shí)，直線？與圓。相切；

③當(dāng)d〈丫時(shí)，直線？與圓°相交.

問(wèn)題5：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的直線

:4x+B^y+g=。和22:4芯+82y+Q=°,

4x+8/+C\=0

聯(lián)立方程組〔4入+^^+弓=0,我們有如下一些結(jié)論：

①’1與‘2相交，=方程組有唯一解；

②與’2平行，。方程組無(wú)；

③,1與’2平行，=方程組有無(wú)窮組解.

你能用類(lèi)比的思想，研究直線與圓的位置關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)對(duì)兩條直線的位置關(guān)系的研究過(guò)程，回顧坐標(biāo)法思想的重要作

用.并通過(guò)類(lèi)比，使學(xué)生獲得用坐標(biāo)法研究直線與圓的位置關(guān)系的想法與結(jié)論.抽象判斷直

線與圓的位置關(guān)系的思路與方法.

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生得出:

Ax+By+C^0

聯(lián)立方程組《我們有如下一些結(jié)論:

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(x-x0)+(y-y0)=r

①圓與直線相切，=方程組有唯一解；

②圓與直線相交，=方程組有兩組解；

③圓與直線相離，=方程組有無(wú)解.

方法三：聯(lián)立方程組1>，消去y,

x+y-7=0

因?yàn)锳=49—4xl2=l>0.

所以，方程組有兩組解，直線與圓相交.

問(wèn)題6：根據(jù)方程組是否有解來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系的步驟如何?

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)方程組是否有解來(lái)判斷直線與圓位置關(guān)系的步驟進(jìn)行小結(jié)，對(duì)知識(shí)進(jìn)行

梳理，使學(xué)生有“操作規(guī)范”，培養(yǎng)歸納能力，同時(shí)也滲透了算法思想.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納：

(1)將直線方程與圓方程聯(lián)立成方程組：

(2)通過(guò)消元，得到一個(gè)一元二次方程；

(3)求出其判別式△的值；

(4)判斷△的符號(hào)：

若△>(),則直線與圓相交；

若△=(),則直線與圓相切；

若△<(),則直線與圓相離.

問(wèn)題7：我們研究了判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法，可以用平面幾何知識(shí)定性刻畫(huà)，

也可以用解析幾何的知識(shí)，根據(jù)直線與圓的方程來(lái)刻畫(huà).如果要求輪船在哪個(gè)具體位置開(kāi)始

受到臺(tái)風(fēng)影響，如何刻畫(huà)？

設(shè)計(jì)意圖：體驗(yàn)平面幾何與解析幾何的各自解法.平面幾何可以定性刻畫(huà)，解析幾何可

以精確刻畫(huà)，體驗(yàn)坐標(biāo)法的優(yōu)越性.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)，師生共同解決.

生：求出交點(diǎn)，就是開(kāi)始受影響的位置.

解出：x=3,y=4或x=4,y=3.

即，在臺(tái)風(fēng)中心的東30,偏北40處，開(kāi)始受到影響.

師：一般來(lái)說(shuō)，平面幾何可以定性的刻畫(huà)直線與圓的位置關(guān)系，但在精確刻畫(huà)它們位置

關(guān)系時(shí)，解析幾何就顯得“得心應(yīng)手”，顯示出它的優(yōu)越性.

4.例題示范

例1如圖，已知直線/:3x+y-6=0和圓心為C的

圓J+,2_2y_4=0,

(1)判斷直線,與圓的位置關(guān)系；

(2)如果相交，求它們交點(diǎn)的坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題鞏固判斷直線與圓的位置關(guān)系方法，關(guān)注量與量之間的關(guān)系.使學(xué)

生體驗(yàn)用坐標(biāo)法研究直線與圓的位置關(guān)系的想法與結(jié)論.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析解答.

分析：方法一，判斷直線,與圓的位置關(guān)系，就是看由它們的方程組成的方程組有無(wú)實(shí)

數(shù)解；方法二，可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑大小的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系.

問(wèn)題8在判斷直線與圓的位置關(guān)系的不同方法中，你選擇哪一種？

設(shè)計(jì)意圖：兩種方法的選擇，體驗(yàn)各自的優(yōu)越性和其中蘊(yùn)含的思想方法.

師生活動(dòng)：學(xué)生討論選擇.

5.弦長(zhǎng)問(wèn)題

例1變式：求弦AB的長(zhǎng)度.

設(shè)計(jì)意圖：直線與圓的位置關(guān)系，當(dāng)他們相交時(shí)，學(xué)習(xí)弦長(zhǎng)的求法.

師生活動(dòng)：學(xué)生思考解決，可能有兩種方法：方法一：因?yàn)閮蓚€(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是

6(1,3),所以用兩點(diǎn)距離公式.方法二：構(gòu)造直角三角形，先求弦心距，再求弦長(zhǎng).

例題2：已知過(guò)點(diǎn)M(—3,—3)的直線/被圓x?+yZ+4y—21=0所截得的弦長(zhǎng)為4石，

求直線1的方程.

生：先獨(dú)立解決，然后看課本，規(guī)范解題.

師：設(shè)直線方程為丁+3=可為+3),它的前提是斜率存在.對(duì)于斜率不存在的情況用

幾何畫(huà)板演示.(答案為：x+2y+9=0,或2x—y+3=0)

6.課堂小結(jié)

問(wèn)題9判斷直線與圓的位置關(guān)系有哪些方法？

問(wèn)題10當(dāng)直線與圓相交時(shí),如何求弦長(zhǎng)？

設(shè)計(jì)意圖：鞏固所學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括能力.

師生活動(dòng)：學(xué)生思考，教師引導(dǎo)時(shí)應(yīng)涉及到“如何求弦長(zhǎng)”以及判斷直線與圓的位置關(guān)

系有幾種方法？它們的步驟是什么？

學(xué)情分析

對(duì)于直線和圓，學(xué)生已經(jīng)非常熟悉，并且知道直線與圓有三種位置關(guān)系：相離，相切和

相交。從直線與圓的直觀感受上，學(xué)生懂得從圓心到直線的距離與圓的半徑相比較來(lái)研究直

線與圓的位置關(guān)系。本節(jié)課，學(xué)生將進(jìn)一步挖掘直線與圓的位置關(guān)系中的“數(shù)”的關(guān)系，學(xué)

會(huì)從不同角度分析思考問(wèn)題，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。另外學(xué)生在探究問(wèn)題的能力，合作交流

的意識(shí)及反思總結(jié)等方面有待加強(qiáng)。

效果分析

學(xué)生在初中平面幾何中己經(jīng)接觸過(guò)直線與圓的位置關(guān)系，學(xué)習(xí)了直線方程、圓的方程、

兩直線的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離之后，具備利用方程研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系的基本

能力.

為什么要對(duì)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行定量刻畫(huà)？這是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)可能遇到的第一個(gè)學(xué)

習(xí)障礙.這個(gè)問(wèn)題可以結(jié)合“臺(tái)風(fēng)問(wèn)題''進(jìn)行說(shuō)明：我們?nèi)绾慰坍?huà)輪船開(kāi)始受臺(tái)風(fēng)影響的位置?

這是平面幾何沒(méi)有解決的問(wèn)題，必需借助坐標(biāo)系，才能精確刻畫(huà).

利用直線的方程與圓的方程進(jìn)行直線與圓的位置關(guān)系的研究時(shí)，會(huì)遇上求方程組的解，求圓

心到直線的距離等大量的代數(shù)計(jì)算問(wèn)題，由于有些問(wèn)題（特別是像臺(tái)風(fēng)這樣的實(shí)際問(wèn)題）中

的數(shù)據(jù)較復(fù)雜，可能導(dǎo)致學(xué)生計(jì)算出錯(cuò)，這是第二個(gè)學(xué)習(xí)障礙，也是教學(xué)難點(diǎn)之一.教學(xué)時(shí)

不能因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題而使教學(xué)偏離重點(diǎn)，必要時(shí)可使用信息技術(shù)工具解決這個(gè)問(wèn)題.

教材分析

本節(jié)課的內(nèi)容是平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí),是對(duì)前面所學(xué)直線與圓的方程的進(jìn)一步應(yīng)用o

而解決問(wèn)題的主要方法是解析法。解析法不僅是定量判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法，更為

后續(xù)研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系奠定思想基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用。

本節(jié)課的教學(xué)目的是使學(xué)生掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定方法，教材處理問(wèn)題的方法

主要是：用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d后與圓的半徑r比較作出判斷：類(lèi)

比利用直線方法求兩條直線交點(diǎn)的方法，聯(lián)立直線與圓的方程，通過(guò)解方程組，根據(jù)方程組

解的個(gè)數(shù)判斷直線與圓的位置關(guān)系。考慮到圓的性質(zhì)的特殊性，以及滲透給學(xué)生解決問(wèn)題盡

力選擇簡(jiǎn)捷途徑，以及學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)特征，課堂上師生著力用第一種方法來(lái)解決直線與圓

的位置關(guān)系，對(duì)于第二種方法主要留給學(xué)生自主探究，教師做適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥總結(jié)。

根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)特征，重點(diǎn)確定為：用解析法研究直線與圓的位

置關(guān)系。難點(diǎn)確定為學(xué)生體會(huì)和理解解析法解決幾何問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想。

評(píng)測(cè)練習(xí)

1.判斷直線4x—3丁一5=0與圓f+y2=25的位置關(guān)系，如果有交點(diǎn)，求出交點(diǎn)坐

標(biāo).

2.求圓/+/=25被直線4x—3y—20=0所截得的弦長(zhǎng).

3.已知直線=和圓C:Y+y2=4,當(dāng)實(shí)數(shù)。取何值時(shí)，直線與圓相交？相

切？相離？

課后反思

1、本節(jié)課考慮到學(xué)生在初中已接觸過(guò)直線與圓的位置關(guān)系，因此采用開(kāi)門(mén)見(jiàn)山的形式直接

讓學(xué)生回顧三種位置關(guān)系，緊接著引導(dǎo)學(xué)生探索三種位置關(guān)系下圓心到直線的距離與圓半徑

的大小關(guān)系，由小“練習(xí)”進(jìn)行應(yīng)用，最后通過(guò)“例題”“課堂檢測(cè)”去解決實(shí)際問(wèn)題。

2、在例題及練習(xí)之后我及時(shí)地進(jìn)行總結(jié)歸納方法，讓學(xué)生在以后解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中能一

下子找到切入點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

3、考慮到我們的學(xué)生基礎(chǔ)較差，運(yùn)算能力較弱，教學(xué)中注意了運(yùn)算能力的加強(qiáng)。

4、學(xué)生觀察得到直線和圓的三種位置關(guān)系后，是由我講解的三個(gè)概念：相交、相切、相離。

講得過(guò)多，學(xué)生被動(dòng)的接受，思考得不夠，對(duì)概念的理解不是很深刻。可以改為讓學(xué)生類(lèi)比

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系下定義，師生共同討論的形式給學(xué)生以思維想象的空間，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的

積極性，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)自主探究。

5、對(duì)于我們學(xué)生的情況，老師講的太多，沒(méi)有給予學(xué)生足夠的探索、交流的時(shí)間，勢(shì)必會(huì)

影響到部分學(xué)生的思維，限制了學(xué)生的發(fā)展。所以，我們也要學(xué)會(huì)該“放手時(shí)就放手”，大

膽地讓學(xué)生去思考，也許會(huì)有意外的收獲。

6、整節(jié)課還是比較趕，特別是例2及小結(jié)。

總之，在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)中還有很多需要我學(xué)習(xí)和掌握的東西，希望能和學(xué)