2020新人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步練習(xí)

》應(yīng)用案，@??@

強(qiáng)化?培優(yōu)?通關(guān).

IA基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)J

1.已知力BC。中ND48=30°,則Q)與心的夾角為()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

解析：選D.如圖，元）與心的夾角為N4BC=150°.

AB

2.己知單位向量a,b,則（2a+沙（2a—?的值為（）

A邛B邛

C.3D.5

解析：選C.由題意得（2。+辦（2。一仍=4序一"=4-1=3.

3.（2019?北京市H--中學(xué)檢測(cè)）已知平面向量a,b滿(mǎn)足a-（a+b）=3且同=2,|例=1,則

向量a與b的夾角為（）

JIJI

A.L6B.T3

2n5

C.亍D—

解析：選C.因?yàn)椤?(〃+6)=層+〃.方=4+2cos〈%b〉=3,所以cos〈a,b)=一1,又

因?yàn)椤?。，b>e[0,n],所以〈a,b)=孚.

4.若向量。與〃的夾角為60°,回=4,(a+2b>(a—3。)=—72,則⑷=()

A.2B.4

C.6D.12

解析：選C.因?yàn)?a+2b)?(a—3b)=a1—ab—6b2

=|a|2—|a|-|ft|cos60°—6|6|2

=|a|2-2|a|-96=-72.

所以|aF—21al—24=0.

解得⑷=6或⑷=一4(舍去).故選C.

5.(2019?廣東佛山質(zhì)檢)如圖所示，△ABC是頂角為120°的等腰三角形，且48=1,則

AB?波等于（）

A

120°

B

A.一坐B(niǎo),坐

C.-|D.|

解析:選C.因?yàn)椤鰽BC是頂角為120°的等腰三角形，且AB=1,所以8。=小，所以油詼

3

=1X-73Xcos150°=-].

6.若向量〃的方向是正南方向，向量b的方向是北偏東60°方向，且⑷=步|=1,則(一

3砂(0+5)=.

解析：設(shè)。與方的夾角為a則9=120°,所以(一3。＞(q+〃)=一3|0|2—306=-3一

13

3XX⑵O=-

XIcoS2-2

3

答案-

2

JTr-、

7.已知向量。與〃的夾角是w，且|a|=l,|例=2,若(小則實(shí)數(shù)2=.

解析:根據(jù)題意得。?力=|4|,|)|cos_y=1,因?yàn)?小。+2b)_La,所以(小〃+勸)?4=小居+%.5

=小+2=0,所以2=一小.

答案：一小

8.已知在△ABC中，AB=AC=4,初?啟=8,則△ABC的形狀是.

解析：因?yàn)橼A?元=|痼就IcosNBAC,即8=4X4cosN84C,于是cosN84c4所以

NA4C=60°.又AB=AC,故△ABC是等邊三角形.

答案：等邊三角形

9.已知非零向量a,b,滿(mǎn)足|a|=l,(a—b).(a+b)=,且〃.力=；.

(1)求向量a,b的夾角；

(2)求|0一例.

解：⑴因?yàn)?〃一b).(a+))=；,

所以/一62=/即⑷2—?jiǎng)?chuàng)2=今

又⑷=1,所以協(xié)|=號(hào).設(shè)向量。，》的夾角為仇

因?yàn)?b所以⑷.|b|cos8=)

歷

所以cos0=29因?yàn)??！鉝8W180。,所以9=45°,所以向量。，?的夾角為45°.

(2)因?yàn)閨a—肝=(4一》)2=|32—2?！?|肝=3，

歷

所以|a—臼=2-

10.已知⑷=2|b|=2,e是與方方向相同的單位向量，且向量。在向量b方向上的投影向

量為一e.

⑴求。與b的夾角e；

(2)求(a—2b)6；

(3)當(dāng)2為何值時(shí)，向量曲+力與向量a—3力互相垂直？

解：(1)由題意知⑷=2,|〃|=1.

又a在方方向上的投影向量為|a|cos0e=-e,

12n

所以cos0=-所以

(2)易知a-b=\a\-\b\cos8=-1,則(a—2b)b=ab—2b2=—1-2=-3.

(3)因?yàn)椤?力與a—3b互相垂直，

所以(2。+8)(。一3〃)=//—3筋6+。〃一3〃2

=4/1+3/1-1-3=72-4=0,

4

所以

[B能力提升]

11.在△A3C中，若油2=荏?啟+函?辰:+以?無(wú)，則△4861是()

A.等邊三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.直角三角形

解析：選D.因?yàn)橼A"AC+BA-BC+CA-CB,所以初2一泰-AC=BA-BC+CA-CB,

所以矗?(AB-AO=BC?(BA-CA),

所以B?CB=BC2,所以脛?(iC+Afi)=0,

所以反'?&?=(),

所以ACJ_8C,所以△4BC是直角三角形.

12.若|a+臼=|a一例=2同，則向量@一b與6的夾角為()

JI兀

ATBT

2冗5n

C.亍D—

解析:選D.由|a+回=＞一例可得a"=0,由|a一回=2間可彳導(dǎo)3a2=%所以回=小間，設(shè)

（。一））b一|））3⑷2V3

向量a—b與。的夾角為。，則cos0\a-b\\b\一2同?小⑷―一2小同2一一2,又問(wèn)0,

5n

n］,所以。

13.在△A8C中，ZBAC=120°,AB=2,AC=1,。是邊BC上一點(diǎn)，皮=2冊(cè)，則Q)?反'

解析：由慶'=2而，所以訪(fǎng)=￡亥?，BC=AC-AB,

故病?BC=(AB+B1))BC

=[AB+|-(AC-AB)]?[AC-AB)

=(|初+同?(AC-AB)

=1AB,AC+|AC2—

=||AB||AC|COS120°+||AC|2-||AB|2=|X2X1X(~￡)+|x1-|x22=-|.

答案：一g

14.設(shè)向量e”也滿(mǎn)足回|=2,|e2|=l,ei,e2的夾角為60°,若向量2?+7e2與向量肉

的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

解：由向量2?+7e2與。］+海2的夾角為鈍角，

八，（2fei+7e2）?（ei+le?）

心|2/ei+7e2|?|。1+［閡＜'

即（2陽(yáng)+702＞（61+小2）＜0,

化簡(jiǎn)即得2P+15/+7＜0,

畫(huà)出y=23+15f+7的圖象，如圖.

若2尸+5+7＜0,

則y（一7,一，.

當(dāng)夾角為“時(shí)，也有（2?+7e2＞（ei+fe2）＜0,

但此時(shí)夾角不是鈍角，

設(shè)2?+7e2=2(ej+re2),4<0,可得

2/=人，A=—\/14,

7=》，=<_V14

A<0lt=~2-

所以所求實(shí)數(shù)t的取值范圍是

口-咽4乎T)

[C拓展探究]

15.在四邊形4BCD中，已知4B=9,BC=6,CP^lPD.

(1)若四邊形ABCD是矩形，求喬?崩的值；

(2)若四邊形ABC。是平行四邊形，且崩?而=6,求贏與俞夾角的余弦值.

解：(1)因?yàn)?/p>