概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版第2版） 教案 張?zhí)斓?第5、6章 統(tǒng)計(jì)量及其分布、參數(shù)估計(jì)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)教案第5章統(tǒng)計(jì)量及其分布授課序號(hào)01教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第5章第1節(jié)總體、樣本及統(tǒng)計(jì)量課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)總體、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量、樣本均值、樣本矩及樣本方差的概念教學(xué)難點(diǎn)統(tǒng)計(jì)量、樣本均值、樣本矩及樣本方差參考教材作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求理解總體、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量、樣本均值、樣本矩及樣本方差的概念。教學(xué)基本內(nèi)容一．總體與樣本1．總體與個(gè)體：把研究對(duì)象的全體稱為總體，構(gòu)成總體的每個(gè)成員稱為個(gè)體.2．有限總體與無(wú)限總體：若總體中的個(gè)體數(shù)是有限的，此總體稱為有限總體；否則稱為無(wú)限總體.3．樣本容量：在相同的條件下從總體中隨機(jī)地抽取n個(gè)個(gè)體，記為，我們將稱為來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，n稱為樣本容量.4.簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：若樣本QUOTE與所考察的總體具有相同的分布，且QUOTE相互獨(dú)立，則稱為來(lái)自總體X的容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱樣本.5．若QUOTE為來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，則的分布函數(shù)為.6．若總體X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為PX=xi=p(xi)，QUOTEx.7．若總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，則樣本的概率密度為.二．統(tǒng)計(jì)量1．統(tǒng)計(jì)量：設(shè)為取自某總體的樣本，若樣本函數(shù)中不含有任何未知參數(shù)，則稱T為統(tǒng)計(jì)量.統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.2．幾個(gè)常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量：設(shè)是總體X的樣本，常用的統(tǒng)計(jì)量有（1）樣本均值：；（2）樣本方差：；（3）樣本標(biāo)準(zhǔn)差：；（4）樣本k階（原點(diǎn)）矩：；（5）樣本k階中心矩：.3．性質(zhì)：設(shè)總體X具有二階矩，即,為來(lái)自總體X的樣本，和分別是樣本均值與樣本方差，則（1）（2）（3）.三．例題講解例1．從某班級(jí)的英語(yǔ)期末考試成績(jī)中，隨機(jī)抽取10名同學(xué)的成績(jī)，分別為：100，85，70，65，90，95，63，50，77，86.求樣本均值，樣本方差及二階原點(diǎn)矩.例2．設(shè)總體為來(lái)自該總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,為樣本均值，求.

授課序號(hào)02教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第5章第2節(jié)抽樣分布課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)分布、分布和分布的概念及性質(zhì)、分位數(shù)的概念并會(huì)查表、正態(tài)總體的某些常用抽樣分布。教學(xué)難點(diǎn)分布、分布和分布的性質(zhì)，正態(tài)總體某些常用抽樣分布參考教材作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求1．了解分布、分布和分布的概念及性質(zhì)，了解分位數(shù)的概念并會(huì)查表計(jì)算。2．了解正態(tài)總體的某些常用抽樣分布。教學(xué)基本內(nèi)容一．抽樣分布1.χ2（1）設(shè)是來(lái)自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0,1)的樣本，則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的χ2分布，記為.（2）χ2(n)分布的概率密度為（3）設(shè)則有，.（4）若且X與Y獨(dú)立，則.2.t分布（1）設(shè)X~N(0,1),Y~χ2(n)，且X與Y相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從自由度為n的T分布，記為T~t(n).t（2）t分布的概率密度為.3.F分布（1）設(shè)U~χ2(n1),V~χ2(n2（2）分布的概率密度為.（3）若F~F(n1,4.上側(cè)α分位數(shù)（點(diǎn)）（1）設(shè)有隨機(jī)變量X,對(duì)給定的α0<α<1,若存在實(shí)數(shù)xα滿足P{X>xα}=α（2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、自由度為n的卡方分布、自由度為n的t分布、自由度為的F分布的上側(cè)α分位數(shù)分別記為uα、、、，圖像如下圖所示.即有（1）X~N(0,1)，則（2），則；（3），則；（4），則.四大抽樣分布的上側(cè)α分位數(shù)（5）性質(zhì)（i）由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和t分布的對(duì)稱性有：u1?α=?u（ii）由F分布的定義可以得到：.（iii）由于n比較大時(shí)t分布近似N（0,1），一般的，當(dāng)時(shí)，有.二．正態(tài)總體的抽樣分布1．來(lái)自單一正態(tài)總體N(μ,σ定理：設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體N(μ,σ2)的一個(gè)樣本，（1），即；（2）；（3）.2．來(lái)自兩個(gè)正態(tài)總體N(μ1,定理：設(shè)與分別是來(lái)自兩個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)總體N(μ1,σ12)和N(（1）；（2）；（3）當(dāng)σ12=σ2例5.4，分別為來(lái)自X和Y的樣本，例5.5設(shè)QUOTEX1,X2,?,X15例5.6某公司生產(chǎn)瓶裝洗潔精，規(guī)定每瓶裝500毫升，但是在實(shí)際罐裝的過(guò)程中，總會(huì)出現(xiàn)一定的誤差，誤差要求控制在一定范圍內(nèi).假定灌裝量的方差σ2=1，如果每箱裝25瓶這樣的洗潔精，試問(wèn)25瓶洗潔精的平均灌裝量和標(biāo)準(zhǔn)值500毫升相差不超過(guò)0.3毫升的概率是多少？例5.7設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(72，100)，為使樣本均值大于70的概率不小于90%，則樣本容量應(yīng)取多少?例5.8在設(shè)計(jì)導(dǎo)彈發(fā)射裝置時(shí),重要事情之一是研究彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離的方差.對(duì)于一類導(dǎo)彈發(fā)射裝置,彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，這里100平方米，現(xiàn)在進(jìn)行了21次發(fā)射試驗(yàn)，用表示這21次試驗(yàn)中彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離的樣本方差，試估計(jì)不超過(guò)170.85平方米的概率.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)教案第6章參數(shù)估計(jì)授課序號(hào)01教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第6章第1節(jié)點(diǎn)估計(jì)課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)點(diǎn)估計(jì)、估計(jì)量與估計(jì)值的概念、估計(jì)量的無(wú)偏性、有效性和一致性的概念、、估計(jì)量的相合性、矩估計(jì)法（一階、二階距）和最大似然估計(jì)法。教學(xué)難點(diǎn)矩估計(jì)法（一階、二階距）和最大似然估計(jì)法。參考教材作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求1．理解參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、估計(jì)量與估計(jì)值的概念；了解估計(jì)量的無(wú)偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并會(huì)驗(yàn)證估計(jì)量的無(wú)偏性；會(huì)利用大數(shù)定律證明估計(jì)量的相合性。2．掌握矩估計(jì)法（一階、二階距）和最大似然估計(jì)法。教學(xué)基本內(nèi)容一．矩估計(jì)法1.矩估計(jì)法的基本思想是替換原理，即用樣本矩去替換相應(yīng)的總體矩，這里的矩可以是原點(diǎn)矩也可以是中心距。我們知道，矩是由隨機(jī)變量的分布唯一確定的，而樣本來(lái)源于總體，由大數(shù)定律，樣本矩在一定程度上反映總體矩的特征。2．矩估計(jì)法：用樣本矩來(lái)估計(jì)總體矩的估計(jì)方法稱為矩估計(jì)法.3．矩估計(jì)法的步驟：設(shè)總體X的分布中包含m個(gè)未知參數(shù)1，2，…，m，為來(lái)自總體X的樣本，如果總體的k階原點(diǎn)矩存在，并設(shè)，相應(yīng)的k階樣本原點(diǎn)矩為，以替代，即可得到關(guān)于1，2，…，m的方程組 方程組的解，稱為參數(shù)k的矩估計(jì)量.4．若代入一組樣本觀測(cè)值，則稱為參數(shù)k的矩估計(jì)值.二．最大似然估計(jì)法 1．最大似然估計(jì)的步驟： 若總體X的分布中含有k個(gè)未知待估參數(shù)1，2，…，k，則似然函數(shù)為解似然方程組，或者對(duì)數(shù)似然方程組，即可得到參數(shù)的最大似然估計(jì)。2．定理：若為參數(shù)的最大似然估計(jì)，為參數(shù)的函數(shù)，則是的最大似然估計(jì).三．點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)1.無(wú)偏性：設(shè)是未知參數(shù)的估計(jì)量，若，則稱為的無(wú)偏估計(jì)。2.有效性：設(shè)均為參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，若則稱有效。3.相合性（一致性）：設(shè)為未知參數(shù)的估計(jì)量，若對(duì)任意的，都有，即依概率收斂于參數(shù)，則稱為的相合（一致）估計(jì)。4.定理：設(shè)為的估計(jì)量，若,則為的相合（一致）估計(jì).四．例題講解例1．設(shè)X為某零配件供應(yīng)商每周的發(fā)貨批次，其分布律為其中是未知參數(shù)，假設(shè)收集了該供應(yīng)商8周的發(fā)貨批次如下：3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估計(jì)值.例2．設(shè)某種鈦金屬制品的技術(shù)指標(biāo)為X其概率密度為其中未知參數(shù)，為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求的矩估計(jì)量.例3．已知某種金屬板的厚度X在(a,b)上服從均勻分布，其中a,b未知，設(shè)抽查了n片金屬板，厚度分別為，試用矩估計(jì)法估計(jì)a,b.例4．設(shè)袋中放有很多的白球和黑球，已知兩種球的比例為1:9，但不知道哪種顏色的球多，現(xiàn)從中有放回地抽取三次，每次一球，發(fā)現(xiàn)前兩次為黑球，第三次為白球，試判斷哪種顏色的球多。例5．求出例2中未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量.例6．，其中是未知參數(shù)，設(shè)是樣本觀測(cè)值，求的最大似然估計(jì).例7．設(shè)某工廠生產(chǎn)的手機(jī)屏幕分為不同的等級(jí)，其中一級(jí)品率為p，如果從生產(chǎn)線上抽取了20件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)其中有3件為一級(jí)品，求：（1）p的最大似然估計(jì)；（2）接著再抽5件產(chǎn)品都不是一級(jí)品的概率的最大似然估計(jì).例8．設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體XN(，2)，其中，2未知，求和2的最大似然估計(jì)。例9．設(shè)總體X的k階矩存在，證明:不論X服從什么分布，樣本的k階矩是的無(wú)偏估計(jì)。例10．已知，都是總體方差的估計(jì)量，問(wèn)哪個(gè)估計(jì)量更好？例11．設(shè)總體的概率密度為，其中是未知參數(shù),為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單樣本，選擇適當(dāng)常數(shù)c，使得是的無(wú)偏估計(jì).例12．設(shè)某種產(chǎn)品的壽命X服從指數(shù)分布，其概率密度為，其中為未知參數(shù)，是來(lái)自總體的樣本，設(shè)有的估計(jì)量，，問(wèn)哪一個(gè)最優(yōu)？例13．設(shè)是總體X的樣本均值，則當(dāng)作為總體期望E(X)的估計(jì)量時(shí)，是E(X)的相合估計(jì)量。例14．試證明是的相合估計(jì)量.授課序號(hào)02教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第6章第2節(jié)區(qū)間估計(jì)課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)置信區(qū)間、區(qū)間估計(jì)、單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間、兩個(gè)正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間。教學(xué)難點(diǎn)置信區(qū)間、區(qū)間估計(jì)、單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間、兩個(gè)正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間。參考教材作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求1．掌握建立未知參數(shù)的（雙側(cè)和單側(cè)）置信區(qū)間的一般方法；2．了解區(qū)間估計(jì)的概念，會(huì)求單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間，會(huì)求兩個(gè)正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間。教學(xué)基本內(nèi)容一．區(qū)間估計(jì)的概念1．置信區(qū)間：設(shè)為總體的未知參數(shù)，若對(duì)于給定的（0<<1），存在統(tǒng)計(jì)量和，使得,則稱隨機(jī)區(qū)間為參數(shù)的置信度（或置信水平）為1-的置信區(qū)間，分別稱為置信下限和置信上限。 2．樞軸量:稱滿足下述三條性質(zhì)的量Q為樞軸量.（1）是待估參數(shù)和估計(jì)量的函數(shù)；（2）不含其他未知參數(shù)；（3）其分布已知且與未知參數(shù)無(wú)關(guān)。3．求置信區(qū)間的一般步驟:（1）根據(jù)待估參數(shù)構(gòu)造樞軸量Q,一般可由未知參數(shù)的良好估計(jì)量改造得到；（2）對(duì)于給定的置信度1-，利用樞軸量Q的分位點(diǎn)確定常數(shù)a，b，使；（3）將不等式恒等變形為，即可得到參數(shù)的置信度為1-的置信區(qū)間.二．正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)1.單個(gè)正態(tài)總體的情形：設(shè)總體，是取自總體的樣本(1)已知，均值的置信區(qū)間：的置信度為的置信區(qū)間為.(2)未知，均值的置信區(qū)間：的置信度為的置信區(qū)間為.(3)已知，方差的置信區(qū)間：的置信度為的置信區(qū)間為.(4)未知，方差的置信區(qū)間：的置信度為的置信區(qū)間為.2.兩個(gè)正態(tài)總體的情形：設(shè)總體，總體，與獨(dú)立，樣本來(lái)自總體，樣本來(lái)自.(1)，已知，均值差的置信區(qū)間：的置信度為1-的置信區(qū)間為.(2)，未知，但，均值差的置信區(qū)間：的置信度為1-的置信區(qū)間為.(3)，未知，方差比的置信區(qū)間：的置信度為1-的置信區(qū)間為.以上關(guān)于正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)的討論可以列表1和表2如下：表1單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)表待估參數(shù)條件樞軸量置信區(qū)間s2已知s2未知2m已知m未知表6.2兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)表待估參數(shù)條件樞軸量置信區(qū)間已知未知，但其中已知未知三．單側(cè)置信區(qū)間1．單側(cè)置信區(qū)間：設(shè)為總體的未知參數(shù)，對(duì)于給定的（0<<1），若存在統(tǒng)計(jì)量，使得,則稱隨機(jī)區(qū)間為參數(shù)的置信度為1-的單側(cè)置信區(qū)間，稱為單側(cè)置信下限；若存在統(tǒng)計(jì)量，使得,則稱隨機(jī)區(qū)間為參數(shù)的置信度為1-的單側(cè)置信區(qū)間，稱為單側(cè)置信上限。2．單側(cè)置信區(qū)間的求法：?jiǎn)蝹?cè)置信區(qū)間的求法與雙側(cè)置信區(qū)間相同，例如，設(shè)X1，…，Xn來(lái)自正態(tài)總體XN(，2)，其中2已知，未知,利用樞軸量，如下圖，構(gòu)造即恒等變形則可得的置信度為1-的單側(cè)置信下限為.四．例題講解例1．設(shè)X1，…，Xn為來(lái)自正態(tài)總體XN(，2)，其中2已知，未知,試求出的置信度為1-的置信區(qū)間。例2．某工廠生產(chǎn)一種特殊的發(fā)動(dòng)機(jī)套筒，假設(shè)套筒直徑X（mm）服從正態(tài)分布，現(xiàn)從某天的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取40件,測(cè)得直徑的樣本均值為5.426（mm），求m的置信度為0.95的置信區(qū)間.例3．為估計(jì)某種漢堡的脂肪含量，隨機(jī)抽取了10個(gè)這種漢堡，測(cè)得脂肪含量（%）如下：25.2，21.3，22.8，17.0，29.8，21.0，25.5，16.0，20.9，19.5.假設(shè)該種漢堡的脂肪含量（%）服從正態(tài)分布，求平均脂肪含量m的置信度為0.95的置信區(qū)間.例4．已知某種鋼絲的折斷力服從正態(tài)分布，從一批鋼絲中任意抽取了10根，測(cè)得折斷力數(shù)據(jù)（單位：k