概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版第2版） 教案 張?zhí)斓?第5、6章 統(tǒng)計量及其分布、參數(shù)估計

概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)教案第5章統(tǒng)計量及其分布授課序號01教學(xué)基本指標教學(xué)課題第5章第1節(jié)總體、樣本及統(tǒng)計量課的類型新知識課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點總體、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量、樣本均值、樣本矩及樣本方差的概念教學(xué)難點統(tǒng)計量、樣本均值、樣本矩及樣本方差參考教材作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求理解總體、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量、樣本均值、樣本矩及樣本方差的概念。教學(xué)基本內(nèi)容一．總體與樣本1．總體與個體：把研究對象的全體稱為總體，構(gòu)成總體的每個成員稱為個體.2．有限總體與無限總體：若總體中的個體數(shù)是有限的，此總體稱為有限總體；否則稱為無限總體.3．樣本容量：在相同的條件下從總體中隨機地抽取n個個體，記為，我們將稱為來自總體X的一個樣本，n稱為樣本容量.4.簡單隨機樣本：若樣本QUOTE與所考察的總體具有相同的分布，且QUOTE相互獨立，則稱為來自總體X的容量為n的簡單隨機樣本，簡稱樣本.5．若QUOTE為來自總體X的一個樣本，則的分布函數(shù)為.6．若總體X為離散型隨機變量，其分布律為PX=xi=p(xi)，QUOTEx.7．若總體X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為，則樣本的概率密度為.二．統(tǒng)計量1．統(tǒng)計量：設(shè)為取自某總體的樣本，若樣本函數(shù)中不含有任何未知參數(shù)，則稱T為統(tǒng)計量.統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.2．幾個常見統(tǒng)計量：設(shè)是總體X的樣本，常用的統(tǒng)計量有（1）樣本均值：；（2）樣本方差：；（3）樣本標準差：；（4）樣本k階（原點）矩：；（5）樣本k階中心矩：.3．性質(zhì)：設(shè)總體X具有二階矩，即,為來自總體X的樣本，和分別是樣本均值與樣本方差，則（1）（2）（3）.三．例題講解例1．從某班級的英語期末考試成績中，隨機抽取10名同學(xué)的成績，分別為：100，85，70，65，90，95，63，50，77，86.求樣本均值，樣本方差及二階原點矩.例2．設(shè)總體為來自該總體的簡單隨機樣本,為樣本均值，求.

授課序號02教學(xué)基本指標教學(xué)課題第5章第2節(jié)抽樣分布課的類型新知識課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點分布、分布和分布的概念及性質(zhì)、分位數(shù)的概念并會查表、正態(tài)總體的某些常用抽樣分布。教學(xué)難點分布、分布和分布的性質(zhì)，正態(tài)總體某些常用抽樣分布參考教材作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求1．了解分布、分布和分布的概念及性質(zhì)，了解分位數(shù)的概念并會查表計算。2．了解正態(tài)總體的某些常用抽樣分布。教學(xué)基本內(nèi)容一．抽樣分布1.χ2（1）設(shè)是來自標準正態(tài)總體N(0,1)的樣本，則稱統(tǒng)計量服從自由度為n的χ2分布，記為.（2）χ2(n)分布的概率密度為（3）設(shè)則有，.（4）若且X與Y獨立，則.2.t分布（1）設(shè)X~N(0,1),Y~χ2(n)，且X與Y相互獨立，則稱隨機變量服從自由度為n的T分布，記為T~t(n).t（2）t分布的概率密度為.3.F分布（1）設(shè)U~χ2(n1),V~χ2(n2（2）分布的概率密度為.（3）若F~F(n1,4.上側(cè)α分位數(shù)（點）（1）設(shè)有隨機變量X,對給定的α0<α<1,若存在實數(shù)xα滿足P{X>xα}=α（2）標準正態(tài)分布、自由度為n的卡方分布、自由度為n的t分布、自由度為的F分布的上側(cè)α分位數(shù)分別記為uα、、、，圖像如下圖所示.即有（1）X~N(0,1)，則（2），則；（3），則；（4），則.四大抽樣分布的上側(cè)α分位數(shù)（5）性質(zhì)（i）由標準正態(tài)分布和t分布的對稱性有：u1?α=?u（ii）由F分布的定義可以得到：.（iii）由于n比較大時t分布近似N（0,1），一般的，當(dāng)時，有.二．正態(tài)總體的抽樣分布1．來自單一正態(tài)總體N(μ,σ定理：設(shè)是來自正態(tài)總體N(μ,σ2)的一個樣本，（1），即；（2）；（3）.2．來自兩個正態(tài)總體N(μ1,定理：設(shè)與分別是來自兩個相互獨立的正態(tài)總體N(μ1,σ12)和N(（1）；（2）；（3）當(dāng)σ12=σ2例5.4，分別為來自X和Y的樣本，例5.5設(shè)QUOTEX1,X2,?,X15例5.6某公司生產(chǎn)瓶裝洗潔精，規(guī)定每瓶裝500毫升，但是在實際罐裝的過程中，總會出現(xiàn)一定的誤差，誤差要求控制在一定范圍內(nèi).假定灌裝量的方差σ2=1，如果每箱裝25瓶這樣的洗潔精，試問25瓶洗潔精的平均灌裝量和標準值500毫升相差不超過0.3毫升的概率是多少？例5.7設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(72，100)，為使樣本均值大于70的概率不小于90%，則樣本容量應(yīng)取多少?例5.8在設(shè)計導(dǎo)彈發(fā)射裝置時,重要事情之一是研究彈著點偏離目標中心的距離的方差.對于一類導(dǎo)彈發(fā)射裝置,彈著點偏離目標中心的距離服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，這里100平方米，現(xiàn)在進行了21次發(fā)射試驗，用表示這21次試驗中彈著點偏離目標中心的距離的樣本方差，試估計不超過170.85平方米的概率.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)教案第6章參數(shù)估計授課序號01教學(xué)基本指標教學(xué)課題第6章第1節(jié)點估計課的類型新知識課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點點估計、估計量與估計值的概念、估計量的無偏性、有效性和一致性的概念、、估計量的相合性、矩估計法（一階、二階距）和最大似然估計法。教學(xué)難點矩估計法（一階、二階距）和最大似然估計法。參考教材作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求1．理解參數(shù)的點估計、估計量與估計值的概念；了解估計量的無偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并會驗證估計量的無偏性；會利用大數(shù)定律證明估計量的相合性。2．掌握矩估計法（一階、二階距）和最大似然估計法。教學(xué)基本內(nèi)容一．矩估計法1.矩估計法的基本思想是替換原理，即用樣本矩去替換相應(yīng)的總體矩，這里的矩可以是原點矩也可以是中心距。我們知道，矩是由隨機變量的分布唯一確定的，而樣本來源于總體，由大數(shù)定律，樣本矩在一定程度上反映總體矩的特征。2．矩估計法：用樣本矩來估計總體矩的估計方法稱為矩估計法.3．矩估計法的步驟：設(shè)總體X的分布中包含m個未知參數(shù)1，2，…，m，為來自總體X的樣本，如果總體的k階原點矩存在，并設(shè)，相應(yīng)的k階樣本原點矩為，以替代，即可得到關(guān)于1，2，…，m的方程組 方程組的解，稱為參數(shù)k的矩估計量.4．若代入一組樣本觀測值，則稱為參數(shù)k的矩估計值.二．最大似然估計法 1．最大似然估計的步驟： 若總體X的分布中含有k個未知待估參數(shù)1，2，…，k，則似然函數(shù)為解似然方程組，或者對數(shù)似然方程組，即可得到參數(shù)的最大似然估計。2．定理：若為參數(shù)的最大似然估計，為參數(shù)的函數(shù)，則是的最大似然估計.三．點估計的評價標準1.無偏性：設(shè)是未知參數(shù)的估計量，若，則稱為的無偏估計。2.有效性：設(shè)均為參數(shù)的無偏估計量，若則稱有效。3.相合性（一致性）：設(shè)為未知參數(shù)的估計量，若對任意的，都有，即依概率收斂于參數(shù)，則稱為的相合（一致）估計。4.定理：設(shè)為的估計量，若,則為的相合（一致）估計.四．例題講解例1．設(shè)X為某零配件供應(yīng)商每周的發(fā)貨批次，其分布律為其中是未知參數(shù)，假設(shè)收集了該供應(yīng)商8周的發(fā)貨批次如下：3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估計值.例2．設(shè)某種鈦金屬制品的技術(shù)指標為X其概率密度為其中未知參數(shù)，為來自總體X的簡單隨機樣本，求的矩估計量.例3．已知某種金屬板的厚度X在(a,b)上服從均勻分布，其中a,b未知，設(shè)抽查了n片金屬板，厚度分別為，試用矩估計法估計a,b.例4．設(shè)袋中放有很多的白球和黑球，已知兩種球的比例為1:9，但不知道哪種顏色的球多，現(xiàn)從中有放回地抽取三次，每次一球，發(fā)現(xiàn)前兩次為黑球，第三次為白球，試判斷哪種顏色的球多。例5．求出例2中未知參數(shù)的最大似然估計量.例6．，其中是未知參數(shù)，設(shè)是樣本觀測值，求的最大似然估計.例7．設(shè)某工廠生產(chǎn)的手機屏幕分為不同的等級，其中一級品率為p，如果從生產(chǎn)線上抽取了20件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)其中有3件為一級品，求：（1）p的最大似然估計；（2）接著再抽5件產(chǎn)品都不是一級品的概率的最大似然估計.例8．設(shè)樣本來自正態(tài)總體XN(，2)，其中，2未知，求和2的最大似然估計。例9．設(shè)總體X的k階矩存在，證明:不論X服從什么分布，樣本的k階矩是的無偏估計。例10．已知，都是總體方差的估計量，問哪個估計量更好？例11．設(shè)總體的概率密度為，其中是未知參數(shù),為來自總體X的簡單樣本，選擇適當(dāng)常數(shù)c，使得是的無偏估計.例12．設(shè)某種產(chǎn)品的壽命X服從指數(shù)分布，其概率密度為，其中為未知參數(shù)，是來自總體的樣本，設(shè)有的估計量，，問哪一個最優(yōu)？例13．設(shè)是總體X的樣本均值，則當(dāng)作為總體期望E(X)的估計量時，是E(X)的相合估計量。例14．試證明是的相合估計量.授課序號02教學(xué)基本指標教學(xué)課題第6章第2節(jié)區(qū)間估計課的類型新知識課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點置信區(qū)間、區(qū)間估計、單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間、兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間。教學(xué)難點置信區(qū)間、區(qū)間估計、單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間、兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間。參考教材作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求1．掌握建立未知參數(shù)的（雙側(cè)和單側(cè)）置信區(qū)間的一般方法；2．了解區(qū)間估計的概念，會求單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間，會求兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間。教學(xué)基本內(nèi)容一．區(qū)間估計的概念1．置信區(qū)間：設(shè)為總體的未知參數(shù)，若對于給定的（0<<1），存在統(tǒng)計量和，使得,則稱隨機區(qū)間為參數(shù)的置信度（或置信水平）為1-的置信區(qū)間，分別稱為置信下限和置信上限。 2．樞軸量:稱滿足下述三條性質(zhì)的量Q為樞軸量.（1）是待估參數(shù)和估計量的函數(shù)；（2）不含其他未知參數(shù)；（3）其分布已知且與未知參數(shù)無關(guān)。3．求置信區(qū)間的一般步驟:（1）根據(jù)待估參數(shù)構(gòu)造樞軸量Q,一般可由未知參數(shù)的良好估計量改造得到；（2）對于給定的置信度1-，利用樞軸量Q的分位點確定常數(shù)a，b，使；（3）將不等式恒等變形為，即可得到參數(shù)的置信度為1-的置信區(qū)間.二．正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計1.單個正態(tài)總體的情形：設(shè)總體，是取自總體的樣本(1)已知，均值的置信區(qū)間：的置信度為的置信區(qū)間為.(2)未知，均值的置信區(qū)間：的置信度為的置信區(qū)間為.(3)已知，方差的置信區(qū)間：的置信度為的置信區(qū)間為.(4)未知，方差的置信區(qū)間：的置信度為的置信區(qū)間為.2.兩個正態(tài)總體的情形：設(shè)總體，總體，與獨立，樣本來自總體，樣本來自.(1)，已知，均值差的置信區(qū)間：的置信度為1-的置信區(qū)間為.(2)，未知，但，均值差的置信區(qū)間：的置信度為1-的置信區(qū)間為.(3)，未知，方差比的置信區(qū)間：的置信度為1-的置信區(qū)間為.以上關(guān)于正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計的討論可以列表1和表2如下：表1單個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計表待估參數(shù)條件樞軸量置信區(qū)間s2已知s2未知2m已知m未知表6.2兩個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計表待估參數(shù)條件樞軸量置信區(qū)間已知未知，但其中已知未知三．單側(cè)置信區(qū)間1．單側(cè)置信區(qū)間：設(shè)為總體的未知參數(shù)，對于給定的（0<<1），若存在統(tǒng)計量，使得,則稱隨機區(qū)間為參數(shù)的置信度為1-的單側(cè)置信區(qū)間，稱為單側(cè)置信下限；若存在統(tǒng)計量，使得,則稱隨機區(qū)間為參數(shù)的置信度為1-的單側(cè)置信區(qū)間，稱為單側(cè)置信上限。2．單側(cè)置信區(qū)間的求法：單側(cè)置信區(qū)間的求法與雙側(cè)置信區(qū)間相同，例如，設(shè)X1，…，Xn來自正態(tài)總體XN(，2)，其中2已知，未知,利用樞軸量，如下圖，構(gòu)造即恒等變形則可得的置信度為1-的單側(cè)置信下限為.四．例題講解例1．設(shè)X1，…，Xn為來自正態(tài)總體XN(，2)，其中2已知，未知,試求出的置信度為1-的置信區(qū)間。例2．某工廠生產(chǎn)一種特殊的發(fā)動機套筒，假設(shè)套筒直徑X（mm）服從正態(tài)分布，現(xiàn)從某天的產(chǎn)品中隨機抽取40件,測得直徑的樣本均值為5.426（mm），求m的置信度為0.95的置信區(qū)間.例3．為估計某種漢堡的脂肪含量，隨機抽取了10個這種漢堡，測得脂肪含量（%）如下：25.2，21.3，22.8，17.0，29.8，21.0，25.5，16.0，20.9，19.5.假設(shè)該種漢堡的脂肪含量（%）服從正態(tài)分布，求平均脂肪含量m的置信度為0.95的置信區(qū)間.例4．已知某種鋼絲的折斷力服從正態(tài)分布，從一批鋼絲中任意抽取了10根，測得折斷力數(shù)據(jù)（單位：k