概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版第2版） 教案 第3章 多維隨機變量及其分布

概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學教案第3章多維隨機變量及其分布授課序號01教學基本指標教學課題第3章第1節(jié)二維隨機變量及其分布課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結(jié)合教學重點二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)、性質(zhì)及兩種基本形式、二維均勻分布、二維正態(tài)分布的概率密度教學難點利用二維概率分布求有關事件的概率參考教材作業(yè)布置課后習題大綱要求1．理解二維隨機變量的概念，理解二維隨機變量的聯(lián)合分布的概念、性質(zhì)及兩種基本形式：離散型聯(lián)合概率分布；連續(xù)型聯(lián)合概率密度。會利用二維概率分布求有關事件的概率。2．掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布的概率密度，理解其中參數(shù)的概率意義。教學基本內(nèi)容一．二維隨機變量1．二維隨機變量：設E是隨機試驗,和是定義在同一個樣本空間上的隨機變量，則稱為二維隨機變量或二維隨機向量.2.說明：二維隨機變量的性質(zhì)不僅與X和Y有關，還依賴于兩個隨機變量之間的相互關系，因此要將隨機變量作為一個整體進行研究.二．二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)1．二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)：設為二維隨機變量，對于任意的，則稱為二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)，簡稱為分布函數(shù).2．二維聯(lián)合分布函數(shù)的幾何意義：若將看作是平面直角坐標系上的隨機點，那么表示隨機點落入陰影部分的概率（如圖3.1），即落入點左下方區(qū)域內(nèi)的概率.圖3.13．隨機點落入矩形區(qū)域的概率：4．聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：（1）單調(diào)性：對或都是單調(diào)不減的；（2）有界性：對任意的和，有，并且：，，；（3）右連續(xù)：對或都是右連續(xù)的，即：，；（4）對任意的和，其中，有.三．二維離散型隨機變量及其分布1．二維離散型隨機變量：若二維隨機變量只取有限個或可列個數(shù)對，則稱為二維離散型隨機變量，稱為的聯(lián)合分布律或者聯(lián)合概率分布，簡稱為分布律或者概率分布.2．聯(lián)合分布律的性質(zhì)：（1）非負性：；（2）正則性：.3．二維聯(lián)合分布律的表示形式：四．二維連續(xù)型隨機變量及其分布1．二維連續(xù)型隨機變量：設為二維隨機變量，若存在函數(shù)，對于任意區(qū)域A，滿足,則稱為二維連續(xù)型隨機變量，稱為的聯(lián)合概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度.2．聯(lián)合概率密度函數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）非負性：；（2）正則性：.3．說明：對于二維連續(xù)型隨機變量，聯(lián)合分布函數(shù)與聯(lián)合概率密度函數(shù)也可以相互求出：（1）若在點處連續(xù)，為相應的聯(lián)合分布函數(shù)，則有；（2）若已知聯(lián)合概率密度函數(shù)，則.4.二維連續(xù)型隨機變量的兩種常用分布.（1）二維均勻分布：設G是平面上的一個有界區(qū)域，其面積為，若隨機變量的概率密度為則稱隨機變量服從區(qū)域G上的二維均勻分布.說明：二維均勻分布相當于向平面區(qū)域G內(nèi)隨機的投點，若D為G的子區(qū)域，則點落入?yún)^(qū)域D內(nèi)的概率與區(qū)域D的位置無關，只與D的面積有關，其概率值等于子區(qū)域D的面積與大區(qū)域G的面積之比，即（2）二維正態(tài)分布：如果二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為，其中五個參數(shù)均為常數(shù)，且，，，則稱服從二維正態(tài)分布，記為.五．例題講解例1．一家大型保險公司為一些客戶提供服務，這些客戶既購買了車險，又購買了財險.每種類型的保單都有一定的免賠額，車險的免賠額為100元或250元，財險的免賠額為0元、100元或200元.假設一個人同時購買了這兩種保險，X表示車險的免賠額，Y表示財險的免賠額.根據(jù)該公司的歷史數(shù)據(jù)可以得到隨機變量的聯(lián)合分布律，求（1）客戶財險的免賠額不低于100元的概率；（2）客戶的免賠總額不超過300元的概率.1002500.200.100.200.050.150.30例2．有7件外觀相同的產(chǎn)品，經(jīng)檢測其中有3件一等品、2件二等品、2件三等品，任意選出4件產(chǎn)品，用X表示取到一等品的件數(shù)，用Y表示取到二等品的件數(shù)，求X，Y的聯(lián)合分布律.例3．一家銀行的服務包括人工服務和自助服務.在一天中，X表示接受人工服務所花費的時間，Y表示自助服務所花費的時間.隨機變量所有可能取值的集合為（單位：h），的聯(lián)合概率密度為求人工服務和自助服務的時間均不超過一刻鐘的概率，即例4．設二維隨機變量服從區(qū)域G上的均勻分布，其中G是由與所圍成的三角形區(qū)域，求隨機變量落入?yún)^(qū)域D內(nèi)的概率.例5．設服從二維正態(tài)分布，概率密度函數(shù)為，求

授課序號02教學基本指標教學課題第3章第2節(jié)邊緣分布與隨機變量的獨立性課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結(jié)合教學重點二維離散型隨機變量的邊緣分布；連續(xù)型邊緣密度、隨機變量的獨立性、離散性和連續(xù)性隨機變量獨立的條件教學難點二維離散型隨機變量的邊緣分布及連續(xù)型邊緣密度的求法，離散性和連續(xù)性隨機變量獨立性的判定。參考教材作業(yè)布置課后習題大綱要求1．理解二維離散型隨機變量的邊緣分布；連續(xù)型邊緣密度。會利用二維概率分布求有關事件的概率。2．理解隨機變量的獨立性概念，掌握離散性和連續(xù)性隨機變量獨立的條件。教學基本內(nèi)容一．邊緣分布函數(shù)1．隨機變量的邊緣分布函數(shù)：設二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)已知，則兩個分量和的分布函數(shù)可以由聯(lián)合分布函數(shù)求得，即，其中，稱為隨機變量的邊緣分布函數(shù).2．隨機變量的邊緣分布函數(shù)：，其中，稱為隨機變量的邊緣分布函數(shù).二．邊緣分布律1．隨機變量的邊緣分布律：設二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律為，隨機變量的邊緣分布律為，簡記為；隨機變量的邊緣分布律為，簡記為.2．利用聯(lián)合分布律就能得到單個隨機變量的邊緣分布律，且可以一起列入下表：1三．邊緣概率密度1．隨機變量X的邊緣概率密度：設二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度為，則關于X的邊緣分布函數(shù)為，對求導可得，稱為隨機變量X的邊緣概率密度.2．隨機變量Y的邊緣概率密度.3．二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布是一維正態(tài)分布和，即聯(lián)合分布可以完全確定其邊緣分布，反之，邊緣分布不能確定聯(lián)合分布.四．隨機變量的獨立性1．隨機變量X與Y相互獨立：設二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為，且X與Y的邊緣分布函數(shù)為、，若對任意的一組取值，有成立，則稱隨機變量X與Y是相互獨立的.由此定義可得，.2．定理：（1）設為二維離散型隨機變量，對任意的，則離散型隨機變量X與Y相互獨立等價于：.（2）設為二維連續(xù)型隨機變量，對任意的，則連續(xù)型隨機變量X與Y相互獨立等價于：.3．說明：（1）要判別中的X與Y相互獨立，必須對“任意一組取值”都滿足上述結(jié)論；（2）要判別X與Y不獨立，則只需要找到一組不滿足上述結(jié)論的值即可.五．例題講解例1．一家大型保險公司為一些客戶提供服務，這些客戶既購買了車險，又購買了財險.每種類型的保單都有一定的免賠額，車險的免賠額為100元或250元，財險的免賠額為0元、100元或200元.假設一個人同時購買了這兩種保險，X表示車險的免賠額，Y表示財險的免賠額.根據(jù)該公司的歷史數(shù)據(jù)可以得到隨機變量的聯(lián)合分布律，求二維隨機變量的邊緣分布律.1002500.200.100.200.050.150.30例2．一家銀行的服務包括人工服務和自助服務.在一天中，X表示接受人工服務所花費的時間，Y表示自助服務所花費的時間.隨機變量所有可能取值的集合為（單位：h），的聯(lián)合概率密度為求隨機變量X和Y的邊緣概率密度，以及.例3．設二維隨機變量服從二維正態(tài)分布，證明:X的邊緣分布為,Y的邊緣分布為.例4．在左轉(zhuǎn)車道上，每個信號周期內(nèi)的私家車數(shù)量記為X，公交車數(shù)量記為Y，X與Y都是隨機變量，且的聯(lián)合分布見下表：0120123450.0250.0150.0100.0500.0300.0200.1250.0750.0500.1500.0900.0600.1000.0600.0400.0500.0300.020問隨機變量X和Y是否相互獨立？例5.(續(xù)例2)設二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為邊緣概率密度在例2已求出,判斷隨機變量X與Y的獨立性.例6．設二維隨機變量服從二維正態(tài)分布，則與相互獨立的充要條件為例7．設二維隨機變量服從二維正態(tài)分布，求概率.授課序號03教學基本指標教學課題第3章第3節(jié)條件分布課的類型復習、新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結(jié)合教學重點離散型隨機變量的條件分布；連續(xù)型隨機變量的條件密度教學難點條件分布及條件密度的求法參考教材作業(yè)布置課后習題大綱要求理解離散型隨機變量的條件分布；連續(xù)型隨機變量的條件密度。教學基本內(nèi)容一．二維離散型隨機變量的條件分布律1．隨機變量X的條件分布律：設二維離散型隨機變量，其聯(lián)合分布律為，關于Y的邊緣分布律為，則稱為在的條件下隨機變量X的條件分布律.2．隨機變量Y的條件分布律：關于X的邊緣分布律為，則稱為在的條件下隨機變量Y的條件分布律.說明：當隨機變量X與Y相互獨立時，條件分布律就等于其相應的邊緣分布律，即，.二．二維連續(xù)型隨機變量的條件概率密度1.隨機變量X的條件概率密度與條件分布函數(shù)：設二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度為，隨機變量的邊緣概率密度分別為和，則稱與為給定條件下，X的條件概率密度和條件分布函數(shù).2.隨機變量Y的條件概率密度與條件分布函數(shù)：稱與為給定條件下，Y的條件概率密度和條件分布函數(shù).三．例題講解例1．一個加油站既有自助服務，也有人工服務.在一次加油中，令X表示特定時間內(nèi)自助加油使用的油槍數(shù)量,Y表示人工加油使用的油槍數(shù)量.隨機變量的聯(lián)合分布律見下表：0120120.100.040.020.080.200.060.060.140.30當X=1時，求Y的條件分布律.例2．設二維連續(xù)型隨機變量的概率密度為例3．設二維隨機變量服從區(qū)域G上的均勻分布，其中G是由與所圍成的三角形區(qū)域(如圖3.6).求條件概率密度圖3.6

授課序號04教學基本指標教學課題第3章第4節(jié)二維隨機變量函數(shù)的分布課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結(jié)合教學重點兩個獨立隨機變量函數(shù)的分布教學難點兩個獨立隨機變量函數(shù)的分布的求法參考教材作業(yè)布置課后習題大綱要求會求兩個獨立隨機變量的簡單函數(shù)的分布。教學基本內(nèi)容一.二維離散型隨機變量函數(shù)的分布從以上兩個例題可以看出，求二維離散型隨機變量函數(shù)的分布律，其方法與求一維離散型隨機變量函數(shù)的分布律是一樣的:首先確定所有可能的取值，其次分別求出所有取值的概率，再進行整理便得到了隨機變量函數(shù)的分布律.例3.17描述了二項分布的可加性（關于第一個參數(shù)的可加性）,下面把常用離散型隨機變量的可加性總結(jié)如下：（1）（0-1）分布：若隨機變量相互獨立，且，則（2）二項分布：若隨機變量，且X與Y相互獨立，則（3）泊松分布：若隨機變量，且X與Y相互獨立，則注意，在以上的三個結(jié)論中，都要求隨機變量之間相互獨立.二．二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布設是二維連續(xù)型隨機變量，是二元函數(shù)，則是一維隨機變量.已知的聯(lián)合概率密度，求的分布，一般情況下，Z的分布函數(shù)為：，當Z為連續(xù)型隨機變量時，對分布函數(shù)求導可以得到Z的概率密度：1.和的分布（1）定理：設二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度為，則的概率密度為或.（2）卷積公式：若X與Y相互獨立，其邊緣概率密度分別為和，則的概率密度為或，并稱這兩個公式為卷積公式，記為.（3）若隨機變量X與Y相互獨立，且，，則；對于不全為零的實數(shù)，則.（4）若，并且相互獨立，是不全為零的實數(shù)，則隨機變量2．積的分布、商的分布（1）定理：設二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度為，則的概率密度分別為和.（1）若X與Y相互獨立，其邊緣概率密度分別為和，則的概率密度分別為和，稱這兩個公式為積的分布公式與商的分布公式.3.最大值、最小值的分布（1）定理：設隨機變量X與Y相互獨立，其分布函數(shù)分別為和，則和的分布函數(shù)為和.（2）推廣形式：設n個隨機變量相互獨立，其分布函數(shù)為，則和的分布函數(shù)分別為和.（3）當n個隨機變量獨立同分布時，其分布函數(shù)均為，則M和N的分布函數(shù)為和.說明：對于連續(xù)型隨機變量，求出最大值、最小值的分布函數(shù)后，再對分布函數(shù)求導，就可以求出其概率密度函數(shù).三．n維隨機變量1.n維隨機變量：設是定義在同一個樣本空間E上的n個隨機變量，則稱為n維隨機變量或