概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版第2版） 教案 第3章 多維隨機(jī)變量及其分布

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)教案第3章多維隨機(jī)變量及其分布授課序號(hào)01教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第3章第1節(jié)二維隨機(jī)變量及其分布課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)、性質(zhì)及兩種基本形式、二維均勻分布、二維正態(tài)分布的概率密度教學(xué)難點(diǎn)利用二維概率分布求有關(guān)事件的概率參考教材作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求1．理解二維隨機(jī)變量的概念，理解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布的概念、性質(zhì)及兩種基本形式：離散型聯(lián)合概率分布；連續(xù)型聯(lián)合概率密度。會(huì)利用二維概率分布求有關(guān)事件的概率。2．掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布的概率密度，理解其中參數(shù)的概率意義。教學(xué)基本內(nèi)容一．二維隨機(jī)變量1．二維隨機(jī)變量：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn),和是定義在同一個(gè)樣本空間上的隨機(jī)變量，則稱為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量.2.說明：二維隨機(jī)變量的性質(zhì)不僅與X和Y有關(guān)，還依賴于兩個(gè)隨機(jī)變量之間的相互關(guān)系，因此要將隨機(jī)變量作為一個(gè)整體進(jìn)行研究.二．二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)1．二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)：設(shè)為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意的，則稱為二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱為分布函數(shù).2．二維聯(lián)合分布函數(shù)的幾何意義：若將看作是平面直角坐標(biāo)系上的隨機(jī)點(diǎn)，那么表示隨機(jī)點(diǎn)落入陰影部分的概率（如圖3.1），即落入點(diǎn)左下方區(qū)域內(nèi)的概率.圖3.13．隨機(jī)點(diǎn)落入矩形區(qū)域的概率：4．聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：（1）單調(diào)性：對(duì)或都是單調(diào)不減的；（2）有界性：對(duì)任意的和，有，并且：，，；（3）右連續(xù)：對(duì)或都是右連續(xù)的，即：，；（4）對(duì)任意的和，其中，有.三．二維離散型隨機(jī)變量及其分布1．二維離散型隨機(jī)變量：若二維隨機(jī)變量只取有限個(gè)或可列個(gè)數(shù)對(duì)，則稱為二維離散型隨機(jī)變量，稱為的聯(lián)合分布律或者聯(lián)合概率分布，簡(jiǎn)稱為分布律或者概率分布.2．聯(lián)合分布律的性質(zhì)：（1）非負(fù)性：；（2）正則性：.3．二維聯(lián)合分布律的表示形式：四．二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布1．二維連續(xù)型隨機(jī)變量：設(shè)為二維隨機(jī)變量，若存在函數(shù)，對(duì)于任意區(qū)域A，滿足,則稱為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為的聯(lián)合概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為概率密度.2．聯(lián)合概率密度函數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）非負(fù)性：；（2）正則性：.3．說明：對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合分布函數(shù)與聯(lián)合概率密度函數(shù)也可以相互求出：（1）若在點(diǎn)處連續(xù)，為相應(yīng)的聯(lián)合分布函數(shù)，則有；（2）若已知聯(lián)合概率密度函數(shù)，則.4.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的兩種常用分布.（1）二維均勻分布：設(shè)G是平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其面積為，若隨機(jī)變量的概率密度為則稱隨機(jī)變量服從區(qū)域G上的二維均勻分布.說明：二維均勻分布相當(dāng)于向平面區(qū)域G內(nèi)隨機(jī)的投點(diǎn)，若D為G的子區(qū)域，則點(diǎn)落入?yún)^(qū)域D內(nèi)的概率與區(qū)域D的位置無關(guān)，只與D的面積有關(guān)，其概率值等于子區(qū)域D的面積與大區(qū)域G的面積之比，即（2）二維正態(tài)分布：如果二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，其中五個(gè)參數(shù)均為常數(shù)，且，，，則稱服從二維正態(tài)分布，記為.五．例題講解例1．一家大型保險(xiǎn)公司為一些客戶提供服務(wù)，這些客戶既購(gòu)買了車險(xiǎn)，又購(gòu)買了財(cái)險(xiǎn).每種類型的保單都有一定的免賠額，車險(xiǎn)的免賠額為100元或250元，財(cái)險(xiǎn)的免賠額為0元、100元或200元.假設(shè)一個(gè)人同時(shí)購(gòu)買了這兩種保險(xiǎn)，X表示車險(xiǎn)的免賠額，Y表示財(cái)險(xiǎn)的免賠額.根據(jù)該公司的歷史數(shù)據(jù)可以得到隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律，求（1）客戶財(cái)險(xiǎn)的免賠額不低于100元的概率；（2）客戶的免賠總額不超過300元的概率.1002500.200.100.200.050.150.30例2．有7件外觀相同的產(chǎn)品，經(jīng)檢測(cè)其中有3件一等品、2件二等品、2件三等品，任意選出4件產(chǎn)品，用X表示取到一等品的件數(shù)，用Y表示取到二等品的件數(shù)，求X，Y的聯(lián)合分布律.例3．一家銀行的服務(wù)包括人工服務(wù)和自助服務(wù).在一天中，X表示接受人工服務(wù)所花費(fèi)的時(shí)間，Y表示自助服務(wù)所花費(fèi)的時(shí)間.隨機(jī)變量所有可能取值的集合為（單位：h），的聯(lián)合概率密度為求人工服務(wù)和自助服務(wù)的時(shí)間均不超過一刻鐘的概率，即例4．設(shè)二維隨機(jī)變量服從區(qū)域G上的均勻分布，其中G是由與所圍成的三角形區(qū)域，求隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)域D內(nèi)的概率.例5．設(shè)服從二維正態(tài)分布，概率密度函數(shù)為，求

授課序號(hào)02教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第3章第2節(jié)邊緣分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布；連續(xù)型邊緣密度、隨機(jī)變量的獨(dú)立性、離散性和連續(xù)性隨機(jī)變量獨(dú)立的條件教學(xué)難點(diǎn)二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布及連續(xù)型邊緣密度的求法，離散性和連續(xù)性隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定。參考教材作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求1．理解二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布；連續(xù)型邊緣密度。會(huì)利用二維概率分布求有關(guān)事件的概率。2．理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性概念，掌握離散性和連續(xù)性隨機(jī)變量獨(dú)立的條件。教學(xué)基本內(nèi)容一．邊緣分布函數(shù)1．隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)：設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)已知，則兩個(gè)分量和的分布函數(shù)可以由聯(lián)合分布函數(shù)求得，即，其中，稱為隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù).2．隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)：，其中，稱為隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù).二．邊緣分布律1．隨機(jī)變量的邊緣分布律：設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為，隨機(jī)變量的邊緣分布律為，簡(jiǎn)記為；隨機(jī)變量的邊緣分布律為，簡(jiǎn)記為.2．利用聯(lián)合分布律就能得到單個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布律，且可以一起列入下表：1三．邊緣概率密度1．隨機(jī)變量X的邊緣概率密度：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，則關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為，對(duì)求導(dǎo)可得，稱為隨機(jī)變量X的邊緣概率密度.2．隨機(jī)變量Y的邊緣概率密度.3．二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布是一維正態(tài)分布和，即聯(lián)合分布可以完全確定其邊緣分布，反之，邊緣分布不能確定聯(lián)合分布.四．隨機(jī)變量的獨(dú)立性1．隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立：設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為，且X與Y的邊緣分布函數(shù)為、，若對(duì)任意的一組取值，有成立，則稱隨機(jī)變量X與Y是相互獨(dú)立的.由此定義可得，.2．定理：（1）設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)任意的，則離散型隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立等價(jià)于：.（2）設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，對(duì)任意的，則連續(xù)型隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立等價(jià)于：.3．說明：（1）要判別中的X與Y相互獨(dú)立，必須對(duì)“任意一組取值”都滿足上述結(jié)論；（2）要判別X與Y不獨(dú)立，則只需要找到一組不滿足上述結(jié)論的值即可.五．例題講解例1．一家大型保險(xiǎn)公司為一些客戶提供服務(wù)，這些客戶既購(gòu)買了車險(xiǎn)，又購(gòu)買了財(cái)險(xiǎn).每種類型的保單都有一定的免賠額，車險(xiǎn)的免賠額為100元或250元，財(cái)險(xiǎn)的免賠額為0元、100元或200元.假設(shè)一個(gè)人同時(shí)購(gòu)買了這兩種保險(xiǎn)，X表示車險(xiǎn)的免賠額，Y表示財(cái)險(xiǎn)的免賠額.根據(jù)該公司的歷史數(shù)據(jù)可以得到隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律，求二維隨機(jī)變量的邊緣分布律.1002500.200.100.200.050.150.30例2．一家銀行的服務(wù)包括人工服務(wù)和自助服務(wù).在一天中，X表示接受人工服務(wù)所花費(fèi)的時(shí)間，Y表示自助服務(wù)所花費(fèi)的時(shí)間.隨機(jī)變量所有可能取值的集合為（單位：h），的聯(lián)合概率密度為求隨機(jī)變量X和Y的邊緣概率密度，以及.例3．設(shè)二維隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，證明:X的邊緣分布為,Y的邊緣分布為.例4．在左轉(zhuǎn)車道上，每個(gè)信號(hào)周期內(nèi)的私家車數(shù)量記為X，公交車數(shù)量記為Y，X與Y都是隨機(jī)變量，且的聯(lián)合分布見下表：0120123450.0250.0150.0100.0500.0300.0200.1250.0750.0500.1500.0900.0600.1000.0600.0400.0500.0300.020問隨機(jī)變量X和Y是否相互獨(dú)立？例5.(續(xù)例2)設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為邊緣概率密度在例2已求出,判斷隨機(jī)變量X與Y的獨(dú)立性.例6．設(shè)二維隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，則與相互獨(dú)立的充要條件為例7．設(shè)二維隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，求概率.授課序號(hào)03教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第3章第3節(jié)條件分布課的類型復(fù)習(xí)、新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的條件分布；連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度教學(xué)難點(diǎn)條件分布及條件密度的求法參考教材作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求理解離散型隨機(jī)變量的條件分布；連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度。教學(xué)基本內(nèi)容一．二維離散型隨機(jī)變量的條件分布律1．隨機(jī)變量X的條件分布律：設(shè)二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為，關(guān)于Y的邊緣分布律為，則稱為在的條件下隨機(jī)變量X的條件分布律.2．隨機(jī)變量Y的條件分布律：關(guān)于X的邊緣分布律為，則稱為在的條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律.說明：當(dāng)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立時(shí)，條件分布律就等于其相應(yīng)的邊緣分布律，即，.二．二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度1.隨機(jī)變量X的條件概率密度與條件分布函數(shù)：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，隨機(jī)變量的邊緣概率密度分別為和，則稱與為給定條件下，X的條件概率密度和條件分布函數(shù).2.隨機(jī)變量Y的條件概率密度與條件分布函數(shù)：稱與為給定條件下，Y的條件概率密度和條件分布函數(shù).三．例題講解例1．一個(gè)加油站既有自助服務(wù)，也有人工服務(wù).在一次加油中，令X表示特定時(shí)間內(nèi)自助加油使用的油槍數(shù)量,Y表示人工加油使用的油槍數(shù)量.隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律見下表：0120120.100.040.020.080.200.060.060.140.30當(dāng)X=1時(shí)，求Y的條件分布律.例2．設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為例3．設(shè)二維隨機(jī)變量服從區(qū)域G上的均勻分布，其中G是由與所圍成的三角形區(qū)域(如圖3.6).求條件概率密度圖3.6

授課序號(hào)04教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第3章第4節(jié)二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量函數(shù)的分布教學(xué)難點(diǎn)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量函數(shù)的分布的求法參考教材作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求會(huì)求兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的簡(jiǎn)單函數(shù)的分布。教學(xué)基本內(nèi)容一.二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布從以上兩個(gè)例題可以看出，求二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律，其方法與求一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律是一樣的:首先確定所有可能的取值，其次分別求出所有取值的概率，再進(jìn)行整理便得到了隨機(jī)變量函數(shù)的分布律.例3.17描述了二項(xiàng)分布的可加性（關(guān)于第一個(gè)參數(shù)的可加性）,下面把常用離散型隨機(jī)變量的可加性總結(jié)如下：（1）（0-1）分布：若隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且，則（2）二項(xiàng)分布：若隨機(jī)變量，且X與Y相互獨(dú)立，則（3）泊松分布：若隨機(jī)變量，且X與Y相互獨(dú)立，則注意，在以上的三個(gè)結(jié)論中，都要求隨機(jī)變量之間相互獨(dú)立.二．二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，是二元函數(shù)，則是一維隨機(jī)變量.已知的聯(lián)合概率密度，求的分布，一般情況下，Z的分布函數(shù)為：，當(dāng)Z為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)可以得到Z的概率密度：1.和的分布（1）定理：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，則的概率密度為或.（2）卷積公式：若X與Y相互獨(dú)立，其邊緣概率密度分別為和，則的概率密度為或，并稱這兩個(gè)公式為卷積公式，記為.（3）若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且，，則；對(duì)于不全為零的實(shí)數(shù)，則.（4）若，并且相互獨(dú)立，是不全為零的實(shí)數(shù)，則隨機(jī)變量2．積的分布、商的分布（1）定理：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，則的概率密度分別為和.（1）若X與Y相互獨(dú)立，其邊緣概率密度分別為和，則的概率密度分別為和，稱這兩個(gè)公式為積的分布公式與商的分布公式.3.最大值、最小值的分布（1）定理：設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為和，則和的分布函數(shù)為和.（2）推廣形式：設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，其分布函數(shù)為，則和的分布函數(shù)分別為和.（3）當(dāng)n個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布時(shí)，其分布函數(shù)均為，則M和N的分布函數(shù)為和.說明：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，求出最大值、最小值的分布函數(shù)后，再對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)，就可以求出其概率密度函數(shù).三．n維隨機(jī)變量1.n維隨機(jī)變量：設(shè)是定義在同一個(gè)樣本空間E上的n個(gè)隨機(jī)變量，則稱為n維隨機(jī)變量或