專題1.4 基本不等式及其應(yīng)用【九大題型】-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【舉一反三】專練（新高考專用）含解析

專題1.4基本不等式及其應(yīng)用【九大題型】-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【舉一反三】專練（新高考專用）專題1.4基本不等式及其應(yīng)用【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1基本不等式及其應(yīng)用】 2【題型2直接法求最值】 3【題型3配湊法求最值】 4【題型4常數(shù)代換法求最值】 4【題型5消元法求最值】 4【題型6齊次化求最值】 5【題型7多次使用基本不等式求最值】 5【題型8利用基本不等式解決實際問題】 5【題型9與其他知識交匯的最值問題】 81、基本不等式及其應(yīng)用考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解基本不等式的推導(dǎo)過程

(2)會用基本不等式解決最值問題

(3)理解基本不等式在實際問題中的應(yīng)用2020年天津卷：第14題，5分2021年乙卷：第8題，5分2022年I卷：第12題，5分2023年新高考I卷：第22題，12分基本不等式及其應(yīng)用是每年高考的必考內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，對基本不等式的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，應(yīng)適當(dāng)關(guān)注利用基本不等式大小判斷、求最值和求取值范圍的問題；同時要注意基本不等式在立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容中的運用.【知識點1基本不等式】1.兩個不等式不等式內(nèi)容等號成立條件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時取“=”基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0,b>0)當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時取“=”eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．2．基本不等式與最值已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號的條件．3．常見的求最值模型(1)模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；(2)模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；(3)模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；(4)模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.4．利用基本不等式求最值的幾種方法(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值．(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求的最值”的問題，先將轉(zhuǎn)化為，再用基本不等式求最值.(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.【題型1基本不等式及其應(yīng)用】【例1】（2023·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）已知實數(shù)a,b,c滿足a<b<c且abc<0，則下列不等關(guān)系一定正確的是（

）A．a(chǎn)c<bc B．a(chǎn)b<acC．bc+c【變式1-1】（2023·湖南長沙·一模）已知2m=3n=6，則m，A．m+n>4 B．mn>4C．m2+n【變式1-2】（2024·山東棗莊·一模）已知a>0,b>0，則“a+b>2”是“a2+bA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-3】（2023·遼寧·二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形△ABC中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設(shè)AD=a，BD=b，用該圖形能證明的不等式為（

）．A．a(chǎn)+b2≥abC．a(chǎn)+b2≤a【題型2直接法求最值】【例2】（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=3?x?2x，則當(dāng)x<0時，A．最大值3+22 B．最小值C．最大值3?22 D．最小值【變式2-1】（2023·北京東城·一模）已知x>0，則x?4+4x的最小值為（A．－2 B．0 C．1 D．2【變式2-2】（22-23高三下·江西·階段練習(xí)）3+1x2A．93 B．7+42 C．83【變式2-3】（23-24高二下·山東濰坊·階段練習(xí)）函數(shù)y=3?4x?x（x>0A．?1 B．1 C．?5 D．5【題型3配湊法求最值】【例3】（2023·山西忻州·模擬預(yù)測）已知a>2，則2a+8a?2的最小值是（A．6 B．8 C．10 D．12【變式3-1】（2024·遼寧·一模）已知m>2n>0，則mm?2n+mA．3+22 B．3?22 C．2+32【變式3-2】（2023·河南信陽·模擬預(yù)測）若?5<x<?1，則函數(shù)fx=xA．最小值1 B．最大值1 C．最小值?1 D．最大值?1【變式3-3】（23-24高三下·河南·開學(xué)考試）已知a>0,b>0，則a+2b+4a+2b+1的最小值為（A．6 B．5 C．4 D．3【題型4常數(shù)代換法求最值】【例4】（2024·江蘇南通·二模）設(shè)x>0，y>0，1x+2y=2，則A．32 B．22 C．3【變式4-1】（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知正實數(shù)x，y滿足1x+2y=1A．8 B．9 C．10 D．11【變式4-2】（2024·廣東湛江·一模）已知ab>0，a2+ab+2b2=1A．8?227 B．223 C．【變式4-3】（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y滿足2x+y=xy，則2xy?2x?y的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．9【題型5消元法求最值】【例5】（2024·陜西西安·三模）已知x>0,y>0，xy+2x?y=10，則x+y的最小值為．【變式5-1】（2023·上海嘉定·一模）已知實數(shù)a、b滿足ab=?6，則a2+b【變式5-2】（2024·天津河?xùn)|·一模）若a>0,b>0,ab=2，則a+4b+2b3b【變式5-3】（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y，z滿足x2+xy+yz+xz+x+z=6，則3x+2y+z的最小值是【題型6齊次化求最值】【例6】（23-24高一上·湖南婁底·期末）已知x>0，則x2?x+4xA．5 B．3 C．?5 D．?5或3【變式6-1】（23-24高一上·遼寧大連·期末）已知x，y為正實數(shù)，且x+y=1，則x+6y+3xy的最小值為（

A．24 B．25 C．6+42 D．【變式6-2】（23-24高二上·安徽六安·階段練習(xí)）設(shè)a+b=1,b>0，則1|a|+9|a|A．7 B．6 C．5 D．4【變式6-3】（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知x為正實數(shù)，y為非負(fù)實數(shù)，且x+2y=2，則x2+1xA．34 B．94 C．32【題型7多次使用基本不等式求最值】【例7】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)a，b，滿足a+b≥92a+2bA．5 B．52 C．52 【變式7-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知a為非零實數(shù)，b，c均為正實數(shù)，則a2b+aA．12 B．24 C．22【變式7-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知a>0，b>0，c>1，a+2b=2，則1a+2A．92 B．2 C．6 D．【變式7-3】（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）已知a、b、c、d均為正實數(shù)，且1a+2b=A．3 B．2C．3+22 【題型8利用基本不等式解決實際問題】【例8】（23-24高二下·北京房山·期中）某公園為了美化游園環(huán)境，計劃修建一個如圖所示的總面積為750m2的矩形花園.圖中陰影部分是寬度為1m的小路，中間A，B，C三個矩形區(qū)域?qū)⒎N植牡丹、郁金香、月季（其中B，C區(qū)域的形狀、大小完全相同）.設(shè)矩形花園的一條邊長為xm(1)用含有x的代數(shù)式表示a；(2)當(dāng)x的值為多少時，才能使鮮花種植的總面積最大？【變式8-1】（23-24高一上·遼寧朝陽·期末）冷鏈物流是指以冷凍工藝為基礎(chǔ)、制冷技術(shù)為手段，使冷鏈物品從生產(chǎn)、流通、銷售到消費者的各個環(huán)節(jié)始終處于規(guī)定的溫度環(huán)境下，以減少冷鏈物品損耗的物流活動.隨著人民食品安全意識的提高及線上消費需求的增加，冷鏈物流市場規(guī)模也在穩(wěn)步擴大.某冷鏈物流企業(yè)準(zhǔn)備擴大規(guī)模，決定在2024年初及2025年初兩次共投資4百萬元，經(jīng)預(yù)測，每年初投資的x百萬元在第m（1≤m≤8，且m∈N*）年產(chǎn)生的利潤（單位：百萬元）Gm=mx(1)比較f42與(2)求兩次投資在2027年產(chǎn)生的利潤之和的最大值.【變式8-2】（23-24高一上·河南開封·期末）如圖，一份印刷品的排版（陰影部分）為矩形，面積為32，它的左、右兩邊都留有寬為2的空白，上、下兩邊都留有寬為1的空白.記紙張的面積為S，排版矩形的長和寬分別為x，y.(1)用x，y表示S;(2)如何選擇紙張的尺寸，才能使紙張的面積最小?并求最小面積.【變式8-3】（23-24高一上·四川成都·期末）如圖所示，一條筆直的河流l（忽略河的寬度）兩側(cè)各有一個社區(qū)A,B（忽略社區(qū)的大?。珹社區(qū)距離l上最近的點A0的距離是2km,B社區(qū)距離l上最近的點B0的距離是1km，且A0B現(xiàn)規(guī)劃了如下三項工程：工程1：在點P處修建一座造價0.1億元的人行觀光天橋；工程2：將直角三角形AA0P地塊全部修建為面積至少1工程3：將直角三角形BB0P記這三項工程的總造價為W億元.(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)問點P在何處時，W最小，并求出該最小值.【題型9與其他知識交匯的最值問題】【例9】（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知ΔABC內(nèi)接于單位圓，且1+tan（1）求角C（2）求△ABC面積的最大值．【變式9-1】（23-24高三上·山東青島·期末）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年,在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qiandu);陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈(bienao)指四個面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵ABC?A1B(1)求證:四棱錐B?A(2)若C1C=BC=2,當(dāng)鱉膈C1【變式9-2】（2024·廣東珠?！ひ荒＃┮阎狝、B、C是ΔABC的內(nèi)角，a、b、c分別是其對邊長，向量m=a+b,c，n=（1）求角A的大小；（2）若a=2，求ΔABC面積的最大值.【變式9-3】（2024·黑龍江大慶·一模）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，過點1,32（1）求橢圓的方程；（2）求線段AB的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍．一、單選題1．（2023·全國·三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，則下列不等式不正確的是（

）A．a(chǎn)b≤14 C．1a+12．（2024·甘肅定西·一模）x2+7A．27 B．37 C．473．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知a>0，b>0，a+b=2，則（

）A．0<a≤1 B．0<ab≤1 C．a(chǎn)2+b4．（2024·浙江嘉興·二模）若正數(shù)x,y滿足x2?2xy+2=0，則x+y的最小值是（A．6 B．62 C．225．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若a,b是正實數(shù)，且13a+b+12a+4b=1A．45 B．23 C．1 6．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）下列說法錯誤的是（

）A．若正實數(shù)a,b滿足a+b=1，則1aB．若正實數(shù)a,b滿足a+2b=1，則2C．y=x2D．若a>b>1，則ab+1<a+b7．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設(shè)第一周和第二周的該商品的單價分別為m元和n元(m≠n)，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買100元的該商品，乙每周購買20件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為a1,aA．a(chǎn)1=a2 B．a(chǎn)1<a8．（2024·四川成都·三模）設(shè)函數(shù)fx=x3?x，正實數(shù)a,b滿足fa+fA．2+22 B．4 C．2+2 二、多選題9．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知實數(shù)x,y，下列結(jié)論正確的是（

）A．若x+y=3，xy>0，則xB．若x>0，xy=1，則12xC．若x≠0且x≠?1，則yD．若x2?y210．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）某單位為了激勵員工努力工作，決定提高員工待遇，給員工分兩次漲工資，現(xiàn)擬定了三種漲工資方案，甲：第一次漲幅a%，第二次漲幅b乙：第一次漲幅a+b2%，第二次漲幅丙：第一次漲幅ab%，第二次漲幅ab其中a>b>0，小明幫員工李華比較上述三種方案得到如下結(jié)論，其中正確的有（

）A．方案甲和方案乙工資漲得一樣多 B．采用方案乙工資漲得比方案丙多C．采用方案乙工資漲得比方案甲多 D．采用方案丙工資漲得比方案甲多11．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知a>0，b>0且1a+4A．a(chǎn)b有最小值4 B．a(chǎn)+b有最小值9C．2ab+a有最小值25 D．16a三、填空題12．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知x>1，y>0，且x+2y=2，則113．（2024·上海奉賢·二模）某商品的成本C與產(chǎn)量q之間滿足關(guān)系式C=Cq，定義平均成本C=Cq，其中C=14．（2024·全國·模擬預(yù)測）記maxx1,x2,x3表示x1四、解答題15．（2023·甘肅張掖·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y滿足等式1x(1)求xy的最小值；(2)求3x+y的最小值．16．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知x,y,z∈0,+∞，且(1)求證：yx(2)求x217．（2023·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=2,b=3時，求不等式fx(2)設(shè)a>0,b>1，若fx的最小值為2，求118．（23-24高一上·貴州銅仁·期末）2020年初至今，新冠肺炎疫情襲擊全球，對人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響.在黨和政府強有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟下降對企業(yè)和民眾帶來的損失.為降低疫情影響，某廠家擬在2022年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足x=4?2m+1.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本為8萬元，生產(chǎn)成本為16萬元/萬件，廠家將產(chǎn)品的銷售價格定為8+16x(1)將2022年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；(2)該廠家2022年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？19．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知x，y，z∈0,+(1)若x+y=1，證明：4x(2)若x+y+z=1，證明yx專題1.4基本不等式及其應(yīng)用【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1基本不等式及其應(yīng)用】 2【題型2直接法求最值】 4【題型3配湊法求最值】 5【題型4常數(shù)代換法求最值】 7【題型5消元法求最值】 8【題型6齊次化求最值】 9【題型7多次使用基本不等式求最值】 11【題型8利用基本不等式解決實際問題】 13【題型9與其他知識交匯的最值問題】 161、基本不等式及其應(yīng)用考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解基本不等式的推導(dǎo)過程

(2)會用基本不等式解決最值問題

(3)理解基本不等式在實際問題中的應(yīng)用2020年天津卷：第14題，5分2021年乙卷：第8題，5分2022年I卷：第12題，5分2023年新高考I卷：第22題，12分基本不等式及其應(yīng)用是每年高考的必考內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，對基本不等式的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，應(yīng)適當(dāng)關(guān)注利用基本不等式大小判斷、求最值和求取值范圍的問題；同時要注意基本不等式在立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容中的運用.【知識點1基本不等式】1.兩個不等式不等式內(nèi)容等號成立條件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時取“=”基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0,b>0)當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時取“=”eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．2．基本不等式與最值已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號的條件．3．常見的求最值模型(1)模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；(2)模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；(3)模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；(4)模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.4．利用基本不等式求最值的幾種方法(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值．(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求的最值”的問題，先將轉(zhuǎn)化為，再用基本不等式求最值.(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.【題型1基本不等式及其應(yīng)用】【例1】（2023·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）已知實數(shù)a,b,c滿足a<b<c且abc<0，則下列不等關(guān)系一定正確的是（A．a(chǎn)c<bc B．a(chǎn)b<acC．bc+c【解題思路】由不等式的性質(zhì)判斷A、B，根據(jù)基本不等式可判斷C、D.【解答過程】因為a<b<c且abc<0，所以a<0<b<c或?qū)：若a<0<b<c，則ac<bc，若a<b<c<0，則ac>bc，A錯誤；對B：∵b<c，a<0，∴ab>ac，B錯誤；對C：由a<0<b<c或a<b<c<0，知bc>0且b<c，∴對D：當(dāng)a<0<b<c時，有ba<0當(dāng)a<b<c<0，則ba>0且a<b，∴故選：C.【變式1-1】（2023·湖南長沙·一模）已知2m=3n=6，則m，A．m+n>4 B．mn>4C．m2+n【解題思路】根據(jù)對數(shù)的運算判斷A，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷BCD.【解答過程】∵2m=3n對于A，∵m+n=mn<m+n對于B，∵mn=m+n>2mn對于C，∵m+n>4,∴16<(m+n)2=對于D，∵(m?1)故選：C.【變式1-2】（2024·山東棗莊·一模）已知a>0,b>0，則“a+b>2”是“a2+bA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)基本不等式與不等式的性質(zhì)，對兩個條件進行正反推理論證，即可得到本題的答案．【解答過程】若a>0，b>0，a+b>2，則a2若a2+b2>2，可能a=綜上所述，“a+b>2”是“a2故選：A．【變式1-3】（2023·遼寧·二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形△ABC中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設(shè)AD=a，BD=b，用該圖形能證明的不等式為（

）．A．a(chǎn)+b2≥abC．a(chǎn)+b2≤a【解題思路】由△ABC為等腰直角三角形，得到OC=a+b2，OD=OB?BD，然后在Rt△OCD【解答過程】解：由圖知：OC=1在Rt△OCD中，CD=O所以O(shè)C≤OD，即a+b2故選：C.【題型2直接法求最值】【例2】（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=3?x?2x，則當(dāng)x<0時，A．最大值3+22 B．最小值C．最大值3?22 D．最小值【解題思路】由基本不等式即可求解.【解答過程】由題意當(dāng)x<0時，fx=3+?x故選：B.【變式2-1】（2023·北京東城·一模）已知x>0，則x?4+4x的最小值為（A．－2 B．0 C．1 D．2【解題思路】由基本不等式求得最小值．【解答過程】∵x>0，∴x+4x?4≥2x×4故選：B．【變式2-2】（22-23高三下·江西·階段練習(xí)）3+1x2A．93 B．7+42 C．83【解題思路】依題意可得3+1【解答過程】3+1當(dāng)且僅當(dāng)1x2=12故3+1x2故選：D.【變式2-3】（23-24高二下·山東濰坊·階段練習(xí)）函數(shù)y=3?4x?x（x>0A．?1 B．1 C．?5 D．5【解題思路】根據(jù)均值不等式即可求得函數(shù)最大值.【解答過程】因為y=3?4x?x=3?(x+故可得y=3?x+當(dāng)且僅當(dāng)x=4x，即故選：A.【題型3配湊法求最值】【例3】（2023·山西忻州·模擬預(yù)測）已知a>2，則2a+8a?2的最小值是（A．6 B．8 C．10 D．12【解題思路】利用基本不等式性質(zhì)求解即可.【解答過程】因為a>2，所以a?2>0所以2a+8當(dāng)且僅當(dāng)2a?2=8所以2a+8a?2的最小值為故選：D.【變式3-1】（2024·遼寧·一模）已知m>2n>0，則mm?2n+mA．3+22 B．3?22 C．2+32【解題思路】根據(jù)題意，m=m?2n【解答過程】由m>2n>0，∴m?2n>0，m=m?2n∴m當(dāng)且僅當(dāng)2nm?2n=m?2n故選：A.【變式3-2】（2023·河南信陽·模擬預(yù)測）若?5<x<?1，則函數(shù)fx=xA．最小值1 B．最大值1 C．最小值?1 D．最大值?1【解題思路】由題意，0<?x+1<4，【解答過程】因為?5<x<?1，所以0<?x+1fx當(dāng)且僅當(dāng)?x+12=所以函數(shù)fx有最大值?1故選：D.【變式3-3】（23-24高三下·河南·開學(xué)考試）已知a>0,b>0，則a+2b+4a+2b+1的最小值為（A．6 B．5 C．4 D．3【解題思路】根據(jù)基本不等式即可求解.【解答過程】由于a>0,b>0，所以a+2b+1>0，由a+2b+4（當(dāng)且僅當(dāng)a+2b=1時取等號），可得a+2b+4故選：D．【題型4常數(shù)代換法求最值】【例4】（2024·江蘇南通·二模）設(shè)x>0，y>0，1x+2y=2，則A．32 B．22 C．3【解題思路】由不等式“1”的代換求解即可.【解答過程】因為1x+2y=2，所以因為x>0，y>0，所以x+=3當(dāng)且僅當(dāng)xy=12xy1故選：C.【變式4-1】（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知正實數(shù)x，y滿足1x+2y=1A．8 B．9 C．10 D．11【解題思路】利用基本不等式計算即可.【解答過程】易知1x+=5+2y當(dāng)且僅當(dāng)2yx=2x故選：B.【變式4-2】（2024·廣東湛江·一模）已知ab>0，a2+ab+2b2=1A．8?227 B．223 C．【解題思路】利用不等式a2+2b2≥2【解答過程】因為ab>0，得：a2+2b即得：ab≤a則1=a得：a2所以a2+2b故選：A.【變式4-3】（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y滿足2x+y=xy，則2xy?2x?y的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．9【解題思路】由已知可得1x【解答過程】因為正實數(shù)x，y滿足2x+y=xy，所以1x則2xy?2x?y=2x+y=2x+y當(dāng)且僅當(dāng)y=2x且1x+2y=1故選：C.【題型5消元法求最值】【例5】（2024·陜西西安·三模）已知x>0,y>0，xy+2x?y=10，則x+y的最小值為42?1【解題思路】依題意可得x=y+10【解答過程】因為x>0，y>0且xy+2x?y=10，所以x=y+10所以x+y=y+10當(dāng)且僅當(dāng)8y+2=y+2，即y=22故x+y的最小值為42故答案為：42【變式5-1】（2023·上海嘉定·一模）已知實數(shù)a、b滿足ab=?6，則a2+b2的最小值為【解題思路】運用基本不等式進行求解即可.【解答過程】由ab=?6?a≠0且b≠0且a、b異號，由ab=?6?b=?6所以a2當(dāng)且僅當(dāng)a2即當(dāng)a=6,b=?6故答案為：12.【變式5-2】（2024·天津河?xùn)|·一模）若a>0,b>0,ab=2，則a+4b+2b3b2+1【解題思路】根據(jù)基本不等式即可求解.【解答過程】由a>0,b>0,ab=2?a=2故a+4b+2=2b+1b故最小值為4，故答案為：4.【變式5-3】（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y，z滿足x2+xy+yz+xz+x+z=6，則3x+2y+z的最小值是4【解題思路】因式分解得到x+z=6x+y+1，變形后得到【解答過程】因為x,y,z為正實數(shù)，故x2即xx+z3x+2y+z=2=2x+y+1當(dāng)且僅當(dāng)2x+y+1=6x+y+1，即所以3x+2y+z的最小值為43故答案為：43【題型6齊次化求最值】【例6】（23-24高一上·湖南婁底·期末）已知x>0，則x2?x+4xA．5 B．3 C．?5 D．?5或3【解題思路】由已知可得x2【解答過程】由x>0，得x2當(dāng)且僅當(dāng)x=4x，即x=2時等號成立，所以故選：B.【變式6-1】（23-24高一上·遼寧大連·期末）已知x，y為正實數(shù)，且x+y=1，則x+6y+3xy的最小值為（

A．24 B．25 C．6+42 D．【解題思路】把x+6y+3xy變?yōu)?【解答過程】因為x，y為正實數(shù)，且x+y=1，所以x+6y+3=9當(dāng)且僅當(dāng)9yx=4xyx+y=1故選：B.【變式6-2】（23-24高二上·安徽六安·階段練習(xí)）設(shè)a+b=1,b>0，則1|a|+9|a|A．7 B．6 C．5 D．4【解題思路】由條件可得1|a|+9|a|【解答過程】由a+b=1,b>0，則b=1?a>0,則a<1且a≠01因為b>0,a>0，所以b|a|當(dāng)0<a<1時，有1當(dāng)且僅當(dāng)b=3a，即a=1當(dāng)a<0時，有1當(dāng)且僅當(dāng)b=3a，a<0，即a=?綜上可得1|a|故選：C.【變式6-3】（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知x為正實數(shù)，y為非負(fù)實數(shù)，且x+2y=2，則x2+1xA．34 B．94 C．32【解題思路】變形式子x2【解答過程】由x為正實數(shù)，y為非負(fù)實數(shù)，得x>0,y+1≥1，由x+2y=2，得x+2(y+1)=4，于是x=≥14[5+22(y+1)x所以當(dāng)x=43,y=13故選：B.【題型7多次使用基本不等式求最值】【例7】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)a，b，滿足a+b≥92a+2bA．5 B．52 C．52 【解題思路】先根據(jù)基本不等式求出92a+2【解答過程】由已知可得，a>0，b>0，a+b>0.因為92a+2當(dāng)且僅當(dāng)9b2a=2a所以，a+b2當(dāng)且僅當(dāng)2a=3ba+b=92a所以，a+b≥3故選：D.【變式7-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知a為非零實數(shù)，b，c均為正實數(shù)，則a2b+aA．12 B．24 C．22【解題思路】對原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.【解答過程】因為a為非零實數(shù)，a2>0，b，則a=1當(dāng)且僅當(dāng)4a2=b2則a2b+a故選：B．【變式7-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知a>0，b>0，c>1，a+2b=2，則1a+2A．92 B．2 C．6 D．【解題思路】基本不等式乘1法，構(gòu)造法解決即可.【解答過程】1a當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2所以1a+2當(dāng)且僅當(dāng)9c?12=2c?1故最小值為212故選：D.【變式7-3】（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）已知a、b、c、d均為正實數(shù)，且1a+2b=A．3 B．2C．3+22 【解題思路】由題意，根據(jù)基本不等式先求解1cd≥1，從而將a+b【解答過程】因為1a+2b=c2+d2=2，所以cd≤c2+d22故選：D.【題型8利用基本不等式解決實際問題】【例8】（23-24高二下·北京房山·期中）某公園為了美化游園環(huán)境，計劃修建一個如圖所示的總面積為750m2的矩形花園.圖中陰影部分是寬度為1m的小路，中間A，B，C三個矩形區(qū)域?qū)⒎N植牡丹、郁金香、月季（其中B，C區(qū)域的形狀、大小完全相同）.設(shè)矩形花園的一條邊長為xm(1)用含有x的代數(shù)式表示a；(2)當(dāng)x的值為多少時，才能使鮮花種植的總面積最大？【解題思路】（1）設(shè)矩形花園的長為ym，結(jié)合xy=750，進而求得a關(guān)于x（2）由（1）知a=375x?【解答過程】（1）解：設(shè)矩形花園的長為ym因為矩形花園的總面積為750m2，所以xy=750，可得又因為陰影部分是寬度為1m的小路，可得2a+3=750x，可得即a關(guān)于x的關(guān)系式為a=375（2）解：由（1）知，a=375則S=(x?2)a+(x?3)a=(2x?5)a=(2x?5)×(≤15152?23x?1875所以當(dāng)x=25m時，才能使鮮花種植的總面積最大，最大面積為1215【變式8-1】（23-24高一上·遼寧朝陽·期末）冷鏈物流是指以冷凍工藝為基礎(chǔ)、制冷技術(shù)為手段，使冷鏈物品從生產(chǎn)、流通、銷售到消費者的各個環(huán)節(jié)始終處于規(guī)定的溫度環(huán)境下，以減少冷鏈物品損耗的物流活動.隨著人民食品安全意識的提高及線上消費需求的增加，冷鏈物流市場規(guī)模也在穩(wěn)步擴大.某冷鏈物流企業(yè)準(zhǔn)備擴大規(guī)模，決定在2024年初及2025年初兩次共投資4百萬元，經(jīng)預(yù)測，每年初投資的x百萬元在第m（1≤m≤8，且m∈N*）年產(chǎn)生的利潤（單位：百萬元）Gm=mx(1)比較f42與(2)求兩次投資在2027年產(chǎn)生的利潤之和的最大值.【解題思路】（1）由fnx求出f4（2）先求出兩次投資在2027年產(chǎn)生的利潤之和f4x=2【解答過程】（1）x=2表示2024年及2025年各投資2百萬元，由題意得f4f5f4所以f4（2）兩次投資在2027年產(chǎn)生的利潤之和為f4設(shè)2024年初投資x百萬元，則2025年初投資4?x百萬元，2024年初投資的x百萬元在2027年產(chǎn)生的利潤為4x=22025年初投資的4?x百萬元在2027年產(chǎn)生的利潤為34?x所以f4解法一：f4x2則y?x=412x?3x2由Δ=2y+1922?4×49y當(dāng)x=16所以f4x2所以兩次投資在2027年產(chǎn)生的利潤之和的最大值為27解法二：f≤x+6x+32?8x當(dāng)且僅當(dāng)6x=32?8x，即x=16所以f4x≤2【變式8-2】（23-24高一上·河南開封·期末）如圖，一份印刷品的排版（陰影部分）為矩形，面積為32，它的左、右兩邊都留有寬為2的空白，上、下兩邊都留有寬為1的空白.記紙張的面積為S，排版矩形的長和寬分別為x，y.(1)用x，y表示S;(2)如何選擇紙張的尺寸，才能使紙張的面積最小?并求最小面積.【解題思路】（1）由題意知xy=32，再代入S=(x+4)(y+2)化簡即可；（2）利用基本不等式即可求出最值.【解答過程】（1）由題意，xy=32，S=(x+4)(y+2)=xy+2x+4y+8=40+2x+4y(x>0,y>0).（2）S=40+2x+4y≥40+28xy當(dāng)且僅當(dāng)2x=4y，即x=8,y=4時等號成立，所以紙張的長和寬分別為12，6時，紙張的面積最小，最小面積為72.【變式8-3】（23-24高一上·四川成都·期末）如圖所示，一條筆直的河流l（忽略河的寬度）兩側(cè)各有一個社區(qū)A,B（忽略社區(qū)的大?。珹社區(qū)距離l上最近的點A0的距離是2km,B社區(qū)距離l上最近的點B0的距離是1km，且A0B現(xiàn)規(guī)劃了如下三項工程：工程1：在點P處修建一座造價0.1億元的人行觀光天橋；工程2：將直角三角形AA0P地塊全部修建為面積至少1工程3：將直角三角形BB0P記這三項工程的總造價為W億元.(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)問點P在何處時，W最小，并求出該最小值.【解題思路】（1）由直角三角形BB0P地塊全部修建為面積至少0.25km2（2）由題意可得W=1+【解答過程】（1）因為直角三角形BB0P所以S△BB直角三角形AA0P所以S△AA0故實數(shù)a的取值范圍為1,7（2）依題意可得：W==a+92a+當(dāng)且僅當(dāng)a2=9所以當(dāng)點P滿足A0P=3時，W【題型9與其他知識交匯的最值問題】【例9】（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知ΔABC內(nèi)接于單位圓，且1+tan（1）求角C（2）求△ABC面積的最大值．【解題思路】（1）變形已知條件可得tanA+tanB=1?tanA·（2）由正弦定理可得c，由余弦定理和基本不等式可得ab的取值范圍，進而可得面積的最值．【解答過程】解：（1）∵(1+∴tan∴tan∴C=（2）∵△ABC得外接圓為單位圓，∴其半徑R=1由正弦定理可得c=2Rsin由余弦定理可得c2代入數(shù)據(jù)可得2=?2ab+2∴ab?22+2∴△ABC得面積S=1∴△ABC面積的最大值為：2?1【變式9-1】（23-24高三上·山東青島·期末）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年,在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qiandu);陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈(bienao)指四個面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵ABC?A1B(1)求證:四棱錐B?A(2)若C1C=BC=2,當(dāng)鱉膈C1【解題思路】(1)按照題目定義，只要證明AB⊥面ACC1A1即可，而由A1A⊥AB，(2)先根據(jù)基本不等式求出當(dāng)AB=AC=2時，鱉膈C1?ABC【解答過程】(1)∵A1A⊥底面ABC，AB?∴A又AB⊥AC，A∴AB⊥面ACC又四邊形ACC∴四棱錐B?A(2)∵AB⊥AC，BC=2，∴A又∵A1A⊥底面∴V=當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC=2時，V∵AB⊥AC，A1A⊥∴以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系B2,0,0，CA1B=2設(shè)面A1BC由n1?同理得n∴cos二面角C?A1B?【變式9-2】（2024·廣東珠?！ひ荒＃┮阎狝、B、C是ΔABC的內(nèi)角，a、b、c分別是其對邊長，向量m=a+b,c，n=（1）求角A的大小；（2）若a=2，求ΔABC面積的最大值.【解題思路】（1）由m⊥n得出a+bsinB?sinA+c（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求出bc的最大值，再利用三角形的面積公式可得出答案.【解答過程】（1）∵m=a+b,c，n∴a+b由正弦定理得b+ab?a+cc?b∴cos∵0<A<π，∴A=π（2）在ΔABC中，A=π3，由余弦定理知a2由基本不等式得4+bc=b2+c2∴SΔABC=12【變式9-3】（2024·黑龍江大慶·一模）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，過點1,32（1）求橢圓的方程；（2）求線段AB的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍．【解題思路】（1）由離心率和橢圓過點，得到關(guān)于a,b,c的方程，解出a,b,c的值，得到答案；（2）由AF=λFBλ∈R且AF≠FB得A、F、B三點共線，設(shè)AB方程為y=k【解答過程】（1）由已知，得1a2故橢圓的方程為x（2）∵A,B是橢圓上縱坐標(biāo)不為零的點，AF=λFB∴A、F、B三點共線，且直線AB的斜率存在且不為0.又F?1,0，則設(shè)AB方程為代入x2整理得3+4顯然Δ>0設(shè)Ax1,y1x0=直線AB的垂直平分線方程為y?y令x=0，得y=?k當(dāng)k>0時，4k+3k≥4當(dāng)k<0時，4k+3k=?∴4k+3k≤?4∴?312所以所求的取值范圍是?3一、單選題1．（2023·全國·三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，則下列不等式不正確的是（

）A．a(chǎn)b≤14 C．1a+1【解題思路】根據(jù)基本不等式逐項判斷ABD，消元，化簡，結(jié)合不等式性質(zhì)判斷C.【解答過程】因為a>0，b>0，且a+b=1，由基本不等式可得ab≤a+b22由基本不等式知a+b2≤a即a2+b由題得1a由已知0<b<1，故1?b2∈故1a由基本不等式可得a+即a+b≤故選：D.2．（2024·甘肅定西·一模）x2+7A．27 B．37 C．47【解題思路】利用基本不等式即可得解.【解答過程】由題意知x≠0，所以x2所以x2當(dāng)且僅當(dāng)x2=7故選：B.3．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知a>0，b>0，a+b=2，則（

）A．0<a≤1 B．0<ab≤1 C．a(chǎn)2+b【解題思路】借助不等式的性質(zhì)與基本不等式逐項判斷即可得.【解答過程】對A：由b=2?a>0，故a<2，即0<a<2，故A錯誤；對B：由a>0，b>0，則ab>0，且ab≤a+b當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時，等號成立，故0<ab≤1，故B正確；對C：由a+b=2，故a+b2=a又由B可得0<ab≤1，即2≤a對D：由a=2?b>0，故b<2，即0<b<2，故D錯誤.故選：B.4．（2024·浙江嘉興·二模）若正數(shù)x,y滿足x2?2xy+2=0，則x+y的最小值是（A．6 B．62 C．22【解題思路】根據(jù)題意可得y=x【解答過程】由x2?2xy+2=0可得∴x+y=x+x當(dāng)且僅當(dāng)3x2=1x，即所以x+y的最小值為6.故選：A.5．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若a,b是正實數(shù)，且13a+b+12a+4b=1A．45 B．23 C．1 【解題思路】觀察等式分母可知3a+b+【解答過程】因為a+b==1當(dāng)且僅當(dāng)a=3所以a+b的最小值為45故選：A.6．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）下列說法錯誤的是（

）A．若正實數(shù)a,b滿足a+b=1，則1aB．若正實數(shù)a,b滿足a+2b=1，則2C．y=x2D．若a>b>1，則ab+1<a+b【解題思路】對于A，利用1a+1b=a+b1a+1b【解答過程】對于A，若正實數(shù)a,b滿足a+b=1，則1a+1b=a+b1a+1b對于B，若正實數(shù)a,b滿足a+2b=1，則2a對于C，設(shè)x2+3=t∈[3,+對于D，當(dāng)a=3，b=2時，有a>b>1，但ab+1=3?2+1=7>5=3+2=a+b，故D錯誤.故選：D.7．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設(shè)第一周和第二周的該商品的單價分別為m元和n元(m≠n)，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買100元的該商品，乙每周購買20件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為a1,aA．a(chǎn)1=a2 B．a(chǎn)1<a【解題思路】由題意求出a1【解答過程】由題意得a1=200因為m>0,n>0,m≠n，故m+n2>mn即a1故選：B.8．（2024·四川成都·三模）設(shè)函數(shù)fx=x3?x，正實數(shù)a,b滿足fa+fA．2+22 B．4 C．2+2 【解題思路】依題意可得a3+b3=a?b【解答過程】因為fx=x3?x又fa所以a3?a+b因為a>0，b>0，所以a3+b3>0又a2+λb所以λb2≤令t=ab，則所以1+=t?1+2當(dāng)且僅當(dāng)t?1=2t?1，即所以b2+a則實數(shù)λ的最大值為2+22故選：A.二、多選題9．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知實數(shù)x,y，下列結(jié)論正確的是（

）A．若x+y=3，xy>0，則xB．若x>0，xy=1，則12xC．若x≠0且x≠?1，則yD．若x2?y2【解題思路】根據(jù)題意，由基本不等式代入計算，即可判斷ABD，舉出反例即可判斷C【解答過程】x=x+1?2+1當(dāng)x+y=3時，2+=2+1當(dāng)且僅當(dāng)x=1，y=2時取等號，故選項A正確；由x>0，xy=1，可得12x當(dāng)且僅當(dāng)x+y2=8x+y，即等號成立，故選項B正確；取x=?2，y=3時，yxx2?y2=則ab=1且x=a+b2，則2x當(dāng)且僅當(dāng)b=3a，即故選：ABD．10．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）某單位為了激勵員工努力工作，決定提高員工待遇，給員工分兩次漲工資，現(xiàn)擬定了三種漲工資方案，甲：第一次漲幅a%，第二次漲幅b乙：第一次漲幅a+b2%，第二次漲幅丙：第一次漲幅ab%，第二次漲幅ab其中a>b>0，小明幫員工李華比較上述三種方案得到如下結(jié)論，其中正確的有（

）A．方案甲和方案乙工資漲得一樣多 B．采用方案乙工資漲得比方案丙多C．采用方案乙工資漲得比方案甲多 D．采用方案丙工資漲得比方案甲多【解題思路】不防設(shè)原工資為1，分別計算三種方案兩次漲幅后的價格，利用均值不等式比較即可求解.【解答過程】方案甲：兩次漲幅后的價格為：(1+a%方案乙：兩次漲幅后的價格為：(1+a+b方案丙：兩次漲幅后的價格為：(1+ab因為a>b>0，由均值不等式a+b≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b故(a+b2)2≥ab，因為a≠b所以方案采用方案乙工資漲得比方案甲多，采用方案甲工資漲得比方案丙多，故選：BC.11．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知a>0，b>0且1a+4A．a(chǎn)b有最小值4 B．a(chǎn)+b有最小值9C．2ab+a有最小值25 D．16a【解題思路】利用基本不等式可判斷各選項.【解答過程】A選項：由2=1a+4b≥21a?B選項：a+b=121a+4bC選項：由1a+4所以2ab+a=5a+b=1當(dāng)且僅當(dāng)ba=20ab，即D選項：由A的分析知ab≥4且a=1，b=4時取等號，所以16a2+b2≥2?4ab故選：ABD．三、填空題12．（2024·