【第2部分暑期銜接】第一單元第4課《分數(shù)的混合運算和簡便運算》（新課銜接站）-數(shù)學(xué)五升六暑期專項講義（教師版）人教版

人教版數(shù)學(xué)五升六暑期精編專項講義—新課銜接站第一單元《分數(shù)乘法》第4課《分數(shù)的混合運算和簡便運算》教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1、掌握分數(shù)乘加、乘減混合運算的運算順序。2、會用整數(shù)乘法的運算定律推廣運用到分數(shù)乘法，并使一些計算簡便。知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航【典例引入01】（2021六上·紅塔期末）甲數(shù)是30，乙數(shù)比甲數(shù)的少4，乙數(shù)是?！敬鸢浮?6【完整解答】解：30×-4

=20-4

=16

故答案為：16?！舅悸芬龑?dǎo)】根據(jù)分數(shù)乘法的意義用甲數(shù)乘，再減去4即可求出乙數(shù)。【典例引入02】（2021六上·晉城期中）計算下列各題能簡算的要簡算。（1）×+×（2）20×（-）×【答案】（1）×+×

=×（+）

=×1

=（2）20×（-）×

=20××

=1×

=【思路引導(dǎo)】乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c）；在有小括號的計算中，要先算小括號里面的，再算小括號外面的。典例分析典例分析【典例分析01】（2021六上·隆回期末）一批水果。第一天賣出，第二天賣出剩下的，這批水果（）。A．賣完了 B．還剩原來的 C．還剩原來的【答案】C【完整解答】解：1×（1-）=，×（1-）=，所以這批水果還剩原來的。

故答案為：C?！舅悸芬龑?dǎo)】把這批水果看成單位“1”，那么第一天賣出后還剩幾分之幾=1×（1-第一天賣出幾分之幾），所以這批水果還剩原來的幾分之幾=第一天賣出后還剩幾分之幾×（1-第二天賣出剩下的幾分之幾）。【典例分析02】（2022六上·椒江期末）根據(jù)圖意，列式（或方程）計算。（1）（2）【答案】（1）解：48×（1＋）

=48×

=60（萬元）（2）解：260÷（1＋）

=260÷

=140（千克）【思路引導(dǎo)】（1）六月份產(chǎn)值=五月份產(chǎn)值×（1＋）；（2）梨的質(zhì)量=梨和蘋果的總質(zhì)量÷（1＋）?！镜淅治?3】（2021六上·通榆期末）人心臟跳動的次數(shù)隨年齡而變化。青少年心跳每分鐘約75次，嬰兒每分鐘心跳的次數(shù)比青少年多。嬰兒每分鐘心跳多少次？【答案】解：75+75×

=75+60

=135（次）

答：嬰兒每分鐘心跳135次?！舅悸芬龑?dǎo)】根據(jù)分數(shù)乘法的意義，用青少年每分鐘心跳的次數(shù)乘求出嬰兒每分鐘比青少年多的次數(shù)，然后用加法求出嬰兒每分鐘心跳的次數(shù)。變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練01】（2021六上·蒙城期末）小華讀一本180頁的故事書，第一天讀了全書的，第二天讀了全書的，兩天一共讀了（）頁。A．90 B．120 C．160【答案】B【完整解答】解：180×（＋）

=180×

=120（頁）。

故答案為：B。【思路引導(dǎo)】兩天一共讀的頁數(shù)=一本故事書的總頁數(shù)×（第一天看的分率＋第二天看的分率）?！咀兪接?xùn)練02】（2021六上·英德期末）嚴重的水土流失致使每年大約有16億噸的泥沙流入黃河，其中的泥沙沉積在河道中，其余的被帶到入?？?。每年大約有多少億噸泥沙被帶到入?？冢俊敬鸢浮拷猓?6×（1-）

=16×

=12（億噸）

答：每年大約有12億噸泥沙被帶到入?？??！舅悸芬龑?dǎo)】億流失的總重量為單位“1”，被帶到入?？诘哪嗌痴伎偭康模?-），根據(jù)分數(shù)乘法的意義計算即可?！咀兪接?xùn)練03】（2021六上·科左中旗期中）計算下列各題，能簡算的要簡算。①24×÷②（－）×＋③×＋÷6④（＋）×24⑤×33＋×46＋⑥÷÷【答案】①24×÷

=24××

=64；

②（-）×+

=（-）×+

=×+

=+

=+

=

=；

③×+÷6

=×+×

=（+）×

=1×

=；

④（+）×24

=×24+×24

=16+4

=20；

⑤×33+×46+

=×（33+46+1）

=×80

=70；

⑥÷÷

=×20×

=16?！舅悸芬龑?dǎo)】①將除法變成乘法，再進行約分，最后將約分后的數(shù)值相乘即可得出答案；

②先計算小括號里面的減法，再計算括號外面的乘法，最后計算加法；

③先將除法變成乘法得到×+×，再根據(jù)乘法分配律得到（+）×，據(jù)此簡便運算；

④根據(jù)乘法分配律得到×24+×24，據(jù)此簡便運算；

⑤根據(jù)乘法分配律得到×（33+46+1），據(jù)此簡便運算；

⑥先將除法變成乘法，再進行約分，最后計算即可得出答案。知識總結(jié)知識總結(jié)（一）分數(shù)乘法混合運算1、分數(shù)乘法混合運算順序與整數(shù)相同，先乘、除后加、減，有括號的先算括號里面的，再算括號外面的。2、整數(shù)乘法運算定律對分數(shù)乘法同樣適用；運算定律可以使一些計算簡便。乘法交換律：a×b=b×a

乘法結(jié)合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c（二）倒數(shù)的意義：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。1、倒數(shù)是兩個數(shù)的關(guān)系，它們互相依存，不能單獨存在。單獨一個數(shù)不能稱為倒數(shù)。（必須說清誰是誰的倒數(shù)）2、判斷兩個數(shù)是否互為倒數(shù)的唯一標(biāo)準(zhǔn)是：兩數(shù)相乘的積是否為“1”。例如：a×b=1則a、b互為倒數(shù)。3、求倒數(shù)的方法：①求分數(shù)的倒數(shù)：交換分子、分母的位置。②求整數(shù)的倒數(shù)：整數(shù)分之1。③求帶分數(shù)的倒數(shù)：先化成假分數(shù)，再求倒數(shù)。④求小數(shù)的倒數(shù)：先化成分數(shù)再求倒數(shù)。4、1的倒數(shù)是它本身，因為1×1=10沒有倒數(shù)，因為任何數(shù)乘0積都是0，且0不能作分母。5、真分數(shù)的倒數(shù)是假分數(shù)，真分數(shù)的倒數(shù)大于1，也大于它本身。假分數(shù)的倒數(shù)小于或等于1。帶分數(shù)的倒數(shù)小于1。課堂基礎(chǔ)夯實課堂基礎(chǔ)夯實一、選擇題1．（2020六上·無棣期末）工廠運來噸煤，12月份用去了，還剩多少噸？下面算式正確的是（）A．- B．× C． D．【答案】D【完整解答】解：把煤的總噸數(shù)看作單位“1”，用去了，那么還剩1-=，還剩的噸數(shù)就是：×（1-）。

故答案為：D。

【思路引導(dǎo)】把工廠運來噸煤看成單位“1”，要求剩下的質(zhì)量，就是求總質(zhì)量的（1﹣）是多少，列式×（1﹣）進行計算即可。2．（2019六上·佛山期中）比8千克多是多少千克？列式是（）．A． B． C． D．【答案】C【完整解答】解：比8千克多是：8×（1+）千克即8+8×千克。

故答案為：C。【思路引導(dǎo)】比a+單位多幾分之幾是多少單位用乘法，即a×（1＋幾分之幾）+單位，也可以是a+a×幾分之幾+單位。3．（2021六上·晉城期中）一條路長1200米，笑笑走了這條路的，還剩（）路沒走。A．900米 B．300米 C．1200米【答案】B【完整解答】解：1200×（1-）=1200×=300米，所以還剩300米沒走。

故答案為：B。【思路引導(dǎo)】還剩沒走的米數(shù)=這條路的長度×（1-笑笑走了這條路的幾分之幾），據(jù)此代入數(shù)值作答即可。4．（2021六上·臨沂期中）六（1）班同學(xué)做好事120件，（）六（2）班做好事多少件？（）列式為120×（1-）A．六（2）班比六（1）班多 B．六（2）班比六（1）班少C．六（2）班是六（1）班的 D．六（1）班比六（2）班少【答案】B【完整解答】解：六（2）班比六（1）班少，列式為：120×（1-）。

故答案為：B。【思路引導(dǎo)】六（2）班做好事的件數(shù)=六（1）班做好事的件數(shù)×（1-）。二、判斷題5．（2020六上·渠縣月考）比2噸的少噸的數(shù)是噸。（）【答案】（1）正【完整解答】解：2×-

=-

=（噸）

故答案為：正確。

【思路引導(dǎo)】求比一個數(shù)的幾分之幾少幾的數(shù)是多少，用這個數(shù)×它的幾分之幾-幾。6．（2020六上·江門月考）9–9×=0×=0。（）【答案】（1）錯誤【完整解答】9-9×=9-=，原題計算錯誤。

故答案為：錯誤。

【思路引導(dǎo)】觀察算式可知，算式中有乘法和減法，先算乘法，后算減法，據(jù)此順序解答。7．（2019六上·云浮期中）＋×=（＋）×（）【答案】（1）錯誤【完整解答】

=

=；

本題計算錯誤。

故答案為：錯誤。

【思路引導(dǎo)】本題運算順序錯誤，正確的是先算乘再算加。8．（2021六上·菏澤期中）+×=1×=。（）【答案】（1）錯誤【完整解答】解：+×

=+

=。

故答案為：錯誤。

【思路引導(dǎo)】在沒有小括號，既有加減法，又有乘除法的計算中，要先算乘除法，再算加減法。9．（2020六上·沽源期末）修一條400米長的路，第一天修了全長的，第二天修了余下的，還剩200米沒有修。（）【答案】（1）錯誤【完整解答】解：第一天修的：400×=100（米），

第二天修的：（400-100）×=300×=200（米），

沒修的長度：400-100-200=100（米），原題說法錯誤。

故答案為：錯誤。

【思路引導(dǎo)】根據(jù)分數(shù)乘法的意義先求出第一天修的長度；用第一天修后余下的長度乘求出第二天修的長度；用總長度減去兩天修的長度即可求出沒有修的長度。三、填空題10．（2021六上·嶧城期中）2021年中秋佳節(jié)，國強的爸爸購買了8斤月餅，其中是五仁餡的，是黑芝麻餡的，其余都是果脯餡的。五仁餡的月餅買了斤；黑芝麻餡的月餅買了斤；果脯餡的月餅買了斤?！敬鸢浮?；4；2【完整解答】解：8×=2（斤）

8×=4（斤）

8-2-4

=6-4

=2（斤）

故答案為：2；4；2。【思路引導(dǎo)】五仁餡月餅購買的質(zhì)量=國強爸爸購買月餅的總質(zhì)量×五仁餡月餅占的分率；黑芝麻餡月餅購買的質(zhì)量=國強爸爸購買月餅的總質(zhì)量×黑芝麻餡月餅占的分率；果脯餡月餅購買的質(zhì)量=國強爸爸購買月餅的總質(zhì)量-五仁餡月餅購買的質(zhì)量-黑芝麻餡月餅購買的質(zhì)量。11．（2020六上·新疆期末）工程隊修一條100米長的水渠，已經(jīng)修了全長的，還剩米沒修?！敬鸢浮?5【完整解答】100×（1-）=100×=25（米）

故答案為：25。

【思路引導(dǎo)】把這條水渠看作單位“1”，減去修了的占全長的分數(shù)，再乘實際的長度即可。12．（2020六上·渭濱期末）千克比120千克多。比35千克少千克是千克。【答案】160；34【完整解答】120×（1＋）

=120×

=160（千克）

35-=（千克）

故答案為：160；。

【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可知把120千克看作單位”1“，比它多的數(shù)是：120×（1＋）；第二問都是千克數(shù)，直接相減即可。13．（2021六上·惠陽期中）比60米多是米；240噸比噸少?！敬鸢浮?00；288【完整解答】解：60×（1＋）

=60×

=100（米）

240÷（1-）

=240÷

=288（噸）

故答案為：100；288。

【思路引導(dǎo)】求比單位“1”多或少幾分之幾的數(shù)是多少，用乘加或乘減計算。已知比單位“1”多或少幾分之幾的數(shù)是多少，用除加或除減計算。14．（2021六上·揭陽期中）兒童公園周六上午的門票收入是840元，下午的收入比上午的增加，這一天兒童公園的門票收入是元?！敬鸢浮?160【完整解答】解：840×（1+）+840

=840×+840

=1320+840

=2160（元）

故答案為：2160。【思路引導(dǎo)】下午的收入是上午收入的（1+），根據(jù)分數(shù)乘法的意義求出下午的收入，然后把上午和下午的收入相加求出總收入。四、計算題15．（2020六上·唐縣期末）直接寫得數(shù)。

1.5×=×30=3.14×30=300×200%=-=1+2%=+=+×=×+×=×99+99×=【答案】1.5×=2.5×30=363.14×30=94.2300×200%=600-=1+2%=1.02（102%）+=+×=×+×=×99+99×=99【思路引導(dǎo)】分數(shù)乘整數(shù)，整數(shù)與分子相乘的乘積作分子，分母不變，能約分的要先約分，再計算.

含百分數(shù)的運算，先把百分數(shù)化成分數(shù)或小數(shù)，然后再計算；

一個算式中，有乘法和加法，先算乘法，后算加法，據(jù)此順序計算；

觀察數(shù)據(jù)可知，兩個乘法算式的積相加，如果有相同的因數(shù)，可以利用乘法分配律簡算；

異分母分數(shù)加減法計算方法：先通分，然后按照同分母分數(shù)加減法的法則進行計算，計算結(jié)果能約分的要約成最簡分數(shù)。16．（2021六上·周口期中）脫式計算。（1）（+）×1.2（2）×+×（3）1+÷×（4）26×【答案】（1）（+）×1.2=×=（2）×+×

=×（+）

=（3）1+÷×=1+××=1（4）26×=（25+1）×=23【思路引導(dǎo)】（1）先算小括號里面的加法，再算小括號外面的乘法；

（2）運用乘法分配律簡便計算；

（3）先算除法，再算乘法，最后算加法；

（4）把26寫成（25+1），然后運用乘法分配律簡便計算。五、解答題17．（2021六上·天河期末）某商場一件外套原價490元，現(xiàn)在的售價比原價降低了。現(xiàn)在的售價是多少元？【答案】解：490×（1-）

=490×

=350（元）答：現(xiàn)在的售價是350元?！舅悸芬龑?dǎo)】現(xiàn)在的售價=外套的原價×（1-現(xiàn)在的售價比原價降低了幾分之幾），據(jù)此代入數(shù)值作答即可。18．（2021六上·興化期中）一根繩子長米，第一次用去它的，第二次用去米，這根繩子比原來短了多少米？【答案】解：×+

=+

=（米）

答：這根繩子比原來短了米。【思路引導(dǎo)】這根繩子比原來短的長度=第一次用去的長度+第二次用去的長度，其中第一次用去的長度=這根繩子的長度×第一次用去幾分之幾，據(jù)此代入數(shù)值作答即可。六、綜合題19．（2020六上·濰城期末）（1）填出圖中的分數(shù)；（2）你發(fā)現(xiàn)男女運動員人數(shù)之間有怎樣的等量關(guān)系？寫在下面：【答案】（1）（2）女運動員人數(shù)×（1＋）＝男運動員人數(shù)?！就暾獯稹拷猓海?）把女運動員人數(shù)看作單位“1”，平均分成了7份，多2份，所以男運動員人數(shù)比女運動員人數(shù)多；

（2）等量關(guān)系式是：女運動員人數(shù)×（1＋）=男運動員人數(shù)。

故答案為：（2）女運動員人數(shù)×（1＋）=男運動員人數(shù)。

【思路引導(dǎo)】（1）把女運動員人數(shù)看作單位“1”，男運動員人數(shù)比女運動員人數(shù)多；

（2）男運動員人數(shù)=女運動員人數(shù)×（1＋）。20．有一本160頁的故事書，軍軍第1天看了全書的，第2天看了全書的，余下的第3天看完。（1）軍軍前2天一共看了頁，第3天看了頁。（2）軍軍第2天比第1天多看了頁。【答案】（1）144；16（2）16【完整解答】解：（1）160×（+）=144頁，所以前2天一共看了144頁，160-144=16頁，所以第3天看了16頁；

（2）160×（-）=16頁，所以軍軍第2天比第1天多看了16頁。

故答案為：（1）144；16；（2）16?！舅悸芬龑?dǎo)】（1）前兩天一共看的頁數(shù)=這本書的總頁數(shù)×兩天一共看了全書的幾分之幾；第三天看的頁數(shù)=這本書的總頁數(shù)-前兩天一共看的頁數(shù)；

（2）軍軍第2天比第1天多的頁數(shù)=這本書的總頁數(shù)×第2天比第1天多看全書的幾分之幾。課后提優(yōu)訓(xùn)練課后提優(yōu)訓(xùn)練一、選擇題1．（2021六上·臨沂期中）兩根1米的繩子，第一根截去它的，第二根截去米，兩根繩子余下部分相比較（）。A．第一根長 B．第二根長 C．同樣長 D．不能確定【答案】C【完整解答】解：第一根：1-1×

=1-

=（米）

第二根：1-=（米）

米=米

故答案為：C?！舅悸芬龑?dǎo)】第一根剩余的長度=總長度-總長度×截去的分率；第二根剩余的長度=總長度-截去的長度，然后比較大小。2．（2021六上·金昌期中）一臺空調(diào)，先漲價，后又降價了，這臺空調(diào)現(xiàn)價同原價比（）。A．原價低 B．現(xiàn)價低 C．相等【答案】B【完整解答】解：1×（1+）×（1-）

=1××

=

1＞，所以現(xiàn)價比原價低。

故答案為：B?！舅悸芬龑?dǎo)】把原價看作單位“1”，漲價后的價格是原價的（1+）；降價后的價格又是漲價后價格的（1-），根據(jù)分數(shù)乘法的意義求出現(xiàn)價，再與原價比較即可。3．（2021六上·昌黎期中）學(xué)校舉行“美食節(jié)”活動。六（2）班的“營業(yè)收入”是480元，（），六（3）班的“營業(yè)收入”是多少元?列式為480×（1＋）。A．六（3）班比六（2）班多 B．六（2）班比六（3）班多C．六（3）班比六（2）班少 D．六（2）班比六（3）班少【答案】A【完整解答】解：六（3）班比六（2）班多，列式為：480×（1＋）。

故答案為：A。

【思路引導(dǎo)】六（3）班的“營業(yè)收入”=六（2）班的“營業(yè)收入”×（1＋）。4．（2021六上·營山期中）一種商品先提價，再降價，最后的價格（）。A．原價不變 B．比原價低 C．比原價高【答案】B【完整解答】解：1×（1＋）×（1-）

=1××

=

1＞，最后的價格比原價低。

故答案為：B?！舅悸芬龑?dǎo)】一種商品先提價，提價后的價格是原價的（1＋），后來又降價，是在（1＋）的基礎(chǔ)上降價的，降價后的價格是（1＋）的（1-），所以這種商品比原價低。5．（2021六上·揭陽期中）有400千克煤，用去后，又用去余下的，還剩（）。A．144千克 B．200千克 C．240千克 D．256千克【答案】D【完整解答】解：400×（1-）×（1-）

=400××

=320×

=256（千克）

故答案為：D。【思路引導(dǎo)】第一次用去后還?？傊亓康模?-），根據(jù)分數(shù)乘法的意義先求出第一次用后剩下的重量；第二次用后還剩的重量是第一次用后剩下重量的（1-），根據(jù)分數(shù)乘法的意義求出還剩的重量即可。二、判斷題6．（2021六上·營山期中）一根繩子長米，用去，還剩米。（）【答案】（1）錯誤【完整解答】解：-×

=-

=（米）

故答案為：錯誤?！舅悸芬龑?dǎo)】還剩下的長度=一根繩子的總長度-用去的長度；其中，用的長度=一根繩子的總長度×用去的分率。7．（2020六上·沽源期末）由男生比女生人數(shù)多可知：男生人數(shù)=女生人數(shù)+。（）【答案】（1）錯誤【完整解答】解：由男生比女生人數(shù)多可知：男生人數(shù)=女生人數(shù)×（1+）。原題說法錯誤。

故答案為：錯誤。

【思路引導(dǎo)】以女生人數(shù)為單位“1”，男生人數(shù)是女生人數(shù)的（1+），根據(jù)分數(shù)乘法的意義求出男生人數(shù)即可。8．（2020六上·昌黎期中）修一條長千米的水渠，已經(jīng)修了，還剩下千米。（）【答案】（1）錯誤【完整解答】解：

=

=（千米）

故答案為：錯誤。

【思路引導(dǎo)】剩下的長度=總長度-已經(jīng)修的長度，其中已經(jīng)修的長度=總長度×，據(jù)此列式計算即可。三、填空題9．（2021六上·澄江期末）比2克少克是克，比6克多是克，【答案】；10【完整解答】解：第一問：2-=（克）；第二問：6×（1+）=6×=10（克）。

故答案為：；10?！舅悸芬龑?dǎo)】第一問：用2克減去比2克少的克即可解決問題；

第二問：比6克多的重量是6克的（1+），根據(jù)分數(shù)乘法的意義列式計算即可。10．（2021六上·周口期中）某一款童裝先降價，再提價，此時的售價原價。（填“>、<或=”）【答案】<【完整解答】解：假設(shè)原價是“1”，則現(xiàn)價：

1×（1-）×（1+）

=1××

=

1＞，所以此時售價＜原價。

故答案為：＜?！舅悸芬龑?dǎo)】假設(shè)原價是“1”，降價后的價格是原價的（1-）；提價后的價格又是降價后價格的（1+）；根據(jù)分數(shù)乘法的意義求出售價，再與原價比較即可。11．（2020六上·鼓樓期中）在橫線上填上“>”"<”或“=”。【答案】＜；＜；=；＜；＞【完整解答】因為＜1，所以×＜；

因為=，＜1，所以×＜，＜；

因為=，-=，所以=-；

因為-=，×=，＜，所以-＜×；

因為+=1，×=，1＞，所以+＞×。

故答案為：＜；＜；=；＜；＞。

【思路引導(dǎo)】在乘法里，一個非0數(shù)乘小于1的非0數(shù)，積小于這個數(shù)；一個非0數(shù)乘大于1的數(shù)，積大于這個數(shù)，據(jù)此比較大??；

比較兩個算式的大小，先計算出得數(shù)，再比較大小。四、計算題12．（2021六上·科左中旗期中）直接寫出得數(shù)。×16＝2.5×＝×＝0×＋＝1÷＝÷＝÷＝×÷＝【答案】×16=122.5×=1.5×=0×+=

1÷=÷=÷=×÷=【思路引導(dǎo)】在沒有括號的算式里，若只有加減或只有乘除，從左往右依次進行計算；若既有加減又有乘除，先計算乘除再計算加減。

分數(shù)乘以分數(shù)計算法則：分子與分子相乘作為積的分子，分母與分母相乘作為積的分母。

分數(shù)與小數(shù)（整數(shù)）的計算方法：先將小數(shù)（整數(shù)）與分數(shù)的分母進行約分，接下來再進行相乘即可。

除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。13．（2020六上·陳倉期末）看圖