第04講 矩形的判定、判定與性質綜合（解析版）-初中數學暑假自學課講義（9年級北師大版）

第04講矩形的判定、判定與性質綜合掌握矩形的判定定理.學會用矩形的性質與判定綜合解題.矩形的判定矩形的判定有三種方法：1.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.2.對角線相等的平行四邊形是矩形.3.有三個角是直角的四邊形是矩形.要點：在平行四邊形的前提下，加上“一個角是直角”或“對角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.考點一：矩形的判定例1．下列條件不能判定一個四邊形是矩形的是（）A．四個內角都相等 B．四條邊都相等C．對角線相等且互相平分 D．對角線相等的平行四邊形【答案】B【分析】根據矩形的判定方法逐一判斷即可．【解析】解：A、四個內角都相等的四邊形是矩形，故選項A不符合題意；B、四條邊都相等的四邊形是菱形，故選項B符合題意；C、對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故選項C不符合題意；D、對角線相等的平行四邊形是矩形，故選項D不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查的是矩形的判定，掌握“矩形的判定方法”是解本題的關鍵．例2．下列說法不正確的是（

）A．有一個角為直角的平行四邊形是矩形 B．有三個角為直角的四邊形是矩形C．對角線相等的平行四邊形是矩形 D．對角線互相垂直的平行四邊形是矩形【答案】D【分析】根據矩形的判定逐個進行判斷即可．【解析】解：A、根據矩形的定義可知：有一個角是直角的平行四邊形是矩形，正確，故A選項不符合題意；B、根據矩形的判定可知：有三個角為直角的四邊形是矩形，正確，故B選項不符合題意；C、根據矩形的判定可知：對角線相等的平行四邊形是矩形，正確，故C選項不符合題意；D、根據菱形的判定可知：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故對角線互相垂直的平行四邊形是矩形的說法不正確，故D選項符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了矩形的判定，熟記矩形的判定定理是解決問題的關鍵．例3．在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O．下列條件不能判定平行四邊形ABCD為矩形的是()A．∠ABC＝90° B．AC＝BDC．AC⊥BD D．∠BAD＝∠ADC【答案】C【分析】根據平行四邊形的性質、矩形的判定定理對各項進行判斷分析即可．【解析】A.有一個角為直角的平行四邊形是矩形，正確；B.對角線相等的平行四邊形是矩形，正確；C.并不能判定平行四邊形ABCD為矩形，錯誤；D.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD＝∠ADC∴∠BAD＝∠ADC＝90°，根據有一個角為直角的平行四邊形是矩形，正確；故答案為：C．【點睛】本題考查了矩形的判定問題，掌握平行四邊形的性質、矩形的判定定理是解題的關鍵．例4．能判斷一個平行四邊形是矩形的條件是（

）A．兩條對角線互相平分 B．一組鄰邊相等C．兩條對角線互相垂直 D．兩條對角線相等【答案】D【分析】根據矩形的判定進行分析即可；【解析】選項A中，兩條對角線互相平分是平行四邊形，故選項A錯誤；選項B中，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故選項B錯誤；選項C中，兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故選項C錯誤；選項D中，兩條對角線相等的平行四邊形是矩形，故選項D正確；故選D.【點睛】本題主要考查了矩形的判定，掌握矩形的判定是解題的關鍵.考點二：添加一個條件成為矩形例5．如圖，要使平行四邊形為矩形，則可添加下列哪個條件（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據矩形的判定方法逐項進行判斷即可．【解析】解：A．∵四邊形是平行四邊形，∴，再添加也無法判斷平行四邊形為矩形，故A錯誤；B．∵對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，∴添加，無法判斷四邊形是矩形，故B錯誤；C．∵有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，∴添加無法判斷四邊形是矩形，故C錯誤；D．∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴平行四邊形是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形），∴添加能夠使平行四邊形為矩形，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，矩形的判定，解題的關鍵是熟練掌握對角線相等的平行四邊形是矩形．例6．如圖，在平行四邊形ABCD中，在不添加任何輔助線的情況下，添加以下哪個條件，能使平行四邊形ABCD是矩形（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形．【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形；且AD⊥AB∴四邊形ABCD是矩形故選A【點睛】本題考查矩形的判定，掌握有一個角是直角的平行四邊形是矩形的概念是解題關鍵．例7．如圖，在四邊形ABCD中，，AC交BD于點O，再添加什么條件可以判定四邊形ABCD為矩形(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】先證四邊形ABCD是平行四邊形，再由矩形的判定定理即可得出結論．【解析】解：再添加條件為AD＝BC，AC＝BD可以判定四邊形ABCD為矩形，理由如下：∵AD//BC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選：D．【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質等知識，熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．例8．如圖，是的中線，四邊形是平行四邊形，下列條件中，能判定四邊形是矩形的是（

）A． B．平分 C． D．【答案】C【分析】當時，根據等腰三角形的三線合一可得，即可求解．【解析】解：當時，∵是的中線，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是矩形，故選：C．【點睛】本題考查矩形的判定，掌握有一個角是直角的平行四邊形是矩形是解題的關鍵．考點三：矩形的判定的證明例9．如圖，是平行四邊形的一條對角線，E是的中點，連接并延長交的延長線于F．(1)求證：．(2)當時，求證：四邊形是矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據平行四邊形的性質可得，，進一步可得，可證，根據全等三角形的性質可得，進一步即可得證；（2）根據等腰三角形的性質可得，根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可得證．【解析】（1）證明：在平行四邊形中，∴，∵E是的中點，∴，∵∴，∴，∴．（2）證明：∵，∴是等腰三角形，∵，∴，∴，又∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形．【點睛】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質等，熟練掌握矩形的判定定理是解題的關鍵．例10．如圖，在平行四邊形中，為線段的中點，延長與的延長線交于點，連接，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據平行四邊形的性質得到，即，根據平行線的性質得到，根據全等三角形的性質得到，可以判斷出四邊形是平行四邊形，可得到結論；(2)根據平行四邊形的性質得到根據矩形的性質得到，根據勾股定理得到，根據矩形和三角形的面積公式即可得到結論．【解析】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，即，，，為線段的中點，，在與中，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形；（2）四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，，，，，四邊形的面積矩形．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，勾股定理，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵．例11．如圖，四邊形的對角線交于點，于E，于F，點O既是的中點，又是的中點．(1)求證：；(2)若，求證：四邊形是矩形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由題意知，，，，則通過角邊角證明三角形全等即可；（2）由題意知，，由，可得，先證明平行四邊形，再由，可得，從而問題得證．【解析】（1）證明：由題意知，，，在和中，∵，∴；（2）證明：由題意知，，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴平行四邊形是矩形．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的判定等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．例12．如圖，平行四邊形的對角線交于點O，E為中點，過點C作交的延長線于F，連接．(1)求證：(2)當滿足什么條件時，四邊形為矩形？請說明理由．【答案】(1)見解析(2)當滿足時，四邊形為矩形，理由見解析【分析】（1）由證明即可；（2）先證四邊形為平行四邊形，再由等腰三角形的性質得，則，即可得出平行四邊形為矩形．【解析】（1）∵，∴，∵E是的中點，∴，在和中，，∴；（2）當滿足時，四邊形為矩形，理由如下：∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∴，∴平行四邊形為矩形．【點睛】本題考查了矩形的判定、全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證明是解題的關鍵．考點四：根據矩形的判定與性質求長度例13．如圖，在矩形中，垂直平分于點，若，，則線段的長度是______．【答案】【分析】連接，由線段垂直平分線的性質得出，，，由勾股定理得出，得出，設，則，在中，由勾股定理得：，解得：，得出，在中，由勾股定理即可得出答案．【解析】解：連接，如圖所示：∵垂直平分，，，，四邊形是矩形，，，由勾股定理得：，，設，則，在中，由勾股定理得：，解得：，，在中，由勾股定理得：；故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理等知識；熟練掌握矩形的性質，由勾股定理求出是解題的關鍵．例14．四邊形的對角線相交于點，且，，則_______．【答案】1：2【分析】求出，判定四邊形是矩形，求出是等邊三角形，求出，即可得出答案．【解析】解：∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，故答案為：1：2．【點睛】本題考查了矩形的判定，等邊三角形的性質和判定的應用，能正確運用知識點進行推理是解此題的關鍵．例15．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ACB＝90°，過點D作DE⊥BC交BC的延長線于點E，連接AE交CD于點F，連接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，則BF＝_____．【答案】【分析】根據四邊形ABCD是平行四邊形，可得．所以∠CAD=∠ACB=90°．又∠ACE=90°，可證明四邊形ACED是矩形，得出AD=CE=2，AF=EF，AE=CD．證明△ABE是等邊三角形，再根據勾股定理即可求出BF的長．【解析】解∶∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴∠CAD=∠ACB=90°，∵DE⊥BC，∴∠ACE=∠DEC=∠CAD=90°，∴四邊形ACED是矩形，∴AD=CE=2，AF=EF，AE=CD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC=AD=2，AB=CD，∴AB=AE，∴CE=BE=2,BE=4又∵∠ABC=60°，∴△ABE是等邊三角形．∴AF=EF=2，∠BFE=90°，．故答案為：【點睛】本題考查了矩形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質，勾股定理，解決本題的關鍵是掌握正方形的判定與性質和等邊三角形的判定與性質．例16．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，O為對角線AC的中點，點P在AD邊上，且AP=2，點Q在BC邊上，連接PQ與OQ，則PQ?OQ的最大值為______．【答案】【分析】如圖，連接PO并延長交BC于點E．當點Q與點E重合時，PQ?OQ取得最大值．過點E作EF⊥AD于點F，利用勾股定理，可得結論．【解析】解：連接PO并延長交BC于點E．如圖，當點Q與點E重合時，PQ?OQ取得最大值，最大值為PE-OE=PO．在矩形ABCD中，O為對角線AC的中點，AP=2，∴AP∥CE，AO=OC，∴∠PAO=∠ECO，∠AOP=∠COE，∴△PAO≌△ECO，∴EC=AP=2，PO=OE=PE，過點E作EF⊥AD于點F，在矩形ABCD中，∠BCD=∠CDA=90°，∴四邊形EFDC為矩形，∴DF=CE=2，EF=CD=AB=4，∴PF=AD-AP-FD=2，∴PE=2，∴PO=OE=PE=，∴PQ?OQ的最大值為，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，推出當點Q與點E重合時，PQ?OQ取得最大值，最大值為PO的長是解題的關鍵．考點五：根據矩形的判定與性質求角度例17．如圖，矩形ABCD中，BE⊥AC于點E，若∠ACB＝23°，則∠DBE＝_______度．【答案】44【分析】由矩形的性質可知∠OBC=∠ACB=23°，則可求得∠AOB度數，由直角三角形的性質可得∠DBE的度數．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OB=OC，∴∠ACB=∠OBC=23°，∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC，∴∠DBE=44°．故答案為：44【點睛】本題主要考查矩形的性質，等腰三角形的性質，利用矩形的對角線相等且平分求得∠OBC的度數是解題的關鍵．例18．如圖，在矩形中，，點在上，且，則________．【答案】15°【分析】根據矩形性質得出∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，根據，得出∠BEA＝30°＝∠EBC，求出∠ECB的度數，即可求出答案．【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，AD∥BC，∵，∴∠BEA＝30°，∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠BEA＝30°，∵=BC，∴∠ECB＝（180°?∠EBC）＝75°，∵∠BCD＝90°，∴90°?75°＝15°，故答案為：15°．【點睛】本題考查了矩形性質，三角形的內角和定理，平行線性質，等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形性質的應用，解此題的關鍵是求出∠ABC和∠EBA的度數，題目比較好，是一道綜合性比較強的題目．例19．如圖，在中，為邊上一點，以為邊作矩形．若，，則的大小為______度．【答案】60【分析】想辦法求出，利用平行四邊形的性質即可解決問題．【解析】解：四邊形是矩形，，，，，四邊形是平行四邊形，故答案為：60．【點睛】本題考查矩形的性質、平行四邊形的性質、三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用轉化的思想思考問題．例20．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，DE平分∠ADC．若∠AOB＝60°，則∠COE的大小為____．【答案】75°【分析】根據四邊形ABCD為矩形,利用矩形的對角線互相平分且相等,得到OA=OB=OC=OD,又∠AOB=60°,可得三角形AOB與三角形COD都為等邊三角形,進而求出∠ACB為30°,由DE為直角的角平分線,得到∠EDC=45°,可得三角形DEC為等腰直角三角形,即CD=EC,而CD=OC,等量代換可得EC=OC,即三角形OEC為等腰三角形,由頂角∠ACB為30°即可求出底角∠COE的度數.【解析】∵四邊形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=OD,（矩形的對角線相等且互相平分）∵∠AOB=60°,∴∠COD=60°,（對頂角相等）∴△AOB和△COD為等邊三角形,（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）,

∴∠BAC=60°,CD=OC,則∠ACB=30°,（直角三角形兩銳角互余）

∵DE平分∠ADC,∴∠EDC=45°,可得△DCE為等腰直角三角形,∴CD=EC,∴EC=OC,（等量代換）

∴∠COE=∠CEO,∴∠COE=75°（三角形內角和是180°）.故答案為75°.【點睛】解決本題的關鍵是得到所求角所在的三角形的形狀及相應的角的度數.例21．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，過點A作∠DAC的角平分線交BC的延長線于點H，取AH的中點P，連接BP，則S△ABP＝___．【答案】8【分析】由勾股定理可得AC＝5，根據角平分線的性質可證∠H＝∠CAH＝∠DAH，即AC＝CH＝5，則可求S△ABH的值，由P是中點，可得S△ABP的值．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴ADBC，∠ABC＝90°，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，∵AH平分∠DAC，∴∠DAH＝∠CAH，∵ADBC，∴∠DAH＝∠H，∴∠H＝∠CAH，∴AC＝CH＝5，∵BH＝BC+CH，∴BH＝8，∵S△ABH＝AB×BH＝×4×8＝16，∵P是AH的中點∴S△ABP＝S△ABH＝8；故答案為：8．【點睛】此題主要考查矩形的性質與判定綜合，解題的關鍵是矩形的性質及勾股定理的應用．考點六：根據矩形的判定與性質求面積例22．已知矩形，點在邊上，，連接，點在邊上，連接，平分，若，，，則的面積是___________．【答案】【分析】過點作于，設，則，，證明，得到，再求出，則，，由勾股定理可求的長，即可求解．【解析】解：如圖，過點作于，設，則，，平分，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，（負值舍去），，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質，勾股定理，利用勾股定理求出的長是解題的關鍵．例23．如圖，在矩形中，平分交于點，．有下面的結論：①是等邊三角形；②；③．其中，正確結論的個數為_________．【答案】3【分析】根據矩形性質求出OD=OC，根據角求出∠DOC=60°即可得出三角形DOC是等邊三角形，求出∠BOE=75°，∠AOB=60°，相加即可求出∠AOE，根據等底等高的三角形面積相等得出S△AOE=S△COE．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD，∴OA=OD=OC=OB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=45°，∵∠CAE=15°，∴∠DAC=30°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAC=30°，∴∠DOC=60°，∵OD=OC，∴△ODC是等邊三角形，∴①正確；∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=30°，∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，∴∠DAE=∠BAE=45°，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠AEB=∠BAE，∴AB=BE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DOC=60°，DC=AB，∵△DOC是等邊三角形，∴DC=OD，∴BE=BO，∴∠BOE=∠BEO=（180°-∠OBE）=75°，∵∠AOB=∠DOC=60°，∴∠AOE=60°+75°=135°，∴②正確；∵OA=OC，∴根據等底等高的三角形面積相等得出S△AOE=S△COE，∴③正確；∴正確結論的個數為3，故答案為：3．【點睛】本題考查了矩形性質，平行線性質，角平分線定義，等邊三角形的性質和判定，三角形的內角和定理等知識點的綜合運用．例24．如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，取EF的中點G，連接CG，BG，BD，DG，下列結論：①BE＝CD；②∠DGF＝135°；③△BEG≌△DCG；④∠ABG+∠ADG＝180°；⑤若，則3S△BDG＝13S△DGF．其中正確的結論是_____．（請?zhí)顚懰姓_結論的序號）【答案】①③④⑤【分析】①根據矩形的性質可得出∠BAD=∠ABC=90°，AB=CD，再由角平分線的性質可得出∠BAE=45°，通過角的計算即可得出∠BAE=∠BEA，從而得出AB=BE=CD，即①正確；②根據平行線的性質以及對頂角相等可得出△CEF為等腰直角三角形，由此得出∠CGF=90°，∠FCG=45°，根據三角形外角的性質可得出∠CGD＜45°，再由角的關系即可得出∠DGF=∠CGD+∠CGF＜135°，即②不正確；③通過角的計算可得出∠BEG=∠DCG，再根據等腰直角三角形的性質可得出CG=EG，由此即可利用全等三角形的判定定理（SAS）證出△BEG≌△DCG，即③正確；④由③可得出∠EBG=∠CDG，根據角的計算即可得出∠ABG+∠ADG=180°，即④正確；⑤過點G作GM⊥DF于點M，設AB=2a（a＞0），則AD=3a，利用分割圖形求面積法結合三角形的面積公式可算出S△BDG和S△DGF的值，由此可得出⑤正確．綜上即可得出結論．【解析】解：①∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD，∵AE是∠BAD的角平分線，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝90°﹣∠BAE＝45°＝∠BAE，∴BE＝AB＝CD，①正確；②∵AB∥CD，∴∠CFE＝∠BAE＝45°，∠CEF＝∠AEB＝45°，∴△CEF為等腰直角三角形，∵點G為EF的中點，∴CG⊥EF，∠CGF＝90°，∠FCG＝45°，∵∠FCG＝∠CGD+∠CDG＝45°，∴∠CGD＜45°，∴∠DGF＝∠CGD+∠CGF＜45°+90°＝135°，②不正確；③∵△CEF為等腰直角三角形，∴CG＝EG．∵∠BEG＝180°﹣∠CEF＝135°，∠DCG＝180°﹣∠FCG＝135°，∴∠BEG＝∠DCG，在△BEG和△DCG中，有，∴△BEG≌△DCG（SAS），③正確；④∵△BEG≌△DCG，∴∠EBG＝∠CDG，∵∠ABG＝∠ABC+∠EBG，∠ADG＝∠ADC﹣∠CDG，∴∠ABG+∠ADG＝∠ABC+∠ADC＝180°，④正確；⑤過點G作GM⊥DF于點M，如圖所示．∵＝，∴設AB＝2a（a＞0），則AD＝3a．∵∠DAF＝45°，∠ADF＝90°，∴△ADF為等腰直角三角形，∴DF＝AD＝3a．∵△CGF為等腰直角三角形，∴GM＝CM＝CF＝（DF﹣CD）＝a，∴S△DGF＝DF?GM＝×3a×a＝．S△BDG＝S△BCD+S梯形BGMC﹣S△DGM＝×2a×3a+×（3a+a）×a﹣×a×（2a+a）＝．∴3S△BDG＝13S△DGF，⑤正確．綜上可知：正確的結論有①③④⑤．故答案為①③④⑤．【點睛】本題考查了矩形的性質、等腰直角三角形的判定及性質、全等三角形的判定及性質、三角形的面積公式以及角的計算，解題的關鍵是逐條分析5個結論是否正確．本題屬于中檔題，難度不大，但解題過程稍顯繁瑣，好在該題為填空題，好多結論可以直接拿來運用，不需去證明．解決該考點時，利用分割圖形法求面積是難點，此處應該加以重視．一、單選題1．（2020·湖北·中考真題）已知中，下列條件：①；②；③；④平分，其中能說明是矩形的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】根據矩形的判定進行分析即可．【解析】A.，鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故A錯誤；B.，對角線相等的平行四邊形是矩形，故B正確；C.，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故C錯誤；D.平分，對角線平分其每一組對角的平行四邊形是菱形，故D錯誤．故選：B．【點睛】本題考查了矩形的判定，熟知矩形從邊，角，對角線三個方向的判定是解題的關鍵．2．（2020·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如果順次連接四邊形的各邊中點得到的四邊形是矩形，那么原來四邊形的對角線一定滿足的條件是（

）A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分【答案】C【分析】由于順次連接四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形，再由矩形的判定可知，依次連接對角線互相垂直的四邊形各邊的中點所得四邊形是矩形．【解析】根據題意畫出圖形如下：答：AC與BD的位置關系是互相垂直．證明：∵四邊形EFGH是矩形，∴∠FEH=90°，又∵點E、F、分別是AD、AB、各邊的中點，∴EF是三角形ABD的中位線，∴EF∥BD，∴∠FEH=∠OMH=90°，又∵點E、H分別是AD、CD各邊的中點，∴EH是三角形ACD的中位線，∴EH∥AC，∴∠OMH=∠COB=90°，即AC⊥BD．故選C．【點睛】此題主要考查了矩形的判定定理，畫出圖形進而應用平行四邊形的判定以及矩形判定是解決問題的關鍵．3．（2013·河北·中考真題）如已知：線段AB，BC，∠ABC="90°."求作：矩形ABCD．以下是甲、乙兩同學的作業(yè)：對于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是A．兩人都對 B．兩人都不對C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對【答案】A【解析】對于甲：由兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形及∠B=90°，得四邊形ABCD是矩形，正確；對于乙：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形及∠B=90°，得四邊形ABCD是矩形，，正確．因此，對于兩人的作業(yè)，兩人都對．故選A．二、填空題4．（2021·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，對角線、相交于點O，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件______________，使平行四邊形是矩形．．【答案】【分析】根據矩形的判定方法即可得出答案．【解析】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴當時，四邊形ABCD為矩形．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的判定，熟記矩形的判定方法是解題的關鍵．三、解答題5．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，?ABCD中，E為BC邊的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F，延長EC至點G，使CG=CE，連接DG、DE、FG．(1)求證：△ABE≌△FCE；(2)若AD=2AB，求證：四邊形DEFG是矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由平行四邊形的性質推出∠EAB=∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；（2）先證明四邊形DEFG是平行四邊形，【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，再證明DF=EG，即可證明四邊形DEFG是矩形．∴ABCD，∴∠EAB=∠CFE，又∵E為BC的中點，∴EC=EB，∴在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE(AAS)；（2）證明：∵△ABE≌△FCE，∴AB=CF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，∴DC=CF，又∵CE=CG，∴四邊形DEFG是平行四邊形，∵E為BC的中點，CE=CG，∴BC=EG，又∵AD=BC=EG=2AB，DF=CD+CF=2CD=2AB，∴DF=EG，∴平行四邊形DEFG是矩形．【點睛】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證明△ABE≌△FCE是解題的關鍵．6．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，相交于點，，分別是，的中點．(1)求證：；(2)設，當為何值時，四邊形是矩形？請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)當時，四邊形是矩形，理由見解析【分析】（1）連接，先根據平行四邊形的性質可得，再根據線段中點的定義可得，然后根據平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，最后根據平行四邊形的性質即可得證；（2）先根據矩形的判定可得當時，四邊形是矩形，再根據線段中點的定義、平行四邊形的性質可得，由此即可得出的值．【解析】（1）證明：如圖，連接，四邊形是平行四邊形，，分別是，的中點，，四邊形是平行四邊形，．（2）解：由（1）已證：四邊形是平行四邊形，要使平行四邊形是矩形，則，，，即，，故當時，四邊形是矩形．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、矩形的判定等知識點，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解題關鍵．一、單選題1．如圖，在四邊形中，對角線相交于點O，，添加下列條件，不能判定四邊形是矩形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意可知四邊形是平行四邊形，然后再根據四個選項所給條件一一進行判斷即可得出答案．【解析】解：在四邊形中，對角線相交于點O，，四邊形是平行四邊形，A、添加條件，可得四邊形是菱形，但不一定是矩形，故符合題意；B、若，則，故四邊形是矩形，故不符合題意；C、若，則，故四邊形是矩形，故不符合題意；D、若，則，則，故四邊形是矩形，故不符合題意；故選：A．【點睛】此題考查了矩形的判定，熟練掌握矩形的定義及判定定理是解答此題的關鍵．2．連接菱形各邊中點，可得到的“中點四邊形”是矩形，主要是因為（

）A．菱形的四條邊都相等 B．菱形的對角線互相垂直C．菱形的對角線互相平分 D．以上答案都不對【答案】B【分析】先根據三角形的中位線性質證明“中點四邊形”是平行四邊形，再根據菱形的對角線互相垂直可證明“中點四邊形”是矩形．【解析】解：如圖，點E、F、G、H分別為菱形的邊、、、的中點，∴，，，，∴，，∴“中點四邊形”是平行四邊形，∵菱形中，，∴，即，∴“中點四邊形”是矩形，故菱形的“中點四邊形”是矩形，主要因為菱形的對角線互相垂直，故選：B．【點睛】本題考查菱形的性質、平行四邊形的判定、矩形的判定、三角形的中位線性質、平行線的性質，熟練掌握相關知識的聯系與運用是解答的關鍵．3．如圖，平行四邊形中，E,F分別在邊，上，，，若，的長為（）A．10 B． C．9 D．6【答案】A【分析】過點B作于H，證明四邊形為矩形，由矩形的性質得出，，由勾股定理可得出答案．【解析】解：過點B作于H，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形為矩形，，，，故選：A【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，矩形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．4．如圖，已知在四邊形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，連結AC，BD，AC與BD交于點O，若AO＝BO，AD＝3，AB＝2，則四邊形ABCD的面積為()A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】首先判斷四邊形為矩形，然后利用矩形的面積的求法求得其面積即可.【解析】∵AB＝DC，AD＝BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO.∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴四邊形ABCD為矩形．∵AD＝3，AB＝2，∴四邊形ABCD的面積為AD·AB＝3×2＝6.故選C.【點睛】本題考查了矩形的判定與性質，解題的關鍵是能夠首先判定四邊形ABCD為矩形，難度不大，但容易出錯．5．下列敘述中能判定四邊形是矩形的個數是（

）．①對角線互相平分的四邊形；②對角線相等的四邊形；③對角線相等的平行四邊形；④對角線互相平分且相等的四邊形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據矩形的判定定理逐項進行判斷即可．【解析】解：①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故①不符合題意；②對角線相等的四邊形可以是等腰梯形，故②不符合題意；③對角線相等的平行四邊形是矩形，故③符合題意；④對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故④符合題意．∴正確的是③④．故選B．【點睛】本題考查了矩形的判定，解題關鍵是熟記矩形的判定定理，準確進行判斷．6．如圖，在菱形中，E、F為邊、的中點，連接、．若，，則四邊形的面積為（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】連接，由菱形的性質可證和是等邊三角形，從而求得，根據點E、F是、的中點可得，，進而證明四邊形是矩形，再利用勾股定理求出，即可求出結果．【解析】解：連接，∵四邊形是菱形，，，，，，，，∴和是等邊三角形，，∵點E、F是、的中點，，，，，∴四邊形是矩形，，∴在中，，∴矩形的面積為：，故選：A．【點睛】本題考查了菱形的性質、矩形的判定和性質及等邊三角形的判定和性質和勾股定理，熟練運用相關知識，正確作出輔助線是解題的關鍵．7．已知如圖，，，，，則的面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】過點D作于G，過點E作，交的延長線于點F，先證明（AAS），從而得，再證明四邊形為矩形，然后利用，求得的值，最后利用三角形面積公式計算即可得出答案．【解析】過點D作于G，過點E作，交的延長線于點F又∵∴∴∴在和中，∴（AAS），∴，∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，又∵，∴，的面積為：；故選C．【點睛】此題考查全等三角形判定與性質、矩形的判定與性質及三角形的面積計算，解題關鍵在于掌握各性質定義.8．如圖，在平行四邊形中，，．連接AC，過點B作，交DC的延長線于點E，連接AE，交BC于點F．若，則四邊形ABEC的面積為（

）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】先證明四邊形ABEC為矩形，再求出AC，即可求出四邊形ABEC的面積．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=∠ABC，∵，∴四邊形ABEC為平行四邊形，∵，∴，∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF，∴AF=BF，∴2AF=2BF，即BC=AE，∴平行四邊形ABEC是矩形，∴∠BAC=90°，∴,∴矩形ABEC的面積為．故選：B【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，矩形的判定與性質，勾股定理等知識，熟知相關定理，證明四邊形ABEC為矩形是解題關鍵．9．如圖，矩形在矩形的內部，且，點，在對角線的異側．連結，，，，若矩形矩形，且兩個矩形的周長已知．只需要知道下列哪個值就一定可以求得四邊形的面積（）A．矩形的面積 B．的度數C．四邊形的周長 D．的長度【答案】A【分析】連接，，過點作于點，過點作于點，過點作于點，過點作于點，設小矩形的長和寬分別為和，大矩形的長和寬分別為和，，，然后用分割法求得四邊形的面積，進而可以根據條件得到結果．【解析】解：如圖，連接，，過點作于點，過點作于點，過點作于點，過點作于點，，四邊形、四邊形是矩形，設小矩形的長和寬分別為和，大矩形的長和寬分別為和，，，則，，，，，，，，，矩形和矩形的周長已知，和為定值，為定值，為定值，，當已知時，四邊形的面積即為定值，故選：A．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質，解題的關鍵是學會設矩形的長和寬并用含有未知數的式子表示矩形、矩形和四邊形的面積．10．如圖，在矩形中，為中點，過點且，分別交于，交于，點是中點，，則下列結論正確的是（

）①；②；③是等邊三角形；④A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④【答案】D【分析】利用垂直平分線的性質可得，利用三角形的中位線定理可得，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，則，則，通過證明，可得，則得，于是可得，由于，可得①正確；利用，可以判定②錯誤；利用三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和可得，則得為等邊三角形，可得③正確；通過說明，可得④正確．【解析】解：連接，如圖，為中點，且，，為中點，G為的中點，，，G為的中點，，，，，，，在和中，，，，，，，∵四邊形是矩形，，，故①正確；，，，故②錯誤；，，為等邊三角形，故③正確；，，，，，，，，，故④正確．故結論正確的有①③④，故選：D．【點睛】本題考查了矩形的性質，等邊三角形的性質，三角形的中位線定理，三角形的全等的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，角的直角三角形的性質，證明是解題的關鍵．二、填空題11．矩形的判定定理包括：（1）___________的平行四邊形是矩形；（2）____________的平行四邊形是矩形；（3）____________的四邊形是矩形．【答案】有一個角是直角對角線相等有三個角是直角【分析】矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；矩形的判定：①有三個角是直角的四邊形是矩形；②對角線相等的平行四邊形是矩形；根據定義與判定可得答案.【解析】解：矩形的判定定理包括：（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；（3）有三個角是直角的四邊形是矩形．故答案為：有一個角是直角，對角線相等，有三個角是直角【點睛】本題考查的是矩形的定義與判定，熟知矩形的定義與判定是解題的關鍵.12．四邊形中，交于O，給出條件①；②；③；④．其中能推得四邊形是矩形的是（填序號）___________．【答案】③【分析】由矩形的判定、平行四邊形的判定與性質分別對各個選項進行判斷即可．【解析】①∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，不符合題意；②，不能判定四邊形ABCD是矩形，不符合題意；③∵OA＝OB＝OC＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，符合題意；④，不能推出四邊形ABCD是矩形，不符合題意；故答案為：③．【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質等知識；熟練掌握矩形的判定、平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．13．如圖，AB∥CD，∠A＝∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，則AB與CD之間的距離為________．【答案】3cm【分析】由AB/∥CD，可得∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，再根據∠A=∠B=90°，可得出∠C=∠D=90°，則四邊形ABCD為矩形，從而得出AB與CD之間的距離為BC的長.【解析】解：∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.∵∠A＝∠B＝90°，∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，∴四邊形ABCD為矩形，∴AB與CD之間的距離為BC.∵BC＝3cm，∴AB與CD之間的距離為3cm.【點睛】本題考查了矩形的判定和性質，是基礎知識比較簡單．需要我們對基礎知識有較好的掌握．14．如圖，在中，，D，E分別是邊，的中點，將繞點E旋轉得，則四邊形的形狀為______．

【答案】矩形【分析】先證明四邊形是平行四邊形，再由對角線相等證明四邊形是矩形．【解析】解：∵D，E分別是邊，的中點，∴，∵，∴，∵繞點E旋轉得，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形．【點睛】本題考查矩形的判斷，熟練掌握中心對稱圖形的性質，矩形的判定方法是解的關鍵．15．如圖，△ABC的邊BC長為4cm．將△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，則陰影部分的面積為______．【答案】8【分析】根據平移的性質即可求解．【解析】解：由平移的性質S△A′B′C′=S△ABC，BC=B′C′，BC∥B′C′，∴四邊形B′C′CB為平行四邊形，∵BB′⊥BC，∴四邊形B′C′CB為矩形，∵陰影部分的面積=S△A′B′C′+S矩形B′C′CB-S△ABC=S矩形B′C′CB=4×2=8(cm2)．故答案為：8．【點睛】本題考查了矩形的判定和平移的性質：①平移不改變圖形的形狀和大?。虎诮涍^平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等．16．如圖，在中，，，D是上任意一點，分別作于E，于F．如果，那么________．【答案】6【分析】過點作，交的延長線于點，過點作于點，可得四邊形是矩形，根據矩形的性質可得，根據含30度角的直角三角形的性質可得，，即可求解．【解析】解：如圖，過點作，交的延長線于點，過點作于點，又∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，在中，，∴，即，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質，含30度角的直角三角形的性質，等邊對等角，三角形內角和定理，正確的添加輔助線是解題的關鍵．17．如圖，是等腰直角三角形，，，點是上的一個動點（點與點、不重合），過點分別作于點，于點，連接．（1）四邊形的形狀是______；（2）線段的最小值為______．【答案】矩形/長方形【分析】（1）先證，再由即可解答；（2）如圖：連接，由勾股定理可求得，再由矩形的性質可得，然后根據垂線段最短可得時，線段的值最小，最后由三角形的等面積求解即可解答．【解析】解：（1）∵于點，于點，∴又∵，∴四邊形是矩形；（2）如圖，連接，∵，，∴，由（1）知：，由垂線段最短可得時，線段的值最小，此時，，即，∴，∴長的最小值為，故答案為：矩形，．【點睛】本題主要考查了矩形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、垂線段最短的性質、勾股定理等知識點；判斷出當時，線段的值最小是解題的關鍵．18．如圖，在矩形中，，，點分別是上的動點，點不與重合，且，點是五邊形內點，，且．①當點為的中點時，_____________．②點到邊距離為，則的取值范圍為_____________．【答案】/75度/【分析】①根據矩形的性質以及“如果直角三角形中一直角邊是斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30度”，可得，進而可知，再根據，可得，即可計算的值；②過點作于點，于點，利用勾股定理可求得；在中，由，可知當點重合時，最大，此時；當點重合時，證明為等腰直角三角形，利用勾股定理解得，此時點到的距離最小，為4．即可確定的取值范圍．【解析】解：①∵四邊形為矩形，∴，∵，點為的中點∴，∴，∴，又∵，，∴，∴；②過點作于點，于點，如下圖，∵，，，∴，即，解得，在中，，∴當點重合時，最大，此時；當點重合時，如下圖，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得，此時點到的距離最小，為4．∴．故答案為：①；②．【點睛】本題主要考查了矩形的性質、含30度角的直角三角形的性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理等知識，理解題意，綜合運用相關知識是解題關鍵．三、解答題19．如圖，在平行四邊形ABCD中，點P是AB邊上一點（不與A，B重合），過點P作PQ⊥CP，交AD邊于點Q，且∠QPA＝∠PCB．求證：四邊形ABCD是矩形．【答案】見解析【分析】根據垂直的性質可得，利用各角之間的等量關系可得，再由矩形的判定定理即可證明．【解析】證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形．【點睛】題目主要考查矩形的判定定理及各角之間的等量代換，理解題意，結合圖形，熟練運用矩形的判定定理是解題關鍵．20．如圖，在平行四邊形中，過點作于點點在邊上，連接(1)求證：四邊形是矩形；(2)若平分求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由在平行四邊形中，得到由可得根據矩形的判定即可求證．（2）根據平行線的性質和角平分線的性質可得由勾股定理可求出即可得出結論．【解析】（1）∵四邊形是平行四邊形，又∴四邊形是平行四邊形，∴四邊形是矩形．（2）∵平分∴矩形BFDE的面積是：【點睛】本題主要考查了矩形的判定，平行四邊形的性質，角平分線的性質，熟練掌握這些判定和性質是解此題的關鍵．21．如圖，四個內角的平分線圍成四邊形，猜想四邊形的形狀，并說明理由．【答案】四邊形是矩形，證明見解析【分析】根據平行四邊形的性質可得，再由、分別平分、，可得，從而得到，同理可得，，即可．【解析】證明：四邊形是矩形，理由如下：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵、分別平分、，∴，∴，∴，∴，同理：，，∴四邊形是矩形．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，矩形的判定，熟練掌握平行四邊形的性質，矩形的判定定理是解題的關鍵．22．如圖，在平行四邊形中，點是邊的中點，連接并延長，交延長線于點，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，則當__________時，四邊形是矩形（不用證明）【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據對角線相互平分的四邊形是平行四邊形的判定方法即可求解；（2）根據矩形的對角線相等且平分，得，為等腰三角形，且（對頂角相等），再根據，，即可求出的度數，由此即可求解．【解析】（1）證明：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，又∵為的中點，∴，在和中，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，若四邊形是矩形，則，，，∴，，為等腰三角形，∴，∴，∵，∴，即當，時，四邊形是矩形，故答案為：．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質，矩形的性質，掌握平行四邊形，矩形的性質及判定是解題的關鍵．23．如圖，在菱形中，對角線和交于點O，分別過點B、C作，，與交于點E．(1)求證：四邊形是矩形；(2)當，時，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先根據平行四邊形的定義證明四邊形是平行四邊形，然后再根據菱形的性質得，故可得四邊形是矩形；（2）根據有一個角為的等腰三角形是等邊三角形可以得到，然后利用勾股定理可以求得的長，從而得到的長，最后利用勾股定理求解即可．【解析】（1）解：證明：，，四邊形為平行四邊形．四邊形為菱形，．．四邊形是矩形．（2）在菱形中，．，為等邊三角形，，，，，，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形，矩形的判定，菱形的性質，含30度的直角三角形的性質以及勾股定理，關鍵是根據判定方法，再結合圖形求解．24．如圖，菱形的對角線和交于點O，分別過點C、D作，，和交于點E．(1)判斷四邊形的形狀并說明理由；(2)連接，交于點F，當時，求的長．【答案】(1)四邊形是矩形，理由見解析；(2)【分析】（1）由，，可證四邊形是平行四邊形，由菱形的性質可得，即，進而結論得證．（2）根據含的直角三角形的性質求的值，然后利用勾股定理求和的值即可．【解析】（1）解：四邊形是矩形，理由如下：∵，，∴四邊形是平行四邊形，由菱形的性質可得，∴，∴四邊形是矩形；（2）解：由菱形的性質可知，，∵，∴，∴，由矩形的性質可得，在中，由勾股定理得，∴，在中，由勾股定理得，∴的長為．【點睛】本題考查了菱形的性質，矩形的判定與性質，所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．25．如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于點O，以OD，CD為鄰邊作平行四邊形DOEC，OE交BC于點F，連接BE．(1)求證：F為BC中點．(2)若OB⊥AC，OF=1，求平行四邊形ABCD的周長．【答案】(1)證明見解析；(2)平行四邊形ABCD的周長為8．【分析】（1）由平行四邊形ABCD得OB=OD，由平行四邊形DOEC得ECOD，EC=OD，進而證明OBEC，OB=EC，得四邊形OBEC為平行四邊形，進而得結論；（2）先證明平行四邊形ABCD，再證明平行四邊形DOEC是矩形，求得BC，進而求得菱形ABCD的周長．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD，∵四邊形DOEC為平行四邊形，∴ODEC，OD=EC，∴ECOB，EC=OB，∴四邊形OBEC為平行四邊形，∴BF=CF，即F為BC中點；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，OB⊥AC，∴四邊形ABCD是菱形，∵四邊形OBEC為平行四邊形，OB⊥AC，∴四邊形OBEC為矩形，∴BC=OE=2OF，∵OF=1，∴BC=2，∴平行四邊形ABCD的周長=4BC=8．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，菱形的性質與判定，矩形的性質與判定，關鍵綜合應用這些定理進行推理．26．如圖，已知：如圖，在四邊形中，點在邊的延長線上，平分，平分，交于點．

(1)求證：；(2)若點為的中點，求證：四邊形是矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據平分，平分，得，；根據，則，，根據等量代換，等角對等邊，即可；（2）由（1）得，，根據點為的中點，則，根據平行四邊形的判定，得四邊形是平行四邊形，根據平分，平分，則，，即可．【解析】（1）∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴．（2）由（1）得，，∵點為的中點，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴平行四邊形是矩形．【點睛】本題考查角平分線和矩形的知識，解題的關鍵是掌握角平分線的性質，等角對等邊，矩形的判定．27．如圖1，在中，，于點C，點E是的中點，連接并延長，使，連接．(1)求證：四邊形是矩形．(2)如圖2，點H為的中點，連接，若，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）根據對角線互相平分證明四邊形是平行四邊形，再根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形進行證明即可；（2）根據中點的性質得出四邊形的面積等于兩個三角形的面積和，求出三角形面積即可．【解析】（1）證明：∵點E是的中點，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴平行四邊形是矩形．（2）解：由（1）得，∵，，∴∵點E是的中點，點H為的中點，∴，，四邊形的面積等于．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質，解題關鍵是熟練運用矩形的判定定理進行推理證明，利用矩形和中點的性質求出面積．28．如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于點E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠OAE＝15°，①求證：DA＝DO＝DE；②直接寫出∠DOE的度數．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②75°【分析】（1）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再證AC=BD，即可得出結論；（2）①先證明△ADE是等腰直角三角形，再證得，即可得出結論；②求出∠BDC=30°，得出∠DOE=75°，即可得出結果．【解析】（1）證明：∵AD∥BC，AD＝BC∴四邊形ABCD是平行四邊形

∴BD＝2OB∵AC＝2OB∴AC＝BD∴四邊形ABCD是矩形（2）①證明：∵四邊形ABCD是矩形∴∠DAB＝∠ADC＝90°，AO＝DO∵AE平分∠BAD∴∠DAE＝45°

∴∠DEA＝45∴DA＝DE又∵∠OAE＝15°∴∠DAO＝∠DAE+∠OAE＝60°

∴DA＝DO＝