考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班張宇高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義

會(huì)計(jì)學(xué)1考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班張宇高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義函數(shù)、極第一講限、連續(xù)性—、函數(shù)1.函數(shù)(1)函數(shù)的定義設(shè)數(shù)集DR,則稱映射f:DR為定義在D上的函數(shù),簡記為yf(x),xD,其中x稱為自變量,y稱為因變量,D稱為定義域,記為Df,f(D)為值域,記為Rf.(2)函數(shù)定義的兩要素:定義域，對(duì)應(yīng)法則.2.函數(shù)的特性有界性:若M0，對(duì)于xI，都有f(x)M，則稱f(x)在I上有界.單調(diào)性:設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間ID，若對(duì)于x1,x2I，當(dāng)x1x2時(shí)，有f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2))，則稱f(x)在區(qū)間I上單調(diào)增加(單調(diào)減少).(3)奇偶性:1第1頁/共45頁2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義(3)單調(diào)函數(shù)存在反函數(shù),反之不成立合則函數(shù)yf[g(x)],xDg稱為由函數(shù)ug(x)與函數(shù)yf(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù).(2)5.初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù):冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù).(2)初等函數(shù):.(3)初等函數(shù)必須能用一個(gè)式子表示,不能用一個(gè)式子表示的函數(shù)不能稱為初等函數(shù),故二、極限1.數(shù)列極限(1)數(shù)列極限的定義設(shè)xn為一數(shù)列,如果存在常數(shù)a,對(duì)于任意給定的正數(shù),總存在正整數(shù)N,使得.4當(dāng)nN時(shí),有xna成立,則稱數(shù)列xn收斂于a,n記為limana.2.(2)數(shù)列極限的基本性質(zhì):復(fù)①(唯一性)如果數(shù)列xn收斂，那么它的極限唯一.n

n

n

n設(shè)有數(shù)列x，y .如果limxA，limyB，則:只有當(dāng)函數(shù)u (x)的值域與yf(u)的定義域的交非n空時(shí),才能將它們復(fù)合成復(fù)合函數(shù).n由常數(shù)和五類基本初等函數(shù)進(jìn)行有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合構(gòu)成的可用一個(gè)式子表示的函數(shù)①

lim(xn

yn

)

A

B

；②limxnynAB；分段函數(shù)一.般.不.是.初等函數(shù).nn函②(有界性)如果數(shù)列x 收斂，那么數(shù)列第x2頁一定/有共界4，5即頁:M0，使得n有xM.n n n數(shù)③(保號(hào)性)如果limxna，且a0(或a0)，那么NN，當(dāng)nN時(shí)，有xn0(或n(1x)n復(fù)合0函).數(shù)的定義(3)數(shù)列設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镈f，函數(shù)ug(x)的定義域?yàn)镈g，且其值域RgDf極限，的四則運(yùn)算法則2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義xnB

An

ynn③當(dāng)y0且B0時(shí),lim.(4)數(shù)列極限存在的判定①(夾逼法則)如果數(shù)列xn，yn，zn滿足:1)

yn

xn

zn

(

n

1,2,3…

)；n那么數(shù)列xn的極限存在,且limxna.n2)limyna,limzna,②(單調(diào)有界準(zhǔn)則)單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且有上界(或有下界)的數(shù)列xn必定存n在極限.2.函數(shù)極限(1)xx0時(shí),函數(shù)極限的定義o設(shè)函數(shù)f(x)在U(x0)內(nèi)有定義,如果存在常數(shù)A,對(duì)于0,總存在 0,使得00x

時(shí)的極0x0x

xx

x當(dāng)x滿足0xx 0時(shí),有f(x)A0,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x注:limf(x)Alimf(x)limf(x)A.x(2)x 時(shí),函數(shù)極限的定義設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義,如果存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定的正數(shù)限,記作l,imf(x)A.xx總存在正數(shù)X,使得當(dāng)x滿足不等式xX時(shí),有f(x)A ,那么常數(shù)A就叫做函xx

x0x0時(shí),有①(f唯(一x)性)如M果.limf(x)存在，那么它的極限唯一，即:若limf(x)A，且limf(x)B，x3③(局部保號(hào)性)如果lim

f

(xx0

)x00,使得當(dāng)A,且A0(或A0),那么xx0則A

B

.0

x

x0時(shí),有f(x)0(或f(x)0).數(shù)f(x)當(dāng)x 時(shí)的極限,記作limf(x)第A.3頁/共45頁x(②3)(函局?jǐn)?shù)部極有限界的性)性如質(zhì)果limf(x)A,那么M0和 0,使得當(dāng)0xxx02015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義(4)函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則如果limf(x)A,limg(x)B,則xx0x

x0②

lim[

f

(x)

g(x)]

A

Bx

x0f③lim(x)

A(

B

0x

x①0

lim[)；f

(x)g(x)x

x0g

(

x)

Bg(x)]

A

B

；④

lim

f

(x)

A

(

A

0

).B

x

x0推論1:如果limf(x)存在，c為常數(shù)，則lim[cf(x)]climf(x).xx0x0nxx0推論2:如果xlimf(x)存在，而n是正整數(shù)，則lim[f(x)]nxlim

f

(x)

.x

x0

x

x0x0(5)函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn)則①(夾逼法則)如果函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)滿足:1)當(dāng)xU(x0,)○時(shí)，g(x)f(x)h(x)；2)limg(x)A，limh(x)A，xx0 xx0xx0

x

x000那么limf(x)存在,且limf(x)A.②(單調(diào)有界準(zhǔn)則)設(shè)f(x)在0x的某左鄰域內(nèi)單調(diào)有界,則f(x)在x的左極限f(x)必定存在.(6)復(fù)合函數(shù)的極限:設(shè)yf[g(x)]是由函數(shù)ug(x)和yf(u)復(fù)合而成的，yf[g(x)]在x0的某去心鄰域有定義，若limg(x)u0，limf(u)A且在x0的鄰域內(nèi)xx0uu0u

u0①

xli0

m

sxin

x

1；1xxxn4n②xli0

m(1

x)x

e

或lim

1e

(1lim

1e

).3.無窮小與無窮大 1(1g)(無x)窮小量u0的,定則義limf[g(x)]limf(u)A.xx0(7)兩個(gè)重如要果極當(dāng)限x0x時(shí)函數(shù)f(x)極限為零,那么稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x0x

時(shí)的無窮小.(2)無窮小的性質(zhì):第4頁/共45頁n2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義(3)無窮小的比較:設(shè),是在自變量的同一變化過程中的無窮小，且0則:的低階無窮小.①有限個(gè)無窮小的和仍是無窮小.④limkc0，稱是的k階無窮小.②有限個(gè)無窮小的乘積仍是無窮小.③⑤有l(wèi)界im函數(shù)與無1窮，小稱的乘與積是無是窮等小價(jià).無窮小，記作:~.5①如果lim 0，稱是的1高1階無窮小，記作:2 o(1)；2

1(而4)且等價(jià)1無~窮小2替，換定1理~:設(shè)2在，自如變果量x的同一變化過程中，1，2，A,則lim1,2都是無窮小,lim A.lim三、函數(shù)的連續(xù)性1②.如函果數(shù)連li續(xù)m性的定義,稱是(1)函數(shù)f

(x)在x0

點(diǎn)連續(xù)的定義設(shè)函數(shù)f(x)在U(x0)內(nèi)有定義,如果limf(x)f(x0),那么稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù).xx000(③2)l函i數(shù)mf(x)c在x0處,連稱續(xù)是f(x的)同階f無(窮x小)；f(x).2.間斷點(diǎn)及其分類(1)間斷點(diǎn)的定義若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x不連續(xù),則點(diǎn)x稱為函數(shù)f(x)的間斷0 0點(diǎn).(2)間斷點(diǎn)的分類:第二類間斷點(diǎn)(左、右極限至少有一個(gè)不存在)；間斷點(diǎn) 跳躍間斷點(diǎn)(左極限

右極限)可去間斷點(diǎn)(左極限右極限)第一類間斷點(diǎn)(左、右極限都存在

)

；0第0

5頁/共45頁2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):(1)有界最值定理若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則它在[a,b]上有界且一定能取到最大值和最小值，即:K0，使得x[a,b]，有f(x)K，以及在[a,b]上有1，2使得f(1)m，f(2)M，其中m，M分別為f(x)在[a,b]上的最大值和最小值.(2)零點(diǎn)定理設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b)0，則 (a,b)使得f()0.(3)介值定理設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b)，c是介于f(a)和f(b)間的一個(gè)常數(shù)，則 (a,b)使得f()c.推論:若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，m，M分別為f(x)在[a,b]上的最大值和最小值，mcM，則 [a,b]使得f()c.1.導(dǎo)數(shù)定義0

0Δ0lim—、導(dǎo)數(shù)Δx

0

Δ

x

Δx

0第二講

Δ

y導(dǎo)數(shù)f與(x微0

分Δ

x)

f

(x0

)Δ

x取得增量Δy f0(xΔx)f(x)；如果 存在,則稱li函mx

x00

0數(shù)yf(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),記為f(x),或y,dydf

(x)

dxdxx

x0,.x

x0(21)導(dǎo)函數(shù)數(shù)的的定定義義若設(shè)函數(shù)yf(x)在U開(區(qū)x間)I內(nèi)內(nèi)有可定導(dǎo)義,對(duì)當(dāng)于自變量xx在I點(diǎn),都x對(duì)處應(yīng)取著得f增(量x)的x一,個(gè)相確應(yīng)定的的函導(dǎo)數(shù)數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),記作y,ddxy或df(x).dx6值.這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù),這個(gè)函數(shù)叫y(3)左、右導(dǎo)數(shù)的定義第6頁/共45頁2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義f

(x0

Δ

x)

f

(x0

)Δx

0

Δf

(x0)

lim

Δ

y

lim

Δ

xx

f

(x0

Δx

Δ0

x)

f

(x0

)f

(x0)

lim

Δ

y

limΔx

0

ΔΔ

x0(4)函數(shù)在x點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件:xf(x)存在fΔx(0x)0 0 0f(x).(5)可導(dǎo)與連續(xù)性的關(guān)系:若函數(shù)yf(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo),則它在x0點(diǎn)連續(xù).(6)導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)yf(x)在x點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f(x)在幾何上表示曲線yf(x)在點(diǎn)M(x,y)0 0 000處的切線的斜率,即f(x)tan,其中為切線的傾角.(7)切線方程與法線方程100

0

0切線方程為yyf(x)(xx),法線方程為yf0

(x

)y

(xx0

)

.v2

(x)2.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算(曲1)線函y數(shù)的和f(、x差)、在積M、(商x0的,求y0導(dǎo))法處則,如果函數(shù)uu(x)及vv(x)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù),那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù),且③v(x)

①u(x)u(x)

v(x)

u

(ux)

(xv)v((xx))

；u(x)v

(x)

(

v(x)

0

).(2)高階導(dǎo)數(shù)的定義②

u(x)v(x)二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù).記為d

n

ydxn,n2,3,….其中,d

2

y

d

dy f

(x

Δ

x)

f

(x

)Δ

xdx2

dx

dxΔx

l0im00

.7①如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x具有n階導(dǎo)數(shù),那么f(x)在點(diǎn)x某鄰域內(nèi)必定具有一切低于n階的導(dǎo)數(shù).第7頁/共45頁u

(x)v(x)

u(x)v

(x)

；2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義②和、差、積的n階導(dǎo)數(shù)公式:nu

v(

n)(n)

(n)

(nn)u v,(uv)k0Cku(

n

k

)v(k.)(3)反函數(shù)的求導(dǎo)法則1y如果函數(shù)xf(y)在區(qū)間I內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f(y)0,則它的反函數(shù)y(x)在x

fy區(qū)間Ix

x

f

(

y),

y

I11內(nèi)可導(dǎo),且ff

(y()x)dx

1dx或

dy

.dy(4)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)yf(u),而ug(x),且f(u)及g(x)都可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]在點(diǎn)x可dy dydydu導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為f

(u)g

(x)或.dxdxdu

dx值存在,那么就說方程①參數(shù)方程所確定的函數(shù)的定義(5)隱函數(shù)的求導(dǎo)①隱函數(shù)的定義若參數(shù)一方般程地,如x果變量(確xt定和)xy與滿足y一間個(gè)的方函程數(shù)關(guān)F系(x,,則y)稱此函0數(shù),在為一參定數(shù)條方程件所下確,定當(dāng)?shù)膞函取數(shù)某.區(qū)間內(nèi) y (t)②參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的任一值時(shí)如,果相函應(yīng)數(shù)地x總有滿足(t這)方具程有的單唯調(diào)一連的續(xù)y反函數(shù)t1(x),F且(此x反,y函)數(shù)能0與在函該數(shù)區(qū)y(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù).若x (t)和y (t)都可導(dǎo)，而且 (t)0，則:dxdt②隱函數(shù)的求導(dǎo):對(duì)方程兩邊對(duì)xdx求導(dǎo)，將xyd視t為x的函數(shù)，用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo).(t)8dx(t)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù)d.ydy

dt

dy

1

(t)

d

,即dy

(t).d(如6)果參x數(shù)方程所(確t)定和的函y數(shù)的導(dǎo)(數(shù)t)二階可導(dǎo),t則第8頁/共45頁d

2

ydx22015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義(t) (t) .(t) (t)3(t)(7)冪指函數(shù)的求導(dǎo)uv(u0),如果uu(x),vv(x)都可導(dǎo),則v對(duì)于一般形式的冪指函數(shù)y:yuuv

ln

uvu

.二、微分1.函數(shù)的微分(1)微分的定義設(shè)yf(x)在U(x0)內(nèi)有定義,若增量Δy f(x0Δx)f(x0)可表示為ΔyAΔxo(Δx)其中A是不依賴于Δx的常數(shù)，則稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0是可微的，而AΔx叫做函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0相應(yīng)于增量Δx的微分，記作dy，即dyAΔx.函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)與可微之間的關(guān)系①函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x處可微f(x)在x處可導(dǎo)，此時(shí)Af(x)，即dyf(x)dx.②函數(shù)f(x)在xx0可導(dǎo)f(x)在xx0可微f(x)在xx0連續(xù).微分的幾何意義:Δy f(x0Δx)f(x0)是曲線y

f

(x)在x量,而微分dy是曲線yf

(x)在點(diǎn)(x

,f

(x

))處的切線的縱坐標(biāo)相應(yīng)的增量.xx0002.復(fù)合函數(shù)的微分法則:設(shè)yf(u)及ug(x)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]的微分為:dyyxdxf(u)g(x)dx.由于g(x)dxdu，所以復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]的微分也可以寫為dyf(u)du或dyyudu.因此，無論u是自變量還是中間變量，微分形式dyf(u)du保持不變,該性質(zhì)稱為一階微分形式不變性.9x0

處對(duì)應(yīng)于自變量的增量Δ

x第的9縱頁坐標(biāo)/的共增45頁2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義第三講

微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用—、微分中值定理

1.羅爾定理如果函數(shù)((1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等,f(a)f(b)；則在

(a,

b)

內(nèi)至少存在一點(diǎn)

(a

b)(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；b),使得f(b)f(a)f"()(ba).3.(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(a)10f那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)(ab),g(使b得)f(b)f

(a)

f

(

)

.g

(

)二、洛比達(dá)法則x1.)x滿足a:時(shí)的未定型若函數(shù),使得f"()0.2.拉格朗日中值f定理(如果函數(shù)f(x)滿足:x)和g(那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)(a

x柯西中值定理)如果函數(shù)f

(x)及g(x)滿足滿足第g10頁/共45頁2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義f

(x)x

a

g

(x)(3)limf存在(或?yàn)闊o窮大),xag(x)(x)f則limlim.x

a

(x)2

g(x).x未數(shù)(和g滿:x

g(x)(x)時(shí)的(3)limf存在(或?yàn)闊o窮大),定則limf(x)f

(x)型xlim

.設(shè)g(x)0注函:僅當(dāng)0型才可以考慮用洛比達(dá)法則.對(duì)于0,xg(x)型或,00,1,0型的未0f定型可以通過轉(zhuǎn)化成為0型或型后,再考慮使用洛比達(dá)法則.000n三、泰勒公式x1).泰勒中值定理設(shè)f(x)在含有x0的某開區(qū)間I內(nèi)有直到(n1)階導(dǎo)數(shù),則對(duì)于xI,(n)(

f

(x)

f

0(x

)

f

(x

)(x

x2)!

f(0x0

)

(xx

)n2

!

…(x0

)

(xx)nR(x),0x

f)其中Rn(x)

f

(n

11))!()(xx)n1,0介于x與x之間.2.麥克勞林公式足設(shè)f(x)在含有x0的某開區(qū)間I內(nèi)有直到(n1)階導(dǎo)數(shù),則對(duì)于xI,11n!(n)(0)

n

fxn

1f(x()1)當(dāng)fx(0)時(shí)f,函(0數(shù)2)x!f(x)f和g(x0)都x2趨于…零；(n1)(!x)

x

(n

1()01)

.四、函f函數(shù)的單調(diào)性(2)當(dāng)xA時(shí),f(x)和g(x)都存在,且g(x)1.設(shè)函數(shù)0y；f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)第11頁/共45頁2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義如果在在(a,b)內(nèi)f(x)0，那么yf(x)在[a,b]內(nèi)單調(diào)增加.如果在在(a,b)內(nèi)f(x)0，那么yf(x)在[a,b]內(nèi)單調(diào)減少.注:上述所給的只是判別單調(diào)性的充分條件，并非必要條件，即f(x)0f(x)單調(diào)，而不能由f(x)單調(diào)f(x)0，只能得到f(x)0.五、曲線的凸凹性和拐點(diǎn)1.曲線的凸凹性(1)定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，如果對(duì)I上任意兩點(diǎn)x1,x2恒有f

(

x1

x2

)

f

(x1)f(x2),那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧)；如果恒有22f

(

x1

x2

)

f

(x1)f

(x2

)那么稱f

(x)在I

上的圖形是(向上)凸的(或凸弧).22(2)判別法設(shè)函數(shù)yf(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù),則①若在(a,b)內(nèi)f(x)0,則f(x)在[a,b]上圖形是凹的；2.拐點(diǎn)(1)定義f(x)在區(qū)間I上連續(xù),如果點(diǎn)x0為I的內(nèi)點(diǎn),如果曲線yf

(x)設(shè)y在經(jīng)過x0,f(x0)時(shí),曲線的凹凸性改變了,那么就稱點(diǎn)x0,f(x0)為曲線的拐點(diǎn).(2)拐點(diǎn)的判定若f(x0)0(或f(x0)不存在但f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)),當(dāng)在x0點(diǎn)的左、右鄰域內(nèi)f(x)異號(hào)時(shí)0,x,f12x

x0(2)垂直漸近線:如果limf(x) ，則直線xx0是曲線yf

(x)的一條垂直漸近線.②若在(a,b)內(nèi)f(x)0，則f(x)在[a,b]上圖形是凸的.(3)斜漸近線:如果存在直線L:ykxb使得當(dāng)x (或x ，x)時(shí),曲線第12頁/共45頁2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義yf(x)上的動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到直線L的距離d(M,L)0,則稱直線L為曲線yf(x)的漸近線.若直線L的斜率k0,則稱L為斜漸近線.13(4)直線L

:y

kx

b

是曲線yf(x)的漸近線,則kxxxxf

(x)lixm,xblimf

(x)kx

.x六、函數(shù)的極值與最值1.函數(shù)的極值(1)函數(shù)極值的定義o設(shè)函數(shù)f

(x)

在U

(x0

)內(nèi)0有有定義0,如果對(duì)于0xU(x)0f

(x)f

(x

)或f

(x)f

(x

)那么就稱f

(x

)是函數(shù)f

(x)的一個(gè)極大值(或極小值).(2)函數(shù)的極大(小)值只是它的局部的最大(小)值，不一定是它的全局的最大(小)值.(3)必要條件:設(shè)函數(shù)f(x)在x點(diǎn)可導(dǎo)，且在x處取得極值，則必有f(x)0.0 0 0注:①駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).②極值點(diǎn)不一定是駐點(diǎn)，但在可導(dǎo)的條件下，極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn).2.判定極值充分條件(1)第一充分條件○設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù),且在x0的某去心鄰域U(x0,)內(nèi)可導(dǎo),則①若x

(x,x

)時(shí),f

(x)0

；x

(x

,x0

0 0

0)時(shí),f(x)0,則f(x)在x處取得0極大值.②若x

(x0,x0

)時(shí),f

(x)0

;x

(x0

,x0)時(shí),f(x)0,則f(x)在x0處取得極小值.(

2)第二充分條件設(shè)函數(shù)f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f(x0)0,f(x0)0,則①當(dāng)f(x)0時(shí),函數(shù)f(x)在x處取得極大值；第13頁/共45頁2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義一元第四講函數(shù)積分學(xué)—、不定積分原函數(shù)的定義如果在區(qū)間I上,可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),即對(duì)任一xI,都有F(x)f(x)那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù).若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連記續(xù)作,則它在f(區(qū)x間)dIx上,存其在中原函稱為積分號(hào),f(x)為被積函數(shù),f(x)dx為被積表達(dá)式,x稱為積數(shù)分.變量.34.不基定本積分的公定式義(在1)區(qū)間Ik上dx,函k數(shù)xf(Cx()k的是帶常有數(shù)任)意,常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分1,(2)xdxx1

C1,dx(3)lnxdx(4))xC,1x2dx(5141

x2arctanxC,arcsinxC,(6)

cos

xdxsin

x(8)2sec

xdxdxcos2

xdx2tanxsiCn,2x(9)(:)cotxC,sec

x

tan

xdxcsc

xdxsec

xC,(:)csc

x

cot

xdxcsc

xCC,(7)sinxdx cosxC,第14頁/共45頁2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義x

x(12) edxeC,15ax

ln

a(13)a

xdxC

.二、不定積分的積分法1.第一換元積分法(湊微分法)設(shè)f(u)具有原函數(shù),u(x)可導(dǎo),則f

[

(x)]

(x)dxf

[

(x)]d

(x)令u(

x)f

[

(x)]

(x)dxf

[u]duF

(u)CF[(x)]C.2.第二換元積分法設(shè)x(t)單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù),且 (t)0,若f (t)(t)dtG(t)C,則令x()(x)]

C

.3.分部積分法設(shè)uu(x),vv(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則u(x)v(x)dxu(x)v(x)v(x)u

(x)dx

.四、定積分1.定積分的定義設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上有界,在a,b中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)把區(qū)間a,b分成n個(gè)小區(qū)間 x,x , x,x01 12,…, x,x ,各個(gè)小區(qū)間的長度依次為Δxxx,n1n 110Δxxx,…,Δxxx在每個(gè)小區(qū)間x,x221 nnn1 i1i上任取一點(diǎn) (

xi

i

1i

ix),作函在小區(qū)間x,x 上 怎樣選取,只要當(dāng) 0時(shí),和S總趨于確定的極限I,那么稱這t i1i iba,b上的定積分,a記作f(x)dx.,即個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在:f(x)dxb

na

f

(x)dxlim

f

(0

i

1

i

i)fΔ[x

.(t)] (t)dt

G(t)

C

G[其1中,f(x)叫做被積函數(shù),f(x)dx稱為被積表達(dá)式,x稱為積分變量,a叫做積分下限,第15頁/共45頁2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義b叫做積分下限,a,b叫做積分區(qū)間.a,xb,2.定積分的幾何意義:函數(shù)f(x)在[a,b]上的定積分是曲線yf(x)與直線xx軸所圍成的曲邊形面(1)兩條規(guī)定aba①

f

(x)dx

0

；a②af

(x)dxbfb

(x)dx

.b(2)定積分b

的性質(zhì)ba梯

①

[

f

(x)g(x)]dxaf

(x)dx

bag(x)dx

.ab

ac積②

kf

(x)dx

b

k

f

(x)dx

(k

是常數(shù)).的ca

a

b代b數(shù)和③設(shè)

a

c

b

，則

f

(x)dx

f

(x)dx

f

(x)dx

..3b.④如果在區(qū)間[a,

b]

上

f

(x)

1，則

f

(x)dx

b

a

.

b定a積bf

(x)

dx

.

b分推⑤論如果2：在區(qū)間[af,(bx])上dx，

f

(x)

0

，則

f

(x)dx

0

(a

b)

.的⑥設(shè)M

和m

是函數(shù)f

(x)在區(qū)間[a,b]上最大值及最小值a

a

a，性b質(zhì)m(b

a)a16f

(x)dx

M

(b

a).推論1:如果在區(qū)間上,f(x)g(x),則 f(x)dx g(x)dx(ab).⑦如果函數(shù)f(x)在積分區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在a[a,b]上至少存在a一點(diǎn)使得baf

(x)dx

f

(

)(b

a)

.⑧奇偶函數(shù)的積分性質(zhì):aaf

(x)dx

0

(f

(x)奇函數(shù)).第16頁/共45頁2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義aaa

f

(x)dx

02f

(x)dx

(f

(x)偶函⑨周數(shù)期)函.數(shù)的積分性質(zhì):0Tf

(x)dx

f

(x)dx

.aT設(shè)f(x)以T為周期,a為常數(shù),則a五、微積分基本公式1.積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(1)積分上限的函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),則任取xx(xa)xa,ba,定積分f(t)dt有一個(gè)對(duì)應(yīng)值,f(t)dtaxb,稱為積分上所以它在區(qū)間a,b上定義了一個(gè)函數(shù)，記作:限函數(shù).(2)積分上限的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)x如果函數(shù)f(x)在積分區(qū)間[a,b]上連續(xù),則積分上限函數(shù)(x)af

(t)dt

在[a,b]上d

xdx可導(dǎo),且 (x)f

(t)dt

f

(x)

(

a

x

b

).a2

(

x)1

(

x)(3)(推廣形式)設(shè)F

(x)f(t)dt,112(x)

f(x)

(x)

.1(x),2(x)可導(dǎo)，f(x)連續(xù)，則F(x)＝f2(x)x注:若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)(x)af

(t)dt

就是f

(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù).2.牛頓-萊布尼茨公式如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù),則b

b17af

(x)dx

F(x)F(b)

F(a).a六、定積分的換元積分法和分部積分法1.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),函數(shù)x(t)滿足條件:①()a,()b；②(t)在[,](或[,])上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且其值域R [a,b],第17頁/共45頁2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義f

[

(t)]baba)ux

dxu(ux()xv

)v(x)b則有af(x)dx2(.t)分d部t積.分法bav

x

dx(

.x七、定積應(yīng)圖面角由曲線yy1(x),yy2(x)和直線xa,xb圍成的圖形的面積為:b分S1＝

y2

(x)

y1(x)

dx

.的a(2)極坐標(biāo)系用由用曲線 1(),12

()及射線， 圍成的圖形的面積為:2181S

＝

2122()2

()

d

..2平.旋轉(zhuǎn)體的體積(面1)由曲線y

f

(x)(f

(x)b

和x

軸圍成的平面圖形0)與直線xa,xb 2a繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的體積為:Vx形f

(x)

dx

.ba的繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積為:Vy2xf

(x)dx

.(2)由曲線xg(y)(g(y)0),與直線yc,yd和y軸圍成的平面圖形積2dcdc

yg(繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積為:Vy1)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的體積為:Vx2(直3)平行截面面積為已知的立體的體積平面xa,xb之間的立體,若過點(diǎn)x且垂直與x軸的截面面積為A(x)已知,則該立體b坐的標(biāo)體積為V系aA(x)dx

.3.平面曲線的弧長*○(1)參數(shù)方程所表曲線的弧長g

x dy

.y

dy

.第18頁/共45頁2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義x設(shè)光滑曲線L

:y(t)(t)t ,(t),(t)在,上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),則曲線22(t)(t)

dt

.L

的弧長為S(2)直角坐標(biāo)系f(x),axb,f(x)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),則曲線LbS設(shè)光滑曲線L

:y的弧長1ya

2

dx

.(3)極坐標(biāo)系設(shè)光滑曲線L

:r(),,()在,上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則曲線L的弧長S(

)22

d(

)

.4.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積*○曲線yf(x)(f(x)0)與直線xa,xb和x軸圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一b19a周得到的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為:Vy2f

(x)

1

y

2

dx

.第五講微分方程—、微分方程的基本概念微分方程的定義:凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程稱為微分方程.微分方程的階:微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為該微分方程的階.3.微分方程的解(1)若將函數(shù)帶入微分方程中能使方程變?yōu)楹愕仁?這樣的函數(shù)稱為微分方程的解.(2)微分方程的解中含有自由常數(shù),且含有獨(dú)立常數(shù)的個(gè)數(shù)等于方程的階數(shù),這樣的解稱為微分方程的通解.(3)微分方程的不含有自由常數(shù)的解稱為微分方程的特解.二、一階微分方程1.可分離變量的微分方程第19頁/共45頁2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義dx1

122dy(1)方程形式:P(x)Q(

y)

(Q(

y)0)或M

(x)N

(y)dxM(x)N

(

y)dy

0

.N

(M

(x)N

(

y)(2)解法:先分離變量成M

(x)y)1

dx2dy,再兩邊積分1

dxdy

C

.M2(x)N1(

y)yx(1)方程形式:dydxxy

.dy2

(2)解法:dxu,則M2(x)u(u),兩邊積分得du

dxd(uu)

xCu.N1(y)三、一階d線x

性微分方程dy一階線性微分方程x齊次方程(1)方程形式P(x)

y

Q(x)

.dxP

x

dxQx

eP

x

dxdx

C.2.貝dy(2)解法:常數(shù)變d易x法求得通解ye(1)方程形式:Q努利方x程*

ynn

0,1

.1

P x

y(2)解法:設(shè)zy1n，則方程化成dzP(x)zQ(x),再用一階線性微分方程的求解方1

n

dx法求解.3.全微分方程*(1)方程形式:P(x,y)dxQ(x,y)dy0，滿足條件

QP.xy(

x,

y

)①特殊路徑積分法:u(x,y)u(0

x

,

y

)P(x,y)dxQ(x,y)dy,x

yy0u(x

,

y

)0P(x,

y

)dQx(x,

y)dy

.x0

0

x0u20②不定積分法:由P(x,

y)

得

u(x,

y)

P(x,(2)解法:上述全微Q(分x方,y程)通解為u(Px(,xy,)y)dCx，求uC(x,(y)的，常求用出方C法:(y)，然后積分即可.y)dxC(y)，對(duì)y求導(dǎo)得 y四、可降階的高階微分方程*○1.y(n)f

(x)型0

(x0

,y0第)20頁/共45頁2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義12n

1nfx

C

.解法:用n次積分求解，通解y…(x)(dx)nCxn1Cxn2…C ,,n次2.yf

(x,y

)型(方程中不顯含y

)解法:設(shè)yp,則y p,原方程變?yōu)閜f(x,p),該方程為一階微分方程.設(shè)其解為pg(x,C)，即y g(x,C)，則原方d程p的通dp解為dydpg(x,C)dxC.解法:設(shè)y p，1把p看成y的函數(shù)，則1y p，把y1,y的2表達(dá)式代dxdydxdy21121dy入原方程得pdp f(y,p),設(shè)其解為pg(y,C),則 xC.3原.方y(tǒng)

程的通解f為(

y,

y

)

型(方d程y

中五不、顯二含階x

)

g(

y,

C

)①線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)二階齊次線性方程:y p(x)y q(x)y0二階非齊次線性方程:y p(x)y q(x)yf②C2

y2

(x)仍為方程1(.x若)y1(x),y2(x)為齊次方程①的兩個(gè)解,則它們的線性組合C1y1(x)①的解.特別地,當(dāng)y1(x)與y2(x)線性無關(guān)時(shí),則齊次方程①的通解為yC1y1(x)C2y2(x).2.若y*(x)方程②的一個(gè)特解,而Cy(x)Cy(x)為方程①的通解,則非齊次方程②的11 22通解為y

C

y

(x)C

y

(x)y*(x).1122f2

(x)的特解,則y1(x)y2(x)是y p(x)y q(x)yf1(x)1.二階常系數(shù)齊次線性微分方程py qy

0

.(2)解法:先求其特征方程2

pq0的根,其通解結(jié)構(gòu)為①當(dāng)Δp24q0,特征方程有兩個(gè)不同的實(shí)根,,則通解為yC

e

1

x

C

e

2

x

.1212常②常當(dāng)系Δ數(shù)齊p次2線4性q微0分,方特程征程方程有二重根1 ,2則通解為y12f2(x)的特解.六、CC1xxe.③當(dāng)Δ

p2

4q

0,特征方程有共軛復(fù)根i(1)方程形式:y,則通解為若y1(x),y2(x)為非齊次方程②的兩個(gè)解,則第C12y11(頁x)/共C24y52(頁x),(C1C21)仍為②的解；y1(x)y2(x)是齊次方程①的解.設(shè)y1(x)與y2(x)分別是y p(x)y q(x)yf1(x)與y p(x)y q(x)y2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義22y

e

x

(C

cos

x

C

sin

x)

.122.n階常系數(shù)齊次線性方程*○p

y

n

1

p

y

n

2(1)

y

n

…

pypy0,其中p(i1,2,…,n)為常數(shù).112nn

i(2)解法:由特征方程n

p

n

1

p

n

2

…p12n

1p

0

的根寫出微分方程的通解n中含有的對(duì)應(yīng)項(xiàng)如下:①若特征方程有n個(gè)不同的實(shí)根,,…,,則通解yC

e

1

x

C

e

2

x

…

C

e

n

x

.1

2n21n②C

x

…

C

xk

1)e

x

.12k1.f(x)P(x)ex其中P(x)為n次多項(xiàng)式,(1)若不是特征根,則x令y R(x)e,(2)若為特征方程的k重實(shí)根(nkn,則通解中含有(C是特征方程單根,則令y xnR(x)ex,(3)若是特征方程的重根,則令y x2R(x)ex,其中R(x)為n次多項(xiàng)式,將y代入原③若i為特征方程的k重共軛復(fù)n根(2kn),則通解中含有n方程求出Rn

(x)的各系數(shù)得到原方程的特解.12.2

x

k

1e

x[(C

C

x

…

C

xk

1)

cos

x

(D

D

x

…

D

xk

1)

sin

x]

.f

(x)

e

[2P

(x)

cosknxPsinx],其中P(x),P(x)分別為n,l次多項(xiàng)式,則方lnl七(七1)、若二階常.系.i數(shù)不數(shù)是非特齊征次方次程線的性根方，方則程令xye

m([1)R

(x)

co(s2)

xR(x)msinx],(程2)的若特解y的．形i特式是征為方:程的根，則令yxxe[Rm(x(1))cosx(2)方程的形式:yR pyqyf(x),其中p,q為常數(shù),特征方程為(2x)spimnqx],0其.中R(1)(x),R(2)(x)是m次多項(xiàng)式,mmax{n,l},將y代入原方程求出R(1)(x),R(2)(x)m

m

mm為實(shí)常數(shù)，則方程的特解y的形式為:n的各系數(shù),從而得原方程的特解.n第六講

多元函數(shù)微分學(xué)—、多元函數(shù)的概念1.二元函數(shù)的定義第22頁/共45頁2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義設(shè)D是R2的一個(gè)非空子集,稱映射f:DR為定義在D上的二元函數(shù),通常記為zf(x,y),(x,y)D,其中點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域,x,y稱為自變量,z稱為因變量.2.二元函數(shù)的極限的定義設(shè)二元函數(shù)f(x,y)的定義域?yàn)镈,P0(x0,y0)是D的聚點(diǎn),如果存在常數(shù)A,對(duì)于成)時(shí),都有f(Pf)(x,Ay)A(x0,y0)時(shí)的極限,0, ,使得當(dāng)點(diǎn)P(x,oy)D∩U(P0,立,那么就稱常數(shù)A為函數(shù)f(x,y)當(dāng)(x,y)記作limy.0

00

0(

x,

y

)

(

x

,

y

)limf

(x,0

y)

f0(x,y),則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)連續(xù).f(二、偏導(dǎo)數(shù)x1.偏導(dǎo)數(shù)的定義:Δx

0, 設(shè)二元函數(shù)zf(x,y)在U(P0,)內(nèi)有定義f,(當(dāng)x0y固Δ定x,在y0y)0而fx(在x0x,0y處0)有增量Δx時(shí),Δ

x相應(yīng)的函數(shù)有增量f(x0Δx,y0)f(x0,y0),如果lim 存在,則稱此極限為函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù),記作fx(x0,)y0),y0Ay

,f

x

x

x0

x

x

x或zz

00

x

x

x.y

y0

y0f

(x,y)在點(diǎn)(x0

,y0

)y類似地,函數(shù)z處對(duì)y

的偏導(dǎo)數(shù)定義為Δy

0Δ

yy

x

x0

y23l(

xi,my

)

(

x

,0y

)

00

0f

(x,

y

Δ

y)

f

(x

,

y

),記y作00f

zxy

yy0y

x

x

0設(shè)二元函數(shù)f(x,y)的定義域?yàn)镈,P0(x0,y0)是0D的聚點(diǎn),且P0D.如果0f

(x

,

y

),

,yy

xy0.或z3.二元函數(shù)的連續(xù)性定義2.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義fx

(x0

,y0

)表示曲面z

f

(x,y)與平面y

y0

的截線在點(diǎn)(x0

,y0

,f

(x0

,y0

))處的切線關(guān)于x

軸的斜率；f

y

(x0

,y0

)表示曲面z

f

(x,y)與平面x

x0

的截線在點(diǎn)第23頁/共45頁2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義(x0,y0,f(x0,y0))處的切線關(guān)于y軸的斜率.3.二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)zfxx

(x,

y)(y

xzxf

(x,

y)()x

y

y2

z設(shè)z

f

(x,y),則2

zx2

x

xzx

(x,

y)

z(),2fyy(x,

y)()y

2

zxf

yxyyy

y2z),y224.如果函數(shù)zf(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)x和

z

z都在區(qū)域D內(nèi)連續(xù),那么在該yx區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等.三、全微分1.全微分的定義設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義,如果函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的全增量Δz f(xΔx,yΔy)f(x,y)可表為Δz AΔxBΔy (),其中A,B不依賴于Δx,Δy,而僅與x,y相關(guān), (Δx)2(Δy)2,則稱函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分,而AΔxBΔy稱為函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全微分,記作dz,即dzAΔzBΔy.2.可微的必要條件xy在,且函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全微分為dz zΔxz

Δ

y

.xy3.可微的充分條件z,如果函數(shù)zf(x,y)的偏導(dǎo)數(shù) z在點(diǎn)(x,y)連續(xù),則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.x

y四、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1.多dt

v

dt24偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)zf((t),(t))在點(diǎn)t可導(dǎo)d,t且有dzu

z

uz

v

.第24頁/共45頁如果函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分,則該函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)z,z必定存學(xué)輔導(dǎo)講義xu2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高v等xxy數(shù)u

yv

yzdv,不管u,v是中間變量還是自變量都成立,該性質(zhì)叫全微分2.全微分形dz式的不變z性du形式(2)多元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)u合的情形 v的不變性.如果函數(shù)u (x,y)和v (x,y)在點(diǎn)(x,y)具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)五、隱函數(shù)的求導(dǎo)zf(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)zf[(x,y),(x,y)]在點(diǎn)(x,y)1.由方程確定的隱函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在,且有(1)一元隱函數(shù)y

0

00

0F(x,y)0,則方程F(x,y)0在點(diǎn)(x,y)的某鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有dyFz zu zv z zdxu zxv, .連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)yf(x),它滿足條件y0f(x0),且.設(shè)函數(shù)F(x,y)在點(diǎn)P(x0,y0)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)F數(shù)y,且F(x0,y0)0(2,)二元隱函數(shù)0

0

0內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),0

0

0設(shè)函數(shù)F(x,y,z)在點(diǎn)P(x,y,z)的某鄰域 且F(x,y,z)0,F(x,y,z)0,則方程F(x,y,z)0在點(diǎn)(x,y,z)的某鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)y000 0000 0

0且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)zf(x,y),它滿足條件zf(x,y),且zFx,zFy

.xFzyFz2.由方程組確定的隱函數(shù)設(shè)F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)在點(diǎn)P(x0,y0,u0,v0)的某鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又F(x0,y0,u0,v0)0,G(x0,y0,u0,v0)0,且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式25

第25頁/共45頁2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義Fv(u,

v)

(F

,G)

FJu0

0在點(diǎn)P(x0,y,u0,v)不等于零,則方程組F(x,y,u,v)v0,Fu

FvGu

Gv(x,

v)Fu

FvGu

GvG(x,y,u,v)0

在點(diǎn)(x0

,y0

,u0

,v0

)的某鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)0 0

0

0 0

0的函數(shù)uu(xG,y),vGv(x,y),它們滿足條件uu(x,y),vv(x,y),并有FxFu

Fxx

J(u,

x)u

u

1

(F

,

G)x

JGxGv,v1(FF,vG)GxG,uFy

Fvu1

(F

,

G)GyGvv1

(F

,

G)Gu

vGvFuGuFyGyFuFGuvGv26.六、多元函數(shù)的極值及其求法,1.多元函y數(shù)的極值的J定義(y,v) J(u,y)FuF y設(shè)函數(shù)f

(x,y)的定義域?yàn)镈

,P0

(x0

,y0

)為D

的內(nèi)點(diǎn),若U

(P0

)D

,使得o(x,y)U(P0),都有f(x,y)f(x0,y0),則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)有極大值of(x0,y0),點(diǎn)(x0,y0)稱為函數(shù)f(x,y)的極大值點(diǎn)；若(x,y)U(P0),都有f

(x0

,y0

)則稱函數(shù)f

(x,y)在點(diǎn)(x0

,y0

)有極小值f

(x0

,y0

),點(diǎn)(x0

,y0

)稱為函數(shù)f

(x,

y)f(x,y)的極小值點(diǎn).2.取極值的必要條第26頁/共45頁27y2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義則f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處是否取得極值的條件如下:但連續(xù)點(diǎn)處的函數(shù)值及在區(qū)域D

的邊界上函數(shù)的最大、最小值而得.fx

xF(x,y)f(x,y) (x,y),解方x程組Fy

f

(x,

y)(x,y),求駐點(diǎn),由問題的實(shí)(1)ACB20時(shí)具有極值，且當(dāng)FA0時(shí)有極大(值x，,y當(dāng)).A0時(shí)有極小值；際意義確定(2極)值A(chǔ)C，此B法2叫拉0格時(shí)朗沒日有數(shù)極乘值法；.(3)ACB20時(shí)可能有極值，也可能沒有極值，需另作討論.注:二元函數(shù)的極值點(diǎn)不.一.定.是駐第點(diǎn)第.七講重積分一4一.求、函二數(shù)重的最積大分值與最小值1.二重積分求的函定數(shù)義在:有界閉區(qū)域D上的最大值與最小值用比較法.即比較駐點(diǎn)、偏導(dǎo)數(shù)不存在設(shè)函數(shù)f

(x,y)是有界閉區(qū)域D

上的有界函數(shù).將閉區(qū)域D

任意分成n

個(gè)小閉區(qū)域5.條件極值Δ1,求Δz2,F…(x,,Δy)在n,其(中x,,yΔ)i0表?xiàng)l示件第下i的個(gè)極小值閉點(diǎn)區(qū),域先,構(gòu)也造表輔示助它函的數(shù)面積.在每個(gè)Δi上ni

.如果各個(gè)i

1小閉區(qū)域的直徑中的最大值nDD

i

x

ii任取一點(diǎn)(i,i),作乘積f(i,i)Δ閉區(qū)域D上的二重積分,記作ii1,2,…,n,并作和(x,f(i,i)Δf(x,y)d,y即)0f(x,y)di1limf(,)Δ ,其中,f(x,y)叫做被積函數(shù),f(x,y)d叫做被積表達(dá)式,d叫面積元素,x與(yx,叫做積y),ni

i

i分變量,D叫做積分區(qū)域, f(,)Δ叫做積分和.i

12.二重積分的幾何意義:趨于零時(shí),這和的極第限2總7存頁在,/則共稱4此5極頁限為函數(shù)f(x,y)在F2015考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義f

(x,y)d

表當(dāng)f(x,y)為閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù),且f(x,y)0,則二重積分示D以曲面zf(x,y)為頂,側(cè)面以D的邊界曲線為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的曲頂柱體的體積。3.二重積分的性質(zhì)(1)

kf

(x,

y)dkf

(x,

y)d(k

為常數(shù)).dg(x,

y)d

.D(3)如D

果域分D為D

兩個(gè)

閉D1,域區(qū)D2,則區(qū)f(2()x,y)dD1f

(x,

y)

f

(gx(,xy,)yd

)Dy)d

.D(4)如果在區(qū)域D上,f(x,y)D2g(x,y),則f

(x,

f

(x,

y)dDf

(x,

y)dg(x,y)d,DD特殊地, f(x,y)df

(x,

y)d

.D D(5)設(shè)m,M分別為f(x,y)在閉區(qū)域D上的最小值和最大值,是D的面積,則m f(x,y)d M.D(6)積分中值定理:設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，為D的面積，則存在(,)D,使得D在[a,b]上連續(xù),f(x,y)在D上連續(xù),則D1

(

x)二、二重積分的計(jì)算f(x,y)d1D.在直角坐標(biāo)系中b

2

(

x)fa

(x,

y)dxdydxf

(x,

y)dy

.模型II:設(shè)有界閉區(qū)域D模型I:設(shè)有界閉區(qū)域D(x,

y)

(

y)

x(x,

y)

a

x(

y),

c

y

d12其中1(y),2(y)在[c,d]上連續(xù),f(x,y)在D上連續(xù)則b,(x)y (x) ,其中(x),