高中數(shù)學(xué)：崇仁中學(xué)高一數(shù)學(xué)寒假作業(yè)六答案

第06練函數(shù)的概念與表示

積累運(yùn)用

【知識(shí)梳理】

i.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)4,8是非空的實(shí)數(shù)集,如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,

概念按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系了,在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，

那么就稱力為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)

三對(duì)應(yīng)關(guān)系

要定義域工的取值范圍

素值域與x的值相對(duì)應(yīng)的y的值的集合{/WIxGA}

2.區(qū)間

設(shè)a,b^R,且a<b,規(guī)定如下:

定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示

閉區(qū)間—l----1_.

一ab

{x\a<x<h}開區(qū)間3,b)—I___I_.

ab

半開半

[mb)—I___I_?

閉區(qū)間ab

半開半

3，一-J___I_.

閉區(qū)間ah

[x\x^a][a,+0°)-I________.

a

{小(〃，-I_______

>a}+0°)a

______I—>

{x|xWa}(-°°,a]a

(—8,)--------1—>

{x\x<a}aa

R(—°°,+°°)

,

3.同一個(gè)函數(shù)

1）前提條件：（1）定義域粗回；（2）對(duì)應(yīng)關(guān)系相同.

2）結(jié)論：這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù).

4.常見函數(shù)的值域

1)一次函數(shù)貝x)=ox+伙”W0)的定義域?yàn)镽，值域是R.

2)二次函數(shù)犬%)=加+加+°3*0)的定義域是R,

當(dāng)。>0時(shí)，值域?yàn)槭纷樱?8),

當(dāng)“<0時(shí)，值域?yàn)?-8,4%”.

5.求函數(shù)的定義域

(1)要明確使各函數(shù)表達(dá)式有意義的條件是什么，函數(shù)有意義的準(zhǔn)則一般有：①分式的分母不為0；②偶次

根式的被開方數(shù)非負(fù)；③y=x。要求/0;④實(shí)際問題：若y=f(x)是由實(shí)際問題確定的，其定義域要受實(shí)際問

題的約束.

(2)當(dāng)一個(gè)函數(shù)由兩個(gè)或兩個(gè)以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí)，定義域是使得各式子都有意義的

公共部分的集合.

(3)對(duì)于抽象函數(shù)的定義域：

①若式x)的定義域?yàn)椋踑,b\,則Hg(x)］中，g(.x)e［a,b］,從中解得x的解集即Hg(x)］的定義域.

②若_/［g(x)］的定義域?yàn)椋踡，n］,則由何小，用可確定g(x)的范圍,設(shè)“=g(x),則/［g(x)］=/(")，又_/(〃)

與7U)是同一個(gè)函數(shù)，所以g(x)的范圍即兀v)的定義域.

③已知力9(X)］的定義域，求力〃(刈的定義域，先由力研》)］中x的取值范圍，求出夕(x)的取值范圍，即./(X)

中的x的取值范圍，即〃(x)的取值范圍，再根據(jù)夙x)的取值范圍便可以求出力〃(刈中x的取值范圍.

(4)定義域是一個(gè)集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號(hào)

“U”連接.

6.求函數(shù)值域的常用方法

(1)觀察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過觀察法得到.

(2)配方法：是求“二次函數(shù)”類值域的基本方法.

(3)換元法：運(yùn)用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域.對(duì)于A%)

=ax+6+、cx+d(其中a,b,c,d為常數(shù),且acWO)型的函數(shù)常用換元法.

(4)分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求

值域.

7.函數(shù)的表示法

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

函數(shù)三種表示法的優(yōu)缺點(diǎn)比較

優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)

一是簡(jiǎn)明、全面地概括了變量間的關(guān)系；

解析不夠形象、直觀，而且并不是所有的函數(shù)

二是可以通過用解析式求出任意一個(gè)自

法都可以用解析式表示

變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值

列表不通過計(jì)算就可以直接看出與自變量的它只能表示自變量取較少的有限值的對(duì)

法值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值應(yīng)關(guān)系

圖象直觀形象地表示出函數(shù)的變化情況，有利只能近似地求出自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，

法于通過圖象研究函數(shù)的某些性質(zhì)有時(shí)誤差較大

段函數(shù)

1)一般地，分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量X的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù).

2)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集;各段函數(shù)的定義域的交

集是空集.

3)作分段函數(shù)圖象時(shí)，應(yīng)分別作出每一段的圖象.

9.求函數(shù)解析式的四種常用方法

⑴換元法：設(shè)尸g(x),解出x,代入/(g(x)),求劑的解析式即可.

(2)配湊法：對(duì)/(g(x))的解析式進(jìn)行配湊變形，使它能用g(x)表示出來(lái)，再用x代替兩邊所有的“g(x)”即可.

(3)待定系數(shù)法：若已知f(x)的解析式的類型，設(shè)出它的一般形式，根據(jù)特殊值確定相關(guān)的系數(shù)即可.

(4)方程組法(或消元法)：當(dāng)同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系中的兩個(gè)之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時(shí)，可構(gòu)造方程組求

解.

【易錯(cuò)點(diǎn)撥】

1.求函數(shù)定義域時(shí)非等價(jià)化簡(jiǎn)解析式導(dǎo)致錯(cuò)誤.

2.用換元法求值域時(shí)，忽略中間變量的取值范圍.

3.誤認(rèn)為_/(g(x))與人風(fēng)x))中含義相同.

4.求函數(shù)解析式時(shí)易忽視定義域.

5.作分段函數(shù)圖象時(shí)要注意銜接點(diǎn)的虛實(shí).

6.求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)要依據(jù)自變量的取值范圍確定對(duì)應(yīng)的解析式.

墟」________

［基礎(chǔ)過關(guān)練

1.(2021?四川?雅安中學(xué)高一期中)下列圖象中不能作為函數(shù)圖象的是()

【答案】B

【解析】

本題考查函數(shù)的定義和函數(shù)圖像的含義.

能作為函數(shù)圖象，需滿足：按照?qǐng)D像得出的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)于自變量x的取值范圍內(nèi)的每一個(gè)值，按照?qǐng)D像得

出的對(duì)應(yīng)關(guān)系，都有唯一的一個(gè)y值和它對(duì)應(yīng)；從圖像直觀來(lái)看，平行與y軸的直線與圖像至多有一個(gè)交

點(diǎn).則B不能作為函數(shù)圖象.故選B

x-3,x>5

2.（2021?河北?石家莊市第六中學(xué)高一期中）若函數(shù)/（x）=j〃x+2）,x<5,則式為=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

fx-3,x>5

,?W=L/+2x%<5-/.X2）=X2+2）=X4）=y（4+2）=X6）=6-3=3.

故選：B.

3.（2021.黑龍江.哈爾濱市第六中學(xué)校高一期中）函數(shù)y=7三+（2x+l）°的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

【答案】B

【解析】

3x?/f1—2x>0]?

要使函數(shù)y=1—=2X+1有意義，則有<解得且X#-；

Jl-2x'[2x+l=022

所以其定義域?yàn)椋╕°，g）

故選：B

4.（2021.陜西.西安市第七十五中學(xué)高一期中）下列各組函數(shù)中，是同一函數(shù)的是（）

A.，。)=彳°與8(力=1B./(x)=|M與g(x)=%?

C./(x)=A-4Jgg(x)=x-2D.f(x)=x+\,xe(O,l)與g(x)=W+l,xe(0,l)

x+2

【答案】D

【解析】

對(duì)于A,/(x)=x°的定義域?yàn)閧xlxwO},g(x)=l的定義域?yàn)??,故它們的定義域不同，故不是同一函數(shù)；

對(duì)于B,/(x)=wvg(x)=ym=x對(duì)應(yīng)法則不同，故不是同一函數(shù)；

對(duì)于C,由于/(?=三二1的定義域?yàn)閧x|xx-2},g(x)=x-2的定義域?yàn)镽,故它們的定義域不同，故不

x+2

是同一函數(shù)；

對(duì)于D,/(x)=x+Lxw(0,l)與g(x)=|X+l=x+l,xe(O,l),定義域與對(duì)應(yīng)法則均相同，故是同一函數(shù).

故選：D

5.(2021?浙江?樂清市知臨中學(xué)高一期中)己知函數(shù)/(兀+1)=寸+2犬—3,則/(x)=()

A.x2+4xB.x2—4

C.x2+4x-6D.x2-4x-\

【答案】B

【解析】

因?yàn)椤╔+1)=(X+1)2-4,所以f(x)=Y-4.

故選:B

6.(2021.四川.射洪中學(xué)高一期中)已知函數(shù)月U)的圖象如圖所示，則產(chǎn)/U)的定義域是，值

域是.

【答案】[-3,3][1,5]

【解析】

解：由函數(shù)圖像可知，函數(shù)的定義域?yàn)椤?,3],值域?yàn)閇1,5],

故答案為：[-3,3],[1,5]

7.（2021?廣東?珠海市第二中學(xué)高一期中）集合A={x|xS5且/1}用區(qū)間表示

【答案】（T?,1）U（1,5]

【解析】

因?yàn)榧?={》除5且存1},表示從負(fù)無(wú)窮到5（包括5）去掉1,所以用區(qū)間表示為（f,l）U（l，5l.

8.（2021?天津?崇化中學(xué)高一期中）求下列函數(shù)的定義域：

⑴"錦P；

(2)/(x)=(2x+l)°-

【答案】(1){x|x4-l或xN4且XH-3}；(2){x|-l<x40且

【解析】

X2-3X-4>0

（1）要使函數(shù)有意義，只需

-2*0'

解彳導(dǎo)光<一1或XN4且"-3

所以定義域?yàn)椴飞?-1或X"且XW-3}

—!——i>o

（2）要使函數(shù)有意義，只需x+1一

2x+lw0

-l<x<0

,1

XW——

2

2

所以定義域?yàn)閧x|—l<xV0且X*-；},

9.（2021?河北?石家莊市第二十七中學(xué)高一期中）（1）求函數(shù)y=2x->/ri的值域;

3r-1

（2）求函數(shù)y=J的值域.

X+1

【答案】⑴:+8）⑵卜|k3}

【解析】

（1）設(shè)f=則x=/+l.?.y=2（/+l）-r=2/-f+2（f20）

?,?當(dāng)'=，時(shí)，>min=~——+2=—

4/m,n848

.二y=2x—Jx—l的值域?yàn)?+8

O

⑵y=\3("4=3」

x+lX+lX+1

4cOr_1

?.?----工0yw3.?r=：3的值域?yàn)閧y|"3}

x+1

10.（2021?寧夏?銀川二中高二期末（理））已知函數(shù)/（x）=|x+l|T2x-3|

（2）求不等式的/。）＞1的解集.

【答案】（1）圖象見解析；（2）。,3）

【解析】

x-4,x<-1

3

⑴f(x)=<3x-2,-,

-x+4,x>-

2

函數(shù)y=/*）的圖象如圖所示:

(2)由f(x)的表達(dá)式及y=/(x)的圖象知，/(x)=l時(shí)，x=l或x=3,/。)>1時(shí)，l<x<3,

所以不等式的/(x)>l的解集為(1,3).

II.(2021?廣東?深圳市南山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校(集團(tuán))高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí))(1)已知函數(shù)y=/(x)的定義域

為[-2,3],求函數(shù)丫=小上3)的定義域；

x-2

(2)已知函數(shù)y=/(3x—7)的定義域?yàn)閇―2,3],求函數(shù)y=/(x-l)+/(1—X)的定義域.

【答案】(1)Aju。,#；(2)[-1,3].

【解析】

〃3X-7)f-2<3x-7<3-<x<—

(D對(duì)于函數(shù)°,有°n，解得33,

-x-2[x-2*0[戶2

因此，函數(shù)>=這二D的定義域?yàn)镵，21U(2,：]；

x-2JV3.

(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=〃3x-7)的定義域?yàn)閇―2,3],即—24x43,則—1343x—742,

所以,函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-13,2],

-13<x-l<2

對(duì)于函數(shù)y=/(x-i)+〃i—x)解得一14x43,

-13<l-x<2

因此,函數(shù)y=〃xT)+〃lr)的定義域?yàn)閇-L3].

12.(2021?全國(guó)?高一專題練習(xí))根據(jù)下列條件，求函數(shù)/(x)的解析式;

(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3/(x+l)—2f(xT)=2x+17；

(2)已知/(x+J=+y；

(3)已知等式/(工一力=，(X)一)，(2》一丫+1)對(duì)一切實(shí)數(shù)*、丫者口成立，且〃0)=1；

(4)知函數(shù)/(x)滿足條件2/(x)+f6J=3x對(duì)任意不為零的實(shí)數(shù)x恒成立

【答案】(1)/(x)=2x+7；(2)f(x)=x3-3x(x>2x<-2)；(3)/(x)=x2+x+1；(4)f(x)=2x-(x0).

【解析】

(1)設(shè)/(幻=丘+仇2工0),則

3f(x+l)-2f(x-1)=3[k(x+l)+b]-2[k(x-V)+b]=kx-^-b+5k=2x+17

fk=2[k=2

所以77u，解得：L＞所以/(X)=2X+7；

+5k=17[b=7

-

-3

,4+￡l=F=1-30+￡|,

令f=x+L山雙勾函數(shù)的性質(zhì)可得，4-2或fN2,

X

f(t)=t3-3t,

f(x)=x3-3x(x22或x4-2)

(3)因?yàn)?(x—y)=/(x)-y(2x-y+l"l一切實(shí)數(shù)x、y都成立，且〃o)=i

令x=y則〃0)=/(x)-x(2x-x+l),又因?yàn)閒(O)=l

所以/(O)=/(x)-x(x+l