數(shù)學教案：第二講矩陣

第二講矩陣

考試內容

矩陣的概念矩陣的線性運算矩陣的乘法方陣的幕矩陣的轉置逆矩陣的概念和性

質矩陣可逆的充分必要條件伴隨矩陣矩陣的初等變換初等矩陣矩陣的秩矩陣

的等價分塊矩陣及其運算

考試要求

1.理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱

矩陣以及它們的性質.

2.掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的舞.

3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的

概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣.

4.理解矩陣初等變換的概念，了解初等矩陣的性質和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概

念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法.

5.了解分塊矩陣及其運算.

§1知識提要

一、矩陣的基本概念

1、矩陣的基本概念

(1)矩陣的定義稱由加x〃個數(shù)為(i=1,2,…，機"=1,2,…排成的加行〃列的數(shù)表

a\\"12a\n

A=%密%

am2

為mX〃矩陣，mXn矩陣A簡記為A=或A=(與)或A.nm,，%稱為A的第i行第j

列元素.

元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素是復數(shù)的矩陣稱為復矩陣.

(2)方陣行數(shù)與列數(shù)都等于〃的矩陣稱為〃階矩陣或”階方陣.〃階矩陣A記作

(3)行矩陣和列矩陣

只有一行元素的矩陣稱為行矩陣(或行向量)，記作

I

A=(al,a2,---,an).

只有一列元素的矩陣稱為列矩陣(或列向量)，記作

B=：.

也，

(4)零矩陣元素全為0的矩陣稱為零矩陣，記作。.

(5)矩陣相等若兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等，就稱它們是同型矩陣.若4=(%.)“*”,

8=(%)…，且他="(，=1,2,…，加"=1,2,…,〃)，則稱A與5相等,記作A=3.

2、幾個特殊的矩陣

(1)對角矩陣

o...0、

0%???0

/=diag(4,4,??,4,)=::

???A,

、00nJ

(2)數(shù)量矩陣

'20…0、

0z...0

2E=

、00…%

(3)單位矩陣

’10?-0、

01?.0

E=

、o0?

(4)三角形矩陣

a\2,1,4”、

0a22."ain

上三角形矩陣4=

;00?"a?n,

2

0..0、

。21??-0

下三角形矩陣A=22

%2?,ann/

二、矩陣的運算

1、矩陣的運算

(1)矩陣的加法設A=(%),“*“，B=(bg)則A+B=(為+

運算規(guī)律

(i)A+B=B+A；

(ii)(A+8)+C=A+(B+C).

注意：只有同型矩陣才能相加.

設4=(囹)，記一A=(-%)，稱—A為A的負矩陣.

顯然A+(―A)=O.

規(guī)定A-8=A+(—8).

(2)數(shù)與矩陣相乘數(shù)X與矩陣A=(%)的乘積，記為％4或/U,規(guī)定;IA=Q%).

運算規(guī)律

(i)(4/)A=4(〃A)；

(ii)(2+〃)A=/lA+〃A,2(A+B)=2A+2B.(可推廣)

注意：用數(shù)；I乘以矩陣A=(%),要用；I乘以矩陣A中的每一個元素，而不是用；I乘以矩

陣4中的某一行或某一列元素，這與用數(shù)2乘以行列式同是不同的.

(3)矩陣與矩陣相乘設A=,B=(與晨“，則規(guī)定A與5的乘積為C=(%),“*.,

其中

%=aiAj+42電+…+恁％=%4屹為(i=1,2,…，機"=1,2,…,〃),

i=l

記作C=AB.

注意：(i)只有當左邊矩陣A的列數(shù)等于右邊矩陣8的行數(shù)時，AB才有意義.

(ii)AB的行數(shù)等于A的行數(shù)，A8的列數(shù)等于8的列數(shù).

3

(iii)AB一般不等于A4,即矩陣乘法不滿足交換律.若AB=R4,稱A與8可交換.若

方陣A可與所有同階方陣可交換，則A必為數(shù)量矩陣.

(iv)由45=0不能推出A=0或3=0.例如4=11],B=P

10ojUoj

(V)由48=AC不能推出3=C.例如A=P一口，5=11°|,C=|2°|.

10OjUOj12Oj

運算規(guī)律

(i)(A5)C=A(BC)；

(ii)2(AB)=(2A)B=A(2B)(6為數(shù));

(iii)(A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB.(可推廣)

單位陣在矩陣乘法中的特殊性

E,"A?x?=A?x?E,=A1m”,簡寫成E4=AE=A-

方陣的幕設A是〃階方陣，A的幕規(guī)定如下：

A'=A,A2=A'A',---,Ak+i=AkA'.

運算規(guī)律

A"/=A*A',(A*y=A",(k、/為正整數(shù)).

但一般地，當A與8可交換時，(A8y=A"8".

(4)矩陣的轉置矩陣A的行與列互換后所得到的矩陣，叫做A的轉置矩陣，記作AL

運算規(guī)律

(i)(A，)T=A；

(ii)(A+B)r=Ar+Br；(可推廣)

(iii)(2A)r=AAr(6為數(shù));

(iv)(48)7=**.(可推廣)

對稱矩陣設A為〃階方陣，若"=A，即%=%(i,j=1,2,…,〃)，則稱A為對稱

矩陣，簡稱對稱陣.

4

反稱矩陣設A為〃階方陣，若4'=一4,即％=-%(i,/=l,2,…,〃)，則稱A為

反稱矩陣，簡稱反稱陣.

對稱矩陣的性質

(i)若A,B為同階對稱陣，則A±B,/L4亦為對稱陣.

(ii)若A,8為同階對稱陣，則為對稱陣的充要條件是A與8可交換.

(5)共趣矩陣設A=(%)，記Z=(4),稱1為A的共趣矩陣.

運算規(guī)律

(i)A+B=A+B；(可推廣)

(ii)A；

(iii)而=入方.(可推廣)

2、矩陣運算的兩個重要應用

(1)線性變換的矩陣表示

設Xi，w，…,天,如必，…,笫為2〃個變元，4。,/=1,2「一,〃)為〃2個常數(shù)，稱表達式

X=%西+%2々+…+4”怎

%=。2西+%工2+…+

{yn=anlx,+an2x2+---+annxn

為線性變換.

a2\X2

A=....fx=,y=

,,aMl)(X,i,IyJ

由矩陣乘法的定義及矩陣相等的定義，得線性變換的矩陣形式

y=Ax.

稱A為線性變換的系數(shù)矩陣.

(2)線性方程組的矩陣表示

5

+a12x2H-------Fa]tlxn=bx

。2內+。22工2+…+。2"七-8（稱之為線性方程組的一般形式）,

設有線性方程組4

a

,n\X\+am2x2+---+amnxn=bm

若令

A

則由矩陣乘法的定義及矩陣相等的定義，得線性方程組的矩陣形式

Ax=b.

稱A為線性方程組的系數(shù)矩陣.

若令

則由數(shù)乘矩陣的定義、矩陣加法的定義及矩陣相等的定義，得線性方程組的向量形式

xxax+x2a2+???+xnan=b.

若令

a】=（4i，62,…，%=（%i，%，???，%）…，=（4川，42,…，％）%=（%，々，…，玉）

則由矩陣乘法的定義（或向量內積的定義），得線性方程組的內積形式

a}x=b\,

a[x=b],

a＞：*

三、矩陣的逆

1、逆矩陣的定義對于”階矩陣A,若存在〃階矩陣8,使得

AB=BA=E

則稱矩陣A是可逆的，并稱8為A的逆矩陣，簡稱逆陣，記為8=4,

逆陣的唯一性：如果矩陣A是可逆的，那么A的逆陣是唯一的.

6

2、逆矩陣的性質

(1)若A可逆，則*也可逆，且(A-I)T=A.

(2)若A可逆，數(shù)；IHO,則4A可逆，且(/L4尸

A

(3)若A可逆，則A7■也可逆，且(A7■尸

(4)若A、8為同階可逆矩陣，則A3亦可逆，且(45尸=8一四，(可推廣)

3、伴隨矩陣

(1)伴隨矩陣的定義行列式⑶的各個元素的代數(shù)余子式與所構成的如下方陣

441…4、

.*A242AI2

A=..

、A"A”Am>

稱為矩陣A的伴隨矩陣，簡稱伴隨陣.

(2)伴隨矩陣的性質

(i)A4*=A*A=|A|E；

sn_2

(ii)(A/=|A|A(n>2);

(iii)|A*|=|A『T(〃N2)；

(iv)(A，)*=(A*)，；

(v)若A可逆，則(A*)T=(k)*；

(vi)(AB)*=8*A*均為〃階方陣)；(可推廣)

（vii）（公）*=〃iA*（k為數(shù),A為〃階方陣）.

4、矩陣可逆的充要條件

(1)”階方陣A可逆o網(wǎng)。0,且A-：)(逆陣公式).

(2)”階方陣A可逆o存在〃階方陣3,使48=七或氐4=6.此時，A：'=B.

5、逆矩陣的求法

(1)方法———伴隨矩陣法(利用逆陣公式)

7

(2)方法二——初等變換法

四、矩陣的初等變換與初等矩陣

1、矩陣的初等變換

(1)矩陣的初等變換的定義下面三種變換稱為矩陣的初等行(列)變換：

(i)對調兩行(列)(對調i"兩行記作號一。，對調兩列記作Jee,)；

(ii)以數(shù)A工0乘某一行(歹ij)中的所有元素(第i行乘2記作7x上，第j列乘&記作qx%)；

(iii)把某一行(列)所有元素的2倍加到另一行(列)對應元素上去(第/行的Z倍加到

第i行上記作n+kr-第」列的攵倍加到第i列上記作j+kq).

矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.

(2)初等變換的可逆性

三種初等變換都是可逆的，且有

4crj(qccj的逆變換：八c5(qccj；

zjxZ:(qxA)的逆變換：弓x(?

q+krj怎+%)的逆變換:r；+(一無)。(c?+(-J

(3)矩陣等價若矩陣A經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣B,就稱矩陣A與8行等價，記

作若矩陣A經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣8,就稱矩陣A與8列等價，記作A;B；

若矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣8,就稱矩陣A與8等價，記作A~6.

矩陣之間的等價關系具有下列性質：

(i)反身性A?A；

(ii)對稱性若A?B,則8?A；

(iii)傳遞性若A?B,B-C,則4~。.

定理任意一個mx〃矩陣4經(jīng)過有限次初等變換，總可以化為如下標準形

'E,a*("-r)、

其中為E,為r階單位陣，r=R(A).

定理兩個同型矩陣A,8等價的充要條件是R(A)=H(B).

8

2、初等矩陣

(1)初等矩陣的定義由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.

三種初等變換對應三種初等矩陣.

(i)對調兩行或對調兩列.把單位矩陣中第兩行對調(第兩列對調)，得初等矩陣,

記為￡。力.例如

‘010]

心(1,2)=100.

、001,

(ii)以數(shù)人。。乘某行或某列.以數(shù)左。0乘單位矩陣E的第i行(列)，得初等矩陣，記

為E(i(k)).例如

'100]

E,(2(3))=030.

、00

(iii)以數(shù)Z乘某行(列)加到另一行(列)上.以數(shù)左乘單位矩陣E的第.)行加到第i行上

或以數(shù)Z乘單位矩陣E的第i列加到第，列上，得初等矩陣，記為E田也)).例如

‘100]

E(31(2))=010.

30"

(2)初等矩陣的可逆性初等矩陣是可逆的，且

E(i,力t=E(i,j)；F(/U))-'=E(/(1))；E(ij(k))r=E(ij(-k)).

(3)初等變換與初等矩陣的關系

定理設A是一個〃矩陣，對A施行一次初等行(列)變換，相當于在A的左(右)

邊乘以相應的，"(〃)階初等矩陣.

(4)矩陣等價的描述

(i)設A,B是機X”矩陣，則A與8行等價o存在若干個加階初等矩陣匕鳥,…,乙，

使々鳥…《A=8.

(ii)設A,8是mx〃矩陣，則A與8列等價=存在若干個”階初等矩陣Q1,。2,…，2,

使4。?2-2=5.

9

(iii)設A,B是加矩陣，則A與B等價o存在若干個加階初等矩陣6，鳥,…，巴和

若干個n階初等矩陣a，。2,…,2,使耳鳥…劣AQ|Q…2=B.

(5)矩陣可逆的充要條件

(i)〃階方陣A可逆O網(wǎng)。0(或R(A)=〃，或A的行或列向量組線性無關)，且

(ii)〃階方陣4可逆O存在〃階方陣8,使45=￡或區(qū)4=石.此時，A：'B.

(iii)〃階方陣A可逆o存在若干個〃階初等矩陣2,Q2,…使A=O02…

(iv)〃階方陣A可逆oA與E等價.

(v)〃階方陣A可逆OA的〃個特征值都不等于0.

(6)逆矩陣的求法一初等變換法

（A,E）~（E,A-1）.

(7)矩陣方程AX=B(A可逆)的解法——初等變換法

思考：如何用初等變換法解矩陣方程XA=B(A可逆)？

五、分塊矩陣

1、分塊矩陣的定義所謂矩陣分塊，就是將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣,

每個小矩陣稱為A的子塊，以這些子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.

0

0003）

例如，A00

000-10Of

0

0

00G42

00oE2

00

10

則人=⑷嗎,如%)-

兩種常用的分塊法

設A=(%)mx?，

(1)記a：=(%,生，…，4”)(i=L2,…,=),則4=I

、匕,

(勺、

a2i

(2)i己勺=.(j=1,2,■??,?),貝!JA=(4,4，一、。").

1明

2、分塊矩陣的運算

(1)設A與3有相同的行數(shù)和列數(shù),且采用相同的分塊法,即

A八B,}

A，B

A,B”BJ

其中，Vi=l,2,…,s"=l,2,…,rA..與B.的行數(shù)與列數(shù)分別相同,則

‘4+41…A,+4J

A+B=

、4|+為…4+8",

4--41???

(2)設4為任一數(shù)，A.:，則2A=:

<AlAr>

(3)設A是mx］矩陣，8是/X〃矩陣，分塊成

⑶…A,)'練…%、

A=:，?:,B=?

-4/J

1AS1??1當…

Vi=1,2,…,s"=1,2,…,4,4，…，4的列數(shù)分別等于%，%，…,B"的行數(shù)，則

11

-cj

csr>

其中J=E4"練(i=1,2,…,s;/=1,2,…,r).

A,4八4…a]

(4)設4=：，則A'=：

14Ar?

A、

(5)設4=A，其中A,（i=l,2,...,s）都是方陣，那么稱A為分塊對角

\)

陣.若A,（i=l,2,…,s）都是可逆陣，則A也可逆，且有AT甸

3、分塊矩陣的行列式

（1）廣義對角行列式（分塊對角陣的行列式）設A，…,4都是方陣，則

A

%..=14mHAI

A

（2）分塊三角行列式設A為〃階方陣，8為加階方陣，則

o，網(wǎng)網(wǎng)，伍網(wǎng)*=（一1嚴|修網(wǎng)，日，㈠嚴⑶外

六、矩陣的秩

1、矩陣的秩的定義

設A是一個“2X〃矩陣，任取A的攵行與左列（左<〃2,左<〃）,位于這些行列交叉處的k2

個元素，按原來的次序所構成的左階行列式，稱為矩陣A的攵階子式.

設4是一個用x〃矩陣，如果A中至少存在一個非零的r階子式。，且所有r+1階子

式（如果存在的話）全為零，那么。稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)「稱為矩陣A的秩,

記作R(A).

12

’25-1、

例如，對于A=003,由于同*(),因此R(A)=3.對于

<04-2；

(123

12

8=0—1—11,由于8的所有3階子式全為零，顯然是8的一個二階非

0-1

(0000)

零子式，因此R(B)=2.

一個重要結論:行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù);列階梯形矩陣的秩等于非零列的列數(shù).

2、矩陣的秩的性質

(1)0<R(A“X“)<min]/〃,〃}.

(2)H(A,)=R(A).

(3)若A?8,則穴(A)=A(5).

(4)若以、Qn可逆,則R(PAQ)=R(A).

(5)max{/?(A),R(B)}<R(A,B)<7?(A)+R(B).特別地,當B=b為列向量時，有

7?(A)</?(A,/?)</?(A)+l.(可推廣)

(6)R(A+B)<R(A)+R(B).(可推廣)

(7)R(A5)<min{R(A),R(8)}.(可推廣)

(8)若紇*/=O,則R(A)+R(B)<〃.

3、矩陣的秩的求法一初等變換法

依據(jù)“行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)；列階梯形矩陣的秩等于非零列的列數(shù)”和

“等價的矩陣必定等秩”，可以得到利用初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等變換化為行

(列)階梯形矩陣，則行(列)階梯形矩陣中非零行(列)的行(列)數(shù)就是該矩陣的秩.

4、A的秩與A*的秩之間的關系

設A是一個”階方陣.

(1)若R(4)=〃，則R(A*)=〃；

(2)若R(A)=〃一1(〃22),則R(A*)=1；

13

(3)若R(A)〈〃一1(〃22),則R(A*)=O.

14

§2題型精選

發(fā)型一排陣的運算

解題提示：熟練掌握、應用矩陣的運算律是求解矩陣運算問題的關鍵.

例1已知&=(1,2,3),/?=",；,；)，設4=</P，其中0，是。的轉置，則A"=

1/21/3一

12/3,由矩陣乘

3/21

法的結合律，得

-11/21/3

4"=(/。=，缶/尸夕=3"-2，,=3"7212/3

33/21

-11/21/3

故填3”T212/3

33/21

I-11

例2設a為3維列向量，a，是a的轉置，若a〃=—11-1則aTa-

1-11

【分析】設a=(4M2，/y，則a〃的主對角元分別為a：，a；,a；,故裙=竭=嫉

=1,所以a'a=a：+a；+a；=3.故填3.

例3設4,8,。均為〃階矩陣，E為〃階單位矩陣，若3=￡+43,C=A+CA,則

B—C=().

(A)E；(B)-E；(C)A；(D)-A.

【分析】由3=七+43,C=A+C4,得(E-A)B=E,C(E—A)=A.可見￡一4與

6互為逆矩陣，于是有B(E—A)=E.從而(8—C)(E—A)=E—A,而E-A可逆，故

B-C=E.故選(A).

例4設4=6-■工其中E是〃階單位矩陣，。是〃維非零列向量，夕是《的轉置.證

明：(1)A2=A的充要條件是長。=1；(2)當長自=1時，A是不可逆矩陣.

15

【證明】⑴A2=（E-=E2-=E-（2-,于是

42=405-（2_34設7'=5_勞丁。（1_34設7=0。夕4=］（因為4力0,

故皆、。）.

⑵方法一（反證法）：當月J=1時，A?=A,若A可逆，則14=ATA,即A=E,

這與A=E-^T/E矛盾，故4是不可逆矩陣.

方法二：因為A=E—皆’，故當"自=1時，=4-皆,4=4-4=0,這說明方

程組Ax=O有非零解因此R（A）＜〃，所以A是不可逆矩陣.

發(fā)型工求方陣A的方凌索A"

解題提示：主要方法有（1）若R（A）=1,則將A分解為列向量與行向量的乘積，再利用矩

陣乘法的結合律進行計算；（2）若A可對角化，即存在可逆矩陣P,使尸一“尸=八（A的

主對角元為A的全部特征值），則A'=PN'pT；（3）若A可分解為兩個矩陣8與C之和,

即A=6+C,且民C可交換（8C=C8）,則A"=（B+Cy=力。：&?！?"，當8,C中

k=0

之一個較低次方幕為。時，此方法是有效的.特別地，當A=Z￡+6時，A"=（AE+B）”

=k"E+C；k"iB+C**B?+…+B"；（4）數(shù)學歸納法.

-11r

例5設4=222,求A00.

_333_

【解】設a=（l,2,3）1尸=（1,1,1）"則A=a/?。由矩陣乘法的結合律，得

-11r

A,oo=（a#r）10°=如尚優(yōu)=破鄧*222.

_333_

-4aT

例6設矩陣A=010可對角化，試求。的值以及4".

-330

【解】由|花一川=（/1-1）2（/1-3）=0得4的特征值為4=4=1,4=3.

16

因A可對角化，故R(E—A)=3—2=1.而

--3-a-f--3一a-1

E—A=000—>0-3-a0

_3-31000

故a=—3.

解方程組(E-A)x=O得對應于4=4=1的線性無關的特征向量為芻=(1,1,0)7,

星=(-1,0,3)7.

解方程組(3E-A)x=O得對應于4=3的線性無關的特征向量為芻=(1,0,-1)「.

111

記尸=￡4/3）=100則PZP=1,于是

o3-13

-11■To20-

An=P100-1-11

2

303-13"3-31

3"+|-13-3"+,3"-1

020

2

3-3n+13向一33—3”

321

例7已知A-10-1求工期.

123

200121

【解】因為A020+-2-12E+B,其中E為3階單位矩陣，B=

002I2I

1211

-1-2-1.又3=-1[1,2,1],夕=0,故

I211

20092009200820092008

*009=QE+fi）=（2E）+2009（2E）B=2￡+2009-2J8

'10o''121'

_22009010+2OO9-22008-1-2-1

001121

17

做型三求述共陣

解題提示：求逆矩陣的主要方法有（1）定義法：設A的逆矩陣為X,由AX=E或者M4=E

求出X;（2）公式法：A-1=（當〃23時，此法不宜）；（3）初等變換法：（A,￡）~

（4）利用逆矩陣的性質求逆矩陣；（5）分塊求逆法：若A能分塊為以下類型之一

時,

B0BDBOOBDBOB

OCOCDCC0C0CD

其中B,C可逆，則可利用相應分塊求逆公式進行計算.公式如下

B00BDB-i-B'DC'

0COC'OCOC'

B0B'00BOC~'

DC-C'DB'C1C0B'O

-1

DBOC'oB-C'DB'C'

C0B-'-B-'DC''，cD0

AA

例8設4,A,分別為加,〃階可逆矩陣，試求A的逆矩陣.

A3A

XX]

【解】設A-I=，得

X3x4

AX+4X3=二E,“(1)

?+"3二二0(2)

(3)

AX2+^X4==0

A3X2+A4X4=E"(4)

以A:，落|分別左乘（2）、（3）式，得

(5)

_|(6)

X2=-AA^4

將X2，X3分別代入（4）、（1）式，得

X=(A-4可&『

18

X,=(—女尸

將X1,X4分別代入(5)、(6)式，得

X3=-A14(4-例時

x2=-4'A(A4-A4'Ar

故A.1=r(4——4T4(4—44飛廠

,A14(A-4A：4)T(A-AAA廠J

例9若〃階矩陣A滿足片一24-45=。，E為〃階單位矩陣，則(A+E)T=.

【分析】由A2—2A—4￡=O,得(A+E)(A—3E)=(A—3E)(A+E)=E,所以A+E可

逆，且（4+后尸=A-3E.故填A-3E.

例10設A,8,A+8都是可逆矩陣，求（4-1+3一1廠.

【解】由A（AT+8T）8=A+8,且A,8可逆，得

A-1+B-'=A-\A+B)B-'.

又A+B可逆，上式兩邊取逆，得

(AT'+B-'Y=B(A+BYA.

例n設

-o002

00053

A=12300

45800

34600

求「

【解】先分塊:

OA

A=、

AO

r123

r21

其中A=,4=458

6

19

再分別求落‘，A；'：

-20

3-1

0-34

-52

2-3

00-20

000-34

002-3

3-1000

-52000

發(fā)型8襯卷發(fā)牌的可遮假

解題提示：證明矩陣可逆的主要方法有（1）定義法；（2）利用矩陣可逆的充要條件；（3）

反證法.矩陣可逆的充要條件如下

〃階方陣A可逆o存在〃階方陣8,使AB=石或R4=E；

<=>|A|7^0；

<=>R（A）="；

。齊次線性方程組Ax=0只有零解；

oA的〃個特征值都不為0；

oA可以分解為若干個可逆矩陣的乘積;

<=>A可以分解為若干個初等矩陣的乘積;

oA?石.

例12已知矩陣A滿足A'+A?—A—E=O,證明A可逆，并求A-、

【證明】由A3+A2—A—E=O,得

A3+A2-A^E,

A（A2+A-E）=￡,

所以A可逆，且4一|=4+4—E.

例13已知矩陣A滿足A2+2A—3E=O,證明A+4E可逆.

20

【證明】由A?+2A—3E=0,得

A2+4A-2A-8E=-5￡,

A（A+4E）-2（A+4E）=-5E,

（A-2E）（A+4E）=-5E,

-：(A—2E)(A+4￡)=E,

所以A+4E可逆，且(A+4E)T=—，(A—2E).

例14已知A3=2E,B=A2-2A+2E,證明B可逆，并求^一二

【證明】由A3=2E,得

（1）AA2=2E,所以A可逆，且AT='A2；

2

（2）A3+8E=1OE,即（A+2?（A2—2A+4E）=10E,所以A+2E可逆，且

（4+2E）T=\任-2A+4E）；

（3）A3-E=￡,即（＞—?（*+A+E）=E，所以A—E可逆,且（A—E）T=*+A+

E.

又8=A2-24+2E=A3+A2-2A=A（A2+A-2E）=A（A+2E）（A—E）,所以

8可逆，且

B-'=(A—￡尸(A+2切A-'=^(A2+A+E)(A2-2A+4E)A2=^(A2+3A+4E).

例15設4=￡+盯"E為"階單位矩陣，x,y均為〃維列向量，且/y=2,證明A可

逆，并求A-1

【證明】設8=孫丁，則4=x(yTx}yT=2xyT=2B,于是有

（A-E）2=52=2B=2（A-￡）,

A2-4A=—3E,

A.；（4E-4）=E,

21

所以A可逆，且A-i=；（4E—A）.

例16設4是〃階可逆矩陣，3是〃階不可逆矩陣，則（）.

（A）A+B可逆；（B）A+8不可逆；（C）AB可逆；（D）A8不可逆.

【分析】由6不可逆，得網(wǎng)=0,從而|4叫=|川網(wǎng)=0,所以4B不可逆.故選（D）.

，20、（一20、/00、

對選項（A）,取4=（3,-31=J（00；，則A可逆，3不可逆，但A+B=（3-1J

<50、f-10、

不可逆；對選項（B）,取4=,B=,則A可逆，B不可逆，但

（3-1J10Q）

（40）_*

A+B-（3-D可逆.

例17已知3階矩陣A的特征值為1,2,3,證明2A不可逆.

【證明】由A的特征值得A?—2A的特征值為

4=『-2xl=-1,4=22-2x2=0,4=32-2x3=3.

由特征值的性質知2川=（—I）x0x3=0,所以42—2A不可逆.

例18設A,8為〃階方陣，且E-AB可逆，證明￡一氏4也可逆.

【證明】假設E—84不可逆，則存在而力0,使（E—84）Xo=O,即

Xg—8A，XQw0,

于是Ax（）=ABAXQ.令5^）=Ax0,則%w0.否則，若%=0