六年級奧數(shù)第16講-比較數(shù)的大小教案

學科教師輔導講義

學員編號：年級：六年級課時數(shù)：3

學員姓名：輔導科目：奧數(shù)學科教師：

授課主題第16講一一比較數(shù)的大小

授課類型T同步課堂P實戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)

①小數(shù)的大小比較常用方法；

教學目標②分數(shù)的大小比較常用方法；

③數(shù)的估算時常用方法。

授課日期及時段

T(Textbook-Based)El/]/1果早

知識梳理，

*

一、小數(shù)的大小比較常用方法

為方便比較，往往把這些小數(shù)排成一個豎列，并在它們的末尾添上適當?shù)摹?”，使它們都變成小數(shù)位數(shù)

相同的小數(shù).（如果是循環(huán)小數(shù)，就把它改寫成一般寫法的形式）

二、分數(shù)的大小比較常用方法

⑴通分母：分子小的分數(shù)小.

⑵通分子：分母小的分數(shù)大.

⑶比倒數(shù)：倒數(shù)大的分數(shù)小.

⑷與1相減比較法：分別與1相減，差大的分數(shù)小.（適用于真分數(shù)）

⑸重要結(jié)論：

①對于兩個真分數(shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，則分子和分母都大的分數(shù)比較大；

②對于兩個假分數(shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，則分子和分母都小的分數(shù)比較大.

⑹放縮法

在實際解題的過程中，我們還會用到其它一些思路！同學們要根據(jù)具體情況展開思維！

三、數(shù)的估算時常用方法

（1）放縮法：為求出某數(shù)的整數(shù)部分，設法放大或縮小.使結(jié)果介于某兩個接近數(shù)之間，從而估算結(jié)果.

（2）變換結(jié)構(gòu)：將原來算式或問題變形為便于估算的形式.

典例分析

考點一：兩個數(shù)的大小比較

例1、如果a=您，b="竺，那么a,b中較大的數(shù)是

20062007

【解析】方法一：＜與1相減比較法》

20051120061國%11

=；1--------.因為>所以b較大;

2006----2006--------20072007--------2006----2007

1山220062007、什=20052006

方法二：〈比倒數(shù)法》因為，所以---->-----，進而-----<-----，即nn4<匕7；

200520062005200620062007

方法三：兩個真分數(shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，分子和分母都大的分數(shù)比較大，所以b大。

111111110444444443

例2、如果A=，Dn=A與B中哪個數(shù)較大?

222222221888888887

【解析】方法一：觀察可以發(fā)現(xiàn)A、B都很接近!，且比它小.我們不防與L比較.

22

11R-11R/lARbkA審熔*1血癡;壬汨R、A

-—A=

22x222222221，2''2x88888888752'''2.2

111111110x4444444440444444443”

方法二:A==B,，即A<3.

222222221222222221x4888888884、888888887

1_,1-?1品級1>

方法三:：2----------,則AvB

A111111110B444444443AB

例3、在a=20032003X2002和b=20022003X2003中，較大的數(shù)是,比較小的數(shù)大

［解析】b-a=20022003X2003-20032003X2002=20020000X2003+2003X2003-20030000X2002-2003X2002

=2003X(2003-2002)=2003

所以a比b大2003。

例4、試比較：2x2x2xx2與3x3x3xx3哪一個大？

296個2185個3

8個2

?x?x?xx9

【解析】296=37X8,185=37X5,因為-------------=一>1所以2x2x2xx2>3x3x3xx3

3x3x3xx3243296個2儂個3

5個3

758QQQ

例5、已知：A=-x-x-xx—,那么A與0.1中比較大，說明原因;

369999

3〃-23n_（3?-1）2-1（3H-1）2

【解析】-------------X=A<彳-

3〃-13?+1---（3?）2-1--------（3n）2

258998丫1239979989991

A3=—X—X—XX-------->—X—X—XX--------X---------X-----------=------------

369999J23499899910001000

A>—,即A比0.1大

10

考點二：多個數(shù)的比較

35915

例1、(1)把下列各數(shù)按照從小到大的順序排列:—，---，----

7131628

1012152060

(2)(幼苗杯數(shù)學邀請賽)把下列分數(shù)用“<”號連接起來:

17?19?23?33?91

【解析】⑴我們可以用通分子的方法，可得:

3x15_455x9_459x54515x3—45,分母大的反而小，所以5義<士315Q

7xl5-W5,13x9-117,16義5―麗'28x3841372816

⑵這五個分數(shù)的分母都不相同，要通分變成同分母的分數(shù)比較麻煩.再看分子，60正好是10、12、15、20、

60五個數(shù)的公倍數(shù).利用分數(shù)的基本性質(zhì)，可以將題中的各分數(shù)化為分子都是60的分數(shù).我們稱之為“通分

子比大小”的方法.

106012601560206060606060606060

可見——<一<一<——<——

17102199523923399919110299959291

年海日1020121560

也就是一<一<—<一<

1733192391

例2、在下面9個算式中:

公3543637公38310'⑦⑧*，⑨

—I------，④-+—，⑤------1------

520620720820?⑥1020

2+上，第幾個算式的答數(shù)最小，這個答數(shù)是多少？

1320

【解析】方法一：①-②二———>0,即①>②;

&即②〉③;

即③〉④;

④-⑤]|+即④〈⑤;

⑤-⑥，⑥-⑦,⑦-⑧，⑧-⑨所得的差依次為二——L,——————均小于o,所以⑤〈⑥，⑥〈⑦,

10x112011x122011x1220

心小小

⑦〈⑧，⑧〈⑨，那么這些算式中最小的為④，有④為一3+—8二一31

82040

方法二：注意到每組內(nèi)兩個分數(shù)的乘積相等，均為

20

因為當兩個數(shù)的乘積相等時，這兩個數(shù)越接近，和越小.其中第4個算式中3、§最接近，所以第4個算式

820

最小?

考點三：數(shù)的估算

例1、求數(shù)〃=〃_+1010

-----++士的整數(shù)部分.

100W1102110

【解析】這道題顯然不宜對分母中的11個分數(shù)進行通分求和.要求a的整數(shù)部分，只要知道a在哪兩個連續(xù)

整數(shù)之間.

因為a中的11個分數(shù)都不大于生，不天小?于工-1-°-，

100110

10-10101010<11x11

所以-----X11<------+----+-----++-----

110100101102110100

10101010

即1<------F----+----++------<1.1

100101102110

由此可知a的整數(shù)部分是1.

例、求數(shù)

21~/——f的整數(shù)部分是幾?

-1-1--F—

10111219

1

【解析】>

111T11i~~

-F+一+---1--1--F

即IV原式VI.9,所以原式的整數(shù)部分是1.

例3、已知雙=1+』+工+L+-1-+-1-++,1、—+,求N的整數(shù)部分.

511192941%優(yōu)+1)-110099

【解析】題中已經(jīng)指明，式子中每一項的分母都可以表示成左(左+1)-1,對于左(左+1)-1不好直接進行處理,

很容易聯(lián)想到上伏+1)及小T)3所以可以進行放縮.

由于(I)心小+1)-1＜小+1),所以人(晨那么

A-111111111111,

N>1+------+------+------++—1++++—1+>1,

2x33x44x5100x10123341001012101

111

N<1+-----+------+------++—-—-1+1--+---+---++-———=2一一—<2,即1<N<2,那

1x22x33x499x1002233499100100

么N的整數(shù)部分為1.

小結(jié)：從式子中也可以直接看出N>1,所以對于這一點也可以不進行放縮.

P(Practice-Oriented)一-一實戰(zhàn)演練

實戰(zhàn)演練

>課堂狙擊

2222213_333331

1、如果A=那么A和B中較大的數(shù)是

222223'—333334

…七64222221666663666662333331八.

【解析】A=---------=---------->----------=----------=B,即nnA4大

222223666669666668333334

2、有8個數(shù)，0.51,750.51,?蘭4,1U3是其中6個，如果按從小到大的順序排列時，第4個數(shù)是0.51,

394725

那么按從大到小排列時，第4個數(shù)是哪一個數(shù)？

959413

【解析】—=0.6,-=0.5,0.5106,—=0.52，顯然有0.5106<0.5K0.51<0.52<0.5<0.6，即

394725

—<051<0,51<—8個數(shù)從小到大排列第4個是0.51,

472593

所以有口<口V蘭74vo.5ko.5k13Uv53v?±.（"口”表示未知的那2個數(shù)）.所以，這8個數(shù)從大到小排列第4個

472593

數(shù)是0.51.

3、將1必31、—?1>0.523、0.523、0.52從小到大排列，第三個數(shù)是.

25040

【解析】—=0.524,,=0.525

25040

17171

所以：0.52<0.523<0.523<上〈一，第三小的數(shù)是0.523

25040

4、甲、乙兩個天平上都放著一定重量的物體，問：哪一個是平衡的?

【解析】考慮除以3,所得的余數(shù)

因為478除以3余1,9763除以3也余1（只要看4+7+8,9十7+6十3除以3的余數(shù)），所以478X9763除

以3余1義1=1,而4666514除以3余2（即4+6+6+6+5+1+4除以3余2）,因此478X9763^4666514,

從而天平甲不平衡.天平乙是平衡的.

5、a=10.8+10.98+10.998+10.9998+10.99998,a的整數(shù)部分是。

【解析】＜7=11-0.2+11-0.02+11-0.002+11-0.0002+11-0.00002=55-0.22222

所以。的整數(shù)部分是54o

6、有13個自然數(shù)，它們的平均值利用四舍五入精確到小數(shù)點后一位是26.9.那么，精確到小數(shù)點后兩位數(shù)

是多少？

【解析】利用放縮法，13個自然數(shù)之和必然是整數(shù)，又有26.854平均數(shù)＜26.95,則這13個自然數(shù)的和介于

13x26.85和13x26.95之間.即在349.05和350.35之間,所以只能是350.所以350+13=26.923,則精確

到小數(shù)點后兩位數(shù)是26.92.

＞課后反擊

1戶―444443工口555554....

1、比較------和-------的大小

444445555556

44444325555542日822

【解析】因為1----------，顯然------->-----,--根據(jù)被減數(shù)一定，減數(shù)越

444445444445555556555556444445555556

444443555554

大差越小的道理，有:------<-------

444445555556

1111

2、試比較山和的大小

111111111

【解析】方法一：觀察可知，這兩個分數(shù)的分母都比分子的10倍多I.對于這樣的分數(shù)，可以利用它們的倒

山的倒數(shù)是'黑的倒數(shù)是…

數(shù)比較大小.1+-w_=10-L—=10—,我們很容易看出

11111nil111111111111

1福四111ini

10—>10

11111111111mu'

十壯一111_111x101110

兩個真分數(shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，則分子和分母都大的分數(shù)比

“’11111111x10111107

11101111目口111mi

較大，所以?-----<------，即——<-----.

11110111111111mu

。十199819981999199920002000

最小的分數(shù)是

199919992000200020012001

匚'巾4199819981998199919991999土日坦壬,心±、人g工衣人吉八將

【解析】因為--------=——-2-0-0-0-2-0-0-0-=-2-0--0-0根據(jù)重要結(jié)論----對于兩個真分數(shù),

199919991999200020002000200120012001

如果分子和分母相差相同的數(shù)，則分子和分母都大的分數(shù)比較大；而且:

19981999200019981998

<------<-------所以,最小的是

19992000200119991999

4、編號為1、2、3的三只螞蟻分別舉起重量為11山5，3—0?,4華39克的重物.問：金、銀、銅牌應分別發(fā)給幾

127333488

號螞蟻?

_L__i_

【解析】—=1-=1

12712712710.5'

12

30213111I

------1--------=1-------=1-----------

33333333310.7

31

43914911I

=1--------=1----------

4884884889.9

49

山?302115439

所以，一＞>-----.

333127488

5、這里有5個分數(shù)：2,9,竺,12,乜，如果按大小順序排列，排在中間的是哪個數(shù)？

38231719

【解析】分子的最小公倍數(shù)是60,給出的5個分數(shù)依次等于：,比較分母的大小，居中的

90969210295

分數(shù)是竺，即上。

9519

6、已知x=0.9+0.99+0.999++0.9999999999.求x的整數(shù)部分.

【解析】方法一：要求X的整數(shù)部分，必須找到x介于哪兩個連續(xù)整數(shù)之間即a<x<a+l,x的整數(shù)部分和n

相等.可以先將原算式放大，把每個加數(shù)都看成1這樣結(jié)果是1x10=10；然后將原算式縮小，把每個加數(shù)都

看成0.9,結(jié)果是0.9x10=9.可見原算式的結(jié)果介于10和9之間即9<x<10,所以x的整數(shù)部分是9.

方法二：將原式變型后再估算.

x=0.9+0.99+0.999++0.9999999999

=(1-0.1)+(1-0.01)+(1-0.001)++(1-0.0000000001)

=10-(0.1+0.01+0.001++0.0000000001)=10-0.1111111111

所以X的整數(shù)部分是9.

7、有一列數(shù)，第一個數(shù)是133,第二個數(shù)是57,從第三個數(shù)開始，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)的平均數(shù)，那么，

第16個數(shù)的整數(shù)部分是.

【解析】由已知：

第三個數(shù)=(133+57)+2=95,

第四個數(shù)=(57+95)4-2=75,

第五個數(shù)=(76+95)+2=85.5

第六個數(shù)=(85.5+76)4-2=80.75,

第七個數(shù)=(80.75+85.5)4-2=83.125,

第八個數(shù)=(83.125+80.75)4-2=81.9375,

第九個數(shù)=(81.9375+83.125)+2=82.53125.

第十個數(shù)=(81.9375+82.53125)4-2=82.234375,

從第H^一個數(shù)開始，以后任何一個數(shù)都82.53125與82.234375之間，所以，這些數(shù)的整數(shù)部分都是

82,那么第16個數(shù)的整數(shù)部分也82.

直擊賽場，

1、(第五屆華杯賽口試)圖中有兩個黑色的正方形，兩個白色的正方形，它們的面積已在圖中標出(單位：厘

米黑色的兩個正方形面積大還是白色的兩個正方形面積大?請說明理由.

19932

19962

【解析】此題利用到平方差公式：片-尸=(a+6)x(a-6)

19972-19962=(1997+1996)x(1997-1996)=1997+1996=3993

19932-19922=1993+1992=3985

所以19972-19962>19932-19922

即19972+1992?>1996,+19932,兩個白色正方形的面積大.

2、（第十五屆華杯賽初賽）從±1」」」中去掉兩個數(shù)，使得剩下的三個數(shù)之和與9接近，去掉的兩個數(shù)是

234567

).

1,

（A）(D)

?M3J4

1945

【解析】-+-H—=——

3461260

11120+15+1247

—+—+—二

3456060

1111155

—I—+

2461260

11152

—+-+—=

25660

本題不是計算最大，而是計算哪個與9接近，再找分母的最小公倍數(shù)比較大小，[7,60]=420,

305329385364”以寫成翁顯然含最接近。

則以上分式分別可以寫成：—,

420商，420420

A=l1+1+1111,則A的整數(shù)部分是

3、（第七屆希望杯賽一試）己知++++

245678

r版*c,1111111,1111114

【角牛析】A4=l+—+-+—+-+-+—+->1+—+—+-+-+-+-=2o—；

23456784488888

24=1+!+!+工+工+工+工+工<1+工+1+('+!)+!+!+』+'=2+&+工<3所以A的整數(shù)部分是2O

2345678241245555512

4、（清華附中入學測試）已知：S=--------j——彳----------「，則S的整數(shù)部分是.

----------1------------1----------+...+

1980198119822006

1

【解析】如果全是'，那么結(jié)果是731，如果全是那么結(jié)果是74色,所以73」<S<74§,不能

19803200627327

確定S的整數(shù)部分.我們不妨采用分段估值，有：

10107111110107

++<+++...+<+-十

1989199920061980198119822006198019902000

10io1~<~11ii-107

----------1------------1-------------------------1------------1------------1-H----------++

198919992006198019811982…2006198019902000

大家馬上會被這個計算量嚇住了！這只是我們的第一次嘗試，如果不行我們還要再次細化分段，計算量的龐

大讓我們有些止步了.那么我們有沒有更好的方法來解決這