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文檔簡(jiǎn)介
學(xué)科教師輔導(dǎo)講義
學(xué)員編號(hào):年級(jí):六年級(jí)課時(shí)數(shù):3
學(xué)員姓名:輔導(dǎo)科目:奧數(shù)學(xué)科教師:
授課主題第16講一一比較數(shù)的大小
授課類(lèi)型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)
①小數(shù)的大小比較常用方法;
教學(xué)目標(biāo)②分?jǐn)?shù)的大小比較常用方法;
③數(shù)的估算時(shí)常用方法。
授課日期及時(shí)段
T(Textbook-Based)El/]/1果早
知識(shí)梳理,
*
一、小數(shù)的大小比較常用方法
為方便比較,往往把這些小數(shù)排成一個(gè)豎列,并在它們的末尾添上適當(dāng)?shù)摹?”,使它們都變成小數(shù)位數(shù)
相同的小數(shù).(如果是循環(huán)小數(shù),就把它改寫(xiě)成一般寫(xiě)法的形式)
二、分?jǐn)?shù)的大小比較常用方法
⑴通分母:分子小的分?jǐn)?shù)小.
⑵通分子:分母小的分?jǐn)?shù)大.
⑶比倒數(shù):倒數(shù)大的分?jǐn)?shù)小.
⑷與1相減比較法:分別與1相減,差大的分?jǐn)?shù)小.(適用于真分?jǐn)?shù))
⑸重要結(jié)論:
①對(duì)于兩個(gè)真分?jǐn)?shù),如果分子和分母相差相同的數(shù),則分子和分母都大的分?jǐn)?shù)比較大;
②對(duì)于兩個(gè)假分?jǐn)?shù),如果分子和分母相差相同的數(shù),則分子和分母都小的分?jǐn)?shù)比較大.
⑹放縮法
在實(shí)際解題的過(guò)程中,我們還會(huì)用到其它一些思路!同學(xué)們要根據(jù)具體情況展開(kāi)思維!
三、數(shù)的估算時(shí)常用方法
(1)放縮法:為求出某數(shù)的整數(shù)部分,設(shè)法放大或縮小.使結(jié)果介于某兩個(gè)接近數(shù)之間,從而估算結(jié)果.
(2)變換結(jié)構(gòu):將原來(lái)算式或問(wèn)題變形為便于估算的形式.
典例分析
考點(diǎn)一:兩個(gè)數(shù)的大小比較
例1、如果a=您,b="竺,那么a,b中較大的數(shù)是
20062007
【解析】方法一:<與1相減比較法》
20051120061國(guó)%11
=;1--------.因?yàn)?gt;所以b較大;
2006----2006--------20072007--------2006----2007
1山220062007、什=20052006
方法二:〈比倒數(shù)法》因?yàn)?,所?--->-----,進(jìn)而-----<-----,即nn4<匕7;
200520062005200620062007
方法三:兩個(gè)真分?jǐn)?shù),如果分子和分母相差相同的數(shù),分子和分母都大的分?jǐn)?shù)比較大,所以b大。
111111110444444443
例2、如果A=,Dn=A與B中哪個(gè)數(shù)較大?
222222221888888887
【解析】方法一:觀(guān)察可以發(fā)現(xiàn)A、B都很接近!,且比它小.我們不防與L比較.
22
11R-11R/lARbkA審熔*1血癡;壬汨R、A
-—A=
22x222222221,2''2x88888888752'''2.2
111111110x4444444440444444443”
方法二:A==B,,即A<3.
222222221222222221x4888888884、888888887
1_,1-?1品級(jí)1>
方法三::2----------,則AvB
A111111110B444444443AB
例3、在a=20032003X2002和b=20022003X2003中,較大的數(shù)是,比較小的數(shù)大
[解析】b-a=20022003X2003-20032003X2002=20020000X2003+2003X2003-20030000X2002-2003X2002
=2003X(2003-2002)=2003
所以a比b大2003。
例4、試比較:2x2x2xx2與3x3x3xx3哪一個(gè)大?
296個(gè)2185個(gè)3
8個(gè)2
?x?x?xx9
【解析】296=37X8,185=37X5,因?yàn)?------------=一>1所以2x2x2xx2>3x3x3xx3
3x3x3xx3243296個(gè)2儂個(gè)3
5個(gè)3
758QQQ
例5、已知:A=-x-x-xx—,那么A與0.1中比較大,說(shuō)明原因;
369999
3〃-23n_(3?-1)2-1(3H-1)2
【解析】-------------X=A<彳-
3〃-13?+1---(3?)2-1--------(3n)2
258998丫1239979989991
A3=—X—X—XX-------->—X—X—XX--------X---------X-----------=------------
369999J23499899910001000
A>—,即A比0.1大
10
考點(diǎn)二:多個(gè)數(shù)的比較
35915
例1、(1)把下列各數(shù)按照從小到大的順序排列:—,---,----
7131628
1012152060
(2)(幼苗杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)把下列分?jǐn)?shù)用“<”號(hào)連接起來(lái):
17?19?23?33?91
【解析】⑴我們可以用通分子的方法,可得:
3x15_455x9_459x54515x3—45,分母大的反而小,所以5義<士315Q
7xl5-W5,13x9-117,16義5―麗'28x3841372816
⑵這五個(gè)分?jǐn)?shù)的分母都不相同,要通分變成同分母的分?jǐn)?shù)比較麻煩.再看分子,60正好是10、12、15、20、
60五個(gè)數(shù)的公倍數(shù).利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),可以將題中的各分?jǐn)?shù)化為分子都是60的分?jǐn)?shù).我們稱(chēng)之為“通分
子比大小”的方法.
106012601560206060606060606060
可見(jiàn)——<一<一<——<——
17102199523923399919110299959291
年海日1020121560
也就是一<一<—<一<
1733192391
例2、在下面9個(gè)算式中:
公3543637公38310'⑦⑧*,⑨
—I------,④-+—,⑤------1------
520620720820?⑥1020
2+上,第幾個(gè)算式的答數(shù)最小,這個(gè)答數(shù)是多少?
1320
【解析】方法一:①-②二———>0,即①>②;
&即②〉③;
即③〉④;
④-⑤]|+即④〈⑤;
⑤-⑥,⑥-⑦,⑦-⑧,⑧-⑨所得的差依次為二——L,——————均小于o,所以⑤〈⑥,⑥〈⑦,
10x112011x122011x1220
心小小
⑦〈⑧,⑧〈⑨,那么這些算式中最小的為④,有④為一3+—8二一31
82040
方法二:注意到每組內(nèi)兩個(gè)分?jǐn)?shù)的乘積相等,均為
20
因?yàn)楫?dāng)兩個(gè)數(shù)的乘積相等時(shí),這兩個(gè)數(shù)越接近,和越小.其中第4個(gè)算式中3、§最接近,所以第4個(gè)算式
820
最小?
考點(diǎn)三:數(shù)的估算
例1、求數(shù)〃=〃_+1010
-----++士的整數(shù)部分.
100W1102110
【解析】這道題顯然不宜對(duì)分母中的11個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分求和.要求a的整數(shù)部分,只要知道a在哪兩個(gè)連續(xù)
整數(shù)之間.
因?yàn)閍中的11個(gè)分?jǐn)?shù)都不大于生,不天小?于工-1-°-,
100110
10-10101010<11x11
所以-----X11<------+----+-----++-----
110100101102110100
10101010
即1<------F----+----++------<1.1
100101102110
由此可知a的整數(shù)部分是1.
例、求數(shù)
21~/——f的整數(shù)部分是幾?
-1-1--F—
10111219
1
【解析】>
111T11i~~
-F+一+---1--1--F
即IV原式VI.9,所以原式的整數(shù)部分是1.
例3、已知雙=1+』+工+L+-1-+-1-++,1、—+,求N的整數(shù)部分.
511192941%優(yōu)+1)-110099
【解析】題中已經(jīng)指明,式子中每一項(xiàng)的分母都可以表示成左(左+1)-1,對(duì)于左(左+1)-1不好直接進(jìn)行處理,
很容易聯(lián)想到上伏+1)及小T)3所以可以進(jìn)行放縮.
由于(I)心小+1)-1<小+1),所以人(晨那么
A-111111111111,
N>1+------+------+------++—1++++—1+>1,
2x33x44x5100x10123341001012101
111
N<1+-----+------+------++—-—-1+1--+---+---++-———=2一一—<2,即1<N<2,那
1x22x33x499x1002233499100100
么N的整數(shù)部分為1.
小結(jié):從式子中也可以直接看出N>1,所以對(duì)于這一點(diǎn)也可以不進(jìn)行放縮.
P(Practice-Oriented)一-一實(shí)戰(zhàn)演練
實(shí)戰(zhàn)演練
>課堂狙擊
2222213_333331
1、如果A=那么A和B中較大的數(shù)是
222223'—333334
…七64222221666663666662333331八.
【解析】A=---------=---------->----------=----------=B,即nnA4大
222223666669666668333334
2、有8個(gè)數(shù),0.51,750.51,?蘭4,1U3是其中6個(gè),如果按從小到大的順序排列時(shí),第4個(gè)數(shù)是0.51,
394725
那么按從大到小排列時(shí),第4個(gè)數(shù)是哪一個(gè)數(shù)?
959413
【解析】—=0.6,-=0.5,0.5106,—=0.52,顯然有0.5106<0.5K0.51<0.52<0.5<0.6,即
394725
—<051<0,51<—8個(gè)數(shù)從小到大排列第4個(gè)是0.51,
472593
所以有口<口V蘭74vo.5ko.5k13Uv53v?±.("口”表示未知的那2個(gè)數(shù)).所以,這8個(gè)數(shù)從大到小排列第4個(gè)
472593
數(shù)是0.51.
3、將1必31、—?1>0.523、0.523、0.52從小到大排列,第三個(gè)數(shù)是.
25040
【解析】—=0.524,,=0.525
25040
17171
所以:0.52<0.523<0.523<上〈一,第三小的數(shù)是0.523
25040
4、甲、乙兩個(gè)天平上都放著一定重量的物體,問(wèn):哪一個(gè)是平衡的?
【解析】考慮除以3,所得的余數(shù)
因?yàn)?78除以3余1,9763除以3也余1(只要看4+7+8,9十7+6十3除以3的余數(shù)),所以478X9763除
以3余1義1=1,而4666514除以3余2(即4+6+6+6+5+1+4除以3余2),因此478X9763^4666514,
從而天平甲不平衡.天平乙是平衡的.
5、a=10.8+10.98+10.998+10.9998+10.99998,a的整數(shù)部分是。
【解析】<7=11-0.2+11-0.02+11-0.002+11-0.0002+11-0.00002=55-0.22222
所以。的整數(shù)部分是54o
6、有13個(gè)自然數(shù),它們的平均值利用四舍五入精確到小數(shù)點(diǎn)后一位是26.9.那么,精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)
是多少?
【解析】利用放縮法,13個(gè)自然數(shù)之和必然是整數(shù),又有26.854平均數(shù)<26.95,則這13個(gè)自然數(shù)的和介于
13x26.85和13x26.95之間.即在349.05和350.35之間,所以只能是350.所以350+13=26.923,則精確
到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)是26.92.
>課后反擊
1戶(hù)―444443工口555554....
1、比較------和-------的大小
444445555556
44444325555542日822
【解析】因?yàn)?----------,顯然------->-----,--根據(jù)被減數(shù)一定,減數(shù)越
444445444445555556555556444445555556
444443555554
大差越小的道理,有:------<-------
444445555556
1111
2、試比較山和的大小
111111111
【解析】方法一:觀(guān)察可知,這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母都比分子的10倍多I.對(duì)于這樣的分?jǐn)?shù),可以利用它們的倒
山的倒數(shù)是'黑的倒數(shù)是…
數(shù)比較大小.1+-w_=10-L—=10—,我們很容易看出
11111nil111111111111
1福四111ini
10—>10
11111111111mu'
十壯一111_111x101110
兩個(gè)真分?jǐn)?shù),如果分子和分母相差相同的數(shù),則分子和分母都大的分?jǐn)?shù)比
“’11111111x10111107
11101111目口111mi
較大,所以?-----<------,即——<-----.
11110111111111mu
。十199819981999199920002000
最小的分?jǐn)?shù)是
199919992000200020012001
匚'巾4199819981998199919991999土日坦壬,心±、人g工衣人吉八將
【解析】因?yàn)?-------=——-2-0-0-0-2-0-0-0-=-2-0--0-0根據(jù)重要結(jié)論----對(duì)于兩個(gè)真分?jǐn)?shù),
199919991999200020002000200120012001
如果分子和分母相差相同的數(shù),則分子和分母都大的分?jǐn)?shù)比較大;而且:
19981999200019981998
<------<-------所以,最小的是
19992000200119991999
4、編號(hào)為1、2、3的三只螞蟻分別舉起重量為11山5,3—0?,4華39克的重物.問(wèn):金、銀、銅牌應(yīng)分別發(fā)給幾
127333488
號(hào)螞蟻?
_L__i_
【解析】—=1-=1
12712712710.5'
12
30213111I
------1--------=1-------=1-----------
33333333310.7
31
43914911I
=1--------=1----------
4884884889.9
49
山?302115439
所以,一>>-----.
333127488
5、這里有5個(gè)分?jǐn)?shù):2,9,竺,12,乜,如果按大小順序排列,排在中間的是哪個(gè)數(shù)?
38231719
【解析】分子的最小公倍數(shù)是60,給出的5個(gè)分?jǐn)?shù)依次等于:,比較分母的大小,居中的
90969210295
分?jǐn)?shù)是竺,即上。
9519
6、已知x=0.9+0.99+0.999++0.9999999999.求x的整數(shù)部分.
【解析】方法一:要求X的整數(shù)部分,必須找到x介于哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間即a<x<a+l,x的整數(shù)部分和n
相等.可以先將原算式放大,把每個(gè)加數(shù)都看成1這樣結(jié)果是1x10=10;然后將原算式縮小,把每個(gè)加數(shù)都
看成0.9,結(jié)果是0.9x10=9.可見(jiàn)原算式的結(jié)果介于10和9之間即9<x<10,所以x的整數(shù)部分是9.
方法二:將原式變型后再估算.
x=0.9+0.99+0.999++0.9999999999
=(1-0.1)+(1-0.01)+(1-0.001)++(1-0.0000000001)
=10-(0.1+0.01+0.001++0.0000000001)=10-0.1111111111
所以X的整數(shù)部分是9.
7、有一列數(shù),第一個(gè)數(shù)是133,第二個(gè)數(shù)是57,從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始,每個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)數(shù)的平均數(shù),那么,
第16個(gè)數(shù)的整數(shù)部分是.
【解析】由已知:
第三個(gè)數(shù)=(133+57)+2=95,
第四個(gè)數(shù)=(57+95)4-2=75,
第五個(gè)數(shù)=(76+95)+2=85.5
第六個(gè)數(shù)=(85.5+76)4-2=80.75,
第七個(gè)數(shù)=(80.75+85.5)4-2=83.125,
第八個(gè)數(shù)=(83.125+80.75)4-2=81.9375,
第九個(gè)數(shù)=(81.9375+83.125)+2=82.53125.
第十個(gè)數(shù)=(81.9375+82.53125)4-2=82.234375,
從第H^一個(gè)數(shù)開(kāi)始,以后任何一個(gè)數(shù)都82.53125與82.234375之間,所以,這些數(shù)的整數(shù)部分都是
82,那么第16個(gè)數(shù)的整數(shù)部分也82.
直擊賽場(chǎng),
1、(第五屆華杯賽口試)圖中有兩個(gè)黑色的正方形,兩個(gè)白色的正方形,它們的面積已在圖中標(biāo)出(單位:厘
米黑色的兩個(gè)正方形面積大還是白色的兩個(gè)正方形面積大?請(qǐng)說(shuō)明理由.
19932
19962
【解析】此題利用到平方差公式:片-尸=(a+6)x(a-6)
19972-19962=(1997+1996)x(1997-1996)=1997+1996=3993
19932-19922=1993+1992=3985
所以19972-19962>19932-19922
即19972+1992?>1996,+19932,兩個(gè)白色正方形的面積大.
2、(第十五屆華杯賽初賽)從±1」」」中去掉兩個(gè)數(shù),使得剩下的三個(gè)數(shù)之和與9接近,去掉的兩個(gè)數(shù)是
234567
).
1,
(A)(D)
?M3J4
1945
【解析】-+-H—=——
3461260
11120+15+1247
—+—+—二
3456060
1111155
—I—+
2461260
11152
—+-+—=
25660
本題不是計(jì)算最大,而是計(jì)算哪個(gè)與9接近,再找分母的最小公倍數(shù)比較大小,[7,60]=420,
305329385364”以寫(xiě)成翁顯然含最接近。
則以上分式分別可以寫(xiě)成:—,
420商,420420
A=l1+1+1111,則A的整數(shù)部分是
3、(第七屆希望杯賽一試)己知++++
245678
r版*c,1111111,1111114
【角牛析】A4=l+—+-+—+-+-+—+->1+—+—+-+-+-+-=2o—;
23456784488888
24=1+!+!+工+工+工+工+工<1+工+1+('+!)+!+!+』+'=2+&+工<3所以A的整數(shù)部分是2O
2345678241245555512
4、(清華附中入學(xué)測(cè)試)已知:S=--------j——彳----------「,則S的整數(shù)部分是.
----------1------------1----------+...+
1980198119822006
1
【解析】如果全是',那么結(jié)果是731,如果全是那么結(jié)果是74色,所以73」<S<74§,不能
19803200627327
確定S的整數(shù)部分.我們不妨采用分段估值,有:
10107111110107
++<+++...+<+-十
1989199920061980198119822006198019902000
10io1~<~11ii-107
----------1------------1-------------------------1------------1------------1-H----------++
198919992006198019811982…2006198019902000
大家馬上會(huì)被這個(gè)計(jì)算量嚇住了!這只是我們的第一次嘗試,如果不行我們還要再次細(xì)化分段,計(jì)算量的龐
大讓我們有些止步了.那么我們有沒(méi)有更好的方法來(lái)解決這
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