核心考點03 三角形有關(guān)概念與性質(zhì)-【滿分全攻略】2022-2023學年七年級數(shù)學下學期核心考點+重難點講練與測試（滬教版）（解析版）

核心考點03三角形有關(guān)概念與性質(zhì)

目錄

考點一：三角形

考點二：三角形的角平分線、中線和高

考點三：三角形的面積

考點四：三角形的穩(wěn)定性

考點五：三角形三邊關(guān)系

考點六：三角形內(nèi)角和定理

考點七：三角形的外角性質(zhì)

Q考點考向

一.三角形

（1）三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

組成三角形的線段叫做三角形的邊.

相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點.

相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角.

（2）按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三

角形即等邊三角形）.

（3）三角形的主要線段：角平分線、中線、高.

（4）三角形具有穩(wěn)定性.

二.三角形的角平分線、中線和高

（1）從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高.

（2）三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做三

角形的角平分線.

（3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線.

（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段.

（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一

條高在三角形內(nèi)部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，

三條高所在直線相交于三角形外一點.

三.三角形的面積

(1)三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即SA=1X底X高.

2

(2)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

四.三角形的穩(wěn)定性

當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性.這一特性主

要應用在實際生活中.

五.三角形三邊關(guān)系

(1)三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

(2)在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的

線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形.

(3)三角形的兩邊差小于第三邊.

(4)在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，容

易忽略.

六.三角形內(nèi)角和定理

(1)三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于

0°且小于180°.

(2)三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

(3)三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角.在轉(zhuǎn)化中借助平

行線.

(4)三角形內(nèi)角和定理的應用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法

求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

七.三角形的外角性質(zhì)

(1)三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對.

(2)三角形的外角性質(zhì)：

①三角形的外角和為360°.

②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角.

（3）若研究的角比較多，要設法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去.

（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角.

Q考點精講

三角形（共1小題）

1.（2018春?浦東新區(qū)期末）設“表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形，。表示等腰直

角三角形.下列四個圖中，能正確表示它們之間關(guān)系的是（）

【分析】根據(jù)它們的概念：有一個角是直角的三角形是直角三角形；有兩條邊相等的三角形是等腰三角形;

有三條邊相等的三角形是等邊三角形；有一個角是直角且有兩條邊相等的三角形是等腰直角三角形.

根據(jù)概念就可找到它們之間的關(guān)系.

【解答】解：根據(jù)各類三角形的概念可知，C可以表示它們彼此之間的包含關(guān)系.

故選：C.

【點評】考查了三角形中各類三角形的概念，根據(jù)定義就能夠找到它們彼此之間的包含關(guān)系.

二.三角形的角平分線、中線和高（共5小題）

2.（2021春?浦東新區(qū)期中）三角形的角平分線、中線、高都是（）

A.直線B.線段C.射線D.以上都不對

【分析】三角形的中線，角平分線，高都是線段，因為它們都有兩個端點.

【解答】解：三角形的角平分線、中線、高都是線段.

故選：B.

【點評】線段與直線都沒有方向性，而射線具有方向性；線段有兩個端點，可以度量，而射線和直線都無

法度量.

3.（2022春?靜安區(qū)期中）下列判斷錯誤的是（）

A.三角形的三條高的交點在三角形內(nèi)

B.三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點

C.直角三角形的三條高的交點在直角頂點

D.三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點

【分析】根據(jù)三角形的角平分線，中線，高的定義一一判斷即可.

【解答】解：A、銳角三角形的三條高的交點在三角形內(nèi)，故本選項說法錯誤，符合題意；

8、三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點，故本選項說法正確，不符合題意；

C、直角三角形的三條高的交點在直角頂點，故本選項說法正確，不符合題意；

。、三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點，故本選項說法正確，不符合題意.

故選：A.

【點評】本題考查三角形的角平分線，中線和高，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.注

意：銳角三角形的三條高相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形三條高的交點是直角頂點；鈍角三角形三條高

所在直線相交于三角形外一點.

4.（2021春?徐匯區(qū)校級期中）下列說法中正確的是（）

A.三角形的三條高交于一點

B.有公共頂點且相等的兩個角是對頂角

C.兩條直線被第三條直線所截，所得的內(nèi)錯角相等

D.兩條平行線被第三條直線所截，一組同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直

【分析】根據(jù)三角形的高的概念、對頂角的概念、平行線的性質(zhì)判斷即可.

【解答】解：人三角形的三條高所在的直線交于一點，故本選項說法不正確，不符合題意；

8、有公共頂點且相等的兩個角不一定是對頂角，故本選項說法不正確，不符合題意；

C、兩條平行線被第三條直線所截，所得的內(nèi)錯角相等，故本選項說法不正確，不符合題意；

D,兩條平行線被第三條直線所截，一組同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直，故本選項說法正確，符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查的是命題的真假判斷，掌握三角形的高的概念、對頂角的概念、平行線的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

5.（2021春?青浦區(qū)期中）直角三角形的三條高的交點在直角頂點.

【分析】根據(jù)三角形的高的概念解答即可.

【解答】解：???直角三角形有兩條高與直角邊重合，

它們的交點是直角頂點，

故答案為：直角頂點.

【點評】本題考查的是三角形的高的概念，注意：銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一

點；直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有

兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點.

6.（2021春?上海期中）在三角形的三條高中，位于三角形外的可能條數(shù)是0或2條.

【分析】當三角形為鈍角三角形時，三角形的高有兩條在三角形外，一條在三角形內(nèi)；當三角形為直角三

角形和銳角三角形時沒有高在三角形外.由此即可確定三角形的三條高中，在三角形外部的最多有多少條.

【解答】解：；當三角形為直角三角形和銳角三角形時，沒有高在三角形外；而當三角形為鈍角三角形時,

三角形的高有兩條在三角形外，一條在三角形內(nèi).

.?.三角形的三條高中，在三角形外部的最多有2條.

故答案為：0或2.

【點評】此題主要考查了三角形的高，關(guān)鍵是掌握三角形高的定義和畫法.

三.三角形的面積（共10小題）

7.（2021春?崇明區(qū)期末）如圖，已知“〃6,點A、E在直線a上，點8、C在直線b上，且8D=2BC,則

下列說法中正確的是（）

C.S&BDE—2S^ABCD.無法確定

【分析】先根據(jù)平行線間的距離處處相等得到點A、E到8。的距離相等，然后根據(jù)三角形的面積公式可對

各選項進行判斷.

【解答】ft?：'：a//b,

...點A、E到8力的距離相等，

,:BD=2BC,

:?S公EBD=2SAABC.

故選：C.

【點評】本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S=^x底X高.也考

2

查了平行線之間的距離.

8.（2022春?楊浦區(qū)校級期末）如圖，直線A8〃CD,點E、N位于直線AB上，點F、例、G位于直線CD

上，且EN：FG=\：2,若的面積為5,則△￡■水；的面積為10.

【分析】根據(jù)兩平行線間的距離處處相等，結(jié)合三角形的面積公式，知△EFG和的面積比等于FG：

EN,從而進行計算.

【解答】解：

.?.△EFG的面積：△￡：〃尺的面積=FG：EN=2：1,

...△￡尸6的面積=5*2=10.

故答案為：10.

【點評】此題考查了平行線間的距離以及三角形的面積比的一種方法，即等高的兩個三角形的面積比等于

它們的底的比.

9.（2022春?楊浦區(qū)校級期中）如圖，AD//BC,AC.BD交于點E,BF=FC,其中面積相等的三角形有_4

對.

【分析】利用平行線間的距離相等和三角形面積公式得到S“BC=&DCB，SMBDS^DCA，再利用三角形面

積的和差得到SAABE=SAOCE，然后利用8F=FC得到S/、BEF=S4CEF.

【解答】解：

.?.點A、。到8c的距離相等，

?'?SAABC=S^DCB>S^AHD—SADCA>

5AABC-SAEBC=SADCB-S&EBC，

即SAABE=SADCE，

'：BF=FC,

SABEF=SACEF.

...圖中面積相等的三角形有4對.

故答案為：4.

【點評】本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S=』x底x高；三角

2

形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

10.（2022春?閔行區(qū)校級期中）如圖：已知?！▋篈D=3,BC=5,SAAOD=2.25,S》OB=3.75,則SABOC

=6.25

【分析】利用平行線之間的距離相等，得到面積之比，就是對應底的比，進行計算即可.

【解答】ft?：'：a//b,

.?.點A到直線b的距離與點D到直線b的距離相等.

:,S&ABD：SABCD=AD：BC=3：5,

,**SAABD=SAAOD~^SZ\AOB=^^5+3.15=69

:?S&BCD=10,

***S/\ABD=S&ACD，

SAABD-S〉AOD=SdACD-S&AOD，

即S^\AOB=S/^COD—3.75,

:?S&BOC=SABDC-SACOD

=10-3.75

=6.25,

故答案為：6.25.

【點評】本題考查的是求三角形的面積，解題的關(guān)鍵是等高的三角形的面積的比，等于對應底的比.

11.（2022春?寶山區(qū)校級月考）如圖，已知直線?！?點A、8在直線a上，點C、。在直線方上，如果

△A8C的面積和△8。的面積之比為2：3,那么A8：C。的值為2：3.

rD

【分析】利用行線間的距離處處相等得到C點到直線。的距離等于B點到直線b的距離，然后根據(jù)三角形

面積求解.

【解答】解：???直線〃〃4

???C點到直線。的距離等于B點到直線b的距離，

???△A8C的面積和△8CO的面積=4&CD,

:△ABC的面積和△3CD的面積之比為2：3,

：.AB：CD=2：3.

故答案為：2：3.

【點評】本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即5=工乂底X高.也考

2

查了平行線之間的距離.

12.（2021春?徐匯區(qū)校級期中）如圖，AD//BC,AC、BD交于點、E,三角形A8E的面積等于4,三角形

CBE的面積等于5,那么三角形D8C的面積等于9.

【分析】由4O〃3C得弘48￡>=5^。￡>，可得Sz\ABE=SziECO=4,從而可得出結(jié)果.

【解答】'."AD//BC,

??SJ\ABD=S^ACD>

??SAABE=SAECD=4,

SADBC=SZ\ECD+SABCE=5+4=9，

故答案為：9.

【點評】本題考查了三角形的面積，利用同底等高求解是解題的關(guān)鍵.

13.（2021春?楊浦區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB=AD=DC,AELBD,如果△ABC的面積是12,那么

△ABE的面積是3.

【分析】根據(jù)題意可得AE、08分別是△AB。和△ABC的中線，進而可得面積之間的關(guān)系.

【解答】解：；A8=AO=AC,

二。是△ABC的中線，

S/\ABD——S&ABC——X12=6,

22

?.?△ABO是等腰三角形，AELBD,

...點E是3。的中點，

SAABE=-^S&ABD=—x6=3.

22

故答案為：3.

【點評】本題考查三角形的面積，明確三角形的中線會平分三角形的面積是解題關(guān)鍵.

14.（2021春?松江區(qū)期中）如圖，已知點8在線段CF上，AB//CD,AD//BC,DF交AB于點E,聯(lián)結(jié)AF、

CE,SABCE：SME/的比值為

【分析】利用平行線間距離相等得到同底等高的三角形面積相等即可解答.

【解答】解：連接5。，如圖，

???SdAFD=SAABD，

Sz^AFD-SAAED=SAABD-S&AED，

BPSAAEF=S&BED，

*：AB〃CD,

??S&BED-S&BEC，

??S^AEF-S&BEC，

SABCE：S-EF=1，

故答案為：1.

【點評】本題以平行為背景考查了同底等高的三角形面積相等，關(guān)鍵是找到要求三角形有關(guān)的同底等高的

三角形.

15.（2021春?浦東新區(qū)期中）如圖，在四邊形3CEF中，8尸〃AO〃CE,S3c=3,則的面積是6.

「E

B

D

【分析】利用平行線間距離處處相等，可以求得SA4)F=SA4B￡＞，S/VU)E=SAACO，S4CEF=S〉BCE，利用面積

相等把SAOE尸轉(zhuǎn)化為已知△ABC的面積，即可求解.

【解答】解：U：BF//AD//CE

:?SMDF=SMBD，S〉ADE=SMCD，S&CEF=SABCE，

:?SMEF=S〉CEF-S&ACE=S&BCE-SMCE=S&ABC，

S/\DEF=S^ADF+S/\ADE^-S/\AEF=S/\ABD+S^ACD+S^ABC=1S/\ABC^S^ABC=2S/\ABC=2X3=6,

故答案為：6.

【點評】本題考查了平行線間距離處處相等這一定理，同時考查了轉(zhuǎn)化思想，利用三角形面積相等，把

。所轉(zhuǎn)化為己知△ABC的面積.

16.(2021春?靜安區(qū)校級期末)如圖，在△A8C中，ZC=90°,BC=8cm,AC=6cm,點E是8c的中點，

動點P從A點出發(fā)，先以每秒2cm的速度沿A-C運動，然后以1cm/s的速度沿C-8運動.若設點尸運動

的時間是1秒，那么當t=1.5s或5s或9s,的面積等于6.

二

CER

【分析】分為3種情況討論：當點尸在AC上時：當點P在BC上時，根據(jù)三角形的面積公式建立方程求出

其解即可.

【解答】解：如圖1，當點P在AC上，

?.?△ABC中，ZC=90°,BC=Scm,AC=6c機，點E是BC的中點，

，CE=4,AP=2t.

△APE的面積等于6,

.,?5A4PE=AAP?C￡=AX2/X4=6,

22

?1=1.5；

如圖2,當點尸在線段CE上,

是DC的中點,

：.BE=CE=4.

：.PE=4-(f-3)=7-f,

.\5=AEPMC=A?(7-r)X6=6,

22

.1=5,

如圖3,當尸在線段BE上，

同理：PE=t-3-4=r-7,

：.S=lEP-AC=l<t-l)X6=6,

22

***Z=9,

綜上所述，/的值為1.5或5或9；

圖3

圖2

【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運用及動點運動問題，三角形的面積公式的運用，解答時靈活運

用三角形的面積公式求解是關(guān)鍵.

四.三角形的穩(wěn)定性（共1小題）

17.（2017秋?興隆臺區(qū)校級月考）木工師傅在做完門框后，為防止變形常常像圖中那樣釘上兩條斜拉的木

板條（即圖中AB、CD兩個木條），這樣做根據(jù)的數(shù)學道理是三角形的穩(wěn)I定性.

A八6

【分析】三角形的三邊一旦確定，則形狀大小完全確定，即三角形的穩(wěn)定性.

【解答】解：結(jié)合圖形，為防止變形釘上兩條斜拉的木板條，構(gòu)成了三角形，所以這樣做根據(jù)的數(shù)學道理

是三角形的穩(wěn)定性.

故答案為：三角形的穩(wěn)定性.

【點評】本題考查三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性在實際生活中的應用問題.

五.三角形三邊關(guān)系（共5小題）

18.（2021春?浦東新區(qū)月考）已知三角形的兩邊長分別為4和9,則下列數(shù)據(jù)中，能作為第三邊長的是（）

A.2B.3C.4D.9

【分析】首先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理，求得第三邊的取值范圍，再進一步找到符合條件的數(shù)值.

【解答】解：設這個三角形的第三邊為X.

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理，得：9-4<x<9+4,

解得5<x<13.

故選：D.

【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理.掌握構(gòu)成三角形的條件：兩邊之和>第三邊，兩邊之差〈第

三邊是解決問題的關(guān)鍵.

19.（2022春?楊浦區(qū)校級期末）下列長度的三根木棒，不能構(gòu)成三角形框架的是（）

A.1cm,5cm,10c/nB.8cm,6cm,4cm

C.10cm,10cm,5cmD.5cm,5cm,10cm

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系”任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”進行分析.

【解答】解：A、5+7>10,則能構(gòu)成三角形，不符合題意；

B、4+6>8,則能構(gòu)成三角形，不符合題意；

C、5+10>10,則能構(gòu)成三角形，不符合題意；

D、5+5=10,則不能構(gòu)成三角形，符合題意.

故選：D.

【點評】此題考查的知識點是三角形的三邊關(guān)系，判斷能否組成三角形的簡便方法是看其中較小的兩個數(shù)

的和是否大于第三個數(shù)即可.

20.（2022春?普陀區(qū)校級期末）已知三角形中兩條邊的長分別為2和7,則第三邊。的取值范圍是5<〃

<9.

【分析】利用“三角形的兩邊差小于第三邊，三角形兩邊之和大于第三邊”，可求出a的取值范圍.

【解答】解：；7-2=5,2+7=9,

第三邊a的取值范圍為5<a<9.

故答案為：5<a<9.

【點評】本題考查了三角形三邊關(guān)系，牢記“三角形的兩邊差小于第三邊，三角形兩邊之和大于第三邊”

是解題的關(guān)鍵.

21.（2022春?徐匯區(qū)校級期末）三角形的三邊分別為5,1-〃，9,則a的取值范圍為-13<a<-3.

【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，可得9-5<1-〃<9+5,再

解不等式即可.

【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：9-5<1-a<9+5,

解得-13<a<-3,

故答案為：-13<a<-3.

【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系.此類求三角形第三邊的范圍的題，實際上就是根據(jù)三角形三邊關(guān)

系定理列出不等式，然后解不等式即可.

22.（2022春?徐匯區(qū)校級期末）周長為30,各邊互不相等且都是整數(shù)的三角形共有12個.

【分析】不妨設三角形三邊為a、b.c,且〃〈力Vc,由三角形三邊關(guān)系定理及題設條件可確定c的取值范

圍，以此作為解題的突破口.

【解答】解：設三角形三邊為“、氏c,且a<b<c.

Va+b+c=30,a+b>c

.,.10<c<15

???c為整數(shù)

為11,12,13,14

?.?①當c為14時,有5個三角形,分別是：14,13,3；14,12,4；14,II,5；14,10,6；14,9,7；

②當c為13時，有4個三角形，分別是：13,12,5；13,11,6；13,10,7；13,9,8；

③當c為12時，有2個三角形，分別是：12,11,7；12,10,8；

④當c為11時，有1個三角形，分別是：11,10,9；

故答案為：12個.

【點評】此題主要考查學生對三角形三邊關(guān)系的理解及運用能力.

六.三角形內(nèi)角和定理（共8小題）

23.（2022春?楊浦區(qū)校級期中）在△ABC中，如果NA+NB=135°,且/B=2NC,那么aABC是直

角三角形.

【分析】利用三角形內(nèi)角和定理，求得NB=90°即可.

【解答】解：VZA+ZB=135°,ZA+ZB+ZC=180°,

AZC=45°,

ZB=2ZC,

AZB=90°,

二ZV1BC是直角三角形.

故答案為：直角.

【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是要掌握內(nèi)角和定理

24.（2022春?上海期末）直角三角形中兩銳角平分線所交成的角的度數(shù)是（）

A.45°B.135°C.45°或135°D.都不對

【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義計算.

【解答】解：如圖：..乂￡8。是直角三角形中兩銳角平分線，

：.ZOAB+ZOBA=90a+2=45°,

兩角平分線組成的角有兩個：NBOE與NE。。這兩個角互補，

根據(jù)三角形外角和定理，ZBOE=ZOAB+ZOBA=45°,

...NEOZ）=180°-45°=135°,

故選：C.

【點評】①幾何計算題中，如果依據(jù)題設和相關(guān)的幾何圖形的性質(zhì)列出方程（或方程組）求解的方法叫做

方程的思想；

②求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°這一隱含的條件；

③三角形的外角通常情況下是轉(zhuǎn)化為內(nèi)角來解決.

25.（2020春?虹口區(qū)期末）如果一個三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3,那么這個三角形中最大的

一個內(nèi)角等于90度.

【分析】已知三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比，可以設一份為A,根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。列方程求三個

內(nèi)角的度數(shù)，從而確定三角形的最大角的度數(shù).

【解答】解：設三個內(nèi)角的度數(shù)分別為公2k,3k.

則收21+34=180°,

解得女=30°,

則2k=60°,3k=90°,

這個三角形最大的角等于90°.

故答案為：90.

【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理.解答此類題利用三角形內(nèi)角和定理列方程求解可簡化計算.

26.（2021春?徐匯區(qū)校級期末）如圖，ZiABC中，NB=40°,ZC=30°,點。為邊BC上一點，將△AOC

沿直線折疊后，點C落到點E處，ZBAE=30°,則ND4C的度數(shù)為40°.

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到NBAC,進而求出/。E,由折疊的性質(zhì)得到，NDAE=NDAC,即

可求出/D4C的度數(shù).

【解答】解：；.NBAC=180°-ZB-ZC=110°,

?.?N8AE=30°,

.".ZCAE=ZBAC-ZBA￡=80°,

由折疊的性質(zhì)得，ZDAE^ZDAC,

：.ZDAC=AZCA￡=AX80°=40°,

22

故答案為：40°.

【點評】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

27.（2022春?嘉定區(qū)校級期末）在△ABC中，NB=NC,點。在BC邊上，ZBAD=50°（如圖1）.

（1）若E在aABC的AC邊上，且NADE=N8,求NEDC的度數(shù)；

（2）若/B=30°,E在△ABC的AC邊上，△AOE是等腰三角形，求NEOC的度數(shù)；（簡寫主要解答過程

即可）;

（3）若A。將4ABC分割成的兩個三角形中有一個是等腰三角形，求N3的度數(shù).（直接寫出答案）.

A

A

備用圖

【分析】(1)由三角形的內(nèi)角和和三角形的外角的性質(zhì)可直接得出結(jié)論；

(2)由等腰三角形的性質(zhì)可得，NBAC=120°.所以ND4C=NBAC-NBAD=70°,由三角形的外角的

性質(zhì)可知，ZADC=ZB+ZBAD=SOQ,由等腰三角形的性質(zhì)可知，需要分類討論，當AE=￡?E時，當A。

=DE時兩種情況，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；

(3)若△ABO為等腰三角形，則只能40=8。，所以/8=/區(qū)4。=50°.若△4C。為等腰三角形，則只

能AD=CD或4c=DC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)是△A3。的外角，

NADC=NB+NBAD,

VZADC^ZADE+ZEDC,且ZBAD=50°,

：.ZEDC=ZBAD=50°.

即NEDC的度數(shù)為50°；

(2)?.?/B=CC=30°,

/.ZBAC=180°-(ZB+ZC)=120°.

VZBAD=50<,,

二ZDAC=ABAC-NBAD=70°,

'：ZADC是△A8￡)的外角,

.?./AOC=/8+/8A￡>=80°,

?.?△/!￡>￡是等腰三角形，

若AE=DE,則NAO￡；=NOAC=70°,

AZEDC^ZADC-ZADE=10°.

若AD=￡>E,則/AE￡>=N￡?AC,

...NAOE=180°-2ND4c=40°,

ZEDC=ZADC-NAOE=40°.

若4￡>=AE,則/AOE=NAE￡>=（180°-70°）+2=55°,

AZEDC=80°-55°=25°.

即NEDC的度數(shù)為10°或40°或25°；

（3）若△48。為等腰三角形，則只能

AZB=ZBAD=50°.

若△4C。為等腰三角形，則只能A￡）=CO或4c=OC,

.?./8=/C=/CA￡）=l”/BAD=（130）o或/B=/C=18°"-2/BAD=（毀）°,

3333

.?./B的度數(shù)為50°或（2阻）°或（歿）°.

33

【點評】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論思想等

內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì).

28.(2022春?上海期末)在AABC中，AB=AC,Zl^^ZABC,/2=1/4CB,8。與CE相交于點O,

22

如圖，NBOC的大小與NA的大小有什么關(guān)系？

若/1=工乙48(7,/2=L/AC8,則/BOC與/A大小關(guān)系如何？

33

若Z2=1ZACB,則/BOC與/A大小關(guān)系如何？

nn

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到NA=1800-CZACB+ZABC\ZBOC=180°-(Z1+Z2),代入已

知條件即可得到結(jié)論.

【解答】W：'：AB=AC,Zl=AzABC,,/2=>1/AC8,

22

-A(ZABC+ZACB)

.?./BOC=180°-(Z1+Z2)=180°=180°.1(180°-NA),

22

即N8OC=90°+工乙4；

2

VZI=AZA/?C,Z2=AZACB,

33

AZB(?C=180°-(Z1+Z2)=180°-1(ZABC+ZACB)=180°-1(180°-NA),

33

即ZBOC=120°+ZA；

VZ1=AZ/ABC,Z2=AZACB,

nn

：.ZBOC=\SO°-(Z1+Z2)=180°-1(ZABC+ZACB)=180°-1(180°-NA),

nn

即N80C=n-1180°+AZA.

nn

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，角平分線的定義,熟練掌握三角形的內(nèi)角和是

解題的關(guān)鍵.

29.(2022春?楊浦區(qū)校級期中)如圖1,已知等腰△ABC中，ZA=ZC=30°,動點。在AB的平行線/

上，聯(lián)結(jié)AD

(1)如圖2,若NB=NADC,說明A￡>〃2c的理由：

(2)如圖3,當時，△AC￡>是什么三角形？為什么？

(3)過點A作/的垂線，垂足為H,若NAO4=60°,求ND4C的度數(shù).

圖1

【分析】(1)由平行線的性質(zhì)得/3+/8CZ)=180°,再等量代換得NADC+N3CZ)=180。，進而根據(jù)平行

線的判定得結(jié)論；

(2)由平行線的性質(zhì)得/CD4+ND4B=180°,再由NCDA=ND4B得NCD4=90°,進而判斷三角形的

形狀；

(3)分兩種情況：①當點。在點，的左邊時，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得結(jié)果；②當點。在點，的右

邊時，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求得結(jié)果.

【解答】(1)證明：???d)〃AB,

AZB+ZBCD=180°,

"：ZB=ZADC,

：.ZADC+ZBCD=1SO°,

：.AD//BC；

(2)解：△AC。是直角三角形.

理由：\'CD//AB,

：.ZCDA+ZDAB=\S0°,

'：ZCDA^ZDAB,

/.ZCDA=90°,

.?.△AC。是直角三角形；

(3)解：當點。在點，的左邊時，如圖，

'.'CD//AB,NBAC=30°,

：.,NACH=NA=30°,

VZAD//=60°,

：.ZDAC=180°-60°-30°=90°；

當點。在點“右邊時，如圖，

VZADH=60°，ZACH=30°,

ZDAC=ZADH-ZACH=30°.

綜上，/D4C=90°或30°.

【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，分類討論的思

想方法，靈活應用這些知識解題是關(guān)鍵.

30.（2022春?寶山區(qū)校級月考）已知：如圖，△A8C.求證：ZA+ZB+ZACB=180°.

證明：如圖，作延長線CD,過點C作CE〃A8.

因為CE〃AB（已知），

所以/1=4B（兩條直線平行，同位角相等）

Z2=ZA（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

因為Nl+N2+/AC3=180°（平角的定義）

所以N4+N8+/C=180°（等量代換）

【分析】作BC的延長線CD,過點C作CE〃射，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N1=N8,Z2=ZA,由平角的

定義得到Nl+N2+NACB=180°,等量代換即可得到結(jié)論.

【解答】解：：CE〃A8,（已知）

/.Z1=ZB,（兩條直線平行，同位角相等）.

N2=NA,（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

VZl+Z2+ZACB=180°,（平角的定義）,

.,.ZA+ZB+ZACB=180°,（等量代換）.

故答案為：兩條直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平角的定義；等量代換.

【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵.

七.三角形的外角性質(zhì)（共8小題）

31.（2021春?浦東新區(qū)期末）將一副三角板如圖擺放，斜邊48與直角邊。E相交于點凡則60

c

【分析】根據(jù)已知條件得到ND4E=NE=45°,ZCAF=30°,根據(jù)角的和差得到/EAF=ND4E-ND4F

=15°,由外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：；NZME=NE=45°,NC4F=30°,

/.ZEAF^ADAE-ZDAF=15°,

/.ZBFE=ZFAE+ZE=15°+45°=60°,

故答案為：60°.

【點評】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)

鍵.

32.（2021春?浦東新區(qū)期中）如圖，E為△4BC的BC邊上一點，點。在BA的延長線上，OE交AC于點

F,ZB=46°,ZC=30°,NEFC=70°,則/￡>=34°.

【分析】先求/D4C,再在△A。尸可得答案.

【解答】解：：/8=46°,NC=30°,

AZDAC=ZB+ZC=76°,

VZEFC=70°,

...NAF￡>=70°,

，/。=180°-ZDAC-ZAFD=?>4°,

故答案為：34°.

【點評】本題考查三角形內(nèi)角和定理及三角形一個外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和，解題的關(guān)鍵是掌握三

角形內(nèi)角和定理.

33.（2021春?寶山區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，ZB=25",NBAC=31°,過點A作8C邊上的高，

交BC的延長線于點Q,CE平分NACZ),交A。于點E.

求：(1)NACD的度數(shù)；

(2)/AEC的度數(shù).

【分析】(1)利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可.

(2)求出/EC。，ZD,利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：(1)VZACD^ZB+ZBAC,/B=25°,ZBAC=3\°,

：.ZACD=25°+31°=56°.

(2)'：ADLBD,

：.ZD=90°,

VZACD=56°,CE平分NACD,

：.ZECD=AZAC￡>=28°,

2

AZAEC=ZECD+ZD=2S°+90°=118°.

【點評】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

34.(2022春?楊浦區(qū)校級期末)如圖，已知在△ABC中，ZA=(3x+10)°,NB=(2x)°,NACD是

△ABC的一個外角，且/ACZ)=(6x-10)。，求NA的度數(shù).

【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，列一元一次方程,

求出x,從而求出/A的度數(shù).

【解答】解：是△ABC的一個外角，

???NACO=NA+N3,

VZA=(3x+10)0，N8=⑵)°,ZACD=(6x-10)

A6x-10=3x+l0+2x.

解得：x=20.

AZA=70°.

【點評】此題考查的知識點是三角形的外角性質(zhì)及一元一次方程的應用，關(guān)鍵是先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)

列一元一次方程，求出X.

35.（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知/8AC=70°,。為△ABC的邊2c上的一點，且NC4D=/C,

ZADB=60°.求的度數(shù).

【分析】由三角形的外角性質(zhì)及已知條件可求得NC=30°,再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求N8的度數(shù).

【解答】解：VZCAD=ZC,是△AC。的外角，

ZADB^ZC+ZCAD=2ZC,

VZADB=60°,

.*.ZC=AZA/）B=3O°,

2

VZAfiC=70°,

.,.ZB=1800-ABAC-ZC=80°.

故/B的度數(shù)為80°.

【點評】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記三角形的外角性質(zhì)：三角形的外角等于與其

不相鄰的兩個內(nèi)角之和.

36.（2021春?靜安區(qū)校級期末）AABC中，NA、NB、NC的外角的度數(shù)之比是2：3：4,求NA的度數(shù).

【分析】根據(jù)三角形的外角和等于360。列出方程，解方程得到答案.

【解答】解：設乙4的外角為2%,則的外角為3x,NC的外角為4x,

?.?任意多邊形的外角和為360°,

.?.2x+3x+4x=360°，

解得：x=40°，

的外角為80°,

AZA=100°.

【點評】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)，掌握三角形的外角和等于360°是解題的關(guān)鍵.

37.（2020春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知點。為△ABC的邊BC延長線上一點，ORLAB于點凡交AC于點

E,ZA=35°,ZD=42°,求NACO的度數(shù).

解：因為。F_LAB（已知），

所以乙DFB=90°（垂直的意義）.

因為NO尸B+NB+NO=180°（三角形內(nèi)角和是180°）,

又/。=42°,

所以NB=48°（等式性質(zhì)）.

因為/ACO=/A+NB（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）,

又/4=35°,NB=48°,

所以NAC￡>=83°（等式性質(zhì)）.

【分析】根據(jù)三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系及三角形內(nèi)角和定理解答.

【解答】解：因為O/UAB（已知），

所以/￡>FB=90°（垂直的意義）.

因為/DFB+NB+NO=I80°（三角形內(nèi)角和是180°）,

又/。=42°,

所以NB=48°（等式性質(zhì)）.

因為（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），

又NA=35°,N8=48°,

所以NACD=83°（等式性質(zhì)）.

故答案為：三角形內(nèi)角和是180°,48,三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，48,83.

【點評】本題考查了三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理.解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外角與

內(nèi)角的關(guān)系：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180

38.（2018春?浦東新區(qū)期末）閱讀、填空并將說理過程補充完整：如圖，已知點。、E分別在△ABC的邊

AB.AC上，且延長。E與BC的延長線交于點尸，NB4C和/8尸。的角平分線交于點G.那

么AG與FG的位置關(guān)系如何？為什么？

解：AG±FG.將AG、OF的交點記為點P,延長AG交8c于點Q.

因為AG、尸G分別平分NB4C和NBFD（已知）

所以N8AG=NC4G,NPFG=NOFG（角平分線定義）

又因為NFPO=NCAG+NAEZ）,NF0G=/BAG+NB

（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）

4AED=4B（已知）

所以/尸PO=/FOG（等式性質(zhì)）

（請完成以下說理過程）

【分析】根據(jù)角平分線的定義得到/54G=NC4G,ZPFG=NQFG,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到/FPQ

=/尸。6得到FP=FQ,根據(jù)等腰三角形的三線合一證明.

【解答】解：AGLFG.將AG、OF的交點記為點P,延長AG交BC于點Q.

因為AG、FG分別平分NB4C和（已知）

所以/BAG=/C4G,NPFG=/QFG（角平分線定義）

又因為NFPQ=/C4G+/AE3,NFQG=NBAG+NB（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）

NAED=NB（已知）

所以NFPQ=NFQG（等式性質(zhì)）

所以FP=FQ（等角對等邊）

又因為NPFG=NQFG

所以AG_LFG（等腰三角形三線合一）.

故答案為：ZCAG；NPFG=NQFG；ZCAG；NFQG；/BAG；ZFQG.

【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)

鍵.

U鞏固提升

一、單選題

I.（2022春.上海靜安?七年級統(tǒng)考期中）下列判斷錯誤的是（）

A.三角形的三條高的交點在三角形內(nèi)

B.三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點

C.直角三角形的三條高的交點在直角頂點

D.三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形的高線、角平分線、中線的定義對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】解.A.三角形的三條高所在的直線交于一點，三條高的交點不一定在三角形內(nèi)，說法錯誤，符合

題意；

B.三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點，說法正確，不符合題意；

C.直角三角形的三條高的交點在直角頂點，說法正確，不符合題意；

D.三角形的三條角平分線交于一點，是三角形的內(nèi)心，說法正確，不符合題意.

故選：A.

【點睛】此題考查了三角形的角平分線、中線和高，解題的關(guān)鍵是掌握各性質(zhì)定義.

2.（2022春?上海.七年級專題練習）已知三條線段長分別為2cm、4cm、“cm,若這三條線段首尾順次相接

能圍成一個三角形，那么。的取值可以是（）

A.7B.4C.2D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，求出第三邊的取值范圍，

再一一比較即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：4-2<a<4+2,

:.2<a<6,

*??只有選項B在這范圍內(nèi)，

故選：B.

【點睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，熟悉掌握三角形的定義是解題的關(guān)鍵.

3.（2019春?七年級課時練習）如圖所示，一扇窗戶打開后，用窗鉤A8即可固定，這里所用的幾何原理是

（）

A.兩點之間線段最短B.垂線段最短.

C.兩定確定一條直線D.三角形具有穩(wěn)定性

【答案】D

【分析】三角形具有穩(wěn)定性的實際應用.

【詳解】根據(jù)題意窗鉤A8可固定，用的是三角形（圖中的一408）的穩(wěn)定性,

故選：D.

【點睛】本題考查了三角形的穩(wěn)定性性質(zhì)的實際應用，理解性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.（2019春?七年級課時練習）如圖，三角形的個數(shù)是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的定義可直接進行解答.

【詳解】解：由圖可得：

三角形有：AABC、△ABD,△ADC,所以三角形的個數(shù)為3個；

故選B.

【點睛】本題主要考查三角形的概念，正確理解三角形的概念是解題的關(guān)鍵.

5.（2022春?上海?七年級專題練習）三角形的角平分線、中線和高都是（）

A.直線B.線段C.射線D.以上答案都不對

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的角平分線、中線和高定義判斷即可.

【詳解】解：三角形的角平分線、中線、高都是線段.

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的角平分線、中線和高定義，熟練掌握三角形的角平分線、中線和高定義是解

題關(guān)鍵.

6.（2022春?上海?七年級專題練習）如圖，已知△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，BD與CE

交于。點，如果設NBAC="。，那么用含〃的代數(shù)式表示NBOC的度數(shù)是（）

A.45°+〃°B.90°-〃°C.90°+〃°D.180°-n°

【答案】D

【分析】由垂直的定義得到NADB=/BDC=90。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得N4BD=180。-ZADB-ZA

=90。-〃。，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)有NBOC=NEBO+/BE。，計算即可得到/BOC的度數(shù).

【詳解】解：CE分別是邊AC,AB上的高，

二ZADB=NBDC=90。,

又

AZABD=180°-ZADB-ZA=180°-90°-n°=90°-n°,

ZBOC=ZEBD+ZBEO=90°-+90°=180°-n°.

故選：D.

【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì),垂直的定義以及三角形內(nèi)角和定理，掌握以上性質(zhì)定理是解答本題的

關(guān)鍵.

7.（2021春.上海.七年級上海市第二初級中學校考期中）下列說法中正確的是（）

A.三角形的三條高交于一點

B.有公共頂點且相等的兩個角是對頂角

C.兩條直線被第三條直線所截，所得的內(nèi)錯角相等

D.兩條平行線被第三條直線所截，一組同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直

【答案】D

【分析】分別對每個選項進行分析，即可解題.

【詳解】A選項：三角形的三條高所在直線交于一點，所以本選項不符合題意，故A錯誤；

B選項：有公共頂點且兩邊互為反向延長線兩個角是對頂角，所以本選項不符合題意，故