高考數(shù)學(xué)圓錐曲線中的“設(shè)而不求”練習(xí)題含答案解析

圓錐曲線中的“設(shè)而不求”一、考情分析研究曲線方程及由方程研究曲線的有關(guān)性質(zhì)問題,是圓錐曲線中的一個重要內(nèi)容,其特點是代數(shù)的運算較為繁雜,許多學(xué)生會想而不善于運算,往往是列出式子后“望式興嘆”.在解決圓錐曲線問題時若能恰當(dāng)使用“設(shè)而不求”的策略,可避免盲目推演造成的無效運算,從而達(dá)到準(zhǔn)確、快速的解題效果.二、解題秘籍(一)“設(shè)而不求”的實質(zhì)及注意事項1.設(shè)而不求是解析幾何解題的基本手段,是比較特殊的一種思想方法,其實質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和整體思想的應(yīng)用．設(shè)而不求的靈魂是通過科學(xué)的手段使運算量最大限度地減少,通過設(shè)出相應(yīng)的參數(shù),利用題設(shè)條件加以巧妙轉(zhuǎn)化,以參數(shù)為過渡,設(shè)而不求．2.在運用圓錐曲線問題中的設(shè)而不求方法技巧時,需要做到：①凡是不必直接計算就能更簡潔地解決問題的,都盡可能實施“設(shè)而不求”；②“設(shè)而不求”不可避免地要設(shè)參、消參,而設(shè)參的原則是宜少不宜多．3.“設(shè)而不求”最常見的類型一是涉及動點問題，設(shè)出動點坐標(biāo)，在運算過程中動點坐標(biāo)通過四則運算消去，或利用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于其他參數(shù)的問題；二是涉及動直線問題，把斜率或截距作為參數(shù)，設(shè)出直線的方程，再通過運算消去.【例1】（2023屆山西省臨汾市等聯(lián)考高三上學(xué)期期中）已知橢圓的長軸長為，，為的左、右焦點，點在上運動，且的最小值為.連接，并延長分別交橢圓于，兩點.(1)求的方程；(2)證明：為定值.【解析】（1）由題意得，設(shè)，的長分別為，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，從而，得，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）得，，設(shè)，，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，由，得，則，，同理可得，所以.所以為定值.【例2】（2023屆江蘇省連云港市高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知橢圓中有兩頂點為，，一個焦點為.(1)若直線過點且與橢圓交于，兩點，當(dāng)時，求直線的方程；(2)若直線過點且與橢圓交于，兩點，并與軸交于點，直線與直線交于點，當(dāng)點異，兩點時，試問是否是定值？若是，請求出此定值，若不是，請說明理由.【解析】（1）∵橢圓的焦點在軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，，所以，橢圓的方程為，當(dāng)直線與軸垂直時與題意不符，設(shè)直線的方程為，，，將直線的方程代入橢圓的方程化簡得，則，，∴，解得.∴直線的方程為；（2）當(dāng)軸時，，不符合題意，當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)：，則，設(shè)，，聯(lián)立方程組得，∴，，又直線：，直線：，由可得，即，，，，，，即，得，∴點坐標(biāo)為，∴，所以為定值.(二)設(shè)點的坐標(biāo)在涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系時,如何避免求交點,簡化運算,是處理這類問題的關(guān)鍵,求解時常常設(shè)出點的坐標(biāo),設(shè)坐標(biāo)方法即通過設(shè)一些輔助點的坐標(biāo),然后以坐標(biāo)為參數(shù),利用點的特性(條件)建立關(guān)系(方程).顯然,這里的坐標(biāo)只是為尋找關(guān)系而作為“搭橋”用的,在具體解題中是通過“設(shè)而不求”與“整體消元”解題策略進(jìn)行的.【例3】（2023屆湖南省郴州市高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測）已知橢圓的離心率為，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于兩點，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連接.當(dāng)為橢圓的右焦點時，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)若為的延長線與橢圓的交點，試問：是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，說明理由.【解析】（1）橢圓離心率，，則，當(dāng)為橢圓右焦點時，；，解得：，，橢圓的方程為：.（2）由題意可設(shè)直線，，，則，，，直線；由得：，，則，，；，又，，則，為定值.【例4】（2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期期中）作斜率為的直線l與橢圓交于兩點，且在直線l的左上方.(1)當(dāng)直線l與橢圓C有兩個公共點時，證明直線l與橢圓C截得的線段AB的中點在一條直線上；(2)證明：的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.【解析】（1）設(shè)，，中點坐標(biāo)為，所以有，聯(lián)立，得，得，得，由韋達(dá)定理可知，，所以，所以，化簡得：，所以線段AB的中點在直線上.（2）由題可知，的斜率分別為，，所以，因為得由（1）可知，，所以，又因為在直線l的左上方，所以的角平分線與軸平行，所以的內(nèi)切圓的圓心在這條直線上.(三)設(shè)參數(shù)在求解與動直線有關(guān)的定點、定值或最值與范圍問題時常設(shè)直線方程,因為動直線方程不確定,需要引入?yún)?shù),這時常引入斜率、截距作為參數(shù).【例5】（2022屆湖南省益陽市高三上學(xué)期月考）已知橢圓的左右焦點分別為,,其離心率為,P為橢圓C上一動點,面積的最大值為.（1）求橢圓C的方程；（2）過右焦點的直線l與橢圓C交于A,B兩點,試問：在x軸上是否存在定點Q,使得為定值？若存在,求出點Q的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.【解析】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c,因離心率為,則,由橢圓性質(zhì)知,橢圓短軸的端點到直線的距離最大,則有,于是得,又,聯(lián)立解得,所以橢圓C的方程為：.（2）由(1)知,點,當(dāng)直線斜率存在時,不妨設(shè),,,由消去y并整理得,,,,假定在x軸上存在定點Q滿足條件,設(shè)點,則,當(dāng),即時,,當(dāng)直線l斜率不存在時,直線l：與橢圓C交于點A,B,由對稱性不妨令,當(dāng)點坐標(biāo)為時,,,所以存在定點,使得為定值.(四)中點弦問題中的設(shè)而不求與中點弦有個的問題一般是設(shè)出弦端點坐標(biāo)代入圓錐曲線方程作差,得到關(guān)于的關(guān)系式,再結(jié)合題中條件求解.【例6】中心在原點的雙曲線焦點在軸上且焦距為,請從下面3個條件中選擇1個補全條件,并完成后面問題：①該曲線經(jīng)過點；②該曲線的漸近線與圓相切；③點在該雙曲線上,、為該雙曲線的焦點,當(dāng)點的縱坐標(biāo)為時,恰好.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過定點能否作直線,使與此雙曲線相交于、兩點,且是弦的中點？若存在,求出的方程；若不存在,說明理由.【解析】(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.選①：由題意可知,雙曲線的兩個焦點分別為、,由雙曲線的定義可得,則,故,所以,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.選②：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為,雙曲線的漸近線方程為,由題意可得,解得,即,因為,則,,因此,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.選③：由勾股定理可得,所以,,則,則,故,所以,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)假設(shè)滿足條件的直線存在,設(shè)點、,則,由題意可得,兩式作差得,所以,直線的斜率為,所以,直線的方程為,即.聯(lián)立,整理可得,,因此,直線不存在.三、跟蹤檢測1．（2023屆河南省洛平許濟高三上學(xué)期質(zhì)量檢測）已知橢圓的右焦點為F，離心率為，上頂點為．(1)求橢圓C的方程；(2)過點F的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，與y軸交于點M，若，，判斷是否為定值？并說明理由．2．（2023屆江西省南昌市金太陽高三上學(xué)期10月聯(lián)考）如圖，長軸長為4的橢圓的左頂點為A，過原點的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓交于，兩點，直線，與軸分別交于，兩點，當(dāng)直線的斜率為時，.(1)求橢圓的方程.(2)試問是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.3．（2023屆黑龍江省大慶鐵人中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知橢圓的離心率為，橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，過點且不垂直于軸的直線l與橢圓相交于A，B兩點.(1)求橢圓C的方程；(2)若點B關(guān)于軸的對稱點為點E，證明：直線與軸交于定點.4．（2023屆江西省贛州厚德外國語學(xué)校、豐城中學(xué)高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知雙曲線經(jīng)過點，兩條漸近線的夾角為，直線交雙曲線于兩點.(1)求雙曲線的方程.(2)若動直線經(jīng)過雙曲線的右焦點，是否存在軸上的定點，使得以線段為直徑的圓恒過點？若存在，求實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.5．（2023屆內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市高三上學(xué)期月考）平面內(nèi)一動點到定直線的距離，是它與定點的距離的兩倍.(1)求點的軌跡方程；(2)過點作兩條互相垂直的直線，（直線不與軸垂直）.其中，直線交曲線于，兩點，直線交曲線于，兩點，直線與直線交于點，若直線，，的斜率，，構(gòu)成等差數(shù)列，求的值.6．（2023屆福建省福州華僑中學(xué)高三上學(xué)期考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，直線，點M到l的距離為d，若點M滿足，記M的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與C交于P，Q兩點，設(shè)，證明：以P，Q為直徑的圓經(jīng)過點A．7．（2023屆河南省安陽市高三上學(xué)期10月月考）已知橢圓的左?右焦點分別為，，，面積為的正方形ABCD的頂點都在上.(1)求的方程；(2)已知P為橢圓上一點，過點P作的兩條切線和，若，的斜率分別為，，求證：為定值.8．（2023屆浙江省浙里卷天下高三上學(xué)期10月測試）已知分別為橢圓的左、右焦點，過點且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點，的周長為8.(1)若的面積為，求直線的方程；(2)過兩點分別作直線的垂線，垂足分別是，證明：直線與交于定點.9．（2023屆江蘇省南京市六校高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知雙曲線：的焦距為4，且過點(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的左焦點分別作斜率為的兩直線與，直線交雙曲線于兩點，直線交雙曲線于兩點，設(shè)分別為與的中點，若，試求與的面積之比.10.（2022屆北京市海淀區(qū)高三上學(xué)期期末）已知點在橢圓：上.（1）求橢圓的方程和離心率；（2）設(shè)直線：（其中）與橢圓交于不同兩點E,F,直線AE,AF分別交直線于點M,N.當(dāng)?shù)拿娣e為時,求的值.11.（2022屆天津市第二中學(xué)高三上學(xué)期12月月考）已知橢圓的長軸長是4,且過點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l：交橢圓于P,Q兩點,若點B始終在以PQ為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)k的取值范圍.12.（2022屆廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期1月模擬）已知橢圓C1:=1(a>b>0)的右頂點與拋物線C2:y2=2px(p>0)的焦點重合,橢圓C1的離心率為,過橢圓C1的右焦點F且垂直于x軸的直線截拋物線所得弦的長度為4.（1）求橢圓C1和拋物線C2的方程.（2）過點A(-4,0)的直線l與橢圓C1交于M,N兩點,點M關(guān)于x軸的對稱點為E.當(dāng)直線l繞點A旋轉(zhuǎn)時,直線EN是否經(jīng)過一定點?請判斷并證明你的結(jié)論.13．（2022屆河北省高三上學(xué)期省級聯(lián)測）已知橢圓P焦點分別是和,直線與橢圓P相交所得的弦長為1.（1）求橢圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將橢圓P繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到橢圓Q,在橢圓Q上存在A,B,C三點,且坐標(biāo)原點為的重心,求的面積.14．（2022屆廣東省佛山市高三上學(xué)期期末）已知雙曲線C的漸近線方程為,且過點.（1）求C的方程；（2）設(shè),直線不經(jīng)過P點且與C相交于A,B兩點,若直線與C交于另一點D,求證：直線過定點.15．（2022屆江蘇省鹽城市、南京市高三上學(xué)期1月模擬）設(shè)雙曲線的右頂點為,虛軸長為,兩準(zhǔn)線間的距離為.（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)動直線與雙曲線交于兩點,已知,設(shè)點到動直線的距離為,求的最大值.16．（2022屆浙江省普通高中強基聯(lián)盟高三上學(xué)期統(tǒng)測）如圖,已知橢圓,橢圓,、.為橢圓上動點且在第一象限,直線、分別交橢圓于、兩點,連接交軸于點.過點作交橢圓于,且.（1）證明：為定值；（2）證明直線過定點,并求出該定點；（3）若記、兩點的橫坐標(biāo)分別為、,證明：為定值.17．（2022屆湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高三上學(xué)期12月聯(lián)考）已知圓：,橢圓：的離心率為,是上的一點,是圓上的一點,的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）點是上異于的一點,與圓相切于點,證明：.18．已知雙曲線：（,）的實軸長為,離心率.(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線相交于,兩點,弦的中點坐標(biāo)為,求直線的方程.圓錐曲線中的“設(shè)而不求”一、考情分析研究曲線方程及由方程研究曲線的有關(guān)性質(zhì)問題,是圓錐曲線中的一個重要內(nèi)容,其特點是代數(shù)的運算較為繁雜,許多學(xué)生會想而不善于運算,往往是列出式子后“望式興嘆”.在解決圓錐曲線問題時若能恰當(dāng)使用“設(shè)而不求”的策略,可避免盲目推演造成的無效運算,從而達(dá)到準(zhǔn)確、快速的解題效果.二、解題秘籍(一)“設(shè)而不求”的實質(zhì)及注意事項1.設(shè)而不求是解析幾何解題的基本手段,是比較特殊的一種思想方法,其實質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和整體思想的應(yīng)用．設(shè)而不求的靈魂是通過科學(xué)的手段使運算量最大限度地減少,通過設(shè)出相應(yīng)的參數(shù),利用題設(shè)條件加以巧妙轉(zhuǎn)化,以參數(shù)為過渡,設(shè)而不求．2.在運用圓錐曲線問題中的設(shè)而不求方法技巧時,需要做到：①凡是不必直接計算就能更簡潔地解決問題的,都盡可能實施“設(shè)而不求”；②“設(shè)而不求”不可避免地要設(shè)參、消參,而設(shè)參的原則是宜少不宜多．3.“設(shè)而不求”最常見的類型一是涉及動點問題，設(shè)出動點坐標(biāo)，在運算過程中動點坐標(biāo)通過四則運算消去，或利用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于其他參數(shù)的問題；二是涉及動直線問題，把斜率或截距作為參數(shù)，設(shè)出直線的方程，再通過運算消去.【例1】（2023屆山西省臨汾市等聯(lián)考高三上學(xué)期期中）已知橢圓的長軸長為，，為的左、右焦點，點在上運動，且的最小值為.連接，并延長分別交橢圓于，兩點.(1)求的方程；(2)證明：為定值.【解析】（1）由題意得，設(shè)，的長分別為，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，從而，得，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）得，，設(shè)，，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，由，得，則，，同理可得，所以.所以為定值.【例2】（2023屆江蘇省連云港市高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知橢圓中有兩頂點為，，一個焦點為.(1)若直線過點且與橢圓交于，兩點，當(dāng)時，求直線的方程；(2)若直線過點且與橢圓交于，兩點，并與軸交于點，直線與直線交于點，當(dāng)點異，兩點時，試問是否是定值？若是，請求出此定值，若不是，請說明理由.【解析】（1）∵橢圓的焦點在軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，，所以，橢圓的方程為，當(dāng)直線與軸垂直時與題意不符，設(shè)直線的方程為，，，將直線的方程代入橢圓的方程化簡得，則，，∴，解得.∴直線的方程為；（2）當(dāng)軸時，，不符合題意，當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)：，則，設(shè)，，聯(lián)立方程組得，∴，，又直線：，直線：，由可得，即，，，，，，即，得，∴點坐標(biāo)為，∴，所以為定值.(二)設(shè)點的坐標(biāo)在涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系時,如何避免求交點,簡化運算,是處理這類問題的關(guān)鍵,求解時常常設(shè)出點的坐標(biāo),設(shè)坐標(biāo)方法即通過設(shè)一些輔助點的坐標(biāo),然后以坐標(biāo)為參數(shù),利用點的特性(條件)建立關(guān)系(方程).顯然,這里的坐標(biāo)只是為尋找關(guān)系而作為“搭橋”用的,在具體解題中是通過“設(shè)而不求”與“整體消元”解題策略進(jìn)行的.【例3】（2023屆湖南省郴州市高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測）已知橢圓的離心率為，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于兩點，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連接.當(dāng)為橢圓的右焦點時，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)若為的延長線與橢圓的交點，試問：是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，說明理由.【解析】（1）橢圓離心率，，則，當(dāng)為橢圓右焦點時，；，解得：，，橢圓的方程為：.（2）由題意可設(shè)直線，，，則，，，直線；由得：，，則，，；，又，，則，為定值.【例4】（2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期期中）作斜率為的直線l與橢圓交于兩點，且在直線l的左上方.(1)當(dāng)直線l與橢圓C有兩個公共點時，證明直線l與橢圓C截得的線段AB的中點在一條直線上；(2)證明：的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.【解析】（1）設(shè)，，中點坐標(biāo)為，所以有，聯(lián)立，得，得，得，由韋達(dá)定理可知，，所以，所以，化簡得：，所以線段AB的中點在直線上.（2）由題可知，的斜率分別為，，所以，因為得由（1）可知，，所以，又因為在直線l的左上方，所以的角平分線與軸平行，所以的內(nèi)切圓的圓心在這條直線上.(三)設(shè)參數(shù)在求解與動直線有關(guān)的定點、定值或最值與范圍問題時常設(shè)直線方程,因為動直線方程不確定,需要引入?yún)?shù),這時常引入斜率、截距作為參數(shù).【例5】（2022屆湖南省益陽市高三上學(xué)期月考）已知橢圓的左右焦點分別為,,其離心率為,P為橢圓C上一動點,面積的最大值為.（1）求橢圓C的方程；（2）過右焦點的直線l與橢圓C交于A,B兩點,試問：在x軸上是否存在定點Q,使得為定值？若存在,求出點Q的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.【解析】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c,因離心率為,則,由橢圓性質(zhì)知,橢圓短軸的端點到直線的距離最大,則有,于是得,又,聯(lián)立解得,所以橢圓C的方程為：.（2）由(1)知,點,當(dāng)直線斜率存在時,不妨設(shè),,,由消去y并整理得,,,,假定在x軸上存在定點Q滿足條件,設(shè)點,則,當(dāng),即時,,當(dāng)直線l斜率不存在時,直線l：與橢圓C交于點A,B,由對稱性不妨令,當(dāng)點坐標(biāo)為時,,,所以存在定點,使得為定值.(四)中點弦問題中的設(shè)而不求與中點弦有個的問題一般是設(shè)出弦端點坐標(biāo)代入圓錐曲線方程作差,得到關(guān)于的關(guān)系式,再結(jié)合題中條件求解.【例6】中心在原點的雙曲線焦點在軸上且焦距為,請從下面3個條件中選擇1個補全條件,并完成后面問題：①該曲線經(jīng)過點；②該曲線的漸近線與圓相切；③點在該雙曲線上,、為該雙曲線的焦點,當(dāng)點的縱坐標(biāo)為時,恰好.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過定點能否作直線,使與此雙曲線相交于、兩點,且是弦的中點？若存在,求出的方程；若不存在,說明理由.【解析】(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.選①：由題意可知,雙曲線的兩個焦點分別為、,由雙曲線的定義可得,則,故,所以,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.選②：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為,雙曲線的漸近線方程為,由題意可得,解得,即,因為,則,,因此,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.選③：由勾股定理可得,所以,,則,則,故,所以,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)假設(shè)滿足條件的直線存在,設(shè)點、,則,由題意可得,兩式作差得,所以,直線的斜率為,所以,直線的方程為,即.聯(lián)立,整理可得,,因此,直線不存在.三、跟蹤檢測1．（2023屆河南省洛平許濟高三上學(xué)期質(zhì)量檢測）已知橢圓的右焦點為F，離心率為，上頂點為．(1)求橢圓C的方程；(2)過點F的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，與y軸交于點M，若，，判斷是否為定值？并說明理由．【解析】（1）由題意可得，解得，故橢圓C的方程.（2）為定值，理由如下：由（1）可得，由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l：，則，聯(lián)立方程，消去y得，則，，∵，，則，可得，（定值）.2．（2023屆江西省南昌市金太陽高三上學(xué)期10月聯(lián)考）如圖，長軸長為4的橢圓的左頂點為A，過原點的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓交于，兩點，直線，與軸分別交于，兩點，當(dāng)直線的斜率為時，.(1)求橢圓的方程.(2)試問是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【解析】（1）由題意可知，則橢圓方程即，當(dāng)直線的斜率為時，，故設(shè)，，解得，將代入得，即，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，則，則，由橢圓方程可得，∴直線方程為︰，令可得，直線方程為：，令得，假設(shè)存在定點，使得，則定點必在以為直徑的圓上，以為直徑的圓為,即，∵，即∴，令，則，解得，∴以為直徑的圓過定點，即存在定點，使得．3．（2023屆黑龍江省大慶鐵人中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知橢圓的離心率為，橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，過點且不垂直于軸的直線l與橢圓相交于A，B兩點.(1)求橢圓C的方程；(2)若點B關(guān)于軸的對稱點為點E，證明：直線與軸交于定點.【解析】（1）由雙曲線得焦點，得，由題意可得，解得，，故橢圓的方程為；.（2）設(shè)直線，點，則點.由，得，，解得，從而，，直線的方程為，令得，又∵，，則，即，故直線與軸交于定點.4．（2023屆江西省贛州厚德外國語學(xué)校、豐城中學(xué)高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知雙曲線經(jīng)過點，兩條漸近線的夾角為，直線交雙曲線于兩點.(1)求雙曲線的方程.(2)若動直線經(jīng)過雙曲線的右焦點，是否存在軸上的定點，使得以線段為直徑的圓恒過點？若存在，求實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）兩條漸近線的夾角為，漸近線的斜率或，即或；當(dāng)時，由得：，，雙曲線的方程為：；當(dāng)時，方程無解；綜上所述：雙曲線的方程為：.（2）由題意得：，假設(shè)存在定點滿足題意，則恒成立；方法一：①當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，，，由得：，，，，，，整理可得：，由得：；當(dāng)時，恒成立；②當(dāng)直線斜率不存在時，，則，，當(dāng)時，，，成立；綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過點.方法二：①當(dāng)直線斜率為時，，則，，，，，，解得：；②當(dāng)直線斜率不為時，設(shè)，，，由得：，，，，；當(dāng)，即時，成立；綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過點.5．（2023屆內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市高三上學(xué)期月考）平面內(nèi)一動點到定直線的距離，是它與定點的距離的兩倍.(1)求點的軌跡方程；(2)過點作兩條互相垂直的直線，（直線不與軸垂直）.其中，直線交曲線于，兩點，直線交曲線于，兩點，直線與直線交于點，若直線，，的斜率，，構(gòu)成等差數(shù)列，求的值.【解析】（1）設(shè)點，由題，有，即，解得，所以所求點軌跡方程為（2）由題，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，與曲線聯(lián)立方程組得，解得，設(shè)，，則有，依題意有直線的斜率為，則直線的方程為，令，則有點的坐標(biāo)為，由題，，，因為，所以解得，則必有，所以.6．（2023屆福建省福州華僑中學(xué)高三上學(xué)期考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，直線，點M到l的距離為d，若點M滿足，記M的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與C交于P，Q兩點，設(shè)，證明：以P，Q為直徑的圓經(jīng)過點A．【解析】（1）設(shè)點，則，由，得，兩邊平方整理得，則所求曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，消去并整理得，因為直線與交于兩點，故，此時，所以，而.又，所以所以，即以P，Q為直徑的圓經(jīng)過點A.7．（2023屆河南省安陽市高三上學(xué)期10月月考）已知橢圓的左?右焦點分別為，，，面積為的正方形ABCD的頂點都在上.(1)求的方程；(2)已知P為橢圓上一點，過點P作的兩條切線和，若，的斜率分別為，，求證：為定值.【解析】（1）根據(jù)對稱性，不妨設(shè)正方形的一個頂點為，由，得，所以，整理得.①又，②由①②解得，，故所求橢圓方程為.（2）由已知及（1）可得，設(shè)點，則.設(shè)過點P與相切的直線l的方程為，與聯(lián)立消去y整理可得，令，整理可得，③根據(jù)題意和為方程③的兩個不等實根，所以，即為定值.8．（2023屆浙江省浙里卷天下高三上學(xué)期10月測試）已知分別為橢圓的左、右焦點，過點且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點，的周長為8.(1)若的面積為，求直線的方程；(2)過兩點分別作直線的垂線，垂足分別是，證明：直線與交于定點.【解析】（1）因的周長為8，由橢圓定義得，即，而半焦距，又，則，橢圓的方程為，依題意，設(shè)直線的方程為，由消去x并整理得，設(shè)，，則，，，因此，解得，所以直線的方程為或.（2）由（1）知，，則，，設(shè)直線與交點為，則，，而，，則，，兩式相加得：，而，則，因此，兩式相減得：，而，則，即，所以直線與交于定點.9．（2023屆江蘇省南京市六校高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知雙曲線：的焦距為4，且過點(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的左焦點分別作斜率為的兩直線與，直線交雙曲線于兩點，直線交雙曲線于兩點，設(shè)分別為與的中點，若，試求與的面積之比.【解析】（1）由題意得，得，所以，因為點在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線方程為，（2），設(shè)直線方程為，，由，得則，所以，所以的中點，因為，所以用代換，得，當(dāng)，即時，直線的方程為，過點，當(dāng)時，，直線的方程為，令，得，所以直線也過定點，所以10.（2022屆北京市海淀區(qū)高三上學(xué)期期末）已知點在橢圓：上.（1）求橢圓的方程和離心率；（2）設(shè)直線：（其中）與橢圓交于不同兩點E,F,直線AE,AF分別交直線于點M,N.當(dāng)?shù)拿娣e為時,求的值.【解析】（1）將點代入,解得,所以橢圓的方程為又,離心率（2）聯(lián)立,整理得設(shè)點E,F的坐標(biāo)分別為,由韋達(dá)定理得：,直線AE的方程為,令,得,即直線AF的方程為,令,得,即所以的面積即,解得或所以的值為或11.（2022屆天津市第二中學(xué)高三上學(xué)期12月月考）已知橢圓的長軸長是4,且過點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l：交橢圓于P,Q兩點,若點B始終在以PQ為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)k的取值范圍.【解析】（1）由題意,得,,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè),,聯(lián)立,得,即,則,因為直線恒過橢圓的左頂點,所以,,則,,因為點B始終在以PQ為直徑的圓內(nèi),所以,即,又,,則,即,即,解得,所以實數(shù)k的取值范圍為.12.（2022屆廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期1月模擬）已知橢圓C1:=1(a>b>0)的右頂點與拋物線C2:y2=2px(p>0)的焦點重合,橢圓C1的離心率為,過橢圓C1的右焦點F且垂直于x軸的直線截拋物線所得弦的長度為4.（1）求橢圓C1和拋物線C2的方程.（2）過點A(-4,0)的直線l與橢圓C1交于M,N兩點,點M關(guān)于x軸的對稱點為E.當(dāng)直線l繞點A旋轉(zhuǎn)時,直線EN是否經(jīng)過一定點?請判斷并證明你的結(jié)論.【解析】（1）設(shè)橢圓C1的半焦距為c.依題意,可得a=,則C2:y2=4ax,代入x=c,得y2=4ac,即y=±2,所以4=4,則有,所以a=2,b=,所以橢圓C1的方程為=1,拋物線C2的方程為y2=8x.（2）依題意,當(dāng)直線l的斜率不為0時,設(shè)其方程為x=ty-4,由,得(3t2+4)y2-24ty+36=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則E(x1,-y1).由Δ>0,得t<-2或t>2,且y1+y2=,y1y2=.根據(jù)橢圓的對稱性可知,若直線EN過定點,此定點必在x軸上,設(shè)此定點為Q(m,0).因為kNQ=kEQ,所以,(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,即(ty1-4-m)y2+(ty2-4-m)y1=0,2ty1y2-(m+4)(y1+y2)=0,即2t·-(m+4)·=0,得(3-m-4)t=(-m-1)t=0,由t是大于2或小于-2的任意實數(shù)知m=-1,所以直線EN過定點Q(-1,0).當(dāng)直線l的斜率為0時,直線EN的方程為y=0,也經(jīng)過點Q(-1,0),所以當(dāng)直線l繞點A旋轉(zhuǎn)時,直線EN恒過一定點Q(-1,0).13．（2022屆河北省高三上學(xué)期省級聯(lián)測）已知橢圓P焦點分別是和,直線與橢圓P相交所得的弦長為1.（1）求橢圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將橢圓P繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到橢圓Q,在橢圓Q上存在A,B,C三點,且坐標(biāo)原點為的重心,求的面積.【解析】（1）根據(jù)題意,,,又因為,解得：,,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意得橢圓Q的方程為,當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)方程為：,,,,聯(lián)立可得：,則因為坐標(biāo)原點為的重心,所以由,得將代入橢圓方程可得：,化簡得：,又O到直線的距離為：