湖北省武漢市江岸區(qū)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

湖北省武漢市江岸區(qū)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)集合間的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍.【詳解】由解得即，所以，因?yàn)?，所以，故選:B.2.命題“，都有”的否定是（）A.，使得 B.，使得C，使得 D.，使得【答案】A【解析】【分析】全稱改存在，再否定結(jié)論即可.【詳解】命題“，都有”的否定是“，使得”.故選：A3.已知，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，求出，然后利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可求得.【詳解】，則，.故選：B.4.已知函數(shù)且，則（）A.-5 B.-3 C.3 D.隨的值而定【答案】C【解析】分析】先推導(dǎo)，再依據(jù)求解即可【詳解】由題意，，又，故.又，故故選：C5.已知函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分函數(shù)在R上的單調(diào)遞減和單調(diào)遞增求解.【詳解】當(dāng)函數(shù)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以，解得，因?yàn)榍?，所以?dāng)時(shí)，不行能是增函數(shù)，所以函數(shù)在R上不行能是增函數(shù)，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：B6.已知為正實(shí)數(shù)，且對(duì)隨意的實(shí)數(shù)均成立，則的最小值為（）A.1 B.4 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】，后利用同角三角函數(shù)關(guān)系及基本不等式可得答案.【詳解】由對(duì)隨意的實(shí)數(shù)均成立，可得.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).則.故選：D7.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分別推斷出，，，即可得到答案.【詳解】.因?yàn)椋?所以；因?yàn)樵赗上為增函數(shù)，所以；因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且所以，即；所以.故選：D8.設(shè)函數(shù)，其中，，，為已知實(shí)常數(shù)，，若，則（）A.對(duì)隨意實(shí)數(shù)， B.存在實(shí)數(shù)，C.對(duì)隨意實(shí)數(shù)， D.存在實(shí)數(shù)，【答案】A【解析】【分析】依據(jù)，可推出，整理化簡(jiǎn)后可得或，分類探討，結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，即可推斷答案.【詳解】由題意知，即，即，兩式兩邊平方后可得，故或，若，則，故，此時(shí)，若，則，故，此時(shí)，若或，則，故對(duì)隨意實(shí)數(shù)，，則A正確，錯(cuò)誤，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于依據(jù)已知等式化簡(jiǎn)得到m和n之間的關(guān)系，然后分類探討，化簡(jiǎn)即可解決問題.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列三角函數(shù)值為負(fù)數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)誘導(dǎo)公式，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，即可推斷答案.【詳解】對(duì)于A，，故A為正數(shù)；對(duì)于B，，故B為負(fù)數(shù)；對(duì)于C，，故C為負(fù)數(shù)；對(duì)于D，，故D為負(fù)數(shù)；故選：BCD10.下列計(jì)算或化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（）A.若， B.若，則C.若，則 D.若為其次象限角，則【答案】AB【解析】【分析】利用，結(jié)合三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)，逐項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值即得.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：，，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：，則，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：∵范圍不確定，∴的符號(hào)不確定，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：為其次象限角，,,故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.定義域和值域均為的函數(shù)和的圖象如圖所示，其中，下列四個(gè)結(jié)論中正確的有（）A.方程有且僅有三個(gè)解 B.方程有且僅有三個(gè)解C.方程有且僅有八個(gè)解 D.方程有且僅有一個(gè)解【答案】ABD【解析】【分析】通過利用和，結(jié)合函數(shù)和的圖象，分析每個(gè)選項(xiàng)中外層函數(shù)的零點(diǎn)，再分析內(nèi)層函數(shù)的圖象，即可得出結(jié)論.【詳解】由圖象可知，對(duì)于方程，當(dāng)或，方程只有一解；當(dāng)時(shí)，方程只有兩解；當(dāng)時(shí)，方程有三解；對(duì)于方程，當(dāng)時(shí)，方程只有唯一解.對(duì)于A選項(xiàng)，令，則方程有三個(gè)根，，，方程、、均只有一解，所以，方程有且僅有三個(gè)解，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，令，方程只有一解，方程只有三解，所以，方程有且僅有三個(gè)解，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，方程有三個(gè)根，，，方程有三解，方程有三解，方程有三解，所以，方程有且僅有九個(gè)解，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，令，方程只有一解，方程只有一解，所以，方程有且僅有一個(gè)解，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，求解思路如下：（1）確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；（2）確定外層函數(shù)的零點(diǎn)；（3）確定直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為、、、、，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.12.已知函數(shù)，零點(diǎn)分別為，，給出以下結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】先說明的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由題意可得，且，化簡(jiǎn)可得，推斷B;寫出的表達(dá)式，利用基本不等式可推斷，推斷A;利用零點(diǎn)存在定理推斷出，寫出的表達(dá)式，由此設(shè)函數(shù)，依據(jù)其單調(diào)性可推斷.【詳解】對(duì)于函數(shù)，有，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由題意函數(shù)，的零點(diǎn)分別為，，可知為的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，為的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖示，可得，且關(guān)于直線對(duì)稱，則，且，故，即，故B正確；由題意可知，所以，由于，即，A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，且為單調(diào)減函數(shù)，故在上存在唯一的零點(diǎn)，即，故，設(shè)，則該函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，故，且，故，故C錯(cuò)誤，D正確，故選：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題要留意到函數(shù)圖象的特點(diǎn)，即對(duì)稱性的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵在于依據(jù)題意推得，且關(guān)于直線對(duì)稱，從而可得，且，然后寫出以及的表達(dá)式，問題可解.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知.若，則的值為_________.【答案】【解析】【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，結(jié)果為，結(jié)合可得，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)為，即得答案.【詳解】由題意，由可得，故，故答案為：14.若正數(shù)，滿意，，則值為__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)列出方程組求出即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋裕?lián)立解得，所以，故答案為：.15.己知實(shí)數(shù)，且，則的最大值是_______________．【答案】2【解析】【分析】由已知可得，令，構(gòu)造函數(shù)，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求出最大值.【詳解】解：由，可知，則，且有，令，，可知在上單調(diào)遞減，，即的最大值是2，故答案為：2.16.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：mg/L）與時(shí)間（單位：h）間的關(guān)系為，其中，是正的常數(shù).假如在前5h消退了10%的污染物，那么經(jīng)過_______h污染物削減50%（精確到1h）？取，【答案】33【解析】【分析】代入給定的公式即可求解.【詳解】由題知，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，，解得：，所以，當(dāng)時(shí)，則有：，即，解得：.故答案為：33.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.若，，且.（1）解關(guān)于的不等式的解集（解集用的三角值表示）；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)題意，用的三角函數(shù)值替換的三角函數(shù)值，從而解一元二次不等式即可；(2)利用基本不等式求解.【小問1詳解】，∴，，因?yàn)樗裕嘣坏仁浇饧?；【小?詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào).18.中國(guó)最早用土和石片刻制成“土主”與“日暑”兩種計(jì)時(shí)工具，成為世界上最早獨(dú)創(chuàng)計(jì)時(shí)工具國(guó)家之一.銅器時(shí)代，運(yùn)用青銅制的“漏壺”，東漢元初四年張衡獨(dú)創(chuàng)了世界第一架“水運(yùn)渾象”，元初郭守敬、明初詹希元?jiǎng)?chuàng)制“大明燈漏”與“五輪沙漏”，始終到現(xiàn)代的鐘表、手表等.現(xiàn)在有人探討鐘的時(shí)針和分針一天內(nèi)重合的次數(shù)，從午夜零時(shí)算起，假設(shè)分針走了會(huì)與時(shí)針重合，一天內(nèi)分針和時(shí)針重合次.（1）建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系；（2）求一天內(nèi)分針和時(shí)針重合的次數(shù).【答案】（1）.（2）22次.【解析】【分析】（1）計(jì)算出分針以剛好針的旋轉(zhuǎn)的角速度，由題意列出等式，求得答案；（2）依據(jù)時(shí)針旋轉(zhuǎn)一天所需的時(shí)間，結(jié)合（1）的結(jié)果，列出不等式，求得答案.【小問1詳解】設(shè)經(jīng)過分針就與時(shí)針重合，為兩針一天內(nèi)重合的次數(shù).因?yàn)榉轴樞D(zhuǎn)的角速度為，時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角速度為，所以，即.【小問2詳解】因?yàn)闀r(shí)針旋轉(zhuǎn)一天所需的時(shí)間為（），所以，于是,故時(shí)針與分針一天內(nèi)只重合22次.19.在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，射線繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)弧度后交單位圓于點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于的函數(shù)為.（1）求函數(shù)的解析式，并求的值；（2）若，，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)特別值對(duì)應(yīng)的特別角及三角函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)值的定義即可求解；（1）依據(jù)（1）的結(jié)論及誘導(dǎo)公式，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系即可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以，由此?【小問2詳解】由知，即由于，得，與此同時(shí)，所以由平方關(guān)系解得：，.20.已知函數(shù)（為常數(shù)）.（1）當(dāng)，求的值；（參考數(shù)據(jù)：，）（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，求在區(qū)間上的值域.【答案】（1）0.3（2）【解析】【分析】(1)結(jié)合指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算公式計(jì)算；(2)依據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)列方程求，推斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求值域.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)【小問2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由偶函?shù)的定義得恒有即：也就是恒有,所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，∴，故在上值域.21.武漢城市圈城際鐵路，實(shí)現(xiàn)了武漢城市圈內(nèi)半小時(shí)經(jīng)濟(jì)圈體系.據(jù)悉一輛城際列車滿載時(shí)約為550人，人均票價(jià)為4元，非常適合城市間的運(yùn)營(yíng).城際鐵路運(yùn)營(yíng)公司通過一段時(shí)間的營(yíng)業(yè)發(fā)覺，每輛列車的單程營(yíng)業(yè)額（元）與發(fā)車時(shí)間間隔（分鐘）相關(guān)；當(dāng)間隔時(shí)間到達(dá)或超過12分鐘后，列車均為滿載狀態(tài)；當(dāng)時(shí)，單程營(yíng)業(yè)額與成正比；當(dāng)時(shí)，單程營(yíng)業(yè)額會(huì)在時(shí)的基礎(chǔ)上削減，削減的數(shù)量為.（1）求當(dāng)時(shí)，單程營(yíng)業(yè)額關(guān)于發(fā)車間隔時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式；（2）由于工作日和節(jié)假日的日運(yùn)營(yíng)時(shí)長(zhǎng)不同，據(jù)統(tǒng)計(jì)每輛車日均次單程運(yùn)營(yíng).為體現(xiàn)節(jié)能減排，發(fā)車間隔時(shí)間，則當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少分鐘時(shí)，每輛列車的日均營(yíng)業(yè)總額最大？求出該最大值.【答案】（1）.（2）時(shí)，,【解析】【分析】（1）由題意設(shè)當(dāng)時(shí)的函數(shù)表達(dá)式，由時(shí)滿載求得比例系數(shù)，進(jìn)而求得當(dāng)時(shí)表達(dá)式，寫為分段函數(shù)形式，即得答案；（2）由題意可得，，采納換元并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì),求得答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，設(shè)，a為比例系數(shù)，由時(shí)滿載可知，即，則，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，,故.【小問2詳解】由題意可得，，化簡(jiǎn)得，，令，則，當(dāng)，即時(shí)，符合題意，此時(shí).22.已知函數(shù)，，是常數(shù).（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，試問，函數(shù)是否有零點(diǎn)，