統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)全程一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)43直線平面垂直的判定與性質(zhì)理

課時(shí)作業(yè)43直線、平面垂直的判定與性質(zhì)[基礎(chǔ)落實(shí)練]一、選擇題1．[2024·江蘇南通期末]已知直線m?平面α，則直線l⊥平面α是直線l⊥m的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分又不必要條件2．[2024·百校大聯(lián)考第六次聯(lián)考]若m，n，l為空間三條不同的直線，α，β，γ為空間三個(gè)不同的平面，則下列為真命題的是()A．若m⊥l，n⊥l，則m∥nB．若m⊥β，m∥α，則α⊥βC．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥β3．[2024·河北張家口一模]已知兩條不同的直線l，m和不重合的兩個(gè)平面α，β，且l⊥β，有下面四個(gè)命題：①若m⊥β，則l∥m；②若α∥β，則l⊥α；③若α⊥β，則l∥α；④若l⊥m，則m∥β.其中真命題的序號是()A．①②B．②③C．②③④D．①④4．如圖，在四面體D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE5．一種特別的四面體叫做“鱉臑”，它的四個(gè)面均為直角三角形．在四面體PABC中，設(shè)E，F(xiàn)分別是PB，PC上的點(diǎn)，連接AE，AF，EF(此外不再增加任何連線)，則圖中直角三角形最多有()A．6個(gè)B．8個(gè)C．10個(gè)D．12個(gè)二、填空題6．已知平面α，β和直線m，給出以下條件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m?α；(4)α⊥β；(5)a∥β，當(dāng)條件______成立時(shí)，有m∥β；當(dāng)條件______成立時(shí)，有m⊥β(填所選條件的序號).7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿意________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可).8．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面α與棱AB，AC，A1C1，A1B1分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，且直線AA1∥平面α.有下列三個(gè)命題：①四邊形EFGH是平行四邊形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正確命題的序號是________．三、解答題9.[2024·遼寧鐵嶺市高三二模]如圖，四棱錐P-ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝PB＝2BC＝2CD＝2eq\r(2)，△PAD是正三角形，求證：平面PAD⊥底面ABCD.10．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，AA1的中點(diǎn)，Q是BC上一個(gè)動點(diǎn)，且BQ＝λQC(λ＞0).(1)當(dāng)λ＝1時(shí)，求證：平面BEF∥平面A1DQ；(2)是否存在λ，使得BD⊥FQ？若存在，懇求出λ的值；若不存在，請說明理由．[素養(yǎng)提升練]11．[2024·廣東珠海一模]已知α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m，n是三條不同的直線，下列條件中，可以得到l⊥α的是()A．l⊥m，l⊥n，m?α，n?αB．l⊥m，m∥αC．α⊥β，l∥βD．l∥m，m⊥α12.如圖，在正四面體PABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下列結(jié)論不正確的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC13．如圖，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為線段A1B上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是()A．平面D1A1P⊥平面A1APB．∠APD1的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))C．三棱錐B1-D1PC的體積為定值D．DC1⊥D1P14.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn)．求證：(1)PE⊥BC；(2)平面PAB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.15．[2024·遼寧五校模擬]在如圖所示的幾何體中，DE∥AC，AC⊥平面BCD，AC＝2DE＝4，BC＝2，DC＝1，∠BCD＝60°.(1)證明：BD⊥平面ACDE；(2)過點(diǎn)D作一平行于平面ABE的截面，畫出該截面，說明理由，并求夾在該截面與平面ABE之間的幾何體的體積．課時(shí)作業(yè)43直線、平面垂直的判定與性質(zhì)1．解析：充分性：∵直線l⊥平面α，∴l(xiāng)垂直于平面α內(nèi)全部直線，又∵直線m?平面α，∴l(xiāng)⊥m，充分性成立；必要性：若l⊥m且直線m?平面α，依據(jù)線面垂直判定定理得直線l⊥平面α不成立，必要性不成立．答案：B2．解析：A選項(xiàng)，m，n可能平行，相交或異面；C選項(xiàng)，α與β可能平行或相交；D選項(xiàng)，α與β可能平行或相交．答案：B3．解析：對于①，由l⊥β，m⊥β，可得l∥m，故①正確；對于②，若l⊥β，α∥β，可得l⊥α，故②正確；對于③，若l⊥β，α⊥β，則l∥α或l?α，故③錯(cuò)誤；對于④，若l⊥β，l⊥m，則m∥β或m?β，故④錯(cuò)誤．綜上，真命題的序號是①②.答案：A4．解析：因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.答案：C5．解析：為使題圖中有盡可能多的直角三角形，設(shè)四面體PABC為“鱉臑”，其中PA⊥平面ABC，且AB⊥BC，易知CB⊥平面PAB.若AE⊥PB，EF⊥PC，由CB⊥平面PAB，得平面PAB⊥平面PBC.又AE⊥PB，平面APB∩平面PBC＝PB，所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥EF，且AE⊥PC.又EF⊥PC，AE∩EF＝E，所以PC⊥平面AEF，所以AF⊥PC，知四面體PAEF也是“鱉臑”，則題圖中的10個(gè)三角形全是直角三角形．答案：C6．解析：依據(jù)面面平行的特征可得，若m?α，α∥β，則m∥β；依據(jù)線面垂直以及面面平行的性質(zhì)可得，若m⊥α，α∥β，則m⊥β.答案：（3）（5）（2）（5）7．解析：∵PC在底面ABCD上的射影為AC，且AC⊥BD，∴BD⊥PC.∴當(dāng)DM⊥PC（或BM⊥PC）時(shí)，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC（或BM⊥PC）8．解析：如圖所示，因?yàn)锳A1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH.所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF.又ABC-A1B1C1是直三棱柱，EH＝GF＝AA1，所以四邊形EFGH是平行四邊形，故①正確；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不肯定成立，故②錯(cuò)誤；由AA1⊥平面BCFE，結(jié)合AA1∥EH，知EH⊥平面BCFE，又EH?平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正確．答案：①③9．解析：由∠BCD＝90°，BC＝CD＝eq\r(2)，得BD＝2，又AD2＝BC2＋（AB－CD）2＝2＋2＝4，所以AD＝2.因?yàn)锳B＝2eq\r(2)，所以在三角形ADB中，AD2＋BD2＝AB2，所以BD⊥AD.因?yàn)镻B＝2eq\r(2)，PD＝BD＝2，所以PD2＋BD2＝PB2，所以BD⊥PD.因?yàn)锳D∩PD＝D，所以BD⊥平面PAD.因?yàn)锽D?底面ABCD，所以平面PAD⊥底面ABCD.10．解析：（1）當(dāng)λ＝1時(shí)，Q為BC中點(diǎn)，因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，所以ED＝BQ，ED∥BQ，則四邊形BEDQ是平行四邊形，所以BE∥QD.又BE?平面A1DQ，DQ?平面A1DQ，所以BE∥平面A1DQ.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AD，A1A中點(diǎn)，所以EF∥A1D.因?yàn)镋F?平面A1DQ，A1D?平面A1DQ，所以EF∥平面A1DQ.因?yàn)锽E∩EF＝E，EF?平面BEF，BE?平面BEF，所以平面BEF∥平面A1DQ.（2）如圖，連接AQ，BD與FQ，因?yàn)锳1A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以A1A⊥BD.若BD⊥FQ，又A1A，F(xiàn)Q?平面A1AQ，且A1A∩FQ＝F，所以BD⊥平面A1AQ.因?yàn)锳Q?平面A1AQ，所以AQ⊥BD.在矩形ABCD中，由AQ⊥BD，得△AQB∽△DBA，所以AB2＝AD·BQ.又AB＝1，AD＝2，所以BQ＝eq\f(1,2)，QC＝eq\f(3,2)，則eq\f(BQ,QC)＝eq\f(1,3)，即λ＝eq\f(1,3).11．解析：對于A，l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，則l與α相交、平行或l?α，故A錯(cuò)誤；對于B，l⊥m，m∥α，則l與α相交、平行或l?α，故B錯(cuò)誤；對于C，α⊥β，l∥β，則l與α相交、平行或l?α，故C錯(cuò)誤；對于D，l∥m，m⊥α，則l⊥α，故D正確．答案：D12．解析：由題意得BC∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，故A項(xiàng)正確；在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，所以BC⊥平面PAE，又DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，從而平面PDF⊥平面PAE，故B，C項(xiàng)均正確；故選D.答案：D13．解析：因?yàn)锳1D1⊥平面A1AP，A1D1?平面D1A1P，所以平面D1A1P⊥平面A1AP，故A項(xiàng)正確；當(dāng)P與A1重合時(shí)，∠APD1＝eq\f(π,2)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椤鰾1D1C的面積是定值，A1B∥平面B1D1C，所以點(diǎn)P到平面B1D1C的距離是定值，所以三棱錐B1-D1PC的體積為定值，故C項(xiàng)正確；因?yàn)镈C1⊥D1C，DC1⊥BC，D1C∩BC＝C，D1C，BC?平面BCD1A1，所以DC1⊥平面BCD1A1，又D1P?平面BCD1A1，所以DC1⊥D1P，故D項(xiàng)正確．答案：B14．證明：（1）因?yàn)镻A＝PD，E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.（2）因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AB⊥AD.又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又因?yàn)镻A⊥PD，且PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.（3）如圖，取PC中點(diǎn)G，連接FG，DG.因?yàn)镕，G分別為PB，PC的中點(diǎn)，所以FG∥BC，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BC.因?yàn)锳BCD為矩形，且E為AD的中點(diǎn)，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四邊形DEFG為平行四邊形．所以EF∥DG.又因?yàn)镋F?平面PCD，DG?平面PCD，所以EF∥平面PCD.15．解析：（1）在△BCD中，由余弦定理得BD2＝22＋12－2×1×2cos60°＝3，所以BC2＝BD2＋DC2，所以△BCD為直角三角形，BD⊥CD.因?yàn)锳C⊥平面BCD，所以AC⊥BD.而AC∩CD＝C，所以BD⊥平面ACDE.（2）如圖，取AC的中點(diǎn)F，BC的中點(diǎn)M，連接DF，DM，MF，則平面DFM即所求．理由如下：因?yàn)镈E∥AC，DE＝AF，所以四邊形AEDF為平行四邊形，所以DF∥AE，從而DF∥平面ABE，易證FM∥平面ABE.因?yàn)镕M∩DF＝F，所以平面DFM∥平面A