河南省大聯(lián)考高三下學期4月第三次模擬考試數(shù)學（理）試題

河南省大聯(lián)考2022屆高三下學期4月第三次模擬考試數(shù)學（理科）第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設，若與的虛部相等，則（）A． B． C． D．2．已知a，b，c均為非零向量，且，，則（）A．與垂直 B．與同向 C．與反向 D．與反向3．已知集合，，則（）A． B． C． D．4．某學校組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個社團，該校共有2000名同學，每名同學依據(jù)自己的興趣愛好最多可參加其中一個，各個社團的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加朗誦社團的同學有8名，參加太極拳社團的有12名，則（）A．這五個社團的總人數(shù)為100B．脫口秀社團的人數(shù)占五個社團總人數(shù)的25%C．這五個社團總人數(shù)占該校學生人數(shù)的8%D．從這五個社團中任選一人，其來自脫口秀社團或舞蹈社團的概率為45%5．如圖，一個底面邊長為cm的正四棱柱形狀的容器內裝有部分水，現(xiàn)將一個底面半徑為1cm的鐵制實心圓錐放入容器，圓錐放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若該容器的厚度忽略不計，則該圓錐的側面積為（）A． B． C． D．6．在等比數(shù)列中，，，則（）A．80 B．242 C． D．2447．若，，，則（）A． B． C． D．8．若直線是曲線的一條對稱軸，且函數(shù)在區(qū)間上不單調，則的最小值為（）A．9 B．15 C．21 D．339．已知為定義在R上的奇函數(shù)，，且在上單調遞增，在上單調遞減，則不等式的解集為（）A． B．C． D．10．如圖1所示，雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點．若雙曲線的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經過圖2中的A，B兩點反射后，分別經過點C和D，且，，則E的離心率為（）A． B． C． D．11．在正方體中，點E為線段上的動點，現(xiàn)有下面四個命題：①直線DE與直線AC所成角為定值；②點E到直線AB的距離為定值；③三棱錐的體積為定值；④三棱錐外接球的體積為定值．其中所有真命題的序號是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④12．若過點最多可作出條直線與函數(shù)的圖象相切，則下列結論中錯誤的是（）A． B．當時，的值不唯一C．可能等于 D．當時，的取值范圍是第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應位置．13．若，，則______．14．拋物線的焦點為F，點為C上一點，若，則______．15．“物不知數(shù)”是中國古代著名算題，原載于《孫子算經》卷下第二十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二．問物兒何？”它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書九章》大衍求一術中給出的．大衍求一術（也稱作“中國剩余定理”）是中國古算中最有獨創(chuàng)性的成就之一，屬現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問題．已知問題中，一個數(shù)被3除余2，被5除余3，被7除余2，則在不超過2022的正整數(shù)中，所有滿足條件的數(shù)的和為______．16．設，若，則整數(shù)n的值為______．三、解答題：共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分．17．（12分）如圖，一架飛機從A地飛往B地，兩地相距200km．飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層，從機場起飛以后，飛機沿與原來的飛行方向成角的方向飛行，飛行到C地，再沿與原來的飛行方向成45°角的方向繼續(xù)飛行km到達終點．（1）求A，C兩地之間的距離；（2）求．18．（12分）某大學為了鼓勵大學生自主創(chuàng)業(yè)，舉辦了“校園創(chuàng)業(yè)知識競賽”，該競賽決賽局有A，B兩類知識競答挑戰(zhàn)，規(guī)則為進入決賽的選手要先從A，B兩類知識中選擇一類進行挑戰(zhàn)，挑戰(zhàn)成功才有對剩下的一類知識挑戰(zhàn)的機會，挑戰(zhàn)失敗則競賽結束，第二類挑戰(zhàn)結束后．無論結果如何，競賽都結束．A，B兩類知識挑戰(zhàn)成功分別可獲得2萬元和5萬元創(chuàng)業(yè)獎金，第一類挑戰(zhàn)失敗，可得到2000元激勵獎金．已知甲同學成功晉級決賽．他對A，B兩類知識的挑戰(zhàn)成功率分別為，，且挑戰(zhàn)是否成功與挑戰(zhàn)次序無關．（1）若記X為甲同學優(yōu)先挑戰(zhàn)A類知識所獲獎金的累計總額（單位：元），寫出X的分布列；（2）為了使甲同學可獲得的獎金累計總額期望更大，請幫甲同學制定挑戰(zhàn)方案，并給出理由．19．（12分）如圖，點A，B，C分別為圓柱下底面圓周上的三個等分點，，，分別為圓柱的三條母線，點E，F(xiàn)分別為母線，上的點，且，點M是AE的中點．（1）證明：BM⊥平面AEF．（2）求平面AEF與平面所成銳二面角的余弦值．20．（12分）已知函數(shù)．（1）討論極值點的個數(shù)．（2）證明：．21．（12分）已知橢圓的上、下焦點分別為，，左、右頂點分別為，，且四邊形是面積為8的正方形．（1）求C的標準方程；（2）M，N為C上且在y軸右側的兩點，，與的交點為P，試問是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是，請說明理由．（二）選考題：共10分．請考生從第22，23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一個題目計分．22．[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標系中．曲線C的方程為．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．（1）求曲線C的極坐標方程；（2）若A是曲線C上一動點，B是線段上一動點，且直線AB與x軸垂直．求的最大值．23．[選修4—5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）當時，求不等式的解集．（2）證明：當時，．河南省大聯(lián)考2022屆高三下學期4月第三次模擬考試數(shù)學解析（理科）1．D【解析】依題意可得，則．2．C【解析】因為，，所以與同向，與反向，所以與反向．3．C【解析】因為，，所以．4．D【解析】這五個社團的總人數(shù)為，．A錯誤，C錯誤．因為太極拳社團人數(shù)的占比為，所以脫口秀社團人數(shù)的占比為，B錯誤．從這五個社團中任選一人，其來自脫口秀社團或舞蹈社團的概率為，D正確．5．A【解析】依題意可得圓錐的體積，又（其中h為圓錐的高），則cm，則圓錐的母線長為cm，故圓錐的側面積為．6．B【解析】因為等比數(shù)列的公比，所以，即．7．A【解析】由題意可知，，，，，則，所以．8．C【解析】當時，因為，所以，又在區(qū)間上不單調，所以，即．因為直線是曲線的一條對稱軸，所以，即，故的最小值為21．9．D【解析】因為為定義在R上的奇函數(shù)，所以的圖象關于點對稱，且，又，所以．依題意可得，當或時，．所以等價于或，解得或．10．B【解析】如圖，連接，，則，A，C和，B，D都三點共線．設，則．由，得，又，則，，，因此，即，則，，，故．11．A【解析】易證AC⊥平面，平面，所以恒有AC⊥DE，直線DE與直線AC所成角為90°，所以①是真命題．點E到直線AB的距離與點E到直線的距離有關，所以②是假命題．因為，所以平面，故點E到平面的距離d為定值，則為定值，所以③是真命題．點E在處和在的中點處時，三棱錐的外接球半徑不同，故其外接球的體積不是定值，所以④是假命題．12．B【解析】不妨設切點為，因為，所以切線方程為，則，整理得．設函數(shù)，則，令，得．當或時，；當時，．因此當時，，B錯誤；當時，，則，，，A與C均正確；當時，的取值范圍是，D正確．13． 【解析】 ．14．【解析】由拋物線的定義可知，即，則，解得．15．20410【解析】易知滿足被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小的數(shù)為23，滿足該條件的數(shù)從小到大構成以23為首項，為公差的等差數(shù)列，其通項公式為，令，解得，則所有滿足條件的數(shù)的和為．16．129【解析】因為，所以．17．解：（1）由余弦定理得，所以km．（2）（方法一）由正弦定理得，則，因為，所以A為銳角，所以故．（方法二）由余弦定理得,則，故．18．解：（1）由題意可知，X可取的值為2000，20000，70000，，，．故X的分布列為X20002000070000P0.40.360.24（2）記Y為甲同學優(yōu)先挑戰(zhàn)B類知識所獲獎金的累計總額，甲同學優(yōu)先挑戰(zhàn)A類知識所獲獎金的累計總額的期望為，優(yōu)先挑戰(zhàn)B類知識所獲獎金的累計總額的期望為，由題意可知，Y可取的值為2000，50000，70000，，，．（元），（元），因為，所以為了使甲同學可獲得的獎金累計總額期望更大，應該優(yōu)先選擇挑戰(zhàn)B類知識．19．（1）證明：如圖1，記AB的中點為N，連接MN，CN．因為點M是AE的中點，所以，且，所以四邊形CFMN為平行四邊形，則．因為MN⊥平面ABC，所以MN⊥CN，又CN⊥AB，且，所以CN⊥平面ABE，CN⊥BM．即MF⊥BM，因為，所以BM⊥平面AEF．（2）解：如圖2，記AC，的中點分別為D，，連接，BD，則，平面ABC，BD⊥AC，以D為原點，以的方向為x軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示。不妨設，則，，，，．由（1）可知平面AEF的一個法向量為．設平面的法向量為，，，則令，則，所以，故平面AEF與平面所成銳二面角的余弦值為．20．（1）解：由題意可知，，對于二次函數(shù)，．當時，，恒成立，有0個極值點；當時，二次函數(shù)有2個大于零的零點，由數(shù)形結合可知，有2個極值點；當時，二次函數(shù)只有1個大于零的零點，由數(shù)形結合可知，有1個極值點．（2）證明：要證，即證．（方法一）設，則，在上為增函數(shù)，因為，，所以在上存在唯一的零點m，且，即，．所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，因為，所以等號不成立，所以，所以，從而原不等式得證．（方法二）不妨設，則，，當時，，當時，，因此，恒成立，則恒成立，則恒成立，即．又，所以等號不成立，即，從而不等式得證．21．解：（1）因為四邊形為正方形，所以，又四邊形的面積，所以，則，故C的標準方程為．（2）由（1）得，．設，由題意可知，，，設直線的斜率為k，則直線的方程為，直線