山東省淄博市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

高一教學(xué)質(zhì)量階段檢測數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)位于（）．A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】因?yàn)?，則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.2.若，，，則（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【詳解】，故選：A3.設(shè)，表示不同的直線，，，表示不同的平面，給出下列四個命題，其中正確命題的個數(shù)是（）①若，，則②若，，則③若，，，則④若，，則A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系判斷①②④；根據(jù)線面平行的判定和性質(zhì)判斷③.【詳解】若，，則，故①正確；若，，則可能相交，故②錯誤；若，，，過直線m做平面γ且α∩γ＝s（s異于l），作平面φ且β∩φ＝t（t異于l），因m∥α，故m∥s，同理m∥t，故s∥t，因sβ，tβ中，從而s∥β，因sα，α∩β＝l，故s∥l，所以l∥m，故③正確；若，，則可能異面，故④錯誤.故選：B.4.已知向量，，則在上的投影向量的模為（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】利用投影向量的定義求出該向量，再求出模作答.【詳解】向量，，則是單位向量，且，因此在上的投影向量為，其模為1.故選：C5.已知，，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，記，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量夾角公式求解．【詳解】∵,∴．故選：B．6.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，將函數(shù)圖像上所有的點(diǎn)向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則的值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的圖象，求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出的解析式作答.【詳解】觀察圖象知，，函數(shù)的周期，則，又，于是，而，則，因此，，所以.故選：C7.如圖，在棱長為4的正方體中，，分別是、中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，則三棱錐的體積是（）A. B. C. D.與點(diǎn)P的位置有關(guān)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，證得平面，再利用等體積法求解作答.【詳解】在正方體中，，分別是、中點(diǎn)，則，而平面，平面，于是平面，又點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，因此點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，所以三棱錐的體積.故選：A8.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和結(jié)合誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式、商數(shù)關(guān)系式可得，再根據(jù)余弦定理與角度轉(zhuǎn)化可得，由基本不等式即可得最大值.【詳解】在中，因?yàn)?，所以，則，所以，且均為銳角，故，由余弦定理得，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值是.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.大年除夕吃年夜飯是中國古老的民俗傳統(tǒng)，唐朝詩人孟浩然曾寫下“續(xù)明催畫燭，守歲接長筵”這樣的詩句．為了解某地區(qū)居民的年夜飯消費(fèi)金額，研究人員隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)100個家庭，所得金額統(tǒng)計(jì)如圖所示，則下列說法正確的是（）A.可以估計(jì)，該地區(qū)年夜飯消費(fèi)金額在家庭數(shù)量超過總數(shù)的三分之一B.若該地區(qū)有2000個家庭，可以估計(jì)年夜飯消費(fèi)金額超過2400元的有940個C.可以估計(jì)，該地區(qū)家庭年夜飯消費(fèi)金額的平均數(shù)不足2100元D.可以估計(jì)，該地區(qū)家庭年夜飯消費(fèi)金額的中位數(shù)超過2200元【答案】ABD【解析】【分析】利用頻率，頻數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】由題意得，年夜飯消費(fèi)金額在的頻率為，故A正確；若該地區(qū)有2000個家庭，可以估計(jì)年夜飯超過2400元的家庭個數(shù)為，故B正確；平均數(shù)為（元），故C錯誤；中位數(shù)為（元），故D正確．故選：ABD．10.設(shè)，若，且的最小正周期大于，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時，取最大值B.的最小正周期為C.是偶函數(shù)D.在上單調(diào)遞增【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定信息求出函數(shù)的解析式，再逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】由，得，則，即是函數(shù)的周期，而的最小正周期大于，因此的最小正周期為，B正確；于是，，由，得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，從而，而，則，有，由，得當(dāng)時，取最小值，A錯誤；函數(shù)是偶函數(shù)，C正確；當(dāng)時，，余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，D錯誤.故選：BC11.已知向量，的夾角為，，向量，且，則向量，夾角的余弦值可以為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再求出的函數(shù)關(guān)系，并求出其取值范圍作答.【詳解】依題意，，，則，，，則，因此，由得，則，有，因此，而，選項(xiàng)AB正確，CD錯誤.故選：AB12.如圖，在棱長為2的正方體中，E為邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上的動點(diǎn)，設(shè)，則（）A.當(dāng)時，EP//平面 B.當(dāng)時，取得最小值，其值C.的最小值為 D.當(dāng)平面CEP時，【答案】BC【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷A；利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算判斷BC；確定直線與平面CEP交點(diǎn)的位置判斷D作答.【詳解】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，則點(diǎn)，對于A，，，，而，顯然，即是平面的一個法向量，而，因此不平行于平面，即直線與平面不平行，A錯誤；對于B，，則，因此當(dāng)時，取得最小值，B正確；對于C，，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C正確；對于D，取的中點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)镋為邊AD的中點(diǎn)，則，當(dāng)平面CEP時，平面，連接，連接，連接，顯然平面平面，因此，平面，平面，則平面，即有，而，所以，D錯誤.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及空間圖形中幾條線段和最小的問題，把相關(guān)線段所在的平面圖形展開并放在同一平面內(nèi)，再利用兩點(diǎn)之間線段最短解決是關(guān)鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某個品牌的牛奶重量（單位：g）的樣本數(shù)據(jù)如下：110.2、109.7、110.8、109.1、108.9、108.6、109.8、109.6、109.9、111.2、110.6、111.7，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為______.【答案】110.8【解析】【分析】把給定的樣本數(shù)據(jù)由小到大排列，利用第p百分位數(shù)的定義求解作答.【詳解】樣本數(shù)據(jù)由小到大排列為，108.6、108.9、109.1、109.6、109.7、109.8、109.9、110.2、110.6、110.8、111.2、111.7，由，得這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為110.8.故答案為：110.814.在正四棱臺中，，，，則該棱臺的體積為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出正四棱臺的高，再利用棱臺的體積公式計(jì)算作答.【詳解】正四棱臺的對角面是等腰梯形，其高為該正四棱臺的高，在等腰梯形中，，而，則該梯形的高，所以該棱臺的體積.故答案為：15.已知四棱錐的底面是矩形，側(cè)面為等邊三角形，平面平面，其中，，則四棱錐的外接球表面積為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)外接圓的圓心為，外接球球心為，先分別求得外接圓的半徑與，再利用勾股定理求得外接球的半徑，從而得解．【詳解】記AD的中點(diǎn)為，連接，連接EF，設(shè)外接圓的圓心為，半徑為，所求外接球球心為，半徑為，連接，如圖，因?yàn)闉榈冗吶切?，，所以圓的半徑，因?yàn)闉榈冗吶切?，是AD的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面平面PAD，所以平面ABCD，因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以是底面ABCD外接圓的圓心，故平面ABCD，所以，同理，所以四邊形是矩形，所以，所以球的半徑，所以外接球的表面積為．故答案為：．16.圓：上有兩定點(diǎn)，及兩動點(diǎn)C，D，且，則的最大值是______.【答案】##【解析】【分析】由已知求出的夾角，設(shè)射線與x軸正方向所成的角，利用三角函數(shù)定義表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示建立函數(shù)關(guān)系并求出最大值作答.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓：上，則，，而，則有，令射線與x軸正方向所成的角為，由點(diǎn)的對稱性，不妨令射線與x軸正方向所成的角為，由三角函數(shù)定義知，則，于是，同理，因此，而，則當(dāng)，即時，，所以的最大值是.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及定圓上的動點(diǎn)，可以設(shè)出經(jīng)過該點(diǎn)射線為終邊的角，利用三角函數(shù)定義表示出該點(diǎn)坐標(biāo)求解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，.（1）若向量與互相垂直，求的值：（2）設(shè)，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用垂直關(guān)系的向量表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求解作答.（2）利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，結(jié)合模的坐標(biāo)表示建立函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)最小值作答.【小問1詳解】因?yàn)橄蛄?，，則，，由向量與垂直，得，所以【小問2詳解】由，，得，所以，所以當(dāng)時,取到最小值18.已知，.（1）若函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且函數(shù)在上單調(diào)，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換將函數(shù)化簡，依題意，即可求出，從而得到函數(shù)解析式；（2）由對稱性得到，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求出的范圍，即可得解.【小問1詳解】因?yàn)椋驗(yàn)楹瘮?shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，所以，則，所以，解得，故函數(shù)．【小問2詳解】由，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以，所以，由，則，又函數(shù)上單調(diào)，所以，解得，所以當(dāng)時．19.如圖所示，在三棱柱中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別為棱，，，上的點(diǎn)，且，，，，四邊形為矩形，平面平面，.（1）證明：平面；（2）證明；平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，利用平行公理及平行四邊形性質(zhì)，證明線面平行，進(jìn)而證明面面平行，再利用面面平行的性質(zhì)推理作答.（2）利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定推理作答.【小問1詳解】在三棱柱中，連接，取的中點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)?，則，，于是四邊形是平行四邊形，即有，又平面，平面，則平面，顯然點(diǎn)為的中點(diǎn)，而點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，由，得，又，即有且，于是四邊形為平行四邊形，則，而平面平面，則平面，又，平面，因此平面平面，而平面，所以平面.【小問2詳解】由四邊形為矩形，得，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，因此平面，而平面，則，又，，于是，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?20.后疫情時代，為了可持續(xù)發(fā)展，提高人民幸福指數(shù).國家先后出臺了多項(xiàng)減稅增效政策.某地區(qū)對在職員工進(jìn)行了個人所得稅的調(diào)查，經(jīng)過分層隨機(jī)抽樣，獲得2000位在職員工的個人所得稅（單位：百元）數(shù)據(jù)，按，，，，，，，，分成九組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求直方圖中的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該市職工年個人所得稅不超過（百元），求的最小值：（3）已知該地區(qū)有70萬在職員工，規(guī)定：每位在職員工年個人所得稅不超過5000元的正常收取，若超過5000元，則超出的部分退稅，請估計(jì)該地區(qū)退稅總數(shù)約為多少?【答案】（1）（2）的最小值是48.8（3）13800000元【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率和為1計(jì)算得到答案；（2）根據(jù)前5組的頻率之和與前4組的頻率之和得到，根據(jù)比例關(guān)系解得答案；（3）在職員工的年個人所得稅在各區(qū)間分別超出正常收取5000元所得稅500元，1500元，2500元，3500元，計(jì)算可得到答案.【小問1詳解】由頻率分布直方圖，得解得；【小問2詳解】由頻率分布直方圖知，前5組的頻率之和為：；前4組的頻率之和為：，故，當(dāng)時，的最小值是48.8；【小問3詳解】由題可知，區(qū)間內(nèi)的年個人所得稅分別取5500元，6500元，7500元，8500元為代表，則在職員工的年個人所得稅分別超出正常收取5000元所得稅500元，1500元，2500元，3500元．于是，元，所以估計(jì)該地區(qū)退稅總數(shù)約為13800000元(1380萬元)．21.如圖，在四棱柱中，底面是邊長為1的正方形，，.（1）求三棱錐的體積；（2）若是側(cè)棱的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）可證得平面ABCD，所以四棱柱是正四棱柱，利用棱錐的體積公式求解可得答案；（2）取PC的中點(diǎn)，所以，又，所以為二面角的平面角，在直角中求解即可.【小問1詳解】在正方形ABCD中，，又，且公用，所以，所以，即因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面ABCD．所以四棱柱是正四棱柱．所以.【小問2詳解】是側(cè)棱的中點(diǎn)，由（1）知，在直角中，，在直角中，，在正方形ABCD中，，所以為正三角形．取PC的中點(diǎn)，連接AH，BH，所以，且，又在等腰直角中，，且，所以為二面角的平面角，在中，，在直角中，，即二面角的余弦值為．22.如圖，平面四邊形中，，，，的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且滿足.（1）判斷四邊形是否有外接圓?若有，求其半徑；若無，說明理