9.9線性回歸分析

9.9線性回歸分析課標(biāo)要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成1.了解相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)含義,會(huì)作兩個(gè)相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖;會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系,解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系,會(huì)用公式求相關(guān)系數(shù)相關(guān)關(guān)系的判斷通過(guò)計(jì)算相關(guān)系數(shù),求回歸方程,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)線性回歸方程及回歸分析2.了解最小二乘法的含義,知道最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程;針對(duì)實(shí)際問(wèn)題,會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)線性回歸與概率等知識(shí)綜合通過(guò)學(xué)習(xí)線性回歸方程和概率等知識(shí)相結(jié)合的問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)判斷下面結(jié)論正確的是().A.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系都是一種確定性的關(guān)系,也是一種因果關(guān)系B.“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生水平成正相關(guān)關(guān)系C.線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線y＾=b＾x+a＾至少經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2),…,(xnD.在回歸分析中,r=0.98的模型比r=0.81的模型擬合的效果更好2.(對(duì)接教材)下列四個(gè)散點(diǎn)圖中,變量x與y之間具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系的是().A B C D3.(對(duì)接教材)某小吃店的日盈利y與當(dāng)天氣溫x之間有如下數(shù)據(jù):x21012y54221則y對(duì)x的線性回歸直線方程為().A.y＾=1.2x+2.6B.y＾=x+2.8C.y＾=x+34.(易錯(cuò)自糾)某車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此進(jìn)行了5次試驗(yàn).根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表),由最小二乘法求得回歸方程為y＾零件數(shù)x/個(gè)1020304050加工時(shí)間y/min62■758189現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊看不清,則該數(shù)據(jù)為.

5.(真題演練)(2023·新高考天津卷)調(diào)查某種群花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度,所得數(shù)據(jù)如圖所示,其中相關(guān)系數(shù)r=0.8245,則下列說(shuō)法正確的是().A.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度沒(méi)有相關(guān)性B.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)C.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)D.若從樣本中抽取一部分,則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245相關(guān)關(guān)系的判斷典例1(1)有下列關(guān)系:①人的年齡與他(她)擁有的財(cái)富之間的關(guān)系;②曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系;③蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系;④森林中的同一種樹(shù)木,其橫斷面直徑與高度之間的關(guān)系.其中具有相關(guān)關(guān)系的是().A.①②③ B.①②C.②③ D.①③④(2)對(duì)四組變量y和x進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn),已知n是觀測(cè)值組數(shù),r是相關(guān)系數(shù).①n=7,r=0.9545;②n=15,r=0.3812;③n=17,r=0.4985;④n=8,r=0.9870.則變量y與x具有線性相關(guān)關(guān)系的是.

(3)x和y的散點(diǎn)圖如圖所示,若用y=c1ec2x擬合時(shí)的決定系數(shù)為R12,用y＾=b＾x+a＾擬合時(shí)的決定系數(shù)為判斷相關(guān)關(guān)系的兩種方法:(1)散點(diǎn)圖法,如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線附近,那么變量之間就有相關(guān)關(guān)系;如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近,那么變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系.(2)相關(guān)系數(shù)法:利用相關(guān)系數(shù)判定,|r|越趨近于1,線性相關(guān)性越強(qiáng).訓(xùn)練1(1)如圖,去掉D(3,10)后,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是().A.相關(guān)系數(shù)r變大B.殘差平方和變大C.相關(guān)指數(shù)R2變大D.解釋變量x與響應(yīng)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)(2)(多選)相關(guān)變量x,y的散點(diǎn)圖如圖所示,現(xiàn)對(duì)這兩個(gè)變量進(jìn)行線性相關(guān)分析.方案一:根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù),得到線性回歸方程y＾=b1x+a1,相關(guān)系數(shù)為r1;方案二:剔除點(diǎn)(10,21),根據(jù)剩下數(shù)據(jù)得到線性回歸直線方程y＾=b2x+a2,相關(guān)系數(shù)為rA.r1=r2 B.r1<r2C.r1>r2 D.r1,r2∈(1,0)線性回歸方程及回歸分析典例2某中學(xué)學(xué)生會(huì)為了激發(fā)學(xué)生們對(duì)中國(guó)古典文學(xué)的愛(ài)好,提升古典文學(xué)素養(yǎng),在暑假開(kāi)學(xué)返校后的第一個(gè)月組織了一個(gè)古典文學(xué)研究協(xié)會(huì),在接下來(lái)的四個(gè)月內(nèi),該協(xié)會(huì)的會(huì)員人數(shù)如下表:月份x第一個(gè)月第二個(gè)月第三個(gè)月第四個(gè)月第五個(gè)月會(huì)員人數(shù)y912172127(1)求會(huì)員人數(shù)與時(shí)間變量(記第一個(gè)月為x=1,第二個(gè)月為x=2,…,以此類推)的線性回歸方程;(∑i=15xiyi(2)根據(jù)(1)中所求的線性回歸方程,預(yù)測(cè)12個(gè)月后,會(huì)員人數(shù)能否突破60人.參考公式:回歸方程y＾=b＾x+a＾中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b＾=∑i=1nx求線性回歸方程時(shí)的注意點(diǎn)(1)正確理解計(jì)算r,b＾(2)回歸直線方程y＾=b＾x+a＾必過(guò)樣本點(diǎn)的中心點(diǎn)(x(3)在分析兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系時(shí),可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來(lái)確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系,若具有線性相關(guān)關(guān)系,則可通過(guò)線性回歸方程來(lái)估計(jì)和預(yù)測(cè).訓(xùn)練2造林綠化對(duì)生態(tài)發(fā)展特別是在防風(fēng)固沙、緩解溫室效應(yīng)、凈化空氣、涵養(yǎng)水源等方面有著重要意義.某苗木培養(yǎng)基地為了對(duì)某種樹(shù)苗的高度偏差x(單位:cm)與樹(shù)干最大直徑偏差y(單位:mm)之間的關(guān)系進(jìn)行分析,隨機(jī)挑選了8株該品種的樹(shù)苗,得到它們的偏差數(shù)據(jù)(偏差是指?jìng)€(gè)別測(cè)定值與測(cè)定的平均值之差)如下表:樹(shù)苗序號(hào)12345678高度偏差x2015133251018直徑偏差y6.53.53.51.50.50.52.53.5(1)若x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求y關(guān)于x的線性回歸方程;(2)若這種樹(shù)苗的平均高度為120cm,樹(shù)干最大直徑平均為31.5mm,試由(1)的結(jié)論預(yù)測(cè)高度為128cm的這種樹(shù)苗的樹(shù)干最大直徑為多少毫米.參考數(shù)據(jù):∑i=18xiyi參考公式:回歸直線方程y＾=a＾+b＾x中斜率和截距的最小二乘估計(jì)為b＾=∑i=1非線性回歸問(wèn)題1.建立非線性回歸模型的基本步驟:①確定研究對(duì)象,明確哪個(gè)是解釋變量,哪個(gè)是預(yù)報(bào)變量;②畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖,觀察它們之間的關(guān)系(是否存在非線性關(guān)系);③由經(jīng)驗(yàn)確定非線性回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系,一般選用反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型等);④通過(guò)換元,將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型;⑤按照公式計(jì)算線性回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法),得到線性回歸方程;⑥消去新元,得到非線性回歸方程;⑦得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常,若存在異常,則檢查數(shù)據(jù)是否有誤,或模型是否合適等.2.常見(jiàn)的非線性回歸方程的轉(zhuǎn)化:曲線方程變換公式變換后的線性關(guān)系式y(tǒng)=axbc=lna,v=lnx,u=lnyu=c+bvy=aebxc=lna,u=lnyu=c+bxy=aec=lna,v=1xu=c+bvy=a+blnxv=lnxy=a+bv典例1(冪函數(shù)型)某新能源汽車公司從2019年到2023年汽車年銷售量y(單位:萬(wàn)輛)的散點(diǎn)圖如下:記年份代碼為x(x=1,2,3,4,5).(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,模型①y=a+bx與模型②y=c+dx2,哪一個(gè)更適宜作為年銷售量y關(guān)于年份代碼x的回歸方程?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果,建立y關(guān)于x的回歸方程.(3)預(yù)測(cè)2024年該公司新能源汽車銷售量.參考數(shù)據(jù):y∑∑∑i=15x∑i=134559796572805參考公式:回歸方程y＾=a＾+b＾x中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b＾=∑i=1n(典例2(指數(shù)函數(shù)型)云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn),近年來(lái),我國(guó)云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模持續(xù)增長(zhǎng).已知某科技公司2019年至2023年云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模數(shù)據(jù),且市場(chǎng)規(guī)模y與年份代碼x的關(guān)系可以用模型y=c1ec年份2019年2020年2021年2022年2023年年份代碼x12345云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模y/千萬(wàn)元7.4112036.654.6z=lny22.433.64由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程z=0.52x+a＾A.e5.08 B.e5.6C.e6.12 D.e6.5訓(xùn)練(對(duì)數(shù)函數(shù)型)某劇場(chǎng)的座位數(shù)量是固定的,管理人員統(tǒng)計(jì)了最近在該劇場(chǎng)舉辦的五場(chǎng)表演的票價(jià)xi(單位:元)和上座率yi(上座人數(shù)與總座位數(shù)的比值)的數(shù)據(jù),其中i=1,2,3,4,5,并根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到如下的散點(diǎn)圖.(1)由散點(diǎn)圖判斷y=bx+a與y=clnx+d哪個(gè)模型能更好地對(duì)y與x的關(guān)系進(jìn)行擬合(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由),并根據(jù)你的判斷結(jié)果求回歸方程;(2)根據(jù)(1)所求的回歸方程,預(yù)測(cè)票價(jià)為多少時(shí),劇場(chǎng)的門票收入最多.參考數(shù)據(jù):x=240,y=0.5,∑i=15xi2=365000,∑i=15xiyi=457.5;設(shè)zi=lnxi,則∑i=15zi≈27,∑i=1參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線v＾=α＾+β＾u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為β＾=α＾=vβ＾一、單選題1.在變量y與x的回歸模型中,根據(jù)下面四個(gè)的相關(guān)系數(shù)|r|,判斷擬合效果最好的是().A.模型1的相關(guān)系數(shù)|r|為0.2 B.模型2的相關(guān)系數(shù)|r|為0.3C.模型3的相關(guān)系數(shù)|r|為0.9 D.模型4的相關(guān)系數(shù)|r|為0.82.若某地財(cái)政收入x與支出y滿足一元線性回歸模型y＾i=b＾xi+a＾+εi(單位:億元,i=1,2,…),其中b＾A.10億元 B.9億元C.10.5億元 D.9.5億元3.已知變量x與y正相關(guān),且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)x=3,y=3.5,則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得線性回歸方程可能為().A.y＾=0.4x+2.3 B.y＾=2x2.4C.y＾=2x+9.5 D.4.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:廣告費(fèi)用x/萬(wàn)元23456銷售額y/萬(wàn)元1925343844根據(jù)上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＾=6.3x+aA.經(jīng)驗(yàn)回歸直線y＾=6.3x+aB.這組數(shù)據(jù)的樣本點(diǎn)的中心(x,y)未必在經(jīng)驗(yàn)回歸直線y＾=6.3x+aC.回歸系數(shù)6.3的含義是廣告費(fèi)用每增加1萬(wàn)元,銷售額實(shí)際增加6.3萬(wàn)元D.據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為7萬(wàn)元時(shí)銷售額為50.9萬(wàn)元二、多選題5.關(guān)于相關(guān)系數(shù)r,下面說(shuō)法正確的是().A.r∈[1,1]B.若r=0,則兩個(gè)變量線性不相關(guān)C.若r<0,則一個(gè)變量增加,另一個(gè)變量有減少的趨勢(shì)D.相關(guān)系數(shù)0<r<1,表示變量x,y之間具有負(fù)相關(guān)關(guān)系6.某電子商務(wù)平臺(tái)每年都會(huì)舉行“年貨節(jié)”商業(yè)促銷狂歡活動(dòng),現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該平臺(tái)從2015年到2023年共9年“年貨節(jié)”期間的銷售額(單位:億元)并作出散點(diǎn)圖,將銷售額y看成以年份序號(hào)x(2015年作為第1年)的函數(shù).運(yùn)用Excel軟件,分別選擇回歸直線和三次函數(shù)回歸曲線進(jìn)行擬合,效果如下圖,則下列說(shuō)法正確的是().A.銷售額y與年份序號(hào)x呈正相關(guān)關(guān)系B.銷售額y與年份序號(hào)x線性相關(guān)不顯著C.三次函數(shù)回歸曲線的擬合效果好于回歸直線的擬合效果D.根據(jù)三次函數(shù)回歸曲線可以預(yù)測(cè)2024年“年貨節(jié)”期間的銷售額約為8454億元三、填空題7.在一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn互不相等)的散點(diǎn)圖中,若所有樣本點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直線y=2x+100上,則這組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為.

8.隨機(jī)變量x與y的數(shù)據(jù)如下表所示,其中少了一個(gè)數(shù)值,已知y關(guān)于x的線性回歸方程為y＾=0.9x+3,則缺少的數(shù)值為x23456y56▲79四、解答題9.某公司在市場(chǎng)調(diào)查中,發(fā)現(xiàn)某產(chǎn)品的單位定價(jià)x(單位:萬(wàn)元/噸)對(duì)月銷售量y(單位:噸)有影響.對(duì)不同定價(jià)xi和月銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表:xyz∑∑∑i=18xi∑i=18zi0.244390.164820683956表中z=1x.經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)可以用y=a+b(1)求y關(guān)于x的回歸方程;(2)若生產(chǎn)1噸產(chǎn)品的成本為1.6萬(wàn)元,則預(yù)計(jì)價(jià)格定為多少時(shí),該產(chǎn)品的月利潤(rùn)取得最大值,求此時(shí)的月利潤(rùn).參考公式:b＾=∑i=1nxiyi10.下圖是某地2017年至2023年生活垃圾無(wú)害化處理量(單位:噸)的折線圖.(1)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明;(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),并預(yù)測(cè)2025年此地生活垃圾無(wú)害化處理量.附:參考數(shù)據(jù):∑i=17yi=9.32,∑i=17tiyi=40.17,∑i=17(yi-y)2=0.55,7≈2.646.參考公式:相關(guān)系數(shù)r=∑i11.用模型y=cekx擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),為了求出回歸方程,設(shè)z=lny,其變換后得到線性回歸方程為z=0.5x+2,則c等于(). B.e0.5 C.2 D.e212.某企業(yè)為改進(jìn)生產(chǎn),現(xiàn)對(duì)某產(chǎn)品及成本相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),收集了該產(chǎn)品的成本費(fèi)y(