4.8圖形的位似（培優(yōu)版）（含答案）-北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

4.8圖形的位似（培優(yōu)版）夯實(shí)基夯實(shí)基礎(chǔ)黑發(fā)不知勤學(xué)早，白首方悔讀書遲。一、選擇題1．兩個(gè)大小不一的五邊形ABCDE和五邊形FBCHG如圖所示位置，點(diǎn)F在線段AB上，點(diǎn)H在線段CD上，對(duì)應(yīng)連接并延長(zhǎng)AF，EG，DH剛好交于一點(diǎn)O，則這兩個(gè)五邊形的關(guān)系是（）A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能確定2．如圖，△ABC和△DEF是位似三角形，OD=3OA，△ABC的面積為2，則△DEF的面積為（）A．4 B．6 C．16 D．183．如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A'、BA．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍4．如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心.已知OA：AD=1：1，則A．1：2 B．1：4 C．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，大魚與小魚是關(guān)于原點(diǎn)O的位似圖形，則下列說法中正確的是（）A．大魚與小魚的相似比是3B．小魚與大魚的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比是2C．大魚尾巴的面積是小魚尾巴面積的4倍D．若小魚上一點(diǎn)的坐標(biāo)是(a，b)6．如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O是它們的位似中心，且位似比為1∶2，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)之比是（）A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶97．如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若OA：AD=2：3，則A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：28．一個(gè)面積為20cm2的四邊形ABCD，它的位似圖形為四邊形A'B'C'A．180cm2 C．180cm2或20c9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，4）、B（2，0），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，作與ΔOAB的位似比為12的位似圖形ΔOA1A．（1，2） B．(-1，-2)C．(1，2)或(-1，-2) D．(2，1)或(-2，-1)10．如圖，△ABC與△DEF位似，位似中心為點(diǎn)O，△ABC與△DEF的周長(zhǎng)之比為4∶9，則AO∶OD的比為（）A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：13鞏固積鞏固積厚寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來。二、填空題11．如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，位似比為2：3．若△ABC的周長(zhǎng)為6，則△DEF的周長(zhǎng)是12．如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，相似比為1：2，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，4)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為13．如圖，在ΔABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，6），以原點(diǎn)O為位似中心，將ΔABC位似縮小后得到△A′B′C′．若點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（1，2），△A′B′C′的面積為1，則ΔABC的面積為．14．如圖，ΔABC與ΔDEF位似，點(diǎn)O為位似中心，位似比為2：3．若ΔABC的周長(zhǎng)為4，則ΔDEF的周長(zhǎng)是15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△ABC與等邊△BDE是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，且相似比為13，點(diǎn)A、B、D在x軸上，若等邊△BDE的邊長(zhǎng)為6，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為優(yōu)尖拔優(yōu)尖拔高書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟。三、解答題16．放縮尺是一種繪圖工具，它能把圖形放大或縮小．制作：把鉆有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分別在點(diǎn)A，B，C，D處連接起來，使得直尺可以繞著這些點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，O為固定點(diǎn)，OD=DA=CB，DC=AB=BE，在點(diǎn)A，E處分別裝上畫筆．畫圖：現(xiàn)有一圖形M，畫圖時(shí)固定點(diǎn)O，控制點(diǎn)A處的筆尖沿圖形M的輪廓線移動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)E處的畫筆便畫出了將圖形M放大后的圖形N．原理：連接OA，OE，可證得以下結(jié)論：①△ODA和△OCE為等腰三角形，則∠DOA=12(180°?∠ODA)，∠COE=12②四邊形ABCD為平行四邊形（理由是）；③∠DOA=∠COE，于是可得O，A，E三點(diǎn)在一條直線上；④當(dāng)DCCB=35時(shí)，圖形N是以點(diǎn)O為位似中心，把圖形M放大為原來的17．放縮尺是一種繪圖工具，它能把圖形放大或縮?。谱鳎喊雁@有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分別在點(diǎn)A，B，C，D處連接起來，使得直尺可以繞著這些點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，O為固定點(diǎn)，OD=DA=CB，DC=AB=BE，在點(diǎn)A，E處分別裝上畫筆．畫圖：現(xiàn)有一圖形M，畫圖時(shí)固定點(diǎn)O，控制點(diǎn)A處的筆尖沿圖形M的輪廓線移動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)E處的畫筆便畫出了將圖形M放大后的圖形N．原理：連接OA，OE，可證得以下結(jié)論：①△ODA和△OCE為等腰三角形，則∠DOA=12(180°?∠ODA)，∠COE=12②四邊形ABCD為平行四邊形（理由是）；③∠DOA=∠COE，于是可得O，A，E三點(diǎn)在一條直線上；④當(dāng)DCCB=35時(shí)，圖形N是以點(diǎn)O為位似中心，把圖形M放大為原來的18．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為1：3，點(diǎn)A，B，E在x軸上．（1）若點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4.5，?3)，直接寫出點(diǎn)C和點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）若正方形BEFG的邊長(zhǎng)為6，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．19．如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)P（點(diǎn)P不與A，B重合），分別連接PD，PC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把P叫四邊形ABCD的邊AB上的“相似點(diǎn)”；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把P叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”.解決問題（1）如圖①，∠A＝∠B＝∠DPC＝50°，試判斷點(diǎn)P是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說明理由.（2）如圖②，在四邊形ABCD中，A，B，C，D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）的格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖②中畫出四邊形ABCD的邊BC上的相似點(diǎn)，并寫出對(duì)應(yīng)的相似三角形；（3）如圖③，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝3，CD＝5，AD＝8.點(diǎn)P在邊BC上，若點(diǎn)P是四邊形ABCD的邊BC上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，求BP的長(zhǎng).20．閱讀下面材料：小明觀察一個(gè)由1×1正方形點(diǎn)陣組成的點(diǎn)陣圖，圖中水平與豎直方向上任意兩個(gè)相鄰點(diǎn)間的距離都是1．他發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的問題：對(duì)于圖中出現(xiàn)的任意兩條端點(diǎn)在點(diǎn)陣上且互相不垂直的線段，都可以在點(diǎn)陣中找到一點(diǎn)構(gòu)造垂直，進(jìn)而求出交點(diǎn)與垂足之間的數(shù)值．請(qǐng)回答：（1）如圖1，A、B、C是點(diǎn)陣中的三個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)邳c(diǎn)陣中找到點(diǎn)D，作出線段CD，使得CD⊥AB；（2）如圖2，線段AB與CD交于點(diǎn)O，小明在點(diǎn)陣中找到了點(diǎn)E，連接AE．恰好滿足AE⊥CD于E，再作出點(diǎn)陣中的其它線段，就可以構(gòu)造相似三角形，經(jīng)過推理和計(jì)算能夠使問題得到解決．請(qǐng)你幫小明計(jì)算：OC＝OF＝；（3）參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，線段AB與CD交于點(diǎn)O．在點(diǎn)陣中找到點(diǎn)E，連接AE，滿足AE⊥CD于F．計(jì)算：OC＝，OF＝．

答案與解析答案與解析1．答案:C解析：解：如下圖所示，

對(duì)應(yīng)連接并延長(zhǎng)AF，EG，DH剛好交于一點(diǎn)O，

此時(shí)點(diǎn)F、H、E可分別在線段AB，CD，OE上運(yùn)動(dòng)，

假設(shè)存在一點(diǎn)五邊形BCHGF與五邊形CDEAB是位似圖形，

此時(shí)改變OE上任一點(diǎn)，則此時(shí)五邊形BCHGF與五邊形CDE1AB不是位似圖形，

即五邊形ABCDE和五邊形FBCHG一定不相似.

故答案為：C

分析：位似圖形：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)線段相互平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，觀察圖形，可得這兩個(gè)五邊形不一定不相似.2．答案:D解析：解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，∴△ABC∽△DEF，AB//∴△OAB∽△ODE，∴ABDE∴S△ABC∵△ABC的面積為2，∴△DEF的面積為18，故答案為：D.分析：由題意可得△ABC∽△DEF，AB∥DE，證明△OAB∽△ODE，然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方進(jìn)行解答.3．答案:C解析：解：由題意可得，甲乙兩圖形相似，且相似比為12根據(jù)相似圖形的面積比是相似比的平方可得，圖形乙的面積是圖形甲的面積的4倍，故答案為：C

分析：利用位似圖象的性質(zhì)求解即可。4．答案:B解析：解：∵OA：∴OA：∴△ABC與△DEF的相似比為1：∴△ABC與△DEF的面積比為1：故答案為：B.分析：根據(jù)OA：AD=1：1可得OA：OD=1：2，然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方進(jìn)行解答.5．答案:C解析：解：A、大魚與小魚的相似比是2：1，故此選項(xiàng)不符合題意；B、小魚與大魚的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比是1：2，故此選項(xiàng)不符合題意；C、大魚尾巴的面積是小魚尾巴面積的4倍，故此選項(xiàng)符合題意；D、小魚上一點(diǎn)的坐標(biāo)是(a，b)，則在大魚上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是故答案為：C．

分析：利用位似圖形的性質(zhì)求解即可。6．答案:A解析：解：∵△ABC與△DEF位似∴△ABC∽△DEF∵△ABC與△DEF的位似比是1：2∴△ABC與△DEF的相似比是1：2∴△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比是1：2故答案為：A．

分析：根據(jù)兩三角形位似，周長(zhǎng)比等于相似比即可求解。7．答案:C解析：解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，∴ACDF∵OA∴又△ABC～△DEF∴故答案為：C.分析：根據(jù)位似圖形的性質(zhì)可得ACDF=OA8．答案:C解析：解：由題可知四邊形的相似比為1：1或1：3，∵四邊形的面積之比等于相似比的平方，且四邊形ABCD的面積為20cm∴四邊形A'B'C'故答案為：C．

分析：利用位似圖形的性質(zhì)：相似圖形的面積之比等于相似比的平方求解即可。9．答案:C解析：解：∵A（2，4），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，作與ΔOAB的位似比為12的位似圖形ΔOA1B1，

∴點(diǎn)A1（2×12，4×12）即（1，2）或（2×（-12），4×（-12））即（-1，-2）.

10．答案:C解析：解：∵△ABC與△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△AOB∽△DOE，∴ABDE∵△ABC與△DEF的周長(zhǎng)之比為4：9，∴AB：∴AB∶DE=4∶9．故答案為：C．分析：根據(jù)題意先求出△AOB∽△DOE，再求出AB：11．答案:9解析：解：∵△ABC和△DEF是位似圖形，位似比為2：3，∴△DEF和△ABC的相似比為3：2，∴△DEF的周長(zhǎng)=3故答案為：9．

分析：先求出△DEF和△ABC的相似比為3：2，再求出△DEF的周長(zhǎng)=32×△ABC12．答案:(?2解析：解：∵正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，相似比為1：2，點(diǎn)D的坐標(biāo)為∴DE=EF=4，則AB=BC=22∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是：(?22故答案為：(?22

分析：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得DE=EF=4，則AB=BC=22，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為(?213．答案:9解析：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，6），點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（1，2）ΔABC與△A′B′C′的相似比為3∴∵△A′B′C′的面積為1，∴ΔABC的面積為9故答案為：9

分析：利用位似圖形的性質(zhì)可得S△ABC14．答案:6解析：設(shè)ΔDEF的周長(zhǎng)是x，∵ΔABC與ΔDEF位似，相似比為2：3，∴4：解得：x=6，故答案為：6．

分析：設(shè)ΔDEF的周長(zhǎng)是x，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)可得4：x=2：15．答案:(解析：解：作CF⊥AB于F，∵等邊△ABC與等邊△BDE是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，∴BC∥DE，∴△OBC∽△ODE，∴BCDE∵△ABC與△BDE的相似比為13∴BC解得，BC=2，OB=3，∴OA=1，∵CA=CB，CF⊥AB，∴AF=1，由勾股定理得，CF=∴OF=OA+AF=2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(故答案為：(2

分析：作CF⊥AB于F，證明△OBC∽△ODE，可得BCDE16．答案:解：連接OA，OE，如圖，①∵OD=DA=CB，DC=AB=BE∴OC=CE∴△OAD和△OEC是等腰三角形，∴∠DOA=∠DAO，∠COE=∠CEO∴∠DOA=12②∵BC=AD，CD=AB∴四邊形ABCD為平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）③∵∠DOA=∠COE∴O，A，E三點(diǎn)在一條直線上；④∵圖形M和圖形N是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，∴其倍數(shù)比為三角形的邊長(zhǎng)比即：OCOD又DCCB=∴OC即：當(dāng)DCCB=3故答案為：OCE；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；8解析：①由等腰三角形的性質(zhì)即可求解；②平行四邊形的判定即可求解；③由圖形即可直接得出答案；④根據(jù)圖形M和圖形N是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，求解即可。17．答案:解：連接OA，OE，如圖，①∵OD=DA=CB，DC=AB=BE∴OC=CE∴△OAD和△OEC是等腰三角形，∴∠DOA=∠DAO，∠COE=∠CEO∴∠DOA=12②∵BC=AD，CD=AB∴四邊形ABCD為平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）③∵∠DOA=∠COE∴O，A，E三點(diǎn)在一條直線上；④∵圖形M和圖形N是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，∴其倍數(shù)比為三角形的邊長(zhǎng)比即：OCOD又DCCB=∴OC即：當(dāng)DCCB=35時(shí)，圖形N是以點(diǎn)O為位似中心，把圖形故答案為：OCE；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；8解析：①由等腰三角形的性質(zhì)可求解；②由平行四邊形的判定即可求解；③由圖形可直接得到答案；④通過證明△AOD∽△EOC，可得OCOD18．答案:（1）解：C點(diǎn)坐標(biāo)為(32，?1)，（2）解：∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，∴正方形BEFG的邊長(zhǎng)為6，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，OB：OE=1：3，∴OB：(OB+6)=1：3，解得OB=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，?2)解析：（1）根據(jù)位似比為1：3，可以直接得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)。

（2）大正方形邊長(zhǎng)為6，根據(jù)正方形ABCD和正方形BEFG的位似比，可得小正方形邊長(zhǎng)為2，根據(jù)正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，所以可以求出點(diǎn)C的坐標(biāo)。19．答案:（1）解：結(jié)論：點(diǎn)P是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，理由：如圖①中，∵∠A＝50°，∴∠ADP+∠APD＝130°.∵∠DPC＝50°.∴∠APD+∠CPB＝130°∴∠ADP＝∠CPB，∵∠A＝∠B∴△ADP∽△BPC∴點(diǎn)P是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn).（2）解：如圖②中，作AP1⊥AD，交邊BC于點(diǎn)P1，則點(diǎn)P1為所求，此時(shí)△ABP1∽△DAP1：作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A'：連接DA'，交BC于點(diǎn)P2則點(diǎn)P2為所求，此時(shí)△ABP2∽△DCP2（3）解：取AD的中點(diǎn)O，作OP⊥BC，垂足為P.則點(diǎn)P為所求，連接AP，DP.∵∠B＝∠C＝90°，OP⊥BC，∴AB∥OP∥DC作AE∥BC，則四邊形ABCE，ABPF，F(xiàn)PCE均為矩形，∴EC＝FP＝AB＝3，ED＝2∵OF是△AED的中位線，∴OF＝1∴OP＝4＝OA＝OD＝12∴∠ODP＝∠OPD，∠OAP＝∠OPA，∴∠APD＝90°∵∠OPC＝90°，∴∠DPC＝∠OPA＝∠OAP.同理可證：∠BPA＝∠OPD＝∠ODP∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD，∴△ABP∽△APD∽△PCD，∴點(diǎn)P是四邊形ABCD的邊BC上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，在R△AED中，AE＝82?2∴BC＝AE＝215∴BP＝PC＝