專題11 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）原卷版

2/2專題11對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 4【考點1】對數(shù)的運(yùn)算 4【考點2】對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 6【考點3】對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 7【分層檢測】 8【基礎(chǔ)篇】 9【能力篇】 10【培優(yōu)篇】 11考試要求：1.理解對數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).2.通過實例，了解對數(shù)函數(shù)的概念，能用描點法或借助計算工具畫具體對數(shù)函數(shù)的圖象，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.3.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù).知識梳理知識梳理1.對數(shù)的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2.對數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)與換底公式(1)對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).(3)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).3.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0，＋∞).(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R當(dāng)x＝1時，y＝0，即過定點(1，0)當(dāng)x>1時，y>0；當(dāng)0<x<1時，y<0當(dāng)x>1時，y<0；當(dāng)0<x<1時，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱.它們的定義域和值域正好互換.1.換底公式的兩個重要結(jié)論(1)logab＝eq\f(1,logba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).(2)logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).2.對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù).故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·北京·高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．4．（2021·全國·高考真題）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．5．（2021·全國·高考真題）設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．6．（2021·全國·高考真題）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（

）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.67．（2021·天津·高考真題）若，則（

）A． B． C．1 D．8．（2021·天津·高考真題）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·全國·高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動力汽車10電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．三、填空題10．（2023·全國·高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.11．（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則．12．（2022·全國·高考真題）若是奇函數(shù)，則，．考點突破考點突破【考點1】對數(shù)的運(yùn)算一、單選題1．（2023·寧夏銀川·三模）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．2．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認(rèn)定為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛？（

）（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知實數(shù)a，b滿足，則下列關(guān)系式中可能正確的是（

）A．，使 B．，使C．，有 D．，有4．（2024·貴州貴陽·一模）已知，則實數(shù)滿足（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則．6．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）“阿托秒”是一種時間的國際單位，“阿托秒”等于秒，原子核內(nèi)部作用過程的持續(xù)時間可用“阿托秒”表示.《莊子?天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，如果把“一尺之棰”的長度看成1米，按照此法，至少需要經(jīng)過天才能使剩下“棰”的長度小于光在2“阿托秒”內(nèi)走過的距離.（參考數(shù)據(jù)：光速為米/秒，）反思提升：1.在對數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后用對數(shù)運(yùn)算法則化簡合并.2.先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.3.ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.【考點2】對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)的大致圖象為（

）A． B．C． D．2．（2024·貴州黔東南·二模）若函數(shù)的值域為.則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（21-22高一上·河北張家口·期末）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（

）A． B．C． D．4．（2022·湖南岳陽·一模）已知函數(shù)（且）的圖象如下所示．函數(shù)的圖象上有兩個不同的點，，則（

）A．， B．在上是奇函數(shù)C．在上是單調(diào)遞增函數(shù) D．當(dāng)時，三、填空題5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）若直線過函數(shù)，且）的定點，則的最小值為.6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)則函數(shù)有個零點．反思提升：1.在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標(biāo)軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.2.一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【考點3】對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用一、單選題1．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）設(shè)方程和方程的根分別為，設(shè)函數(shù)，則（

）A． B．C． D．2．（2021·寧夏銀川·二模）中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)極大地提高了數(shù)據(jù)傳輸速率，最大數(shù)據(jù)傳輸速率C取決于信道帶寬W，經(jīng)科學(xué)研究表明：C與W滿足，其中S是信道內(nèi)信號的平均功率，N是信道內(nèi)部的高斯噪聲功率，為信噪比.當(dāng)信噪比比較大時，上式中真數(shù)中的1可以忽略不計.若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至4000，則C大約增加了（

）(附：)A．10% B．20% C．30% D．40%二、多選題3．（20-21高三上·遼寧大連·期中）對于實數(shù)，，下列真命題的為（

）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，且，則的最小值為4．（23-24高一上·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)值域為B．函數(shù)是增函數(shù)C．不等式的解集為D．三、填空題5．（2023·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測）已知冪函數(shù)的圖象過點，設(shè)，則a、b、c的大小用小于號連接為．6．（22-23高三上·湖北武漢·期末）對任意正實數(shù)，記函數(shù)在上的最小值為，函數(shù)在上的最大值為，若，則的所有可能值.反思提升：利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外，解題時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測）研究表明，地震時釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為.2024年1月30日在新疆克孜勒蘇州阿合奇縣發(fā)生了里氏5.7級地震，所釋放的能量記為年1月13日在湯加群島發(fā)生了里氏5.2級地震，所釋放的能量記為，則比值的整數(shù)部分為（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2024·湖南·一模）已知，且，則是的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024·甘肅武威·模擬預(yù)測）設(shè)，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．4．（2024·四川成都·一模）函數(shù)的圖象經(jīng)過變換后得到函數(shù)的圖象，則（）A． B． C． D．二、多選題5．（2022·海南·模擬預(yù)測）下列函數(shù)最小值為2的是（

）A． B．C． D．6．（2023·福建廈門·一模）已知實數(shù)，，滿足，則下列關(guān)系式中可能成立的是（

）A． B． C． D．7．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知正數(shù)，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題8．（2022·上?！つM預(yù)測）若函數(shù)（且）有最大值，則的取值范圍是.9．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則．10．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則.四、解答題11．（21-22高一上·四川資陽·期末）已知（其中且）．(1)若，，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，的最大值大于1，求的取值范圍．12．（2023·四川成都·二模）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求函數(shù)的定義域；(2)當(dāng)函數(shù)的值域為R時，求實數(shù)的取值范圍.【能力篇】一、單選題1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且，那么（

）．A． B． C． D．二、多選題2．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為B．當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D．若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是三、填空題3．（2024·全國·模擬預(yù)測）表示兩個實數(shù)，中的較小數(shù)．已知函數(shù)，且當(dāng)時，，則的最小值