專題04 基本不等式-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）解析版

2/2專題04基本不等式（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 2【考點突破】 10【考點1】利用基本不等式求最值 10【考點2】基本不等式的綜合應(yīng)用 13【考點3】基本不等式的實際應(yīng)用 20【分層檢測】 27【基礎(chǔ)篇】 27【能力篇】 33【培優(yōu)篇】 36考試要求：1.了解基本不等式的證明過程.2.能用基本不等式解決簡單的最值問題.3.掌握基本不等式在生活實際中的應(yīng)用.知識梳理知識梳理1.基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).2.兩個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.3.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.1.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.2.ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2).3.應(yīng)用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某個條件，就會出錯.4.在利用不等式求最值時，一定要盡量避免多次使用基本不等式.若必須多次使用，則一定要保證它們等號成立的條件一致.真題自測真題自測一、單選題1．（2022·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2021·全國·高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．3．（2021·全國·高考真題）已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．64．（2021·浙江·高考真題）已知是互不相同的銳角，則在三個值中，大于的個數(shù)的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題5．（2022·全國·高考真題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．三、填空題6．（2022·全國·高考真題）已知中，點D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時，．7．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示；若，則的最大值為．8．（2021·天津·高考真題）若，則的最小值為．參考答案：1．A【分析】法一：根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調(diào)遞增，所以，即，又因為，所以.故選：A.【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．2．C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；對于B，因為，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，因為函數(shù)定義域為，而，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；對于D，，函數(shù)定義域為，而且，如當(dāng)，，D不符合題意．故選：C．【點睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出．3．C【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）．故選：C．【點睛】4．C【分析】利用基本不等式或排序不等式得，從而可判斷三個代數(shù)式不可能均大于，再結(jié)合特例可得三式中大于的個數(shù)的最大值.【詳解】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個數(shù)的最大值為2，故選：C.法2：不妨設(shè)，則，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個數(shù)的最大值為2，故選：C.【點睛】思路分析：代數(shù)式的大小問題，可根據(jù)代數(shù)式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪進行放縮，注意根據(jù)三角變換的公式特征選擇放縮的方向.5．BC【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假．【詳解】因為（R），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以A錯誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以C正確；因為變形可得，設(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．故選：BC．6．/【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)取最小值時，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時所以當(dāng)取最小值時，，即.

7．【分析】空1：根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合為的中點進行求解；空2：用表示出，結(jié)合上一空答案，于是可由表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運算和基本不等式求解.【詳解】空1：因為為的中點，則，可得，兩式相加，可得到，即，則；空2：因為，則，可得，得到，即，即.于是.記，則，在中，根據(jù)余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，則時，有最大值.故答案為：；.

8．【分析】兩次利用基本不等式即可求出.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.考點突破考點突破【考點1】利用基本不等式求最值一、單選題1．（2023·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）已知實數(shù)滿足且，則下列不等關(guān)系一定正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023·遼寧葫蘆島·二模）若，則的最小值是（

）A． B．1C．2 D．二、多選題3．（2023·江蘇·一模）已知正數(shù)a，b滿足，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為4．（2023·山東煙臺·三模）已知且，則（

）A．的最大值為 B．的最大值為2C．的最小值為6 D．的最小值為4三、填空題5．（2023·遼寧大連·三模）已知，且，則的最小值為.6．（2020·天津濱海新·模擬預(yù)測）已知，則的最大值是.參考答案：1．C【分析】由不等式的性質(zhì)判斷A、B，根據(jù)基本不等式可判斷C、D.【詳解】因為且，所以或，對A：若，則，若，則，A錯誤；對B：∵，，∴，B錯誤；對C：由或，知且，∴，C正確；對D：當(dāng)時，有，從而當(dāng)，則且，∴，D錯誤.故選：C2．C【分析】根據(jù)給定等式，利用均值不等式變形，再解一元二次不等式作答.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，即，解得，所以當(dāng)時，取得最小值2.故選：C3．AC【分析】利用基本不等式結(jié)合條件逐項分析即得.【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時成立，A正確；對于B，，即，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時成立，B錯誤；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時成立，C正確；對于D，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號成立，所以，此時，不能同時取等號，所以D錯誤.故選：AC.4．BC【分析】利用基本不等式可判斷AB；先將化為，再妙用“1”可判斷C；取特值可判斷D.【詳解】對于A，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故錯誤；對于B，因為，所以，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B正確；對于C，由得，所以，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C正確；對于D，令，則，所以的最小值不是4，D錯誤.故選：BC.5．【分析】先對已知式子變形得，然后代入中，整理后利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，又，所以，所以

，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以的最小值為，故答案為：.6．【解析】先化簡原式為，再換元設(shè)得原式，再換元設(shè)得原式可化為，再利用函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的最大值.【詳解】，設(shè)，所以原式=，令所以原式=.(函數(shù)在上單調(diào)遞增)故答案為：【點睛】(1)本題主要考查基本不等式，考查函數(shù)y=+的圖像和性質(zhì)，考查換元法的運用，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析轉(zhuǎn)化的能力及數(shù)形結(jié)合的思想方法；(2)解答本題的關(guān)鍵是兩次換元，第一次是設(shè)，第二次是設(shè)，換元一定要注意新元的范圍.反思提升：1.利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.2.常數(shù)代換法，主要解決形如“已知x＋y＝t(t為常數(shù))，求eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)的最值”的問題，先將eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)轉(zhuǎn)化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq\f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.3.當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.4.構(gòu)建目標式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對和式或積式利用基本不等式，構(gòu)造目標式的不等式求解.【考點2】基本不等式的綜合應(yīng)用一、單選題1．（2024·山東濟寧·一模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．2．（21-22高一上·河南商丘·期末）若對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·河北保定·二模）如圖，正方形的邊長為，、分別為邊、上的動點，若的周長為定值，則（

）

A．的大小為 B．面積的最小值為C．長度的最小值為 D．點到的距離可以是4．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知為橢圓：的左焦點，直線：與橢圓交于，兩點，軸，垂足為，與橢圓的另一個交點為，則（

）A．的最小值為2 B．面積的最大值為C．直線的斜率為 D．為鈍角三、填空題5．（2024·廣東深圳·一模）已知函數(shù)，設(shè)曲線在點處切線的斜率為，若均不相等，且，則的最小值為．6．（2021·湖北襄陽·一模）已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．參考答案：1．A【分析】利用正弦定理對已知條件進行邊角轉(zhuǎn)化，求得，結(jié)合余弦定理以及不等式求得的最大值，再求三角形面積的最大值即可.【詳解】因為，由正弦定理可得：，即，，又，，故；由，解得；由余弦定理，結(jié)合，可得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號；故的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號.即的面積的最大值為.故選：A.2．D【分析】分離變量將問題轉(zhuǎn)化為對于任意實數(shù)恒成立，進而求出的最大值，設(shè)及，然后通過基本不等式求得答案.【詳解】由題意可得，對于任意實數(shù)恒成立，則只需求的最大值即可，，設(shè)，則，再設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取得“=”.所以，即實數(shù)a的最小值為.故選：D.3．BC【分析】選項A：設(shè)線段、的長度分別為、，可得，可得，設(shè)，可得，可得；選項B：設(shè)可得，由可得；選項C：由，根據(jù)基本不等式可得；選項D：根據(jù)線段、的長度分別為、，可得直線的方程為，根據(jù)距離公式可得距離為.【詳解】選項A：設(shè)線段、的長度分別為、，，則，，因為的周長為定值，所以．則由勾股定理得，即，又因為，，于是因為，所以即，故A錯誤；選項B：設(shè)，則，，，因為所以，即，故，故B正確；選項C：由A選項的推理可知，所以，所以，即又因得，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故C正確；選項D：以為軸正向，為軸正向建立平面直角坐標系，又選項A可知：，，，，則直線的方程為，即，即，則C點到直線的距離故D錯誤．故選：BC4．BC【分析】A項，先由橢圓與過原點直線的對稱性知，，再利用1的代換利用基本不等式可得最小值，A項錯誤；B項，由直線與橢圓方程聯(lián)立，解得交點坐標，得出面積關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式，再求函數(shù)最值；C項，由對稱性，可設(shè)，則，，則可得直線的斜率與k的關(guān)系；D項，先由A、B對稱且與點P均在橢圓上，可得，又由C項可知，得，即，排除D項.【詳解】對于A，設(shè)橢圓的右焦點為，連接，，則四邊形為平行四邊形，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，A錯誤；對于B，由得，，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，B正確；對于C，設(shè)，則，，故直線的斜率，C正確；對于D，設(shè)，直線的斜率額為，直線的斜率為，則，又點和點在橢圓上，①，②，①②得，易知，則，得，，，D錯誤.故選：BC.【點睛】橢圓常用結(jié)論：已知橢圓，AB為橢圓經(jīng)過原點的一條弦，P是橢圓上異于A、B的任意一點，若都存在，則.5．18【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得的表達式，由此化簡推出，結(jié)合說明，繼而利用基本不等式，即可求得答案.【詳解】由于，故，故，，則，由，得，由，即，知位于之間，不妨設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故則的最小值為18，故答案為：18【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及不等式求最值的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的表達式推出，并說明，然后利用基本不等式求最值即可.6．【分析】由基本不等式求得的最小值，然后解相應(yīng)的不等式可得的范圍．【詳解】∵，，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴的最小值為8，由解得，∴實數(shù)的取值范圍是故答案為：．【點睛】方法點睛：本題考查不等式恒成立問題，解題第一步是利用基本不等式求得的最小值，第二步是解不等式．反思提升：(1)當(dāng)基本不等式與其他知識相結(jié)合時，往往是提供一個應(yīng)用基本不等式的條件，然后利用常數(shù)代換法求最值.(2)求參數(shù)的值或范圍時，要觀察題目的特點，利用基本不等式確定等號成立的條件，從而得到參數(shù)的值或范圍.【考點3】基本不等式的實際應(yīng)用一、單選題1．（2023·湖南·一模）某農(nóng)機合作社于今年初用98萬元購進一臺大型聯(lián)合收割機，并立即投入生產(chǎn).預(yù)計該機第一年（今年）的維修保養(yǎng)費是12萬元，從第二年起，該機每年的維修保養(yǎng)費均比上一年增加4萬元.若當(dāng)該機的年平均耗費最小時將這臺收割機報廢，則這臺收割機的使用年限是（

）A．6年 B．7年 C．8年 D．9年2．（22-23高一上·重慶沙坪壩·期末）2023年是農(nóng)歷癸卯兔年，在中國傳統(tǒng)文化中，兔被視為一種祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福壽安康.故宮博物院就收藏著這樣一副蘊含“吉祥團圓”美好愿景的名畫——《梧桐雙兔圖》，該絹本設(shè)色畫縱約176cm，橫約95cm，其掛在墻壁上的最低點離地面194cm.小南身高160cm（頭頂距眼睛的距離為10cm），為使觀賞視角最大，小南離墻距離應(yīng)為（

）A． B．76cm C．94cm D．二、多選題3．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）某單位為了激勵員工努力工作，決定提高員工待遇，給員工分兩次漲工資，現(xiàn)擬定了三種漲工資方案，甲：第一次漲幅，第二次漲幅；乙：第一次漲幅，第二次漲幅；丙：第一次漲幅，第二次漲幅.其中，小明幫員工李華比較上述三種方案得到如下結(jié)論，其中正確的有（

）A．方案甲和方案乙工資漲得一樣多 B．采用方案乙工資漲得比方案丙多C．采用方案乙工資漲得比方案甲多 D．采用方案丙工資漲得比方案甲多4．（2023·河北唐山·三模）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中提到底面為長方形的屋狀的楔體（圖示的五面體．底面長方形中，，上棱長，且平面，高（即到平面的距離）為，是底面的中心，則（

）A．平面B．五面體的體積為5C．四邊形與四邊形的面積和為定值D．與的面積和的最小值為三、填空題5．（2021·黑龍江大慶·三模）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門．出東門一十五里有木．問出南門幾何步而見木?”其算法為：東門南到城角的步數(shù)，乘南門東到城角的步數(shù)，乘積作被除數(shù)，以樹距離東門的步數(shù)作除數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結(jié)果，即出南門里見到樹，則．若一小城，如圖所示，出東門步有樹，出南門步能見到此樹，則該小城的周長的最小值為（注：里步）里.6．（21-22高三上·湖北·階段練習(xí)）拿破侖·波拿巴，十九世紀法國偉大的軍事家、政治家，對數(shù)學(xué)很有興趣，他發(fā)現(xiàn)并證明了著名的拿破侖定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個三角形的中心恰為另一個等邊三角形的頂點”.如圖，在中，，以，，為邊向外作三個等邊三角形，其中心依次為，，，若，則，的最大值為.參考答案：1．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及求和公式，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)第年的維修保養(yǎng)費為萬元，數(shù)列的前項和為，該機的年平均耗費為，據(jù)題意，數(shù)列是首項為12，公差為4的等差數(shù)列.則.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取最小值38.所以這臺冰激凌機的使用年限是7年.故選:.2．D【分析】由題意只需最大，設(shè)小南眼睛所在的位置點為點，過點做直線的垂線，垂足為，求出，，設(shè)，則，求出，，代入，利用基本不等式求解即可.【詳解】由題意可得為銳角，故要使最大，只需最大，設(shè)小南眼睛所在的位置點為點，過點做直線的垂線，垂足為，如圖，則依題意可得（cm），（cm），，設(shè)，則，且，，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故使觀賞視角最大，小南離墻距離應(yīng)為cm.故選：D.3．BC【分析】不防設(shè)原工資為1，分別計算三種方案兩次漲幅后的價格，利用均值不等式比較即可求解.【詳解】方案甲：兩次漲幅后的價格為：；方案乙：兩次漲幅后的價格為：；方案丙：兩次漲幅后的價格為：；因為，由均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，因為，所以，，所以方案采用方案乙工資漲得比方案甲多，采用方案甲工資漲得比方案丙多，故選：.4．ABD【分析】取BC的中點G，可得四邊形EFGO為平行四邊形，則EO∥FG，從而EO∥平面BCF，即可判斷A；利用分割的方法，把幾何體分割成三部分，可得一個三棱柱和兩個四棱錐，再由已知求解即可判斷B；設(shè)，則，利用梯形面積公式計算四邊形與四邊形的面積和，即可判斷C；設(shè)，則，且，，則△ADE與△BCF的面積和為，利用不等式：當(dāng)時，，求解最小值即可判斷D.【詳解】取BC的中點G，連接OG，F(xiàn)G，∵EF∥OG，EF＝OG，∴四邊形EFGO為平行四邊形，∴EO∥FG，∵EO平面BCF，F(xiàn)G平面BCF，∴EO∥平面BCF，故A正確；過F作FH⊥平面ABCD，垂足為H，過H作BC的平行線MN，交AB于N，交CD于M，∵MN平面ABCD，∴FH⊥MN，又AB⊥MN，F(xiàn)H∩MN＝H，MN，F(xiàn)H平面FMN，∴AB⊥平面FMN，過E作EP∥FM，交CD于P，作EQ∥FN，交AB于Q，連接PQ，∵EP∥FM，EP平面FMN，F(xiàn)M平面FMN，∴EP∥平面FMN，同理EQ∥平面FMN，又EP∩EQ＝E，EP，EQ平面EPQ，∴平面EPQ∥平面FMN，如圖，五面體包含一個三棱柱和兩個的四棱錐，∴五面體的體積：，故B正確；設(shè)，則，，，四邊形與四邊形的面積和為，不是定值，故C錯誤；過H作HR⊥BC，垂足為R，連接FR，∵FH⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴FH⊥BC，又FH∩HR＝H，F(xiàn)H，HR平面FHR，∴BC⊥平面FHR，∵FR平面FHR，∴FR⊥BC，設(shè)，則，且，，△BCF的面積為，同理，△ADE的面積為，則△ADE與△BCF的面積和為，當(dāng)時，，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，則△ADE與△BCF的面積和的最小值為，故D正確．故選：ABD.5．【分析】根據(jù)題意得出，進而可得出，結(jié)合基本不等式求的最小值即可.【詳解】因為里步，由圖可知，步里，步里，，則，且，所以，，所以，，則，所以，該小城的周長為（里）.故答案為：.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.6．【分析】在中，，由余弦定理可求得的值；同理可得，在中，求出，由余弦定理可求得與的關(guān)系，再由基本不等式即可求最大值.【詳解】設(shè)，，.如圖，連接，.由拿破侖定理知，為等邊三角形.因為為等邊三角形的中心，所以在中，，，設(shè)，由余弦定理，得，即，解得：，即，，同理；又，，所以，在中，由余弦定理可得，即，化簡得，由基本不等式得，解得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以.故答案為：；.反思提升：(1)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(2)解應(yīng)用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.(3)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)的最值時，若等號取不到，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2023·北京西城·二模）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．2．（2023·山東濱州·二模）已知直線與圓相切，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．23．（2023·湖南長沙·一模）已知，則m，n不可能滿足的關(guān)系是（

）A． B．C． D．4．（2023·湖北·模擬預(yù)測）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．4二、多選題5．（2023·吉林白山·一模）若正數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．6．（22-23高一上·甘肅臨夏·階段練習(xí)）已知，且，若不等式恒成立，則的值可以為（

）A．10 B．9 C．8 D．77．（2021·江蘇南通·一模）已知，，則（

）A． B．C． D．三、填空題8．（2023·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）已知正數(shù)，滿足，若，則．9．（2023·遼寧沈陽·二模）已知，則的最小值是．10．（2022·上海·二模）已知對，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值是.四、解答題11．（2023·廣西南寧·二模）已知a，b，c均為正數(shù)，且，證明：(1)若，則；(2).12．（9-10高二下·江蘇·期末）首屆世界低碳經(jīng)濟大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進行技術(shù)攻關(guān)，采取了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使單位不虧損？參考答案：1．A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)的運算法則及基本不等式判斷即可.【詳解】因為，，又，，所以，且，所以，所以.故選：A2．B【分析】由直線和圓相切可得，利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由于直線與圓相切，故圓心到直線l的距離為，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選：B3．C【分析】根據(jù)對數(shù)的運算判斷A，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷BCD.【詳解】，即，即.對于A，成立.對于B，，成立.對于C，，即.故C錯誤；對于D，成立.故選：C.4．D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合已知方程求出的關(guān)系，再根據(jù)不等式中“1”的整體代換即可得出答案.【詳解】對求導(dǎo)得，由得，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故選：D．5．BD【分析】由不等式的性質(zhì)和基本不等式，驗證各選項是否正確.【詳解】因為，，所以，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A錯誤；因為，所以，則，同理可得，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則B正確；因為，所以，所以，所以，則C錯誤；因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以D正確．故選：BD6．BCD【分析】根據(jù)題意和基本不等式，求得，由恒成立，得到，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】由，且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，又因為不等式恒成立，所以，結(jié)合選項，可得選項B、C、D符合題意.故選：BCD.7．ABD【分析】根據(jù)基本不等式及其性質(zhì)，結(jié)合“1”的妙用以及對勾函數(shù)的性質(zhì)，逐項進行分析判斷即可得解.【詳解】對于A，因為，所以，從而，正確.對于B，因為，所以，解得，所以，正確.對于C，令()，，在為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，從而，即，錯誤.對于D，因為，所以，正確.故選：ABD8．6【分析】化簡不等式，利用基本不等式求出，即可得出的值.【詳解】由題意，由，得，即，故．又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，此時，解得或，則，所以.故答案為：.9．【分析】變形條件等式得，然后展開，利用基本不等式求最小值.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，的最小值是.故答案為：.10．不存在【分析】利用參變量分離法結(jié)合基本不等式求出的取值范圍，即可得解.【詳解】由已知可得，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，，故實數(shù)的最大值不存在.故答案為：不存在.11．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由基本不等式證明；（2）用柯西不等式證明．【詳解】（1），，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，，即；（2）∵a，b，c均為正數(shù)，且，由柯西不等式得，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．12．(1)400噸；(2)不獲利，需要國家每個月至少補貼40000元才能不虧損.【分析】（1）由題設(shè)平均每噸二氧化碳的處理成本為，應(yīng)用基本不等式求其最小值，注意等號成立條件.（2）根據(jù)獲利，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷是否獲利，由其值域確定最少的補貼額度.【詳解】（1）由題意知，平均每噸二氧化碳的處理成本為；當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故該當(dāng)每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低為200元.（2）不獲利，設(shè)該單位每個月獲利為S元，則，因為，則，故該當(dāng)單位每月不獲利，需要國家每個月至少補貼40000元才能不虧損.【能力篇】一、單選題1．（2022·河北石家莊·二模）已知，則x?y?z的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（22-23高一下·安徽合肥·階段練習(xí)）直角三角形中，是斜邊上一點，且滿足，點在過點的直線上，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為常數(shù) B．的值可以為：C．的最小值為3 D．的最小值為三、填空題3．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知向量，，其中，，若，則的最小值為．四、解答題4．（2022·山西晉中·模擬預(yù)測）已知，，且.(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)證明：.參考答案：1．D【分析】作商，由對數(shù)的性質(zhì)、運算及基本不等式可比較出，再由，可比較出與的大小即可得出的大小關(guān)系.【詳解】，，即，，而，，又，，綜上，，故選：D2．ACD【分析】作出圖形，由可得出，根據(jù)三點共線的結(jié)論得出，由此判斷A，B，結(jié)合基本不等式可判斷CD.【詳解】如下圖所示：由，可得，，若，，，則，，，、