新教材人教A版必修第二冊(cè)10.3.1頻率的穩(wěn)定性

10.3.1頻率的穩(wěn)定性

教材分析

本節(jié)?一般高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)必修二〔人教A版）第十章?10.3.1頻率的穩(wěn)定性?,

本節(jié)課主要關(guān)心同學(xué)熟悉頻率與概率的關(guān)系，即大事的概率越大，意味著大事發(fā)生的可能性

越大，在重復(fù)試驗(yàn)中，相應(yīng)的頻率一般也越大；大事的概率越小，那么大事發(fā)生的可能性越

小，在重復(fù)試驗(yàn)中，相應(yīng)的頻率一般也越小。進(jìn)一步讓同學(xué)體會(huì)概率與統(tǒng)計(jì)的思想，開(kāi)展同

學(xué)的直觀想象、規(guī)律推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

敬學(xué)目標(biāo)導(dǎo)檢心素兼

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.通過(guò)試驗(yàn)讓同學(xué)理解當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大1.數(shù)學(xué)建模：概率的應(yīng)用

時(shí)，試驗(yàn)頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)四周，并據(jù)2.規(guī)律推理：頻率與概率的關(guān)系

此能估量出某一大事發(fā)生的頻率.3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：頻率與概率的計(jì)算

B.通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，培育使用數(shù)學(xué)4.數(shù)據(jù)抽象：概率的概念

的良好意識(shí)，激發(fā)學(xué)習(xí)愛(ài)好，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的

應(yīng)用價(jià)值.

敬學(xué)亶窿點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：頻率與概率的區(qū)分和聯(lián)系

2.教學(xué)難點(diǎn)：大量重復(fù)試驗(yàn)得到頻率的穩(wěn)定值的分析.

多媒體

教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、探究新知

對(duì)于樣本點(diǎn)等可能的試驗(yàn)，我們可以用古典概型公式計(jì)算有關(guān)大

事的概率，但在現(xiàn)實(shí)中，許多試驗(yàn)的樣本點(diǎn)往往不是等可能的或者是

否等可能不簡(jiǎn)單推斷，例如，拋擲一枚質(zhì)地不勻稱的骰子，或者拋擲

一枚圖釘，此時(shí)無(wú)法通過(guò)古典概型公式計(jì)算有關(guān)大事的概率，我們需由學(xué)問(wèn)回憶，提出

要查找新的求概率的方法.問(wèn)題，引出頻率與概

我們知道，大事的概率越大，意味著大事發(fā)生的可能性越大，率的關(guān)系問(wèn)題。開(kāi)展

在重復(fù)試驗(yàn)中，相應(yīng)的頻率一般也越大；大事的概率越小，那么大事同學(xué)數(shù)學(xué)抽象、直觀

發(fā)生的可能性越小，在重復(fù)試驗(yàn)中，相應(yīng)的頻率一般也越小，在學(xué)校，想象和規(guī)律推理的

我們利用頻率與概率的這種關(guān)系，通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，用頻率去估量核心素養(yǎng)。

概率，那么，在重復(fù)試驗(yàn)中,頻率的大小是否就打算了概率的大小呢？

頻率與概率之間究竟是一種怎樣的關(guān)系呢？

什么是頻率？

在相同的條件下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀看某一大事A是否消失，稱n次

試驗(yàn)中大事A消失的次數(shù)n為大事A消失的頻數(shù)，稱大事A消失

A

nA

的比例〃

f(A)=為大事A消失的頻率.明顯，OW

nn

隨機(jī)大事及其概率

重復(fù)做同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的硬幣的試驗(yàn)，設(shè)大事A="一

個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝上”，統(tǒng)計(jì)A消失的次數(shù)并計(jì)算頻率，再

與其概率進(jìn)行比擬，我們討論一下有什么規(guī)律？

歷史上曾有人做過(guò)拋擲硬幣的大量重復(fù)試驗(yàn)，結(jié)果如下表：

數(shù)學(xué)家做硬幣實(shí)聆統(tǒng)計(jì)表

正向18上次反向也上W：次敢的

試*召

ft0

a404020481SB22020

*

4002204820442046

tst-rrw

1OOOO49TO50215000

2400012012119HH12000

羅曼洛夫JR基00640396B94094140320

122~~261980

利用計(jì)算機(jī)模擬擲兩枚硬幣的試驗(yàn)，在重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)為20,100,500

時(shí)各做5組試驗(yàn)，得到大事4=“一個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝上〃發(fā)

生的頻數(shù)和頻率力(A)(如下表)

序號(hào)〃=20頻數(shù)頻率〃=100頻數(shù)頻率n-500步?^洋細(xì)瞧題

1120.6560.56261一0.522

290.45500.50阪俞析，D潮板82

3130.65480.48

'的豳

470.35550.556

5120.6520.52和廉同學(xué)婁1學(xué)插舞9

規(guī)律推理的核心素

思索(1)同一組的試驗(yàn)結(jié)果一樣嗎?為什么會(huì)消失這種狀況？至

養(yǎng)。

⑵隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，大事A發(fā)生的頻率有什么變化規(guī)律？

結(jié)論：

⑴試驗(yàn)次數(shù)n相同，頻率f(A)可能不同，這說(shuō)明隨機(jī)大事發(fā)生的頻

率具有隨機(jī)性

(2)從整體來(lái)看，頻率在概率四周波動(dòng).當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，波動(dòng)幅度

較大；當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，波動(dòng)幅度較小.但試驗(yàn)次數(shù)多的波動(dòng)幅度

并不全都比次數(shù)少的小，只是波動(dòng)幅度小的可能性更大.

大量試驗(yàn)說(shuō)明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)大事A

發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性，一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離

概率的幅度會(huì)縮小，即大事A發(fā)生的頻率/(A)會(huì)漸漸穩(wěn)定于大事A

n

發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這共性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們

可以用頻率/(A)估量概率P(A).

n

對(duì)于給定的隨機(jī)大事A,假如隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，大事A發(fā)

生的頻率f(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記著P(A),稱為大事

n

A的概率，簡(jiǎn)稱為A的概率。

頻率與概率的區(qū)分和聯(lián)系的剖析

(1)頻率本身是隨機(jī)的，是一個(gè)變量，在試驗(yàn)前不能確定，做同樣次數(shù)的

重復(fù)試驗(yàn)得到的大事發(fā)生的頻率會(huì)不同.

(2)概率是一個(gè)確定的數(shù)，是客觀存在的,與每次的試驗(yàn)無(wú)關(guān).

(3)頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,頻率會(huì)越來(lái)越穩(wěn)定于

概率四周.在實(shí)際問(wèn)題中，通常大事發(fā)生的概率未知，常用頻率作為它

的估量值.

例1新生嬰兒性別比是每100名女?huà)雽?duì)應(yīng)的男嬰數(shù)，通過(guò)抽樣調(diào)查

得知，我國(guó)2014年、2015年誕生的嬰兒性別比分別為和113.51.

(1)分別估量我國(guó)2014年和2015年男嬰的誕生率〔新生兒中男嬰的

比率，精確至Uo.ooi)；通過(guò)實(shí)例分析，讓

(2)依據(jù)估量結(jié)果，你認(rèn)為“生男孩和生女孩是等可能的〃這個(gè)推斷牢同學(xué)把握運(yùn)用頻率

靠嗎？來(lái)計(jì)算大事概率，提

分析：依據(jù)“性別比〃的定義和抽樣調(diào)查結(jié)果，可以計(jì)算男嬰誕生的升推理論證力量，提

頻率；由頻率的穩(wěn)定性，可以估量男嬰的誕生率高同學(xué)的數(shù)學(xué)抽象、

解：(1)2014年男嬰誕生的頻率為數(shù)學(xué)建模及規(guī)律推

2015年男嬰誕生的頻率為理的核心素養(yǎng)。

由此估量，我國(guó)2014年男嬰誕生率約為0.537,2015年男嬰誕生率約

為0.532.

——?0.537

100+115.88

x0.532

100+113.51

(2)由于調(diào)查新生兒人數(shù)的樣本特別大，依據(jù)頻率的穩(wěn)定性，上述對(duì)

男嬰誕生率的估量具有較高的可信度，因此，我們有理由疑心“生男

孩和生女孩是等可能的"的結(jié)論.

由統(tǒng)計(jì)定義求概率的一般步驟

(1)確定隨機(jī)大事A的頻數(shù)nA；

(2)由/(A)=計(jì)算頻率/(A)(n為試驗(yàn)的總次數(shù))；

nn

(3)由頻率/(A)估量概率P(A).

n

概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)大事發(fā)生

的可能性的大小，它是頻率的科學(xué)抽象,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越多時(shí)頻率

向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當(dāng)作隨機(jī)大事的概

率.

例2.一個(gè)嬉戲包含兩個(gè)隨機(jī)大事A和B,規(guī)定大事A發(fā)生那么甲獲勝，

大事B發(fā)生那么乙獲勝，推斷嬉戲是否公正的標(biāo)準(zhǔn)是大事A和B發(fā)

生的概率是否相等。

在嬉戲過(guò)程中甲發(fā)覺(jué)：玩了10次時(shí)，雙方各勝5次；但玩到

1000次時(shí)，自己才300次，而乙卻勝了700次，據(jù)此，甲認(rèn)為嬉戲

不公正，但乙認(rèn)為嬉戲是公正的，你更支持誰(shuí)的結(jié)論？為什么？

解：當(dāng)嬉戲玩了10次時(shí)，甲、乙獲勝的頻率都為0.5;當(dāng)嬉戲玩了1000

次時(shí)，甲獲勝的頻率為0.3,乙獲勝的頻率為07依據(jù)頻率的穩(wěn)定性，

隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率偏離概率很大的可能性會(huì)越來(lái)越小.相對(duì)

10次嬉戲，1000次嬉戲時(shí)的頻率接近概率的可能性更大，因此我們

更情愿信任1000次時(shí)的頻率離概率更近，而嬉戲玩到1000次時(shí)，甲、

乙獲勝的頻率分別是和0.7,存在很大差距，所以有理由認(rèn)為嬉戲是不

公正的.因此，應(yīng)當(dāng)支持甲對(duì)嬉戲公正性的推斷

思索1:氣象工作者有時(shí)用概率預(yù)報(bào)天氣，如某氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“明天的

降水概率是90%.假如您明天要出門(mén)，最好攜帶雨具“，假如其次天

沒(méi)有下雨，我們或許會(huì)埋怨氣象臺(tái)預(yù)報(bào)得不精確?????，那么如何理

解“降水概率是90%”?又該如何評(píng)價(jià)預(yù)報(bào)的結(jié)果是否精確????？

呢？

提示：降水的概率是氣象專家依據(jù)氣象條件和閱歷，經(jīng)分析推斷得

到的.對(duì)“降水的概率為90%"比擬合理的解釋是：大量觀看發(fā)覺(jué)，

在類似的氣象條件下，大約有90%的天數(shù)要下雨.

只有依據(jù)氣象預(yù)報(bào)的長(zhǎng)期記錄，才能評(píng)價(jià)預(yù)報(bào)的精確?????性.假如

在類似氣象條件下預(yù)報(bào)要下雨的那些天（天數(shù)較多）里,大約有90%的

確下雨了，那么應(yīng)當(dāng)認(rèn)為預(yù)報(bào)是精確?????的；假如真實(shí)下雨的天數(shù)

所占的比例與90%差異較大，那么就可以認(rèn)為預(yù)報(bào)不太精確????？.

例3.某籃球運(yùn)發(fā)動(dòng)在同一條件下進(jìn)行投籃練習(xí),結(jié)果如下表：

投籃8101520304050

次數(shù)

進(jìn)球681217253239

次數(shù)

進(jìn)球

頻率

(1)計(jì)算表中進(jìn)球的頻率；

(2)這位運(yùn)發(fā)動(dòng)投籃一次，進(jìn)球的概率約是多少？

(3)這位運(yùn)發(fā)動(dòng)進(jìn)球的概率是0.8,那么他投10次籃肯定能投中8

次嗎？

解析：概率約是

不肯定.投10次籃相當(dāng)于做10次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的,

所以投10次籃的結(jié)果也是隨機(jī)的.

思索2.公元1053年，大元帥狄青奉旨，率兵征討儂智高.由于士兵

士氣不高，很難取勝,為了提高士氣，出征前，狄青拿出一百枚“宋元通

寶〃銅幣，向眾將士殷殷許愿：“假如錢(qián)幣扔在地上，有字的一面會(huì)

全部向上，那么這次出兵可以戰(zhàn)勝敵人！〃在千萬(wàn)馬的注目之下，狄

青將銅幣用力向空中拋去，奇跡發(fā)生了：一百枚銅幣，枚枚向上.立

刻，全歡呼雀躍，將士個(gè)個(gè)認(rèn)定是神靈保佑，戰(zhàn)斗必勝無(wú)疑.事實(shí)上,

銅幣正反面都是一樣的！同學(xué)樣想一下，假如銅幣正反面不一樣，那

么這一百枚銅幣正面全部向上的可能性大嗎？

思索3.假如某種彩票的中獎(jiǎng)概率為1/1000,那么買(mǎi)1000張這種彩票

肯定能中獎(jiǎng)嗎？(假設(shè)該彩票有足夠多的張數(shù).)

不肯定。買(mǎi)1000張彩票相當(dāng)于做1000次試驗(yàn)，由于每次試驗(yàn)的結(jié)

果都是隨機(jī)的，所以做1000次的結(jié)果也是隨機(jī)的。

雖然中獎(jiǎng)張數(shù)是隨機(jī)的，但這種隨機(jī)性中具有規(guī)律性。隨著試

驗(yàn)次數(shù)的增加，即隨著買(mǎi)的彩票張數(shù)的增加，大約有1/1000的彩票

中獎(jiǎng)。

買(mǎi)1000張彩票中獎(jiǎng)的概率為：(999)

1-------------a0.6323

UoooJ

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

通過(guò)練習(xí)穩(wěn)固本

1.（多選題）蛤出卜列四個(gè)命題.火中正確的命胭仃（）節(jié)所學(xué)學(xué)問(wèn)，通過(guò)同

，做1。。次?他巾的試虬結(jié)果51次出現(xiàn)八面朝匕因紇出現(xiàn)正直聚學(xué)解決問(wèn)題，開(kāi)展同

51學(xué)的數(shù)學(xué)抽象、規(guī)律

100

推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)

B?機(jī)3件發(fā)生的軸率就同這個(gè)的機(jī)事件發(fā)生的假專

學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

C.撤挪收f(shuō)IMI次.有點(diǎn)數(shù)是1的二果有IX次.則出境1點(diǎn)的熱率是

D隨機(jī)*竹發(fā)'1的裝率不定是這個(gè)甑機(jī)中fl發(fā)生的概斗

帽機(jī)0FA.混用了?軍，M事的區(qū)別,牧A（lift；

41B.川南了蟆率,糙率的卜胤故B錯(cuò)誤;

時(shí)i（.廣|?。?.！'攻丁|的"限（IX：：..，..,1，'小/；星-

止確

011）,就t山慨手的估H+,依Drd.

故迸:CD.

答案CD

2.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是99.99%,這說(shuō)明（）

A.該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中不合格的產(chǎn)品肯定有1件

B.該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中合格的產(chǎn)品肯定有9999件

C.合格率是99.99%,很高，說(shuō)明該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中沒(méi)有

不合格產(chǎn)品

D.該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是99.99%

［答案］D

3.為了估量水庫(kù)中魚(yú)的尾數(shù)，可以使用以下的方法：先從水庫(kù)中捕出

肯定數(shù)量的魚(yú)，例如2000尾，給每尾魚(yú)做上記號(hào)，不影響其存活，

然后放回水庫(kù).經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，讓其和水庫(kù)中的其他魚(yú)充分混合，

再?gòu)乃畮?kù)中捕出肯定數(shù)量的魚(yú)，例如500尾，查看其中帶記號(hào)的魚(yú)，

假設(shè)有40尾，依據(jù)上述數(shù)據(jù)，估量水庫(kù)中魚(yú)的尾數(shù)為_(kāi)_______.

【解析】求2000尾魚(yú)占水庫(kù)中全部魚(yú)的百分比一

求帶記號(hào)的魚(yú)在500尾魚(yú)中占的百分比->

依據(jù)二者的關(guān)系列等式一求解，估量水庫(kù)中魚(yú)的尾數(shù)25000

4.某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，支配一名員工隨

機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100名顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示：這

100位顧客中一次性購(gòu)物超過(guò)8件的顧客占55%.

一次性購(gòu)物數(shù)1至5至9至17彳f及以

13至16件

量4件8件12件上

顧客數(shù)(人)X3025y10

結(jié)算時(shí)間(分/

123

人)

11)求x,y的值；

(2)求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間超過(guò)2分鐘的概率.

M,[25+y*-10-55.

解：⑴由得ZB.'

[*+30=45.

所以x=15,y=20.

(2)設(shè)大事A為“一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間超過(guò)2分鐘〃，

大事Ai為“一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為分鐘"，

大事A2為“一位顧客一次購(gòu)

物的結(jié)算時(shí)間為3分鐘"，

所以P(A)=P(Ai)+P(A2)=史+12=03