王雄飛教學(xué)案例

教學(xué)基本信息

課題：正弦定理（教材版本名稱、章、節(jié)名稱）人教A版第一章第一課時(shí)

作者及工作單位玉田縣第二中學(xué)王雄飛

指導(dǎo)思想與理論依據(jù)

將自己在本節(jié)課教學(xué)中的亮點(diǎn)設(shè)計(jì)所依據(jù)的指導(dǎo)思想或者核心教育教學(xué)理論簡(jiǎn)述即可，指導(dǎo)思想和依據(jù)

的教育理論應(yīng)該在后面的教學(xué)過程中明確體現(xiàn)出來。本部分內(nèi)容必須和實(shí)際的教學(xué)內(nèi)容緊密聯(lián)系，避免出現(xiàn)照

搬課標(biāo)中整個(gè)模塊的教學(xué)指導(dǎo)思想等情況

正弦定理這部分內(nèi)容共分為三個(gè)層次：第二層次教師通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)際問題的探索，并大膽提出猜想;

第二層次由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中邊角的關(guān)系的驗(yàn)證，通過“作高法”、“等積法”、“外接圓

法”、“向量法”等多種方法證明正弦定理，驗(yàn)證猜想的正確性，并得到三角形面積公式；第三層次利用正弦定

理解決引例，最后進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。學(xué)生通過對(duì)任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受''觀察一一

實(shí)驗(yàn)一一猜想一一證明一一應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神。

教材分析

（可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行闡述，不必面面俱到）

?課標(biāo)中對(duì)本節(jié)內(nèi)容的要求；本節(jié)內(nèi)容的知識(shí)體系；本節(jié)內(nèi)容在教材中的地位，前后教材內(nèi)容的邏輯關(guān)系。

?本節(jié)核心內(nèi)容的功能和價(jià)值（為什么學(xué)本節(jié)內(nèi)容），不僅要思考其他內(nèi)容對(duì)本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)的幫助，本節(jié)內(nèi)

容的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)科體系的建立、其他學(xué)科內(nèi)容學(xué)習(xí)的幫助；還應(yīng)該思考通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生學(xué)科能力甚

至綜合素質(zhì)的幫助，以及思維方式的變化影響等。

本節(jié)內(nèi)容安排在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)必修5》（人教A版）第一章，正弦定理第一課時(shí),

是在高二學(xué)生學(xué)習(xí)了三角等知識(shí)之后，顯然是對(duì)三角知識(shí)的應(yīng)用；同時(shí)，作為三角形中的一個(gè)定理，也是對(duì)初

中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，因而定理本身的應(yīng)用又十分廣泛。

根據(jù)實(shí)際教學(xué)處理，正弦定理這部分內(nèi)容共分為三個(gè)層次：第一層次教師通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)際問題的探索，

并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中邊角的關(guān)系的驗(yàn)證，通過“作高法”、“等

積法”、“外接圓法”、“向量法”等多種方法證明正弦定理，驗(yàn)證猜想的正確性，并得到三角形面積公式；第三

層次利用正弦定理解決引例，最后進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。學(xué)生通過對(duì)任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，

感受''觀察一一實(shí)驗(yàn)一一猜想一一證明一一應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真

的精神。

學(xué)情分析

（可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行闡述，但不需要格式化，不必面面俱到）

教師主觀分析、師生訪談、學(xué)生作業(yè)或試題分析反饋、問卷調(diào)查等是比較有效的學(xué)習(xí)者分析的測(cè)量手段。

?學(xué)生認(rèn)知發(fā)展分析：主要分析學(xué)生現(xiàn)在的認(rèn)知基礎(chǔ)（包括知識(shí)基礎(chǔ)和能力基礎(chǔ)），要形成本節(jié)內(nèi)容應(yīng)該要

走的認(rèn)知發(fā)展線，即從學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知基礎(chǔ)，經(jīng)過哪幾個(gè)環(huán)節(jié)，最終形成本節(jié)課要達(dá)到的知識(shí)。

?學(xué)生認(rèn)知障礙點(diǎn)：學(xué)生形成本節(jié)課知識(shí)時(shí)最主要的障礙點(diǎn)，可能是知識(shí)基礎(chǔ)不足、舊的概念或者能力方法

不夠、思維方式變化等。

對(duì)普高高二的學(xué)生來說，己學(xué)的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)，向量等知識(shí)，有一定觀察分析、解

決問題的能力，但對(duì)前后知識(shí)間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。根據(jù)以上特點(diǎn)，

教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，多加以前后知識(shí)間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生直接參與分析問題、解決問題并品

嘗勞動(dòng)成果的喜悅。

教學(xué)目標(biāo)

（教學(xué)目標(biāo)的確定應(yīng)注意按照新課程的三維目標(biāo)體系進(jìn)行分析）

1.讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā)，通過對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與

其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，實(shí)驗(yàn)，猜想，驗(yàn)證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理

的內(nèi)容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學(xué)會(huì)運(yùn)用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。

2.通過對(duì)實(shí)際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作

能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力。

3.通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的

創(chuàng)新品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

4.培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量

積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的猜想提出過程。

教學(xué)流程示意

（按課時(shí)設(shè)計(jì)教學(xué)流程，教學(xué)流程應(yīng)能清晰準(zhǔn)確的表述本節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)，以及教學(xué)環(huán)節(jié)的核心活動(dòng)內(nèi)容。因

此既要避免只有簡(jiǎn)單的環(huán)節(jié)，而沒有環(huán)節(jié)實(shí)施的具體內(nèi)容；還要避免把環(huán)節(jié)細(xì)化，一般來說，一節(jié)課的主要環(huán)

節(jié)最好控制在4~6個(gè)之間，這樣比較有利于教學(xué)環(huán)節(jié)的實(shí)施。）

（-）結(jié)合實(shí)例，激發(fā)動(dòng)機(jī)

（二）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證猜想

（三）證明猜想，得出定理

（四）利用定理，解決引例

（五）了解解三角形概念

（六）運(yùn)用定理，解決例題

教學(xué)過程（教學(xué)過程的表述不必詳細(xì)到將教師、學(xué)生的所有對(duì)話、活動(dòng)逐字記錄，但是應(yīng)該把主要環(huán)節(jié)的實(shí)施

過程很清楚地再現(xiàn)。）

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)預(yù)設(shè)學(xué)生行為設(shè)計(jì)意圖

（一）結(jié)合實(shí)例，激發(fā)動(dòng)機(jī)

師生活動(dòng)：

教師：展示情景圖如圖1,船從港口B

航行到港口C測(cè)得BC的距離為600〃?，

船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行，由

于船員的疏忽沒有測(cè)得CA距離，如果船

上有測(cè)角儀我們能否計(jì)算出A、B的距離？

學(xué)生：思考提出測(cè)量角A,C

教師：若已知測(cè)得N3AC=75。，

ZACB=45°,要計(jì)算A、B兩地距離，你

（圖1）

有辦法解決嗎？

學(xué)生：思考交流，畫一個(gè)三角形A'5'C',使得朋。為6cm,NB'AC'=75。，

NA'CB'=45。,量得A8'距離約為4.9cm,利用三角形相似性質(zhì)可知AB約為

490mo

老師：對(duì)，很好，在初中，我們學(xué)過相似三角形，也學(xué)過解直角三角形，大家還記得嗎？

師生：共同回憶解直角三角形，①直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個(gè)角。②直角三角形中，已

知一邊和一角，可以求另兩邊及第三個(gè)角。

o教師：引導(dǎo)，A43C是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計(jì)算AB呢？

學(xué)生：思考，交流，得出過A作AO_LBC于。如圖2,把A4BC分為兩個(gè)直角三角形，解題過程，學(xué)生闡述,

教師板書。

解：過4作AO_L3C于。

AH

在H/A4CD中，sinZACB=——

AC

AD=ACIinZACB=600x—=300后

2

\-ZACB=45°,ZBAC=75°

ZABC=180°-Z4CB-ZACB=60°D

（圖2）

An

在MA43O中，sinZABC=—

AB

“nAD300V2

/.AB=------------=——200晶

sinZABCV3

2

教師:表示對(duì)學(xué)生贊賞，那么剛才解決問題的過程中，若AC=b,A8=c,能否用8、b、C表示c呢？

教師:引導(dǎo)學(xué)生再觀察剛才解題過程。

學(xué)生:發(fā)現(xiàn)sinC=^^,sinB-

bc

AD=Z?sinC=csinB

ftsinC

/.c=----------

sinB

教師:引導(dǎo)，在剛才的推理過程中，你能想到什么？你能發(fā)現(xiàn)什么？

發(fā)現(xiàn)即然有，=如吐，那么也有。=竺妊hsinA

學(xué)生:a=--------

sinBsinAsinB

/?sinCQsinChsinAcbca

教師:引導(dǎo)ca=--------,我們習(xí)慣寫成對(duì)稱形式—,—

sinBsinAsinBsinCsinBsinCsinA

abc

—,因此我們可以發(fā)現(xiàn)是否任意三角形都有這種邊角關(guān)系呢？

sinAsinBsinAsinBsinC

設(shè)計(jì)意圖：興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有良好的開頭，那就意味著成功的一半。因此，我通過從學(xué)生日

常生活中的實(shí)際問題引入，激發(fā)學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，在解決

問題后，對(duì)特殊問題一般化，得出一個(gè)猜測(cè)性的結(jié)論——猜想，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般思想意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)

造性思維能力。

（二）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證猜想

c

教師：給學(xué)生指明一個(gè)方向，我們先通過特殊例子檢驗(yàn)4=是否成立，舉出特例。

sinAsinBsinC

(1)在AABC中，NA,ZB,NC分別為60。，60°,60°,對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a：b：c為1：1：1,對(duì)應(yīng)

角的正弦值分別為今日,當(dāng)，引導(dǎo)學(xué)生考察

bJ的關(guān)系。（學(xué)生回答它們相等）

sinBsinC

（2）、在4ABC中，ZA,ZB,NC分別為45。,45°,90°,對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a：b：c為1：1：血，

對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為冬冬I;（學(xué)生回答它們相等）

(3)、在ZkABC中，ZA,ZB,NC分別為30。，60°,90°,對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a：b：c為1：6：2,

對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為;,V3

1（學(xué)生回答它們相等）（圖3）

20

(圖3)

教師:對(duì)于呢？

學(xué)生:思考交流得出，如圖4,在RtAABC中,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,

則有sin力二色，six\B=—,又sinC=l=J

ccc

CB

(圖4)

則,b

sinAsinBsinC

從而在直角三角形ABC中,b

sin/sin夕sinC

教師：那么任意三角形是否有q=—2—=—J呢？學(xué)生按事先安排分組，出示實(shí)驗(yàn)報(bào)告單，讓學(xué)生

sinAsinBsinC

閱讀實(shí)驗(yàn)報(bào)告單，質(zhì)疑提問：有什么不明白的地方或者有什么問題嗎？（如果學(xué)生沒有問題，教師讓學(xué)生動(dòng)手

計(jì)算，附實(shí)驗(yàn)報(bào)告單。）

學(xué)生：分組互動(dòng)，每組畫一個(gè)三角形，度量出三邊和三個(gè)角度數(shù)值，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算，比較一嘰、—>

sinAsinB

」一的近似值。

sinC

教師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換，三、/一、'值仍然保持相等。

sinAsinBsinC

我們猜想：，-=0-=-^

sinAsinBsinC

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，激起學(xué)生的好奇心和求知欲望。學(xué)生自己進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，體會(huì)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的

歸納和演繹推理的兩個(gè)側(cè)面。

（三）證明猜想，得出定理

師生活動(dòng)：

教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，多媒體技術(shù)支持，對(duì)任意的三角形，如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明

‘一=」^=」一呢？前面探索過程對(duì)我們有沒有啟發(fā)？學(xué)生分組討論，每組派一個(gè)代表總結(jié)。（以下證明過

sinAsinBsinC

程，根據(jù)學(xué)生回答情況進(jìn)行敘述）

學(xué)生：思考得出

①在中，成立，如前面檢驗(yàn)。

②在銳角三角形中，如圖5設(shè)=CA^b,AB=c

作：ADLBC,垂足為。

An

在RfAAB。中，sin5=—

AB

:,AD=A8?sin8=c-sinB

An

在放AAOC中，sinC=—

AC

AD=AC?sinC=/??sinC

csinB=bsinC

*__c______h_

sinCsinB

同理，在A43C中，——二——

sinAsinC

a_b_c

sinAsinBsinC

③在鈍角三角形中，如圖6設(shè)NC為鈍角,BC=a,CA=b,AB=c

作AO，8C交BC的延長(zhǎng)線于D

在RtAADB中，sinB=----

AB

AD=AB?sin3=c?sin3

An

在RrAAOC中，sinZACD=——

AC

/.AD=AC?sinZACD=b^sinZACB

:.c^sinB=h^sinZACB

.c_6

sinZACBsinB

同銳角三角形證明可知」=—J

sinAsinC

a_b_c

sinAsinBsinZACB

教師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

a_b_c

sinAsinBsinC

還有其它證明方法嗎？

學(xué)生：思考得出，分析圖形（圖7）,對(duì)于任意△ABC,由初中所學(xué)過的面積公式可以得出：

S.=-AC?BD=-CB?AE^-BA?CF,

MABRCC222

RDApCF

而由圖中可以看出:sinABAC=—,sinZACB=—,sinZABC=—

ABACBC

BD=sinABAC,AE=AC?sinNACB,CF=BC?sinZABC

.■.S..=-AC?BD=-CB?AE=-BA?CF

MBRCr222

=-AC*A5?sinABAC^-CB?CA?sinZACB=-5A-5C-sinZABC

222

=—/??c?sin*BAC=—a?Z??sinZACB=-c?a?smAABC

222

等式—Z?*c?sinABAC=-a?b?sinZACB=—sinZAJ3C中均除以—abc后可得

2222

sinABAC_sinZABC_sinZACB

——,

abc

即一-=——-=——-——。

sinABACsinZABCsinZACB

教師邊分析邊引導(dǎo)學(xué)生，同時(shí)板書證明過程。

在剛才的證明過程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高4'=,?5由乙鉆。=4?5皿乙48。，三角形的面積：,

能否得到新面積公式

學(xué)生：S.=—Z>?c?sinZ.BAC=—??Z??sinZACB=-c?a?sinZABC

MABRCr222

得到三角形面積公式=—abainC=—caamB=—besinA

222

教師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：—s—,—J都等于同一個(gè)比值Z,那么它們也相等，

sinAsinBsinC

這個(gè)女到底有沒有什么特殊幾何意義呢？

aoc

學(xué)生：在前面的檢驗(yàn)中，Rt\ABC中，=——"—C9C

sinAsinBsinC

恰為外接接圓的直徑，即c=Z=2R,所以作A48C的外B'接圓0,。為圓心，連接8。

并延長(zhǎng)交圓。于8’，把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。/

證明：連續(xù)80并延長(zhǎng)交圓于8'//

ZB'AB=90°,NB'=NC|/

在RrAB'AB中,=V/

sin3'sinC一

「（圖8）

即上=2/?

sinC

同理可證：，一=2R,—也=2/?

sinAsinB

.H=±=，=2R

sinAsinBsinC

教師：從剛才的證明過程中，」一=上=—J=2R,顯示正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑2R,

sinAsinBsinC

我們通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”等平面幾何方法證明正弦定理，能否利用其他知識(shí)來證明正弦定

理？比如，在向量中，我也學(xué)過￡?B=W?W?cos。，這與邊的長(zhǎng)度和三角函數(shù)值有較為密切的聯(lián)系，是否能夠

利用向量積來證明正弦定理呢？

學(xué)生：思考（聯(lián)系作高的思想）得出:

在銳角三角形A4BC中，AB+BC^AC,作單位向量了垂直于AC,

AC?j=AB?j+BC?j

即0=c?cos(90°—A)+a?cos(90°-C)

sinA-<2?sinC=0

.c_a

sinCsinA

同理：必一=-^

BA

sinsin(圖9)

a_b_c

sinAsinBsinC

對(duì)于鈍角三角形，直角三角形的情況作簡(jiǎn)單交代。

教師：由于時(shí)間有限，對(duì)正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學(xué)回家再探索。

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷證明猜想的過程，進(jìn)一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)論證猜想，力圖讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)

的學(xué)習(xí)過程。

（四）利用定理，解決引例

師生活動(dòng)：

教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。

學(xué)生：馬上得出

在A/18C中，ZB=1800-ZA-ZC=60°,——=—^

sinCsinB

匕??

sinC_600sin45°=2QQs/6m

sin6-sin60°

（五）了解解三角形概念

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生了解解三南形概念，形成知識(shí)的完整性

教師：一般地，把三角形的三個(gè)角A、8、C和它們的對(duì)邊a、b,c叫做三角形的元素，己知，三角形的

幾個(gè)元素，求其他元素的過程叫做解三角形。

設(shè)計(jì)意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學(xué)生體會(huì)用新的知識(shí)，新的定理，解決問題更方便，更簡(jiǎn)單，

激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識(shí)的欲望。

（六）運(yùn)用定理，解決例題

師生活動(dòng)：

教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。

學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問題類型：

①如果已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如a=型嗎;

sin￡

②如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，求另一邊與另兩角，如sin/蕓sin6。

b

師生：例1的處理，先讓學(xué)生思考回答解題思路，教師板書，讓學(xué)生思考主要是突出主體，教師板書的目的是

規(guī)范解題步驟。

例1：在A48c中，已知A=30。，5=45。，a=6cm,解三角形。

分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為180。求出第三個(gè)角N

C,再由正弦定理求其他兩邊。

例2：在A48c中，已知。=2后，b=2舊,A=45。，解三角形。

例2的處理，目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想，可先讓中等學(xué)生講解解題思路，其他同學(xué)補(bǔ)充交流

學(xué)生：反饋練習(xí)(教科書第5頁的練習(xí))

用實(shí)物投影儀展示學(xué)生中解題步驟規(guī)范的解答。

設(shè)計(jì)意圖：自己解決問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動(dòng)力，使學(xué)生體驗(yàn)到成功的愉悅感，變“要我學(xué)”為“我

要學(xué)”，“我栗研究”的主動(dòng)學(xué)習(xí)。

(七)嘗試小結(jié)：

教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。

學(xué)生：思考交流，歸納總結(jié)。

師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)，教師及時(shí)補(bǔ)充，要體現(xiàn)：

(1)正弦定理的內(nèi)容(―L=_9_=_J=2R)及其證明思想方法。