2024中考數(shù)學(xué)全國真題分類卷 第十九講 圓的基本性質(zhì) (含答案)

2024中考數(shù)學(xué)全國真題分類卷第十九講圓的基本性質(zhì)命題點(diǎn)1圓周角定理及其推論有關(guān)的計(jì)算1.(2023銅仁)如圖，OA，OB是⊙O的兩條半徑，點(diǎn)C在⊙O上，若∠AOB＝80°，則∠C的度數(shù)為()第1題圖A.30°B.40°C.50°D.60°2.(2023濱州)如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的大小為()第2題圖A.32°B.42°C.52°D.62°3.(2023陜西)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠C＝46°，連接OA，則∠OAB＝()第3題圖A.44°B.45°C.54°D.67°4.(2023山西)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的直徑，若∠B＝20°，則∠CAD的度數(shù)是()第4題圖A.60°B.65°C.70°D.75°源自北師九下P84第2題5.(2023包頭)如圖，AB，CD是⊙O的兩條直徑，E是劣弧的中點(diǎn)．連接BC，DE.若∠ABC＝22°，則∠CDE的度數(shù)為()第5題圖A.22°B.32°C.34°D.44°6.(2023泰安)如圖，AB是⊙O的直徑，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，則⊙O的半徑為()第6題圖A.2eq\r(3)B.3eq\r(2)C.2eq\r(5)D.eq\r(5)7.(2022武漢)如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將沿BC翻折交AB于點(diǎn)D，再將沿AB翻折交BC于點(diǎn)E.若＝，設(shè)∠ABC＝α，則α所在的范圍是()第7題圖A.21.9°＜α＜22.3°B.22.3°＜α＜22.7°C.22.7°＜α＜23.1°D.23.1°＜α＜23.5°8.(2023常州)如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝eq\r(2)，則⊙O的半徑是________．第8題圖9.(2023涼山州)如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)A，B，O在格點(diǎn)上，則cos∠ACB的值是________．第9題圖10.(2023濟(jì)寧)如圖，點(diǎn)A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°.若CD＝a，tan∠CBD＝eq\f(1,3)，則AD的長是________．第10題圖命題點(diǎn)2垂徑定理及其推論[2023版課標(biāo)探索并證明垂徑定理調(diào)整為要求內(nèi)容]類型一垂徑定理及其推論有關(guān)的計(jì)算11.(2023云南)如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E．若AB＝26，CD＝24，則∠OCE的余弦值為()第11題圖A.eq\f(7,13)B.eq\f(12,13)C.eq\f(7,12)D.eq\f(13,12)12.(2023南充)如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥BC于點(diǎn)F，∠BOF＝65°，則∠AOD為()第12題圖A.70°B.65°C.50°D.45°13.(2023安徽)已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點(diǎn)P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝()A.eq\r(14)B.4C.eq\r(23)D.514.(2023邵陽)如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB＝3，則⊙O的半徑是()A.eq\f(3,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3)D.eq\f(5,2)第14題圖15.(2023瀘州)如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點(diǎn)D，DO的延長線交⊙O于點(diǎn)E.若AC＝4eq\r(2)，DE＝4，則BC的長是()第15題圖A.1B.eq\r(2)C.2D.416.(2023湖州)如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長線交⊙O于點(diǎn)D.若∠APD是所對的圓周角，則∠APD的度數(shù)是________．第16題圖類型二垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用17.(新趨勢)·真實(shí)問題情境(2023鄂州)工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖①所示的工件槽，其兩個(gè)底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時(shí)，若同時(shí)具有圖①所示的A、B、E三個(gè)接觸點(diǎn)，該球的大小就符合要求．圖②是過球心及A、B、E三點(diǎn)的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點(diǎn)E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，則這種鐵球的直徑為()A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm第17題圖18.(2023青海省卷)如圖是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中點(diǎn)，CD經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)D，并且AB＝4m，CD＝6m，則⊙O的半徑長為________m.第18題圖源自人教九上P90第8題19.(新趨勢)·跨學(xué)科背景(2023遵義)數(shù)學(xué)小組研究如下問題：遵義市某地的緯度約為北緯28°，求北緯28°緯線的長度．小組成員查閱相關(guān)資料，得到如下信息：信息一：在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；信息二：如圖，赤道半徑OA約為6400千米，弦BC∥OA，以BC為直徑的圓的周長就是北緯28°緯線的長度；(參考數(shù)據(jù)：π≈3，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)根據(jù)以上信息，北緯28°緯線的長度約為________千米．第19題圖命題點(diǎn)3圓內(nèi)接四邊形20.(2022吉林省卷)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P為邊AD上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合)，連接CP.若∠B＝120°，則∠APC的度數(shù)可能為()第20題圖A.30°B.45°C.50°D.65°21.(2023自貢)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠ABD＝20°，則∠BCD的度數(shù)是()第21題圖A.90°B.100°C.110°D.120°22.(2022泰安)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，則AD的長為()A.2eq\r(3)－2B.3－eq\r(3)C.4－eq\r(3)D.2第22題圖23.(2023雅安)如圖，∠DCE是⊙O內(nèi)接四邊形ABCD的一個(gè)外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度數(shù)為________．第23題圖命題點(diǎn)4圓的基本性質(zhì)綜合題更多試題見P81題型四類型一24.(2023湘潭)如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，連接AC、BD.(1)求證：△AEC∽△DEB；(2)連接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半徑．第24題圖25.(2022上海)已知：在⊙O內(nèi)，弦AD與弦BC交于點(diǎn)G，AD＝CB，M、N分別是CB和AD的中點(diǎn)，連接MN，OG.(1)求證：OG⊥MN；(2)連接AC、AM、CN，當(dāng)CN∥OG時(shí)，求證：四邊形ACNM為矩形．第25題圖26.(2023武漢)如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)C，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，AE的延長線交⊙O于點(diǎn)D，連接BD.(1)判斷△BDE的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)若AB＝10，BE＝2eq\r(10)，求BC的長．第26題圖27.(2023成都)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑作⊙O，交AB邊于點(diǎn)D，在上取一點(diǎn)E，使＝，連接DE，作射線CE交AB邊于點(diǎn)F.(1)求證：∠A＝∠ACF；(2)若AC＝8，cos∠ACF＝eq\f(4,5)，求BF及DE的長．第27題圖參考答案與解析1.B2.A【解析】∵∠APD是△ACP的外角，∴∠A＋∠C＝∠APD.∵∠A＝48°，∠APD＝80°，∴∠C＝∠APD－∠A＝80°－48°＝32°，∴∠B＝∠C＝32°.3.A【解析】如解圖，連接OB，∵△ABC內(nèi)接于⊙O，∠C＝46°，∴∠AOB＝2∠C＝92°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝eq\f(180°－∠AOB,2)＝eq\f(180°－92°,2)＝44°.第3題解圖4.C【解析】如解圖，連接CD，即∠ADC＝∠B＝20°.∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝180°－90°－20°＝70°.第4題解圖5.C【解析】如解圖，連接OE，∵∠ABC＝22°，∴∠AOC＝44°，∴∠BOC＝136°，∵E為劣弧的中點(diǎn)，∴∠COE＝eq\f(1,2)∠BOC＝68°，∴∠CDE＝34°.第5題解圖6.D【解析】如解圖，連接BC，∵∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD.∵AD＝2，∴BC＝AD＝2.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵AC＝4，∴在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，∴⊙O的半徑為eq\r(5).第6題解圖7.B【解析】如解圖，連接AC，CD，DE.∵在同圓或等圓中，∠ABC所對的弧有，，，∴AC＝CD＝DE，∵＝，∴BE＝DE，∴AC＝CD＝DE＝BE，∴∠EDB＝∠ABC＝α，∴∠DCE＝∠CED＝2∠ABC＝2α，∴∠CAD＝∠CDA＝∠ABC＋∠DCE＝3α，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ABC＝90°，即3α＋α＝90°，解得α＝22.5°，∴22.3°＜α＜22.7°.第7題解圖8.1【解析】如解圖，連接OA，OC，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∴△AOC為等腰直角三角形，∵AC＝eq\r(2)，∴OA＝OC＝1.第8題解圖9.eq\f(2\r(13),13)【解析】如解圖，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，∵AB＝6，BD＝4，∴AD＝eq\r(AB2＋BD2)＝eq\r(62＋42)＝2eq\r(13)，∴cos∠ADB＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(4,2\r(13))＝eq\f(2\r(13),13)，∵∠ACB＝∠ADB，∴cos∠ACB的值是eq\f(2\r(13),13).第9題解圖10.2eq\r(2)a【解析】如解圖，連接AB，過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，∵∠ACB＝90°，BC＝AC，∴AB是⊙O的直徑，∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠CAD＋∠BAD＝45°，根據(jù)同弧所對的圓周相等可得，∠BCD＝∠BAD，∠CBD＝∠CAD，∴∠CBD＋∠BCD＝45°，∴∠CDB＝180°－(∠CBD＋∠BCD)＝135°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠CDE＝∠CDB－∠ADB＝45°.又∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∵CD＝a，∴CE＝DE＝eq\f(\r(2),2)CD＝eq\f(\r(2),2)a.∵tan∠CBD＝eq\f(1,3)，∴tan∠CAD＝eq\f(CE,AE)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(\f(\r(2),2)a,AE)＝eq\f(1,3)，解得AE＝eq\f(3\r(2),2)a，∴AD＝AE＋DE＝2eq\r(2)a.第10題解圖11.B【解析】由垂徑定理得，CE＝DE＝12，∵AB＝26，∴OC＝13，在Rt△OCE中，cos∠OCE＝eq\f(CE,OC)＝eq\f(12,13).12.C【解析】如解圖，連接BD，∵弦CD垂直于直徑AB，∴＝，∴∠ABC＝∠ABD，∵OF⊥BC，∴∠OFB＝90°，∴∠ABC＝∠ABD＝90°－∠BOF＝90°－65°＝25°，∴∠AOD＝2∠ABD＝2×25°＝50°.第12題解圖13.D【解析】如解圖①，過點(diǎn)O作OM⊥AB，垂足為M，連接OA，OP，則AM＝eq\f(4＋6,2)＝5，∵OA＝7，∴根據(jù)勾股定理得，OM＝eq\r(72－52)＝2eq\r(6)，∵PM＝AM－PA＝1，∴OP＝eq\r(（2\r(6)）2＋12)＝5.第13題解圖①第13題解圖②【一題多解】如解圖②，過點(diǎn)P作⊙O的直徑CD，連接BC，AD.∵∠C＝∠A，∠B＝∠D，∴△PBC∽△PDA，∴eq\f(PB,PD)＝eq\f(PC,PA)，設(shè)OP＝a，∵OC＝OD＝7，則eq\f(6,7－a)＝eq\f(7＋a,4)，解得a＝5(負(fù)值已舍去)，∴OP＝5.14.C【解析】如解圖，連接OB，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，∵⊙O是等邊△ABC的外接圓，AB＝3，∴AD＝BD＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(3,2)，∠ABO＝30°，∴BO＝eq\f(BD,cos∠ABO)＝eq\f(\f(3,2),cos30°)＝eq\r(3)，即⊙O的半徑是eq\r(3).第14題解圖15.C【解析】∵OD⊥AC，∴AD＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(2)，設(shè)OD＝x，則OE＝OA＝4－x，在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，∴(4－x)2＝x2＋(2eq\r(2))2，∴x＝1，∴OD＝1，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴OD∥BC.∵O為AB的中點(diǎn)，∴BC＝2OD＝2.16.30°【解析】∵OC⊥AB，OA＝OB，∴OC平分∠AOB.∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝60°，∴∠APD＝eq\f(1,2)∠AOD＝30°.17.C【解析】如解圖，連接OE交AB于點(diǎn)F，連接OA，設(shè)OA＝R，∵AC＝BD＝4cm，∴OF＝R－4，又∵AB＝CD＝16cm，∴AF＝8cm，在Rt△OAF中，R2＝(R－4)2＋82，解得R＝10cm，即直徑為20cm.第17題解圖18.eq\f(10,3)【解析】如解圖，連接OA，設(shè)此圓的半徑為rm，則OA＝OD＝rm，∵AB＝4m，CD＝6m，CD⊥AB，CD經(jīng)過圓心，∴AC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×4＝2(m)，OC＝CD－OD＝(6－r)m，在Rt△AOC中，OA2＝OC2＋AC2，即r2＝(6－r)2＋22，解得r＝eq\f(10,3)，即⊙O的半徑長為eq\f(10,3)m.第18題解圖19.33792【解析】如解圖，過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)題意得OB＝OA＝6400，∵BC∥OA，∴∠B＝∠BOA＝28°，∵在Rt△BOD中，∠B＝28°，∴BD＝OB·cos28°，∵OD⊥BC，∴由垂徑定理可知BD＝DC＝eq\f(1,2)BC，∴以BC為直徑的圓的周長為2π×BD≈2×3×6400×0.88＝33792.第19題解圖20.D【解析】∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠B＝120°，∴∠CDA＝180°－∠B＝180°－120°＝60°，∵∠APC＝∠CDA＋∠DCP，∴∠APC>∠CDA，∴∠APC>60°，∴∠APC的度數(shù)可能為65°.21.C【解析】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝20°，∴∠A＝90°－20°＝70°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BCD＋∠A＝180°，∴∠BCD＝110°.22.C【解析】如解圖，延長AB、DC交于點(diǎn)E，∵∠ABC＝90°，∠BCD＝120°，∴∠ADC＝90°，∠BAD＝60°，∠CBE＝90°，∠ECB＝60°，∴∠E＝30°，設(shè)CE＝2x，則BE＝eq\r(3)x.∵AB＝2，CD＝1，∴cosE＝eq\f(ED,AE)＝eq\f(BE,EC)，即eq\f(1＋2x,2＋\r(3)x)＝eq\f(\r(3)x,2x)，解得x＝2eq\r(3)－2，∴AD＝eq\f(AE,2)＝eq\f(\r(3)（2\r(3)－2）＋2,2)＝4－eq\r(3).第22題解圖23.144°【解析】∵∠DCE是⊙O內(nèi)接四邊形ABCD的一個(gè)外角，∠DCE＝72°，∴∠A＝∠DCE＝72°，∴∠BOD＝2∠A＝2×72°＝144°.24.(1)證明：∵∠C和∠B都是所對的圓周角，∴∠C＝∠B，∵∠AEC＝∠DEB，∴△AEC∽△DEB；(2)解：∵∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AB＝2AD＝6，∴OA＝3，即⊙O的半徑為3.【一題多解】如解圖，連接OD，∵∠C＝30°，∴∠AOD＝2∠C＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD為等邊三角形，∴OA＝AD＝3，即⊙O的半徑為3.第24題解圖25.證明：(1)如解圖，連接OM，ON，∵在⊙O中，AD＝BC，M、N分別是BC和AD的中點(diǎn)，∴OM＝ON，OM⊥BC，ON⊥AD，∵OG＝OG，∴Rt△MOG≌Rt△NOG，∴GM＝GN，∴點(diǎn)O和點(diǎn)G都在線段MN的垂直平分線上，∴OG⊥MN；(2)∵AD＝BC，M、N分別是BC和AD的中點(diǎn)，∴AN＝CM，∵GM＝GN，∴AG＝CG，∠GMN＝∠GNM，∵CN∥OG，OG⊥MN，∴CN⊥MN，∵∠GMN＋∠MCN＝90°，∠GNM＋∠CNG＝90°，∴∠MCN＝∠CNG，∴GN＝CG，∴GM＝GN＝CG＝AG，∴四邊形ACNM為矩形．第25題解圖26.解：(1)△BDE為等腰直角三角形．證明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC.∵∠BED＝