新教材2025版高中數(shù)學第六章平面向量及其應用6.4平面向量的應用6.4.3余弦定理正弦定理第1課時余弦定理學案新人教A版必修第二冊

6．4.3余弦定理、正弦定理第1課時余弦定理課程標準1.駕馭余弦定理及其推論．2．駕馭余弦定理的綜合應用．新知初探·課前預習——突出基礎性教材要點要點一余弦定理文字表述三角形中任何一邊的平方，等于__________________減去這兩邊與它們________________的兩倍公式表達a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．?推論cosA＝b2+c2-a22bc，cosB要點二解三角形一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做____________．助學批注批注?(1)余弦定理對隨意的三角形都成立．(2)在余弦定理中，每一個等式都包含四個量，因此已知其中三個量，利用方程思想可以求得未知的量．批注?余弦定理的推論是余弦定理的其次種形式，適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題．用余弦定理的推論還可以依據(jù)角的余弦值的符號來推斷三角形中的角是銳角還是鈍角．夯實雙基1．推斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣.()(2)余弦定理只適用于銳角三角形．()(3)已知三角形的三邊求三個內角時，解是唯一的．()(4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，則△ABC肯定為鈍角三角形.()2．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝2π3，則A.2B．3C．5D．73．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cosA＝45，b＝3，c＝5，則aA.3B．4C．10D．234．在△ABC中，若a＝8，b＝7，c＝5，則B＝________．題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性題型1已知兩邊及一角解三角形例1(1)[2024·湖南邵陽高一期末]在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝2，C＝60°，則c＝()A．3B．3C．7D．5(2)[2024·福建福州高一期末]在△ABC中，AB＝2，AC＝5，B＝45°.則BC＝()A．1B．2C．3D．4題后師說已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法已知三角形的兩邊及一角解三角形，必需先推斷該角是給出兩邊中一邊的對角，還是給出兩邊的夾角．若是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；若是給出兩邊中一邊的對角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊．鞏固訓練1(1)在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，A＝60°，則BC的長為()A．19B．13C．3D．7(2)[2024·湖北武漢高一期末]在△ABC中，a＝3，B＝π3，b＝3，則cA．3B．23C．33D．3題型2已知三邊解三角形例2(1)[2024·湖北荊州高一期中]已知鈍角三角形的邊長分別為x，x＋1，x＋2，則實數(shù)x的取值范圍是()A．0<x<3B．1<x<3C．1<x<5D．0<x<5(2)[2024·山東濰坊高一期末]記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＋c2－b2＝233acsinB，則題后師說1．已知三邊求角的基本思路是：利用余弦定理的推論求出相應角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負，角為鈍角，其思路清楚，結果唯一．2．若已知三角形的三邊的關系或比例關系，常依據(jù)邊的關系干脆代入化簡或利用比例性質，轉化為已知三邊求解．鞏固訓練2(1)[2024·福建三明高一期中]△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，若a＝3，b＝13，c＝4，則B＝()A．π6B．C．π3D．(2)[2024·湖南邵陽高一期中]若△ABC三邊長a，b，c滿意等式3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，則cosC＝________．題型3利用余弦定理推斷三角形的形態(tài)例3在△ABC中，若acosB＋acosC＝b＋c，試推斷該三角形的形態(tài)．題后師說1．利用三角形的邊角關系推斷三角形的形態(tài)時，須要從“統(tǒng)一”入手，即運用轉化思想解決問題，一般有兩條思路：2．推斷三角形的形態(tài)時，常用到以下結論：①△ABC為直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；②△ABC為銳角三角形?a2＋b2＞c2且b2＋c2＞a2且c2＋a2＞b2；③△ABC為鈍角三角形?a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2.鞏固訓練3若在△ABC中，2a·cosB＝c，則三角形的形態(tài)肯定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形第1課時余弦定理新知初探·課前預習[教材要點]要點一其它兩邊平方的和夾角的余弦的積要點二解三角形[夯實雙基]1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．解析：由余弦定理可得c2＝12＋22－2×1×2·cos2π3＝7，所以c＝答案：D3．解析：由余弦定理得a＝b2+c答案：C4．解析：由余弦定理cosB＝a2+c2-因為B∈(0，π)，所以B＝π3答案：π題型探究·課堂解透例1解析：(1)由已知c＝a2+b2-(2)由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，得5＝2＋BC2－22·BCcos45°，解得BC＝3(負值舍去)．故選C.答案：(1)B(2)C鞏固訓練1解析：(1)由題意，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝60°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝4＋9－6＝7，則BC＝7.故選D.(2)由余弦定理可得9＝b2＝a2＋c2－2accosπ3＝3＋c2－3c，即c2－3c∵c>0，解得c＝23.故選B.答案：(1)D(2)B例2解析：(1)三角形的邊長分別為x，x＋1，x＋2，首先滿意x＋x＋1>x＋2，解得x>1，因為三角形為鈍角三角形，所以長邊x＋2所對的角α為鈍角，則滿意cosα＝x2+x+12-所以1<x<3，故選B.(2)因為a2＋c2－b2＝233acsinB，所以33sinB所以33sinB＝cosB，所以tanB＝3，又0<B<π，所以B＝π答案：(1)B(2)π鞏固訓練2解析：(1)因為a＝3，b＝13，c＝4，所以由余弦定理得，cosB＝a2+c2-因為B∈(0，π)，所以B＝π3(2)因為3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，所以cosC＝a2+b答案：(1)C(2)－1例3解析：由acosB＋acosC＝b＋c并結合