13.1.1棱柱棱錐和棱臺答案

13.1.1棱柱、棱錐和棱臺一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過觀察實(shí)例，概括出棱柱、棱錐、棱臺的定義.2.掌握棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征及相關(guān)概念.3.能說出棱柱、棱錐、棱臺的性質(zhì)，并會畫簡單的棱柱、棱錐、棱臺．二、知識點(diǎn)梳理知識點(diǎn)一棱柱的結(jié)構(gòu)特征類別定義圖形及表示相關(guān)概念命名棱柱由一個平面多邊形沿某一方向平移形成的空間圖形叫作棱柱如圖可記作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′底面：平移起止位置的兩個面，側(cè)面：多邊形的邊平移所形成的面，側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊，頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)底面為三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱……知識點(diǎn)二棱錐的結(jié)構(gòu)特征類別定義圖形及表示相關(guān)概念命名棱錐當(dāng)棱柱的一個底面收縮為一個點(diǎn)時，得到的空間圖形叫作棱錐如圖可記作：棱錐S—ABCD底面：多邊形面，側(cè)面：有一個公共頂點(diǎn)的各個三角形面，側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊，頂點(diǎn)：由棱柱的一個底面收縮而成按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐、四棱錐……知識點(diǎn)三棱臺的結(jié)構(gòu)特征類別定義圖形及表示相關(guān)概念命名棱臺用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分稱之為棱臺如圖可記作：棱臺ABCD—A′B′C′D′上底面：原棱錐的截面，下底面：原棱錐的底面，側(cè)面：其余各面，側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊，頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫作三棱臺、四棱臺、五棱臺……知識點(diǎn)四多面體定義由若干個平面多邊形圍成的空間圖形圖形相關(guān)概念面：圍成多面體的各個多邊形，棱：相鄰兩個面的公共邊，頂點(diǎn)：棱與棱的公共點(diǎn)概念辨析1．所有的棱柱兩個底面都平行．(√)2．棱柱的兩個底面是全等的多邊形．(√)3．棱柱最多有兩個面不是四邊形．(√)4．棱錐的所有面都可以是三角形．(√)三、題型探究1、棱柱的結(jié)構(gòu)特征例1(1)下列關(guān)于棱柱的說法：①所有的面都是平行四邊形；②每一個面都不會是三角形；③兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行；④被平面截成的兩部分可以都是棱柱．其中正確說法的序號是________．答案③④解析①錯誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形．②錯誤，棱柱的底面可以是三角形．③正確，由棱柱的定義易知．④正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱．所以說法正確的序號是③④.(2)如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱A1B1，C1D1的中點(diǎn)．①這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？②用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的空間圖形還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示；如果不是，請說明理由．解①是棱柱，且是四棱柱，因?yàn)橐蚤L方體相對的兩個面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四條側(cè)棱互相平行，符合棱柱的定義．②是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.反思感悟棱柱結(jié)構(gòu)的辨析方法(1)扣定義：判定一個空間圖形是不是棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義．①看“面”，即觀察這個多面體是否有兩個互相平行的面，其余各面都是四邊形；②看“線”，即觀察每相鄰兩個四邊形的公共邊是否平行．(2)舉反例：通過舉反例，如與常見空間圖形或?qū)嵨锬Ｐ汀D片等不吻合，給予排除．跟蹤訓(xùn)練1下列命題中正確的是()A．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的空間圖形叫棱柱B．棱柱中互相平行的兩個面叫棱柱的底面C．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形答案D2、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征例2(1)(多選)下列說法中，正確的是()A．棱錐的各個側(cè)面都是三角形B．四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面C．棱錐的側(cè)棱平行D．有一個面是多邊形，其余各面是三角形的空間圖形是棱錐答案AB解析由棱錐的定義，知棱錐的各個側(cè)面都是三角形，故A正確；四面體就是由四個三角形所圍成的空間圖形，因此四面體的任何一個面都可以作為三棱錐的底面，故B正確；棱錐的側(cè)棱交于一點(diǎn)，不平行，故C錯；棱錐的側(cè)面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，故D錯．(2)有下列四種敘述：①用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺；②兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；③有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺；④棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)．其中正確的有()A．0個B．1個C．2個D．3個答案B解析①中的平面不一定平行于底面，故①錯；由棱臺的定義知，④正確；②③可用反例去驗(yàn)證，如圖所示，側(cè)棱延長線不能相交于一點(diǎn)，故②③錯．反思感悟判斷棱錐、棱臺的方法(1)舉反例法結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例直接排除關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些不正確的說法．(2)直接法棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長后相交于一點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練2下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法：①棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；②由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中正確說法的序號是________．答案①②解析①正確，棱臺的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；②正確，由四個平面圍成的封閉圖形是四面體也就是三棱錐；③錯誤，如圖所示的四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐．3、棱柱、棱錐、棱臺的畫法例3畫出一個三棱柱和一個四棱臺．解(1)畫三棱柱可分以下三步完成：第一步，畫上底面——畫一個三角形；第二步，畫側(cè)棱——從三角形的每一個頂點(diǎn)畫平行且相等的線段；第三步，畫下底面——順次連接這些線段的另一個端點(diǎn)(如圖所示，被遮擋的線要畫成虛線)．(2)畫四棱臺可分以下三步完成：第一步，畫一個四棱錐；第二步，在它的一條側(cè)棱上取一點(diǎn)，然后從這點(diǎn)開始，順次在各個側(cè)面內(nèi)畫出與底面對應(yīng)邊平行的線段；第三步，將多余的線段擦去(如圖所示，被遮擋的線要畫成虛線)．反思感悟在平面幾何圖形中，虛線表示作的輔助線，但在空間圖形中，虛線表示被遮擋的線．在空間圖形中作輔助線時，被遮擋的線作成虛線，看得見的線仍作成實(shí)線．作圖時要使用鉛筆、直尺等，力求準(zhǔn)確．跟蹤訓(xùn)練3畫一個六面體．(1)使它是一個四棱柱；(2)使它是由兩個三棱錐組成的空間圖形；(3)使它是五棱錐．解如圖所示：圖1是一個四棱柱，圖2是一個由兩個三棱錐組成的空間圖形，圖3是一個五棱錐．空間想象空間圖形的表面展開圖典例(1)某同學(xué)制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個正方體禮品盒的表面展開圖應(yīng)該為(對面是相同的圖案)()答案A解析其展開圖是沿盒子的棱剪開，無論從哪條棱剪開，剪開的相鄰面在展開圖中可以不相鄰，但未剪開的相鄰面在展開圖中一定相鄰．相同的圖案是盒子上相對的面，展開后不能相鄰．(2)如圖是三個空間圖形的表面展開圖，請問各是什么空間圖形？解圖①中，有5個平行四邊形，而且還有兩個全等的五邊形，符合棱柱特點(diǎn)；圖②中，有5個三角形，且具有共同的頂點(diǎn)，還有一個五邊形，符合棱錐特點(diǎn)；圖③中，有3個梯形，且其腰的延長線交于一點(diǎn)，還有兩個相似的三角形，符合棱臺的特點(diǎn)．把表面展開圖還原為原空間圖形，如圖所示：所以①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺．[素養(yǎng)提升]多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實(shí)踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀，借助展開圖，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．四、課堂練習(xí)1．下面多面體中，是棱柱的有()A．1個B．2個C．3個D．4個答案D解析根據(jù)棱柱的定義進(jìn)行判定知，這4個圖都滿足．2．有一個多面體，由五個面圍成，只有一個面不是三角形，則這個空間圖形為()A．四棱柱B．四棱錐C．三棱柱D．三棱錐答案B解析根據(jù)棱錐的定義可知該空間圖形是四棱錐．3．(多選)下列說法不正確的是()A．棱臺的兩個底面相似B．棱臺的側(cè)棱長都相等C．棱錐被平面截成的兩部分是棱錐和棱臺D．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形答案BCD解析由棱臺的定義知A正確，B，C不正確；棱柱的側(cè)棱都相等且互相平行，且側(cè)面都是平行四邊形，但側(cè)面并不一定全等，D不正確．4．三棱柱的平面展開圖是()答案B5．一個棱柱有10個頂點(diǎn)，所有的側(cè)棱長的和為60cm，則每條側(cè)棱長為________cm.答案12解析棱柱有10個頂點(diǎn)，則該棱柱為五棱柱，共有5條側(cè)棱，且側(cè)棱長都相等，故側(cè)棱長為eq\f(60,5)＝12(cm)．五、課堂小結(jié)1．知識清單：(1)棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征．(2)多面體的結(jié)構(gòu)特征．2．方法歸納：舉反例法、定義法．3．常見誤區(qū)：棱臺的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識不清．六、課后跟蹤練習(xí)基本能力1．有兩個面平行的多面體不可能是()A．棱柱B．棱錐C．棱臺D．以上都錯答案B解析由棱錐的結(jié)構(gòu)特征可得．2．下列關(guān)于棱柱的說法中，錯誤的是()A．三棱柱的底面為三角形B．一個棱柱至少有五個面C．若棱柱的底面邊長相等，則它的各個側(cè)面全等D．五棱柱有5條側(cè)棱、5個側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形答案C解析顯然A正確；底面邊數(shù)最少的棱柱是三棱柱，它有五個面，故B正確；底面是正方形的四棱柱，有一對側(cè)面與底面垂直，另一對側(cè)面不垂直于底面，此時側(cè)面并不全等，故C錯誤；D正確．3．如圖所示，截去正方體一角得到的新多面體的面數(shù)是()A．8B．7C．6D．5答案B解析截去正方體一角得到的新多面體多了一個面，故面數(shù)為7.4．設(shè)集合M＝{正四棱柱}，N＝{長方體}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方體}，則這四個集合之間的關(guān)系是()A．Q?M?N?P B．Q?M?N?PC．P?M?N?Q D．Q?N?M?P答案B解析根據(jù)定義知，正方體是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的長方體，長方體是特殊的直四棱柱，所以{正方體}{正四棱柱}{長方體}{直四棱柱}，故選B.5．如圖都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中兩個完全一樣的是()A．(1)(2)B．(2)(3)C．(3)(4)D．(1)(4)答案B解析(1)圖還原后，①⑤對面，②④對面，③⑥對面；(2)圖還原后，①④對面，②⑤對面，③⑥對面；(3)圖還原后，①④對面，②⑤對面，③⑥對面；(4)圖還原后，①⑥對面，②⑤對面，③④對面；綜上，可得還原成正方體后，其中兩個完全一樣的是(2)(3)．6．一個棱臺至少有________個面，面數(shù)最少的棱臺有________個頂點(diǎn)，有________條棱．答案5697.紙制的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北，現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開，外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標(biāo)“△”的面的方位是________．答案北8．直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，若AB⊥AD且AB＝3，AD＝4，AA1＝5，則AC1的長為________．答案5eq\r(2)解析依題意該直四棱柱為長方體，∴ACeq\o\al(2,1)＝AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1)＝32＋42＋52＝50，∴AC1＝5eq\r(2).9.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，沿圖中虛線將3個三角形折起，使點(diǎn)A，B，C重合，重合后記為點(diǎn)P.問：(1)折起后形成的空間圖形是什么空間圖形？(2)若正方形邊長為2a，則每個面的三角形面積為多少？解(1)如圖折起后的空間圖形是三棱錐．(2)S△PEF＝eq\f(1,2)a2，S△DPF＝S△DPE＝eq\f(1,2)×2a×a＝a2，S△DEF＝4a2－eq\f(1,2)a2－2a2＝eq\f(3,2)a2.10．試從正方體ABCD－A1B1C1D1的八個頂點(diǎn)中任取若干，連接后構(gòu)成以下空間圖形，并且用適當(dāng)?shù)姆柋硎境鰜恚?1)只有一個面是等邊三角形的三棱錐；(2)四個面都是等邊三角形的三棱錐；(3)三棱柱．解(1)如圖①所示，三棱錐A1－AB1D1(答案不唯一)．(2)如圖②所示，三棱錐B1－ACD1(答案不唯一)．(3)如圖③所示，三棱柱A1B1D1－ABD(答案不唯一)．探究能力11．用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截得的棱臺上、下底面積之比為1∶4，截去的棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離為3，則棱臺的上、下底面的距離為()A．12B．9C．6D．3答案D解析設(shè)原棱錐的高為h，由題意得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,h)))2＝eq\f(1,4)，則h＝6，因而棱臺的高為3，故選D.12.如圖，能推斷這個幾何體可能是三棱臺的是()A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1答案C解析選項(xiàng)A中，eq\f(A1B1,AB)≠eq\f(B1C1,BC)，故A不符合題意；選項(xiàng)B中，eq\f(B1C1,BC)≠eq\f(A1C1,AC)，故B不符合題意；選項(xiàng)C中，eq\f(A1B1,AB)＝eq\f(B1C1,BC)＝eq\f(A1C1,AC)，故C符合題意；選項(xiàng)D中滿足這個條件的可能是一個三棱柱，不可能是三棱臺．13．(多選)下面圖形中是正方體平面展開圖的是()答案AC解析由正方體展開圖的性質(zhì)知，A，C是正方體的平面展開圖；B不能折成正方體；D折疊后有一個面重合，另外還少一個面，故不能折成正方體．14．一個長方體共頂點(diǎn)的三個面的面積分別是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，則這個長方體對角線的長是_____．答案eq\r(6)解析設(shè)長方體長、寬、高分別為x，y，z，則yz＝eq\r(2)，xz＝eq\r(3)，yx＝eq\r(6)，三式相乘得x2y2z2＝6，即xyz＝eq\r(6)，解得x＝eq\r(3)，y＝eq\r(2)，z＝1，所以eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(3＋2＋1)＝eq\r(6).15.如圖，在三棱錐V－A