高三數(shù)學一輪復習專講專練97離散型隨機變量及其分布列

[知識能否憶起]一、離散型隨機變量將隨機現(xiàn)象中試驗(或觀測)的

都對應于一個數(shù)，這種對應稱為一個隨機變量．常用大寫字母

表示．所有取值可以

的隨機變量稱為離散型隨機變量．一一列出每一個可能的結(jié)果X、Y

二、離散型隨機變量的分布列若離散型隨機變量X的取值為a1，a2，…，隨機變量X取ai(i＝1,2，…)的概率為Pi(i＝1,2，…)，記作：P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)，則表p1

p2

稱為離散型隨機變量X的分布列．2．離散型隨機變量分布列的性質(zhì)：(1)pi

0(i＝1,2，…)；(2)p1＋p2＋…＝

.>1三、超幾何分布[小題能否全取]1．(教材習題改編)設隨機變量X的分布列如下：答案：B

A．36 B．12C．9 D．8解析：X的可能取值為3,4,5,6,7,8,9,10,11共9種．答案：C

3．袋中裝有10個紅球、5個黑球．每次隨機抽取1個球后，若取得黑球則另換1個紅球放回袋中，直到取到紅球為止．若抽取的次數(shù)為X，則表示“放回5個紅球”事件的是 ()A．X＝4 B．X＝5C．X＝6 D．X≤5解析：由條件知“放回5個紅球”事件對應的X為6.答案：C

4．設隨機變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝________.答案：105．(教材習題改編)從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機取出2個球，設其中有X個紅球，隨機變量X的概率分布為：X012Pabc則a＝________，b＝________，c＝________.對隨機變量的理解(1)隨機變量具有如下特點：其一，在試驗之前不能斷言隨機變量取什么值，即具有隨機性；其二，在大量重復試驗中能按一定統(tǒng)計規(guī)律取實數(shù)值的變量，即存在統(tǒng)計規(guī)律性．(2)由離散型隨機變量分布列的概念可知，離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的．因此，離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和．[例1]

(2012·岳陽模擬)設X是一個離散型隨機變量，其分布列為：離散型隨機變量分布列的性質(zhì)X－101P1－2qq2則q等于 (

)[答案]

C要充分注意到分布列的兩條重要性質(zhì)：(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.其主要作用是用來判斷離散型隨機變量的分布列的正確性．1．(2012·廣州模擬)已知離散型隨機變量X的分布列為：則k的值為 (

)答案：B

分布列的求法

[例2]

(2012·福建高考改編)受轎車在保修期內(nèi)維修費等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān)．某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年．現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機抽取50輛，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：品牌甲乙首次出現(xiàn)故障時間x(年)0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轎車數(shù)量(輛)2345545每輛利潤(萬元)1231.82.9將頻率視為概率，解答下列問題：(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；(2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的分布列．(2)依題意得，X1的分布列為：X2的分布列為：

求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后通過概率知識求出X取各個值對應的概率值，注意利用分布列的性質(zhì)驗證．2．某旅游公司為3個旅游團提供甲、乙、丙、丁共4條旅游線路，每個旅游團任選其中一條，求選擇甲線路旅游團數(shù)的分布列．

超幾何分布[例3]

(2012·浙江高考)已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分．現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機會均等)3個球，記隨機變量X為取出此3球所得分數(shù)之和．(1)求X的分布列；(2)求X的數(shù)學期望E(X)．

在本例條件下，記取出的3個球中白球的個數(shù)為Y，求Y的分布列．所以Y的分布列為：

對于服從某些特殊分布的隨機變量，其分布列可以直接應用公式給出．超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)．3．(2012·烏魯木齊)某航空公司進行空乘人員的招聘，記錄了前來應聘的6名男生和9名女生的身高，數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下(單位：cm)．應聘者獲知：男性身高在區(qū)間[174,182]，女性身高在區(qū)間[164,172]的才能進入招聘的下一環(huán)節(jié)．(1)求6名男生的平均身高和9名女生身高的中位數(shù)；(2)現(xiàn)從能進入下一環(huán)節(jié)的應聘者中抽取2人，記X為抽取到的男生人數(shù)，求X的分布列及期望E(X)．[典例]

(2012·廣州模擬)某城市為準備參加“全國文明城市”的評選，舉辦了“文明社區(qū)”評選的活動，在第一輪暗訪評分中，評委會對全市50個社區(qū)分別從“居民素質(zhì)”和“社區(qū)服務”兩項進行評分，每項評分均采用5分制．若設“社區(qū)服務”得分為X分，“居民素質(zhì)”得分為Y分，統(tǒng)計結(jié)果如下表：社區(qū)數(shù)量居民素質(zhì)1分2分3分4分5分社區(qū)服務1分131012分107513分210934分ab6015分00113YX

(1)若“居民素質(zhì)”得分和“社區(qū)服務”得分均不低于3分(即X≥3，且Y≥3)的社區(qū)可以進入第二輪評比，現(xiàn)從50個社區(qū)中隨機選取一個社區(qū)，求這個社區(qū)能進入第二輪評比的概率；所以“居民素質(zhì)”得分Y的分布列為：[題后悟道]

1.根據(jù)分布列及期望值構(gòu)建方程，從而求出a、b的值，體現(xiàn)了方程思想的運用．2．本題的易誤點：一是Y的分布列不準確；二是由期望值建立方程錯誤．(1)求袋中原有白球的個數(shù)；(2)求取球次數(shù)X的分布列．1．(2012·福州模擬)某學院為了調(diào)查本校學生2011年9月“健康上網(wǎng)”(健康上網(wǎng)是指每天上網(wǎng)不超過兩個小時)的天數(shù)情況，隨機抽取了40名本校學生作為樣本，統(tǒng)計他們在該月30天內(nèi)健康上網(wǎng)的天數(shù)，并將所得的數(shù)據(jù)分成以下六組：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．

教師備選題（給有能力的學生加餐）解題訓練要高效見“課時跟蹤檢測（六十四）”(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這40名學生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù)；(2)現(xiàn)從這40名學生中任取2名，設Y為取出的2名學生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù)，求Y的分布列。2．(2012·長春模擬)對某校高一年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區(qū)服務的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下：(2)由(1)知，參加服務次數(shù)在區(qū)間[15,20)內(nèi)的人數(shù)為360×0.6＝216.3．(2012·山東濟南)