新教材高中數(shù)學11-4-2平面與平面垂直課件新人教B版必修第四冊

11.4.2平面與平面垂直基礎預習初探1.教室拐角處相鄰的兩個墻面是什么位置關系?教室的墻面與地面是什么位置關系?怎樣用符號表示這種位置關系?2.拿一張木板緊貼旗桿,則木板所在的平面與地面具有怎樣的位置關系?由此你能找到判定兩個平面垂直的方法嗎?繼續(xù)探究:(1)建筑工人常在一根細線上拴一個重物,做成“鉛錘”,用這種方法來檢查墻與地面是否垂直.當掛鉛錘的線從上面某一點垂下時,如果墻壁貼近鉛錘線,則說明墻和地面什么關系?此時鉛錘線與地面什么關系?提示:都是垂直關系.(2)黑板所在平面與地面所在平面垂直,你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直?提示:容易發(fā)現(xiàn)墻壁與墻壁所在平面的交線與地面垂直,因此只要在黑板上畫出一條與這條交線平行的直線,則所畫直線必與地面垂直.【概念生成】1.二面角(1)定義:從_________出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角.(2)表示法:二面角α-l-β或二面角α-AB-β或P-AB-Q.(3)相關概念:①定義中的直線叫做二面角的___;②定義中的兩個半平面叫做二面角的___.一條直線棱面(4)畫法:2.二面角的平面角(1)滿足條件:如圖:α∩β=l,O∈l,OA?α,_____,OB?β,_____.(2)結論:∠AOB叫做二面角的平面角.(3)范圍:__________________.(4)直二面角:若二面角α-l-β的平面角∠AOB=90°,則該二面角叫做_________.OA⊥lOB⊥l0°≤∠AOB≤180°直二面角3.平面與平面垂直(1)定義:如果兩個平面α與β所成角的大小為90°,則稱這兩個平面互相垂直,記作α⊥β.3.平面與平面垂直(1)定義:如果兩個平面α與β所成角的大小為90°,則稱這兩個平面互相垂直,記作α⊥β.(2)判定定理(3)性質定理文字語言圖形語言符號語言如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內_____________________垂直于另一個平面

α⊥β,α∩β=m,AO?α,AO⊥m,O為垂足?AO⊥β垂直于它們交線的直線核心互動探究探究點一二面角的求解【典例1】已知正四棱錐S-ABCD(底面為正方形,各側面為全等的等腰三角形)的體積為12,底面對角線的長為2

,求側面與底面所成的二面角.【思維導引】作出S在底面上的投影O,作OE⊥CD于E,連接SE,證明∠SEO為所求二面角的平面角.【解析】設正四棱錐S-ABCD的高為h,底面邊長為a,則2a2=(2)2,所以a2=12.又a2h=12,所以h==3.設O為S在底面上的投影,作OE⊥CD于E,連接SE,可知SE⊥CD,∠SEO為所求二面角的平面角.tan∠SEO=所以∠SEO=60°.所以側面與底面所成二面角的大小為60°.【延伸探究】在本例條件下,求二面角D-SC-A的正弦值.【延伸探究】在本例條件下,求二面角D-SC-A的正弦值.【解析】如圖,過點O作OF⊥SC,垂足為F,連接FD,OD,AC.由例題解析知,SO⊥平面ABCD,且O是底面正方形的中心,所以DO⊥SO,DO⊥AC,又AC∩SO=O.所以DO⊥平面SAC,又SC?平面SAC,所以SC⊥DO,又SC⊥OF,DO∩OF=O.所以SC⊥平面DOF,又DF?平面DOF,所以DF⊥SC.所以∠OFD為二面角D-SC-A的平面角.由例題知,OD=,所以DF=所以sin∠OFD=即二面角D-SC-A的正弦值為【類題通法】求二面角的步驟(1)作出二面角的平面角.(2)證明該角兩邊都與棱垂直,指出該角就是二面角的平面角.(3)計算該角的大小,簡記為作、證、求,簡稱為“一作二證三求”.【定向訓練】已知D,E分別是正三棱柱ABC-A1B1C1的側棱AA1和BB1上的點,且A1D=2B1E=B1C1.求過D,E,C1的平面與棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小.【解析】如圖所示,在平面A1B1B內延長DE和A1B1交于點F,則F是平面DEC1與平面A1B1C1的公共點.于是C1F為這兩個平面的交線.因而,所求二面角即為二面角D-C1F-A1.因為A1D∥B1E,且A1D=2B1E,所以E,B1分別為DF和A1F的中點.因為A1B1=B1C1=A1C1=B1F,所以FC1⊥A1C1.又因為CC1⊥平面A1B1C1,FC1?平面A1B1C1,所以CC1⊥FC1.又因為A1C1,CC1為平面AA1C1C內的兩條相交直線,所以FC1⊥平面AA1C1C.因為DC1?平面AA1C1C,所以FC1⊥DC1.所以∠DC1A1是二面角D-C1F-A1的平面角.由已知A1D=A1C1,則∠DC1A1=45°.故所求二面角的大小為45°.【補償訓練】已知Rt△ABC,斜邊BC?α,點A?α,AO⊥α,O為垂足,∠ABO=30°,∠ACO=45°,則二面角A-BC-O的大小為________.

【解析】如圖,在平面ABC內,作AD⊥BC,且垂足為D,連接OD,則∠ADO即為二面角A-BC-O的平面角,設OA=1,則AB=2,OB=,OC=1,AC=,所以BC=由AB·AC=BC·AD得AD=所以sin∠ADO=又因為0°<∠ADO<90°,所以∠ADO=60°,所以二面角A-BC-O的大小為60°.答案:60°探究點二平面與平面垂直的判定【典例2】如圖所示,△ABC為正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中點,求證:(1)DE=DA.(2)平面BDM⊥平面ECA.(3)平面DEA⊥平面ECA.【思維導引】(1)取EC的中點F,要證DE=DA,只需證明Rt△EFD≌Rt△DBA;(2)注意M為EA的中點,可取CA的中點N,先證明N點在平面BDM內,再證明平面BDM過平面ECA的一條垂線即可;(3)仍需證平面DEA經(jīng)過平面ECA的一條垂線.【證明】(1)取EC的中點F,連接DF.因為EC⊥BC,易知DF∥BC,所以DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中,因為EF=EC=BD,FD=BC=AB,所以Rt△EFD≌Rt△DBA.所以DE=DA.(2)取CA的中點N,連接MN,BN,則MN

EC,所以MN∥BD,所以N點在平面BDMN內.因為EC⊥平面ABC,所以EC⊥BN.又CA⊥BN,CA∩EC=C,所以BN⊥平面ECA.因為BN在平面MNBD內,所以平面MNBD⊥平面ECA.即平面BDM⊥平面ECA.(3)因為BD

EC,MN

EC.所以MNBD為平行四邊形.所以DM∥BN.由(2)知BN⊥平面ECA,所以DM⊥平面ECA.又DM?平面DEA,所以平面DEA⊥平面ECA.【類題通法】應用判定定理證明平面與平面垂直的基本步驟【定向訓練】

(2020·全國Ⅰ卷)如圖,D為圓錐的頂點,O是圓錐底面的圓心,△ABC是底面的內接正三角形,P為DO上一點,∠APC=90°.證明:平面PAB⊥平面PAC.【證明】由題設可知,PA=PB=PC.由于△ABC是正三角形,故可得△PAC≌△PAB.△PAC≌△PBC.又∠APC=90°,故∠APB=90°,∠BPC=90°.從而PB⊥PA,PB⊥PC,故PB⊥平面PAC,因為PB在平面PAB內,所以平面PAB⊥平面PAC.【補償訓練】如圖,四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,點E在棱PB上,求證:平面AEC⊥平面PDB.【證明】設AC∩BD=O,連接OE,

因為AC⊥BD,AC⊥PD,PD,BD為平面PDB內兩條相交直線,所以AC⊥平面PDB.又因為AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面PDB.探究點三面面垂直性質定理的應用【典例3】如圖所示,P是四邊形ABCD所在平面外的一點,四邊形ABCD是邊長為a的菱形且∠DAB=60°,側面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)若G為AD的中點,求證:BG⊥平面PAD.(2)求證:AD⊥PB.【思維導引】(1)由四邊形ABCD為菱形,∠DAB=60°得到△ABD為正三角形,G為AD的中點,推出BG⊥AD,結合平面PAD⊥底面ABCD得到BG⊥平面PAD.(2)連接PG,要證AD⊥PB,只需證AD⊥平面PBG即可.【證明】(1)如圖,在菱形ABCD中,連接BD,

由已知∠DAB=60°,所以△ABD為正三角形,因為G是AD的中點,所以BG⊥AD.因為平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BG⊥平面PAD.(2)連接PG.因為△PAD是正三角形,G是AD的中點,所以PG⊥AD,由(1)知BG⊥AD.又因為PG∩BG=G.所以AD⊥平面PBG.而PB?平面PBG,所以AD⊥PB.【類題通法】垂直關系的相互轉化在關于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化.每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉向另一垂直,最終達到目的,其轉化關系如下:提醒:應用面面垂直的性質定理,注意三點:①兩個平面垂直是前提條件;②直線必須在其中一個平面內;③直線必須垂直于它們的交線.【定向訓練】

(2020·浙江高考)如圖,三棱臺DEF-ABC中,面ADFC⊥面ABC,∠ACB=∠ACD=45°,DC=2BC.(Ⅰ)證明:EF⊥DB;(Ⅱ)求DF與面DBC所成角的正弦值.【解析】(Ⅰ)過點D作DO⊥AC,交AC于點O,連接OB.由∠ACD=45°,DO⊥AC得CD=CO,由平面ACFD⊥平面ABC得DO⊥平面ABC,所以DO⊥BC.由∠ACB=45°,BC=CD=CO,可解得BO⊥BC,又BO∩DO=O,BO,DO?平面BDO,所以BC⊥平面BDO,因為DB?平面BDO,所以BC⊥DB.由三棱臺ABC-DEF得BC∥EF,所以EF⊥DB.(Ⅱ)方法一:過點O作OH⊥BD,交BD于點H,連接CH.由三棱臺ABC-DEF得DF∥CO,所以DF與平面DBC所成角等于CO與平面DBC所成角.由BC⊥平面BDO得OH⊥BC,又BD∩BC=B,BD,BC?平面BDC,所以OH⊥平面BCD,所以∠OCH為直線CO與平面DBC所成角.設CD=2.則DO=OC=2,BO=BC=,所以BD=,OH=所以sin∠OCH=因此,直線DF與平面DBC所成角的正弦值為.方法二:由三棱臺ABC-DEF得DF∥CO,所以DF與平面DBC所成角等于CO與平面DBC所成角,記為θ.如圖,以O為原點,分別以射線OC,OD為y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標系.設CD=2.由題意知各點坐標如下:O(0,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),D(0,0,2).因此=(0,2,0),=(-1,1,0),=(0,-2,2).設平面BCD的法向量n=(x,y,z).由可取n=(1,1,1),所以sinθ=|cos<,n>|=因此,DF與平面DBC所成角的正弦值為.【補償訓練】如圖所示,△ABC是邊長為2的正三角形.若AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD.(1)求證:AE∥平面BCD.(2)求證:平面BDE⊥平面CDE.【證明】(1)取BC的中點M,連接DM,因為BD=CD,且BD⊥CD,BC=2.所以DM=1,DM⊥BC.又因為平面BCD⊥平面ABC,平面ABC∩平面BCD=BC,所以DM⊥平面ABC,又AE⊥平面ABC,所以AE∥DM.又因為AE?平面BCD,DM?平面BCD,所以AE∥平面BCD.(2)連接AM,由(1)知AE∥DM,又AE=1,DM=1,所以AE=DM,所以四邊形DMAE是平行四邊形,所以DE∥AM.又△ABC是正三角形,M為BC的中點,所以AM⊥BC,因為平面BCD⊥平面ABC,所以AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD.又CD?平面BCD,所以DE⊥CD.因為BD⊥CD,BD∩DE=D,所以CD⊥平面BDE.因為CD?平面CDE,所以平面BDE⊥平面CDE.【課堂小結】課堂素養(yǎng)達標1.長方體ABCD-A1B1C1D1的六個面中,與面ABCD垂直的面有 (

)

A.1個 B.3個 C.4個 D.5個【解析】選C.與面ABCD垂直的面有面ABB1A1,面BCC1B1,面CDD1C1,面DAA1D1,共4個.2.設l是直線,α,β是兩個不同的平面 (

)A.若l∥α,l∥β,則α∥βB.l∥α,l⊥β,則α⊥βC.若α⊥β,l⊥α,則l⊥βD.α⊥β,l∥α,則l⊥β【解析】選B.對于選項A,兩平面可能平行也可能相交;對于選項C,直線l可能在β內也可能平行于β;對于選項D,直線l可能在β內或平行于β或與β相交.3.對于直線m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一個條件是 (

)A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n?αC.m∥n,n⊥β,m?αD.m∥n,m⊥α,n⊥β【解析】選C.因為m∥n,n⊥β,則m⊥β,又m?α,故α⊥β,所以C正確.4.在空間四面體S-ABC中,SC⊥AB,AC⊥SC,且△ABC是銳角三角形,那么必有 (

)A.平面SAC⊥平面SCBB.平面SAB⊥平面ABCC.平面SAC⊥平面SABD.平面SCB⊥平面ABC【解析】選D.如圖,因為SC⊥AB,SC⊥AC,AB∩AC=A,所以SC⊥平面ABC.所以平面SCB⊥平面ABC.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,he