新教材高中數(shù)學(xué)10-1-2復(fù)數(shù)的幾何意義課件新人教B版必修第四冊(cè)

10.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義新課程標(biāo)準(zhǔn)素養(yǎng)風(fēng)向標(biāo)了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義,會(huì)用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和平面向量來(lái)表示復(fù)數(shù).1.通過(guò)復(fù)數(shù)的幾何意義領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.(直觀想象、數(shù)學(xué)抽象)2.通過(guò)構(gòu)造平面向量將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖形解決問(wèn)題.(數(shù)學(xué)建模)3.利用復(fù)數(shù)的幾何意義計(jì)算復(fù)數(shù)的模,明確軌跡的形狀.(邏輯推理)基礎(chǔ)預(yù)習(xí)初探1.回顧平面直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O為原點(diǎn),點(diǎn)Z(a,b)對(duì)應(yīng)的向量=________,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=________.

(2)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=a+bi,a,b∈R,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的坐標(biāo)為________,對(duì)應(yīng)的向量=________.

提示:(1)(a,b)

a+bi(2)(a,b)

(a,b)2.若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限,則復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部滿足什么條件?提示:當(dāng)a<0,b<0時(shí),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限.3.(1)設(shè)Z(a,b),則向量的模如何用a,b表示?提示:||=.(2)復(fù)數(shù)可以用向量表示,那么向量的模是復(fù)數(shù)的什么?提示:用文字語(yǔ)言描述:向量的模就是復(fù)數(shù)的模.用符號(hào)語(yǔ)言描述:|z|=||=.4.復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)數(shù)

=a-bi對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有什么關(guān)系?提示:復(fù)數(shù)z=a+bi對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(a,b),復(fù)數(shù)=a-bi對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(a,-b),兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱.特別地,當(dāng)b=0時(shí),兩點(diǎn)重合.【概念生成】1.復(fù)平面如圖,把建立了___________來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,x軸稱為___軸,y軸稱為___軸.實(shí)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的都表示實(shí)數(shù),除_____外,虛軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的都表示純虛數(shù).直角坐標(biāo)系實(shí)虛原點(diǎn)2.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z=a+bi,既與點(diǎn)Z(a,b)可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,又可以與平面向量建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,三者的關(guān)系如下:3.復(fù)數(shù)的模(或絕對(duì)值)一般地,向量=(a,b)的長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù)z=a+bi的模(或絕對(duì)值),記作|z|或|a+bi|.如果b=0,那么z=a+bi就是實(shí)數(shù)a,它的模等于|a|(即實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值).|z|=|a+bi|=________.4.共軛復(fù)數(shù)一般地,如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部_____,虛部互為_____數(shù),則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用

表示,因此,當(dāng)z=a+bi(a,b∈R)時(shí),有

=a-bi.相等相反核心互動(dòng)探究探究點(diǎn)一復(fù)數(shù)與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)【典例1】1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)4+5i,-2+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,若C為線段AB的中點(diǎn),則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 (

)A.1+2i B.1+3iC.3+3i D.3+4i2.實(shí)數(shù)m取什么值時(shí),復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的點(diǎn):(1)位于第四象限;(2)位于直線y=x上.核心互動(dòng)探究探究點(diǎn)一復(fù)數(shù)與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)【典例1】1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)4+5i,-2+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,若C為線段AB的中點(diǎn),則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 (

)A.1+2i B.1+3iC.3+3i D.3+4i2.實(shí)數(shù)m取什么值時(shí),復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的點(diǎn):(1)位于第四象限;(2)位于直線y=x上.【思維導(dǎo)引】1.利用相等向量計(jì)算,也可以利用線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算;2.根據(jù)點(diǎn)的位置列方程或不等式組求解.【解析】1.選B.方法一:在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)4+5i,-2+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A(4,5),B(-2,1),設(shè)線段AB的中點(diǎn)C為(x,y),則,即(x-4,y-5)=(-2-x,1-y),得x-4=-2-x,y-5=1-y,解得x=1,y=3.所以C(1,3)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+3i.方法二:復(fù)數(shù)4+5i,-2+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A(4,5),B(-2,1),則線段AB的中點(diǎn)C(1,3),所以C(1,3)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+3i.2.(1)由?所以-2<m<3或5<m<7.此時(shí)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.(2)要使z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y=x上,需m2-8m+15=m2-5m-14,解得m=.【類題通法】復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系及應(yīng)用(1)復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的實(shí)質(zhì)是:復(fù)數(shù)的實(shí)部就是該點(diǎn)的橫坐標(biāo),虛部就是該點(diǎn)的縱坐標(biāo).(2)已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿足的條件求參數(shù)的取值范圍時(shí),可根據(jù)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,建立復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部滿足的條件構(gòu)成的方程(組)或不等式(組),通過(guò)解方程(組)或不等式(組)得出結(jié)論.【定向訓(xùn)練】1.當(dāng)

<m<1時(shí),復(fù)數(shù)z=(5m-2)+(m-2)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 (

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(5m-2,m-2).由<m<1,得5m-2>0,m-2<0.所以點(diǎn)Z位于第四象限.【定向訓(xùn)練】1.當(dāng)

<m<1時(shí),復(fù)數(shù)z=(5m-2)+(m-2)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 (

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(5m-2,m-2).由<m<1,得5m-2>0,m-2<0.所以點(diǎn)Z位于第四象限.2.實(shí)數(shù)m取什么值時(shí),復(fù)數(shù)z=2m+(4-m2)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在:(1)虛軸上;(2)第一、三象限;(3)以原點(diǎn)為圓心,4為半徑的圓上.【解析】(1)若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于虛軸上,則2m=0,即m=0.(2)若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一、三象限,則2m(4-m2)>0,解得m<-2或0<m<2.(3)若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于以原點(diǎn)為圓心,4為半徑的圓上,則=4,即m4-4m2=0,解得m=0或m=±2.探究點(diǎn)二復(fù)數(shù)與向量的一一對(duì)應(yīng)【典例2】1.已知A(1,2),B(-3,5),則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 (

)A.1+2i B.-3+5iC.-2+7i D.-4+3i2.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是4+3i,點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)為A1,將向量平移,使其起點(diǎn)移動(dòng)到A點(diǎn),這時(shí)終點(diǎn)為A2.(1)求向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù);(2)求點(diǎn)A2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【思維導(dǎo)引】1.求出向量的坐標(biāo),再確定對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).2.根據(jù)復(fù)數(shù)與點(diǎn)以及復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系求解.【解析】1.選D.由于A(1,2),B(-3,5),則向量=(-4,3),所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-4+3i.2.(1)因?yàn)橄蛄繉?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是4+3i,所以點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)也是4+3i,因此點(diǎn)A坐標(biāo)為(4,3),所以點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)A1為(4,-3),故向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是4-3i.(2)依題意知=,而=(4,-3),設(shè)A2(x,y),則有(4,-3)=(x-4,y-3),所以x=8,y=0,即A2(8,0).所以點(diǎn)A2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是8.【類題通法】復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)是與以原點(diǎn)為起點(diǎn),Z(a,b)為終點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)的.(2)一個(gè)向量可以平移,其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)不變,但是其起點(diǎn)與終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可能改變.提醒:向量是自由向量,其長(zhǎng)度與方向與起點(diǎn)的位置無(wú)關(guān),=(xB-xA,yB-yA),對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別是向量的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).【定向訓(xùn)練】在復(fù)平面內(nèi),O為原點(diǎn),向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1+2i,若點(diǎn)A關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B,則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 (

)A.-2-i B.-2+iC.1+2i D.-1+2i【解析】選B.因?yàn)閺?fù)數(shù)-1+2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A(-1,2),點(diǎn)A關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為B(-2,1),所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+i.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知平面直角坐標(biāo)系中O是原點(diǎn),向量,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2-3i,-3+2i,那么向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是________.

【解析】向量,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2-3i,-3+2i,根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),可得向量=(2,-3),=(-3,2).由向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算可得向量=(2+3,-3-2)=(5,-5),根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),可得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5-5i.答案:5-5i探究點(diǎn)三共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的?！镜淅?】1.已知復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)z1=3-4i的模相等且與復(fù)數(shù)z2=a+5i互為共軛復(fù)數(shù),則z= (

)A.3+4i B.3-5iC.5i D.-5i2.已知z∈C,|z|=5,求z表示的點(diǎn)的軌跡.【思維導(dǎo)引】1.兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù),且二者的模相等.2.設(shè)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)向量,其中O為原點(diǎn),根據(jù)圓的定義判斷軌跡形狀.【解析】1.選D.因?yàn)閺?fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)z1=3-4i的模相等且與復(fù)數(shù)z2=a+5i互為共軛復(fù)數(shù),則|z|=|z1|=|z2|,得==5,所以a=0,z2=5i,z==-5i.2.設(shè)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)向量,其中O為原點(diǎn),根據(jù)|z|=5,得||=5,由圓的定義,動(dòng)點(diǎn)Z的軌跡是以O(shè)為圓心,5為半徑的圓,即復(fù)數(shù)z表示的點(diǎn)的軌跡是圓.【類題通法】關(guān)于復(fù)數(shù)的模的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)1.復(fù)數(shù)的模表示對(duì)應(yīng)向量的長(zhǎng)度,也就是對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.2.注意復(fù)平面上兩點(diǎn)間的距離公式的多角度應(yīng)用:設(shè)z1=a+bi,z2=c+di,=(a,b),=(c,d),則.【定向訓(xùn)練】1.已知復(fù)數(shù)z1=-2+i,z2=1-3i,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,則向量||=________.

【解析】復(fù)數(shù)z1=-2+i,z2=1-3i,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A(-2,1),B(1,-3),則向量=(3,-4),所以||=5.答案:52.已知3-4i=x+yi(x,y∈R),則|1-5i|,|x-yi|,|y+2i|的大小關(guān)系為____________.

【解析】由3-4i=x+yi(x,y∈R),得x=3,y=-4.而|1-5i|=|x-yi|=|3+4i|==5,|y+2i|=|-4+2i|=因?yàn)?lt;5<,所以|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|.答案:|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|【課堂小結(jié)】課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=4-5i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為 (

)A.(4,5) B.(4,-5)C.(5,4) D.(-5,4)【解析】選B.復(fù)數(shù)z=4-5i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,-5).2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=sin2+icos2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 (

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.因?yàn)?lt;2<π,所以sin2>0,cos2<0.故z=sin2+icos2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.3.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|2-2|z|-3=0,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為 (

)A.一個(gè)圓 B.線段 C.兩點(diǎn) D.兩個(gè)圓【解析】選A.因?yàn)閨z|2-2|z|-3=0,所以(|z|-3)(|z|+1)=0,所以|z|=3.故所求的軌跡為一個(gè)圓.4.復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)(0,-3)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為________.

【解析】點(diǎn)(0,-3)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3i.答案:-3iThebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺(jué).Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛(ài).Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞3.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|2-2|z|-3=0,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為 (

)A.一個(gè)圓 B.線段 C.兩點(diǎn) D.兩個(gè)圓【解析】選A.因?yàn)閨z|2-2|z|-3